Kasperi Kuorikoski
AKUSTISTEN ELEMENTTIEN HYÖDYNTÄMINEN NESTETÄYTTEISTEN
SÄILIÖIDEN ANALYYSISSA
Vaikutukset ominaistaajuuksiin
Diplomityö
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta
Joulukuu 2020
Kasperi Kuorikoski: Akustisten elementtien hyödyntäminen nestetäytteisten säiliöiden analyysissa
Tampereen yliopisto
Konetekniikan tutkinto-ohjelma Diplomityö
Joulukuu 2020
Tarkastajat: Professori Reijo Kouhia & akatemiatutkija Timo Saksala
Tässä työssä tutkittiin nesteen vaikutusta nestettä sisältävien säiliöiden ominaistaajuuksiin. Nesteen vaikutus rakenteeseen huomioitiin neste-rakenne-kytkennällä hyödyntämällä akustisia elementtejä sekä yksinkertaisemmalla lisätyn massan menetelmällä.
Nesteen vuorovaikuttaessa säiliön kanssa on sillä säiliön liikettä vastustava vaikutus. Tämä aiheuttaa rakenteen ominaistaajuuksien laskua ja voi näin vaikuttaa merkittävästi rakenteen käyttäytymiseen. Hyödyntämällä elementtimenetelmää voidaan tämän ilmiön vaikutusta tutkia numeerisesti. Nestealue mallinnettiin akustisilla elementeillä, joilla nesteen virtaamisen sijasta voidaan kuvata paineaallon eteneminen nesteessä. Käyttämällä säiliön seinämän ja nestealueen yhteisen rajapinnan kytkentää, voidaan nesteen painejakauman vaikutus siirtää rakenteelle.
Rajapinnan kytkennästä käytetään myös nimitystä neste-rakenne-kytkentä (engl. Fluid-Structure Interaction, FSI).
Työssä arvioitiin akustisien elementtien tarkkuutta vertailulla kirjallisuudesta löytyviin ympyräpohjaisien säiliöiden analyyttisesti laskettuihin ominaistaajuuksien arvoihin. Akustisilla elementeillä saatiin toistettua vertailuun valitut ominaistaajuuksien arvot suhteellisen eron ollessa suurimmillaan noin 0.8 %.
Työssä edettiin tämän jälkeen tutkimaan säiliöitä vaihdellen niiden sisältämän nesteen määrää. Säiliöiden rakenteet olivat muodoiltaan ympyräpohjainen ja suorakulmiopohjainen.
Työssä vertailtiin akustisilla elementeillä saatujen ominaistaajuuksien arvoja kahteen eri lisätyn massan menetelmään: tasaisesti lisättyä massaa ja pistemassaa. Näitä menetelmiä on hyödynnetty aikaisemmin teknisessä laskennassa huomioimaan nesteen vaikutusta. Lisättynä massana käytettiin standardin EN 1998-4 mukaisesti määriteltyä impulsiivisen massan arvoa.
Tutkitut ominaismuodot olivat muotoja, joissa suurin osa rakenteen massasta osallistuu muodon liikkeeseen. Ympyräpohjaisen säiliön sisältäessä nestettä korkeimmalla tutkitulla nestepinnan korkeudella H = 1500 mm, oli ominaistaajuus akustisia elementtejä käytettäessä 44 % pienempi kuin tyhjän säiliön ominaistaajuus. Verrattaessa tasaisesti jaetulla massalla saatua ominaistaajuutta akustisilla elementeillä saatuun, oli tasaisesti jaetulla massalla taajuus suurimmillaan noin 3 % suurempi kuin akustisilla elementeillä saatu taajuus. Pistemassalla saatu taajuus oli akustisiin elementteihin verrattuna suurimmillaan noin 11 % suurempi.
Suorakulmiopohjaisen säiliön sisältäessä nestettä korkeimmalla tutkitulla nestepinnan korkeudella, oli ominaistaajuus akustisilla elementeillä noin 68 % pienempi kuin tyhjän säiliön ominaistaajuus. Tasaisesti jaetulla massalla taajuus oli suurimmillaan noin 36 % suurempi kuin akustisilla elementeillä. Pistemassalla ominaistaajuus akustisiin elementteihin verrattuna oli suurimmillaan noin 161 % suurempi.
Työssä edettiin tutkimaan nesteen vaikutusta nesteeseen upotettuun kappaleeseen.
Vaikutusta tutkittiin sekä akustisilla elementeillä että tasaisesti jaetulla massalla. Tutkituilla ominaismuodoilla akustisilla elementeillä taajuudet laskivat suurimmilla noin 6 % verrattuna tyhjän säiliön ominaistaajuuksiin. Tasaisesti jaetulla massalla taajuudet olivat suurimmillaan noin 1 % pienempiä kuin akustisilla elementeillä.
Työn tuloksien perusteella akustisia elementtejä hyödyntämällä on mahdollista saavuttaa tarkka kuvaus nesteen vaikutuksesta rakenteen ominaistaajuuksiin. Yksinkertaiselle geometrialle voidaan myös tasaisesti jaetulla massalla mahdollista kuvata nesteen vaikutus pienellä erolla akustisiin elementteihin. Pistemassan käyttö ei osoittautunut kuvaavan nesteen vaikutusta hyvin, tuottaen suurimmat erot verrattuna muihin työssä käytettyihin menetelmiin.
Avainsanat: Akustiset elementit, neste-rakenne-kytkentä, FSI, ominaistaajuus, moodianalyysi, elementtimenetelmä
Tämän julkaisun alkuperäisyys on tarkastettu Turnitin OriginalityCheck ̶ ohjelmalla.
Kasperi Kuorikoski: Using acoustic elements in analysis of fluid filled containers.
Tampere University Mechanical engineering Master’s thesis
December 2020
Examiners: Professor Reijo Kouhia & academic researcher Timo Saksala
This thesis studied fluid filled containers and the effect of fluid on eigenfrequencies. This effect is examined by interface coupling with usage of acoustic elements and with simpler added mass method. Fluid causes a force that resists structure’s movement. This might have a great impact on structure’s eigenfrequencies by lowering them and by this affecting on structure’s behavior. By using finite element method and acoustic elements, it is possible to numerically study this effect. Instead of studying flowing fluid, acoustic elements enable to solve the pressure field of the acoustic domain. By coupling the interface that fluid and container shares it is possible to transfer the pressure values to the structure. This interface coupling is also called as Fluid- Structure Interaction (FSI).
The accuracy of acoustic elements is verified by making a comparison to results for eigenfrequencies of cylindrical container found from literature. With acoustic elements it was possible to achieve the results with a relative error of 0.8 %.
The thesis proceeded to study containers with different amount of fluid inside. Geometry of these containers are cylindrical and rectangular. Comparison is made between eigenfrequencies obtained by using acoustic elements and two other mass adding techniques:
distributed mass and point mass. These two methods have been used in technical analyses before acoustic elements. The impulsive mass defined by standard EN 1998-4 is used as the added mass value. The eigenmodes that are inspected are modes where a large portion of the container mass is moving. Cylindrical tank with the highest studied liquid level of H = 1500 mm the eigenfrequency by using acoustic elements was 44 % smaller when compared to the frequency of an empty tank. With distributed mass the eigenfrequency was 3 % larger when compared to acoustic elements when the container had highest amount of liquid inside in it. With point mass the eigenfrequency was 11 % larger compared to acoustic elements. Rectangular container tank with the highest studied liquid level the eigenfrequency by using acoustic elements was 68 % smaller when compared to a frequency of an empty container. With distributed mass the eigenfrequency was 36 % larger compared to acoustic elements. With point mass the eigenfrequency was 161 % larger compared to acoustic elements.
After this the thesis proceeds to study an object submerged in fluid filled rectangular container. The effect of fluid was studied with acoustic elements and distributed mass. With the studied eigenmodes by using acoustic elements the eigenfrequencies lowered at its largest 6 % compared to the empty container. With distributed mass the eigenfrequencies was 1 % smaller when compared to acoustic elements.
Based on the results in this thesis it can be concluded that it is possible to achieve accurate eigenfrequency results and consider the effect of fluid by using acoustic elements. To simple geometry it is also possible to present the effect of fluid by using the distributed mass by small error in the results. Point mass did result the largest errors in the results compared to other used methods and therefore is not suitable for this kind of analysis.
Keywords: Acoustic elements, fluid-structure interaction, eigenfrequencies, modal analysis, finite element method
The originality of this thesis has been checked using the Turnitin OriginalityCheck service.
Kiitos Huld Oy:lle diplomityön mahdollistamisesta sekä ohjaajalleni Ville Westerlundille mielenkiintoisesta työn aiheesta, avusta ja ohjauksesta työn eri vaiheissa. Reijo Kouhialle kiitos asiantuntevasta palautteesta ja ohjauksesta.
Kiitos Jenniinalle, perheelle ja läheisille, etenkin Sasulle kehuista ja haukuista.
Tampereella, 07.12.2020
Kasperi Kuorikoski
1. JOHDANTO ... 1
2.KYTKETYN SYSTEEMIN OMINAISARVOTEHTÄVÄN RATKAISU ... 4
2.1 Kiinteän aineen diskretisointi ... 5
2.2 Nestealueen diskretisointi ... 6
2.3 Rajapintojen kytkentä ... 8
2.4 Harmoninen liikeyhtälö ... 9
2.5 Analyyttinen lisätyn massan määritys ... 10
3.TUTKIMUKSESSA SUORITETUT ANALYYSIT ... 12
3.1 Testisäiliö ... 12
3.2 Ympyrä- ja suorakulmiopohjaisten säiliöiden analyysit ... 13
3.2.1Säiliöiden geometriat ... 13
3.2.2Laskentamallin elementtityypin valinta ... 15
3.2.3Mallinnus ... 17
3.2.4Materiaalit ja lisätyt massat ... 18
4.ANALYYSIEN TULOKSET ... 20
4.1 Testisäiliö ... 20
4.2 Ympyräpohjainen säiliö ... 21
4.3 Suorakulmiopohjainen säiliö ... 24
4.3.1Kannellinen suorakulmiopohjainen säiliö ... 26
4.3.2Lisätyn massan jakaminen seinämille ... 28
4.4 Upotettu kappale ... 31
4.4.1Upotetun kappaleen ominaismuodot ... 32
4.4.2 Upotetun kappaleen vaikutus säiliön ominaismuotoihin ... 35
5.TULOKSIEN YHTEENVETO SEKÄ PÄÄTELMÄT ... 38
5.1.1 Tuloksien yhteenveto ... 38
5.1.2Päätelmät ja jatkotutkimuksen kohteet ... 40
LÄHTEET ... 45
Kuva 1. Lieriömäisen säiliön mittojen merkinnät... 14
Kuva 2. Analysoidun suorakulmiopohjaisen säiliön mitat ... 14
Kuva 3. Suorakulmiosäiliöön upotettu kappale. ... 15
Kuva 4. Esimerkki kuori- ja tilavuuselementtien verkotuksesta rajapinnalla. Mallia on pilkottu sopivasti, jotta rajapinnalla solmut olisivat kohdakkain. ... 17
Kuva 5. Tasaisesti jaettu massa (vasen) ja pistemassa (oikea), H = 1000 mm. ... 19
Kuva 6. Vasemmalla on esitetty ensimmäinen ja oikealla toinen ominaismuoto. Liikettä hallitsee seinämien pyörähdyssymmetrinen muoto. ... 20
Kuva 7. Ensimmäisen ja toisen ominaismuodon nestealueen painejakauma säiliön ja nesteen rajapinnalla. Pystyakseli kuvaa säiliön seinämän korkeutta. Vaaka-akseli esittää suhteellisia paineenarvoja. ... 21
Kuva 8. Tyhjän säiliön ominaismuoto, jolla herää suurin efektiivinen massa. ... 22
Kuva 9. Ominaistaajuudet (ylhäällä) sekä todellisen efektiivisen massan (alhaalla) kuvaajat H/R-suhteen funktiona. ... 24
Kuva 10. Kannettoman säiliön ominaismuoto, jolla herää suurin efektiivinen massa. ... 25
Kuva 11. Tyhjän säiliön ominaismuoto, jossa x-suuntaan kohtisuoran seinämän liike on suurinta. ... 26
Kuva 12. Kannellinen suorakulmiopohjainen säiliö, efektiiviset massat (alhaalla) ja ominaistaajuudet (ylhäällä) viidellä eri nestepinnan korkeudella. ... 27
Kuva 13. Skaalattujen lisämassojen ominaistaajuuksien suhde akustisten elementtien tuloksiin massan kertoimen funktiona. ... 30
Kuva 14. Upotetun kappaleen tutkittu ominaismuoto, pitkittäissuuntainen liike. ... 32
Kuva 15. Lisätylle massalle valitut pystypinnat (molemmin puolin seinämiä). ... 33
Kuva 16. Painejakauma nesteessä, muotoa hallitsee upotetun kappaleen liike pitkittäissuunnassa. ... 33
Kuva 17. Upotetun kappaleen tutkittu ominaismuoto, poikittaissuuntainen liike. ... 35
Kuva 18. Säiliön tutkittu ominaismuoto. Päätyseinämien liike hallitsee muotoa. ... 36
Kuva 19. Nestealueen painejakauma päätyseinämien muodossa. ... 36
Taulukko 1. Analysoidun ympyräpohjaisen säiliön mitat... 13
Taulukko 2. Analysoidun suorakulmiopohjaisen säiliön mitat. ... 14
Taulukko 3. Upotetun kappaleen mitat. ... 15
Taulukko 4. Materiaaliominaisuudet. ... 18
Taulukko 5. Eri nestepinnan korkeuksien impulsiivinen massa sekä pistemassan korkeus säiliön pohjasta mitattuna ympyräpohjaiselle säiliölle. ... 18
Taulukko 6. Eri nestepinnan korkeuksien impulsiivinen massa sekä pistemassan korkeus säiliön pohjasta mitattuna suorakulmiopohjaiselle säiliölle. ... 19
Taulukko 7. Testisäiliön ominaismuotojen kulmataajuudet. ... 20
Taulukko 8. Ympyräpohjaisen säiliön tuloksia käyttäen akustisia elementtejä, tasaisesti jaettua massaa sekä pistemassaa. ... 23
Taulukko 9. Kannellinen suorakulmiopohjainen säiliö, tutkitun muodon efektiiviset massat ja taajuudet. ... 27
Taulukko 10. Tasaisestijaetun massan taajuuksien ero verrattuna akustisiin elementteihin ... 29
Taulukko 11. Impulsiivisen massan kerroin, jolla lisätyllä massalla saavutetaan akustisia elementtejä vastaava taajuus. ... 30
Taulukko 12. Päätyseinämien märän pinta-alan suhde säiliön märkään pinta- alaan. ... 31
Taulukko 13. Nestetäytteisen säiliön ja upotetun kappaleen ominaistaajuudet ja efektiiviset massat, pitkittäissuuntaan heräävälle muodolle. ... 34
Taulukko 14. Nestetäytteisen säiliön ja upotetun kappaleen ominaistaajuudet ja efektiiviset massat, poikittaissuuntaan heräävälle muodolle. ... 35
Taulukko 15. Päätyseinämän liikkeen hallitsevien ominaismuotojen taajuudet sekä efektiiviset massat, sisältää upotetun kappaleen. ... 37
Taulukko 16. Säiliön päätyseinille päätyvän impulsiivisen massan osuus viidelle eri säiliön leveydelle. ... 39
FSI Fluid-Structure Interaction MPC Multipoint constraint 𝑏 Tilaavuusvoimavektori
𝑩 Muotofunktioiden gradientit sisältävä matriisi 𝑐0 Äänennopeus nesteessä
𝑐 Solmukohtainen painovektori
𝑪𝑠 Rakenteen vaimennus
𝑪𝑓 Nesteen akustinen vaimennus 𝑑 Upotetun kappaleen paksuus 𝑑𝑖 Vaimennuksen vakiokerroin 𝑫 Materiaalin jäykkyysmatriisi 𝑓 Ulkoistenvoimien vektori
𝑓 𝑏 Rakenteen tilavuuteen kohdistuvan ulkoisten voimien vektori 𝑓 𝑠 Nesteen pintaan kohdistuvan ulkoisten voimien vektori 𝑓 𝑞 Nesteen tilavuuteen kohdistuvan ulkoisten voimien vektori 𝑓̃ Voiman amplitudi
𝐻 Nestepinnan korkeus
𝑯 Kytkentämatriisi 𝑰𝑖(−) Besselin funktio
𝑲 Jäykkyysmatriisi
𝑲𝑓 Nesteen jäykkyysmatriisi 𝑲𝑠 Rakenteen jäykkyysmatriisi 𝑙 Upotetun kappaleen korkeus 𝐿 Säiliön korkeus
𝑚𝑖 impulsiivinen massa
𝑴 Massamatriisi
𝑴𝑓 Nesteen massamatriisi 𝑴𝑠 Rakenteen massamatriisi 𝜇 Dynaaminen viskositeetti
𝑛 Pinnan normaali
𝑵 Muotofunktiot sisältävä matriisi
∇ Gradientti
𝑝 Dynaaminen paine
𝑝̃ Paineen amplitudi 𝑅 Säiliön pohjan säde
𝜌 Tiheys
𝜌𝑓 Nesteen dynaaminen tiheys 𝝈 Cauchyn jännitysmatriisi
𝑡 Traktiovektori
𝑢 Siirtymävektori 𝑢̃ Siirtymän amplitudi
𝑣 Painovektori
𝑤 Upotetun kappaleen leveys
𝛾 Hoikkuussuhde
𝜔 Kulmataajuus
1. JOHDANTO
Nesteen ja kaasun vaikutuksia rakenteen käyttäytymiseen on tutkittu laajalti jo usean vuosikymmenen ajan. Kiinnostuksen kohteena ovat olleet nestettä sisältävien ja nesteeseen upotettujen rakenteiden käyttäytyminen, esimerkiksi nestettä sisältävät säiliöt seismisen kuormituksen alaisena tai potkuri upotettuna nesteeseen. (Sigrist, 2015)
Nesteen vaikutusta rakenteeseen tutkitaan tässä työssä kahdella tavalla: nesteen painekentän muutoksen ja nesteen tuoman lisätyn massan vaikutuksen avulla. Nesteen paineen muutoksia tutkittaessa on neste oletettu ideaaliseksi eli kokoonpuristuvaksi ja viskoosittomaksi. Toinen tapa, jolla nesteen vaikutusta rakenteeseen tutkittiin, on niin kutsuttu lisätyn massan vaikutus. Tämä on liikettä vastustava voima, joka syntyy nesteen hitaudesta sen siirtyessä kappaleen mukana. Nesteen vaikutuksesta rakenteen ominaistaajuudet laskevat ja tällä voi olla merkittävä vaikutus rakenteen käyttäytymiseen (Kaneko, 2014, s. 361).
Nesteen hydrodynaamisten vaikutuksien tuoma lisäkuormitus rakenteeseen on yleensä merkittävä ja tämän huomiointi analyyttisesti usein haastavaa. Ongelmaa on mahdollista tarkastella hyödyntämällä numeerisia menetelmiä, esimerkiksi elementtimenetelmää.
Tällöin tutkittavat kiinteä aine sekä neste diskretisoidaan elementeillä ja nämä alueet kytketään yhteisestä rajapinnasta toisiinsa. Tätä kutsutaan neste – rakenne -kytkennäksi engl. Fluid-Structure Interaction (FSI). Kytkentä on hyvin kuvaava termi näiden kahden ilmiön vuorovaikutukselle. Esimerkkinä nestettä sisältävän säiliön kytkennästä ja FSI:n käyttökohteiden luonteesta: dynaamisen kuormituksen alaisena olevan nestettä sisältävän rakenteen liike aiheuttaa nesteessä paineen muutoksen, tämä vastavuoroisesti aiheuttaa säiliön seinämässä liikettä, mikä taas saa aikaan muutoksen nestealueen painekentässä. (Sigrist, 2015; Young-Surck & Chung-Bang, 1997)
Nesteen virtaamisen sijasta tutkitaan kytkentä ongelmassa paineaallon etenemistä nesteessä. Hyödyntämällä elementtimenetelmää sekä akustisen aallon yhtälöä, voidaan nestealue diskretisoida elementteihin, joiden vapausasteina on paine. Kytkennän rajapinnalla elementtien vapausasteisiin lisätään myös translaatiot (ANSYS, 2020).
Työssä kyseisistä elementeistä käytetään jatkossa nimitystä akustinen elementti.
Kaasun vaikutusta voidaan myös tarkastella akustisilla elementeillä, mutta koska tutkittavan aineen tiheydellä on merkitystä syntyvän massakuorman suuruuteen, on kaasujen aiheuttama lisäkuorma yleensä pientä ja tämä voidaan jättää huomiotta (Norton et al., 2003). Jatkossa työ käsittelee vain nesteen vaikutuksia rakenteen käyttäytymiseen.
Kirjallisuudesta löytyy tutkimuksia upotetuille kappaleille, missä lisätyn massan vaikutus näkyy vaikutuksena kappaleiden ominaistaajuuksiin. Stenius et al. (2016) suorittivat kokeellisesti ominaistaajuuksien määrityksiä nivelellisille ulokepalkeille, jotka saatettiin värähtelemään ulkoisella voimalla. Kokeet suoritettiin ilmassa sekä vedessä eri materiaalista oleville testikappaleille. Tuloksena kaikkien testikappaleiden ilmassa mitatut ominaistaajuudet laskivat vähintään 20 %, kun kappaleet upotettiin veteen.
Tuloksista kävi myös ilmi, kuinka suuri merkitys kappaleen muodolla oli, esimerkiksi hoikemmalla ja joustavalla kappaleella nesteen vaikutus on suurempi. Myös tiheydeltään pienemmät testikappaleet olivat herkempiä nesteen vaikutukselle. Tutkimuksessa todettiin myös kappaleen kiihtyvyyden suuri vaikutus nesteen tuomaan lisäkuormaan.
Edellä mainittu koe oli myös toistettu suorittamalla simulaatio testikappaleille sekä hyödyntämällä akustisia elementtejä. Nesteen kuvaaminen akustisilla elementeillä tuotti kokeellisia tuloksia hyvin vastaavia tuloksia, vertailtujen taajuuksien eron ollessa suurimmillaan noin 3 % (Stenius et al. 2018). Tämän perusteella näyttäisi, että akustisilla elementeillä on mahdollista mallintaa tarkasti nesteen vaikutusta.
Tämä työ suoritettiin Huld Oy:lle, jonka toimiala käsittää digitaalisten ja fyysisten tuotteiden suunnittelu- ja kehitysprosesseja. Tekninen laskenta on yksi yrityksen osaamisalueista. Teknisessä laskennassa nestetäytteisen rakenteen analyysissa on aikaisemmin huomioitu nesteen vaikutus lisäämällä mallille nesteen aiheuttamaa hydrodynaamista kuormaa arvioiva lisämassa. Tämä massa on yleensä lisätty rakenteen seinämille. Työssä pyritään tutkimaan mitä mahdollisia etuja nesteen vaikutuksen kuvaamiseen saadaan hyödyntämällä akustisia elementtejä, joilla on mahdollista kuvata aallon eteneminen nesteessä ja ratkaista nesteen painejakauma (ANSYS, 2020).
Huomioimalla paine neste-rakenne-rajapinnassa, pystytään tarkemmin arvioimaan nesteen vaikutusta rakenteen käyttäytymiseen. Työn tarkoituksena on vastata seuraaviin kysymyksiin:
Mitä vaaditaan nesteen vaikutuksen mallintamiseen akustisilla elementeillä?
Millaisia eroja akustisten elementtien ja aikaisemmin käytettyjen menetelmien välillä on?
Mitä haasteita akustisten elementtien käytössä on ja milloin nestettä on hyödyllistä mallintaa kyseisellä menetelmällä?
Tämän lisäksi työn tavoitteena on lisätä tietoa nestetäytteisten rakenteiden teknisestä laskennasta.
Työssä tutkitaan ja vertaillaan säiliöiden ominaistaajuuksia, kun käytetään akustisia elementtejä ja lisämassana standardin EN 1998-4 mukaista määritettyä impulsiivista massaa. Ominaistaajuuksien selvittämiseksi säiliöille suoritetaan moodianalyysi, jossa ratkaistaan systeemin kytketty liikeyhtälö. Työssä ei huomioida vaimennusta. Tutkitut säiliöt ovat muodoltaan ympyrä- ja suorakulmiopohjaisia. Ominaistaajuuksia tutkitaan säiliöiden ollessa tyhjinä sekä säiliöiden sisältäessä nestettä eri säiliön pohjasta mitatuilla pinnankorkeuksilla. Lisäksi suorakulmiosäiliön ominaistaajuuksia tutkittiin sen sisältäessä nesteeseen upotetun kappaleen.
2. KYTKETYN SYSTEEMIN OMINAISARVOTEH- TÄVÄN RATKAISU
Akustisten elementtien käyttökohteita löytyy melu- (Davidsson, 2004), värähtely- ja hydrodynaamisten ongelmien (Sigrist, 2015) parista. Työssä tutkimuksen kohteena ovat eri muotoisten säiliörakenteiden ja näiden sisältämien nestealueen kytkennän vaikutukset toisiinsa.
Kytkennällä tarkoitetaan tutkittavien alueiden vuorovaikusta toisiinsa näitä yhdistävässä rajapinnassa. Rakenteen ja nesteen vaikutus toisiinsa näiden rajapinnassa voidaan tutkia hyödyntämällä FSI-menetelmää. Esimerkiksi rakenteen liike aiheuttaa muutoksen nesteen painekenttään yhteisessä rajapinnassa, kytkien näin liikkeen ja paineen toisiinsa. Tästä johtuva muutos paineessa aiheuttaa takaisinkytkennän, vaikuttaen rakenteen liikkeeseen. (Sigrist, 2015)
Tutkimuksessa nesteen tuoman staattisen kuorman sijasta kiinnostuksen kohteena on sen dynaamisten kuormien eli ajasta riippuvien kuormitusten ja tämän aiheuttamien systeemin hitauksista syntyvien voimien vaikutukset (Clough & Penzien, 2003). Nesteen dynaamisia vaikutuksia säiliöön voidaan selvittää tutkimalla systeemin ominaisvärähtelyjä.
Kappaleen ominaisvärähtelyllä tarkoitetaan värähtelyä, missä sen jokainen piste värähtelee tasapainoasemastaan harmonisesti saavuttaen ääriasemansa yhtäaikaisesti.
Tästä seuraten kappale värähtelee tietyllä taajuudella, jota kutsutaan ominaistaajuudeksi. Asentoa, jossa kappaleen pisteet ovat värähdyksensä ääriasennossa, kutsutaan ominaistaajuutta vastaavaksi ominaismuodoksi (Salmi, 2003).
Ominaistaajuus on systeemin ominaisuus, joka riippuu sen massasta, jäykkyydestä, sekä vaimennuksesta (Clough & Penzien, 2003). Tutkimuksessa on rajoituttu käsittelemään vaimentamattoman systeemin ominaistaajuuksien laskentaa.
Ominaismuotojen ratkaisemiseksi tulee rakenteelle muodostaa liikeyhtälö. Liikeyhtälö voidaan muodostaa d’Alembertin periaatteen mukaisella tasapainoyhtälöllä, joka koostuu kappaleeseen kohdistuvista ulkoisista voimista sekä liikettä vastustavista sisäisistä voimista. Mielivaltaiselle systeemille, jonka liike oletetaan harmoniseksi, muodostetaan matriisimuotoinen yhtälö. Tästä ominaisarvotehtävästä voidaan ratkaista rakenteen ominaismuodot ja taajuudet. (Clough & Penzien, 2003.)
Akustisen alueen ratkaisussa hyödynnetään akustisen aallon yhtälöä ja alueenkytkentä kiinteään aineeseen voidaan muodostaa sopivilla reunaehdoilla näiden kahden alueen rajapinnoilla (Sandberg et al., 2009). Jotta liikeyhtälön saadaan ratkaistua numeerisesti, tulee tätä varten kiinteän aineen sekä nesteen jatkuvien aineiden alueet diskretisoida.
Tämä esitetään työssä seuraavaksi.
2.1 Kiinteän aineen diskretisointi
Muodoltaan mielivaltaisen kiinteän aineen kappaleen diskretisoinnissa voidaan lähteä liikkeelle yhtälön (1) esittämän liikemäärän taseyhtälöstä (Wriggers, 2008; Ottosen &
Ristinmaa, 2005):
𝑑𝑖𝑣 𝝈 + 𝜌𝑏 = 𝜌𝑢̈, (1)
jossa 𝜌 on tiheys ja 𝑢̈ kiihtyvyys. Termi 𝜌𝑢̈ kuvaa hitausvoimia. 𝑏 kuvaa massavoimia ja termi 𝜌𝑏 kuvaa kappaleen tilavuusvoimia. 𝝈 on Cauchyn jännitysmatriisi. Yhtälön (1) analyyttinen ratkaisu on mahdollista vain tietyille yksinkertaisille ongelmille, joten usein on haettava tämän ratkaisun approksimaatiota. Esimerkiksi muodostamalla yhtälölle (1) heikko muoto sekä hyödyntämällä elementtimenetelmää. Heikkoon muotoon päästään painotetun jäännöksen menetelmää käyttäen, joka tunnetaan myös virtuaalisen työn menetelmänä. Yhtälössä (2) on esitetty yhtälön (1) heikko muoto, jonka integrointi tapahtuu kappaleen tilavuuden 𝑉 sekä tälle kuuluvan pinnan 𝑆 yli.
∫ 𝝈 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑣V 𝑑𝑉 + ∫ 𝜌(𝑢̈ − 𝑏) ∙ 𝑣V 𝑑𝑉 − ∫ 𝑡𝑆 ∙ 𝑣 𝑑𝑆 = 0, (2) jossa 𝑣 mielivaltainen painovektori sekä 𝑡 kappaleen pinnalla sen normaalin 𝑛 suuntaan vaikuttava traktiovektori 𝑡 = 𝝈 𝑛 . Elementtimenetelmässä hyödynnetään muotofunktioita 𝑵 määritettäessä solmusiirtymien avulla koko kappaleen siirtymät 𝑢 = 𝑵𝑢 𝒆. Samalla menetelmällä voidaan painovektori esittää solmukohtaisilla mielivaltaisilla painovektorilla 𝑣 = 𝑵𝑐. Hyödyntämällä edellä mainittuja yhteyksiä sekä yhteyttä 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑣 = 𝑩𝑐 kirjoittaa muodossa:
𝑐𝑇 [ ∫ 𝑩V 𝑻𝝈𝑑𝑉 + (∫ 𝜌𝑵V 𝑻𝑵 𝑑𝑉) 𝑢̈ 𝑒−∫ 𝑵V 𝑻𝑏 𝑑𝑉 − ∫ 𝑵𝑆 𝑻𝑡𝑑𝑆 ] = 0, (3) jossa 𝑩 on muotofunktioiden gradientit sisältävä matriisi. Yhtälön (3) integraalit voidaan kirjoittaa hyödyntämällä konstitutiivista yhteyttä jännityksien ja venymien välille 𝝈 = 𝑫𝜺 = 𝑫𝑩𝑢 𝒆:
𝑲 = ∫ 𝑩V 𝑻𝑫𝑩 𝑑𝑉, (4)
𝑴 = ∫ 𝜌𝑵V 𝑻𝑵 𝑑𝑉, (5)
𝑓 = ∫ 𝑵V 𝑻𝑏 𝑑𝑉 + ∫ 𝑵𝑆 𝑻𝑡𝑑𝑆, (6)
jossa 𝑲 on jäykkyysmatriisi, 𝑴 on massamatriisi sekä 𝑓 kuvaa ulkoisia voimia. 𝑫 esittää materiaalin jäykkyyttä. (Ottosen & Ristinmaa, 2005.)
Diskreetti liikeyhtälö voidaan esittää muodossa:
[𝑴] 𝑢̈ + [𝑲] 𝑢 = 𝑓 (7)
2.2 Nestealueen diskretisointi
Nesteessä tapahtuva paineen vaihtelu rakenteen läheisyydessä aiheuttaa rakenteeseen kuormitusta akustisena säteilynä ja antaa näin massakuorman rakenteelle. Tämä kuormittaa rakennetta muiden ulkoisten kuormien lisäksi ja sen vaikutus voi olla hyvin merkittävä rakenteen käyttäytymisen kannalta. Kyseisen tehtävän ratkaisu vaatii vahvaa kytkentää. Akustisen aallon yhtälöä käyttämällä voidaan ratkaista painekentän vaihtelut nestealueessa. (Norton, 2003.)
Akustisen aallon yhtälöön päästään, johtamalla se liike- (8) sekä jatkuvuusyhtälöstä (9) (Sandberg et al., 2009). Neste oletetaan ideaaliseksi, joka kokee vain pieniä siirtymiä ja on kokoonpuristuva. Konstitutiivista yhteyttä kuvaa yhtälö (10), missä nesteen tiheyden muutos johtuu paineen muutoksesta (Zienkiewicz et al., 2014):
𝜌0𝑢̈𝑓+ 𝛁𝑝 = 0 (8)
𝜌̇𝑓+ 𝜌0𝛁𝑢̇𝑓 = 𝑞𝑓 (9)
𝑝 = 𝑐0𝟐𝜌𝑓 (10)
𝑐0 = √𝑘
𝜌0, (11)
jossa 𝜌0 on keskimääräinen tiheys ja 𝜌𝑓 dynaaminen tiheys, 𝑢𝑓 nesteen siirtymä, 𝑝 nesteen dynaaminen paine. 𝑞𝑓 on massamuutos per tilavuusyksikkö. Äänennopeus 𝑐0 esitetään laskentaohjelmistossa käytetyssä muodossa (ANSYS, 2020). 𝑘 on kokoonpuristuvuuskerroin. Matemaattinen operaattori 𝛁 on nabla ja se on osittaisderivaatat sisältävä vektori. Ottamalla divergenssi yhtälöstä (8) sekä derivoimalla ajan suhteen yhtälö (9) ja yhdistämällä tulokset saadaan:
𝜌̈𝑓− 𝛁𝟐𝑝 = 𝑞̇𝑓, (12) ja hyödyntämällä yhteyttä (10) päästään epähomogeeniseen aaltoyhtälöön:
𝑝̈ − 𝑐02𝛁𝟐𝑝 = 𝑐02𝑞̇𝑓. (13)
Nesteen vapaalla pinnalla tarkoitetaan pintaa, joka ei kosketa rakenteen seinämiä. Paine tällä pinnalla on 𝑝 = 0. Rakenteen pohjaa kuvataan jäykkänä ja tällä rajapinnalla 𝛁𝑝 = 0.
Vastaavasti kuten kiinteälle aineelle, voidaan elementtimenetelmää hyödyntämällä esittää numeerinen ratkaisu käyttämällä yhtälön (13) heikkoa muotoa (Sandberg et al., 2009),
∫ 𝒗Ω𝑓 𝑓(𝑝̈ − 𝑐02𝛁2𝑝 − 𝑐02𝑞̇𝑓) 𝑑𝑉 = 0, (14)
∫ 𝒗Ω𝑓 𝑓𝑝̈𝑑𝑉 + 𝑐02∫ 𝛁𝒗Ω 𝑓𝛁
𝑓 𝑝𝑑𝑉 = 𝑐02∫𝜕Ω 𝒗𝑓𝛁
𝑓 𝑝 𝑛𝑓𝑑𝐴 + 𝑐02∫ 𝒗Ω𝑓 𝑓𝑞̇𝑓𝑑𝑉, (15) missä 𝒗𝑓 on ratkaisussa käytetty painofunktio, 𝒏𝑓 on ulospäin osoittava pinnannormaali ja integrointi tapahtuu nestealueen pinnan sekä tilavuuden yli. Hyödyntämällä elementtimenetelmän muotofunktioita 𝑵𝑓 sekä elementtien solmukohtaisia paineita ja painofunktioita, voidaan koko kappaleen kentät esittää muodossa:
𝑝 = 𝑵𝑓𝑝 𝑓 ja 𝑣f= 𝑵𝑓𝒄𝑓. (16)
Sijoittamalla saadut yhteydet yhtälöön (15), painofunktion ollessa mielivaltaisesti valittu, saadaan tämän diskreetti muoto:
∫ 𝑵𝑓𝑇
Ω𝑓 𝑵𝑓𝑑𝑉𝑝̈𝑓+ 𝑐02∫ (𝛁𝑵Ω 𝑓)𝑇
𝑓 𝛁𝑵𝑓𝑑𝑉𝑝𝑓= 𝑐02∫𝜕Ω 𝑵𝑓𝑇𝛁
𝑓 𝒑 𝑛𝑓𝑑𝑆 + 𝑐02∫ 𝑵𝒇𝑇
Ω𝑓 𝑞̇𝑓𝑑𝑉, (17) jonka integraalit voidaan määrittää seuraavasti:
𝑴𝑓 = ∫ 𝑵𝑓𝑇
Ω𝑓 𝑵𝑓 𝑑𝑉, (18)
𝑲𝑓 = 𝑐02∫ (𝛁𝑵Ω 𝑓)𝑇
𝑓 𝛁𝑵𝑓 𝑑𝑉, (19)
𝑓𝑠= 𝑐02∫𝜕Ω 𝑵𝑓𝑇𝛁
𝑓 𝑝 𝑛 𝑓 𝑑𝑆, (20)
𝑓𝑞 = 𝑐02∫ 𝑵𝑓𝑇
Ω𝑓 𝑞̇ 𝑓 𝑑𝑉, (21)
missä nestealueen massamatriisi on 𝑴𝑓, jäykkyysmatriisi 𝑲𝑓, pintaan vaikuttava voimavektori 𝑓𝑠 ja tilavuuteen kohdistuva voimavektori 𝑓 𝑞.
Matriiseista huomataan, että äänennopeudella on vaikutusta nesteen jäykkyysmatriisiin sekä voimavektoreihin. Suuremmalla äänennopeudella nesteen jäykkyys sekä pinta- ja tilavuusvoimat kasvavat.
2.3 Rajapintojen kytkentä
Kahden alueen vaikutuksien huomioiminen toisiinsa vaatii yllä määriteltyjen yhtälöiden kytkentää, joka johtaa matriisimuotoiseen liikeyhtälön lausekkeeseen. Tähän päästäkseen on määriteltävä reunaehtoja pinnoilla, joilla nämä rajapinnat yhdistyvät.
Rakenteen ja nestealueen yhdistävällä alueella vallitsee reunaehdot, jotka sitovat tämän alueen pintojen normaalit ja siirtymät yhteen:
𝑛 = 𝑛 𝑓= −𝑛 𝑠 ja 𝑢 𝑠𝑛 |
𝜕Ω𝑠𝑓 = 𝑢 𝑓𝑛 |
𝜕Ω𝑠𝑓, (22)
Alaindekseillä viitataan nesteeseen ja kiinteään aineeseen ja ne tulevat sanojen fluid ja solid etukirjaimista. Paineiden jatkuvuus rakenteen ja nesteen välillä esitetään reunaehdolla (Sandberg et al., 2009):
𝜎𝑠|𝑛= −𝑝. (23)
Kytkennässä voidaan hyödyntää aiemmin määriteltyjä alueiden pintavoimia. Ottamalla huomioon määritellyt reunaehdot (22), saadaan kiinteälle aineelle pintaan kohdistuva voima muotoon:
∫ 𝑵𝑆 𝒔𝑇 𝑡𝑑𝑆 = ∫𝜕Ω 𝑵𝒔𝑇
𝑠𝑓 (−𝑝)𝑰 𝑛 𝑠𝑑𝑆 = ∫𝜕Ω 𝑵𝒔𝑇
𝑠𝑓 𝑛 𝑝𝑑𝑆 = ∫𝜕Ω 𝑵𝒔𝑇
𝑠𝑓 𝑛 𝑵𝑓 𝑑𝑆 𝑝𝑓, (24) missä kiinteän aineen traktiovektoria sekä nesteen painetta rajapinnalla hyödyntämällä saadaan rakenteen rajapinnalla olevien elementtien pintaan vaikuttava voima riippumaan nesteen dynaamisesta paineesta.
Rajapinnan nestealueen elementtien pintaan liittyvien voimien kytkennässä hyödynnetään nesteen liikeyhtälöä (8) sekä mainittuja reunaehtoja (22):
𝑛𝑇𝛁𝑝(𝑡)|𝜕Ω𝑠𝑓 = −𝜌0 𝑛𝑇𝑢̈𝑓(𝑡)|𝜕Ω𝑠𝑓 = −𝜌0𝑛𝑇𝑢̈𝑠(𝑡)|𝜕Ω𝑠𝑓= −𝜌0𝑛𝑇𝑵𝑠 𝑢̈𝑒(𝑡)|𝜕Ω𝑠𝑓, (26) missä rakenteen kiihtyvyyden kautta on kytketty nestealueen rajapinnan elementtien pintavoimat yhtälön (22) avulla:
−𝑐02∫𝜕Ω 𝑵𝑓𝑇𝛁
𝑠𝑓 𝑝 𝑛 𝑓𝑑𝑆 = −𝜌0𝑐02∫𝜕Ω 𝑵𝑓𝑇𝑛 𝑵𝑠
𝑠𝑓 𝑑𝑆 𝑢̈ 𝑠𝑒. (27)
Yhtälöiden (24) ja (27) välille voidaan määrittää kytkentä matriisi:
𝑯 = ∫𝜕Ω 𝑵𝑠𝑇𝑛 𝑵𝑓
𝑠𝑓 𝑑𝑆. (28)
Kytketty matriisimuotoinen liikeyhtälö voidaan nyt kirjoittaa muodossa:
[ 𝑴𝑠 0
𝜌0𝑐02𝑯𝑇 𝑴𝑓] [ 𝑢̈ 𝑠 𝑒
𝑝̈ 𝑓 𝑒 ] + [𝑲𝑠 −𝑯 0 𝑲𝑓] [ 𝑢𝑠𝑒
𝑝𝑓𝑒 ] = [ 𝑓𝑏
𝑓𝑞 ]. (29)
Liikeyhtälöstä (29) voidaan huomata, että kiinteälle aineelle rajapintojen kytkentä vaikuttaa tämän jäykkyysmatriisiin. Nesteelle kytkentä tapahtuu massamatriisissa.
Ulkoiset voimat ovat nyt tilavuuksiin kohdistuvia ja pintoihin vaikuttavat ovat liitettyinä rajapintojenkytkennässä. Tiheyden ja äänennopeuden merkitys näkyy yhtälön (29) kytkennässä, jolloin kaasujen vaikutus verrattuna nesteisiin on pieni, kuten Norton et al.
(2003) oli todennut.
2.4 Harmoninen liikeyhtälö
Olettamalla ulkoisen herätteen olevan harmoninen, on näin ollen tutkitun lineaarisen systeemin liike myös harmonista. Koska liikeyhtälö (29) on määritetty solmusiirtymien ja -paineiden avulla, ovat nämä esitettävä harmonisessa muodossa:
𝑢 = 𝑢̃ 𝑒𝑖𝜔𝑡, 𝑝 = 𝑝̃ 𝑒𝑖𝜔𝑡 sekä 𝑓 = 𝑓̃ 𝑒𝑖𝜔𝑡. (30) missä ũ, p̃ ja 𝑓̃ ovat suureidensa amplitudit. Imaginääriyksikkö merkitään 𝑖 = √−1.
Liikkeen kulmataajuutta merkitään 𝜔 = 2𝜋𝑓, joka määritetään tutkittavan taajuuden 𝑓 avulla. (Davidsson, 2004.) Liikeyhtälö voidaan kirjoittaa nyt muodossa:
−𝜔2[ 𝑴𝑠 0 𝜌0𝑐02𝑯𝑇 𝑴𝑓] [ ũ
p̃ ] + [
𝑲𝑠 −𝑯 0 𝑲𝑓] [ ũ
p̃ ] = [ 𝑓𝑏
𝑓𝑞]. (31)
Yhtälö voidaan esittää yksinkertaisemmassa muodossa yhtälön (32) tapaan, josta systeemin vapaan värähtelyn ominaistaajuudet ja -muodot saadaan määritettyä ominaisarvotehtävän ratkaisun avulla (Clough & Penzien, 2003, s.202):
[−𝜔2[ 𝑴 ] + [ 𝐊] ] [ ũ
p̃ ] = 0. (32)
Vaikkei työssä huomioida tutkittavan systeemin vaimennusta, on tämän huomiointi tarvittaessa mahdollista. Materiaalin viskoosien ominaisuuksien tai kitkan vuoksi,
voidaan liikeyhtälöä täydentää liikkeessä olevan rakenteen vaimennuksella.
Vaimennusta voidaan kuvata olettamalla se nopeuteen verrannollisena ja hyödyntämällä kiinteän aineen massa- ja jäykkyysmatriiseja (Wriggers, 2008, s.208):
𝑪𝑠= 𝑑1𝑴 + 𝑑2𝑲, (33)
missä 𝑑1 ja 𝑑2 ovat vaimennuksessa käytettävät parametrit. Akustisen alueen vaimennus voidaan määrittää yhtälön (34) avulla (ANSYS, 2017):
𝑪𝑓 = ∫ 4𝜇
3𝜌0 (𝛁𝑵𝑓)𝑇
Ω𝑓 𝛁𝑵𝑓 𝑑𝑉, (34)
missä 𝜇 on dynaaminen viskositeetti. Liikeyhtälö voidaan täydentää muotoon:
−𝜔2[ 𝑴𝑠 0 𝜌0𝑐02𝑯𝑇 𝑴𝑓] [ ũ
p̃ ] + i𝜔 [ 𝑪𝑠 0
0 𝑪𝑓] [ ũ
p̃ ] + [
𝑲𝑠 −𝑯 0 𝑲𝑓] [ ũ
p̃ ] = [ 𝑓𝑏
𝑓𝑞], (35) missä 𝑪𝑠 ja 𝑪𝑓 ovat rakenteen ja nesteen vaimennusmatriisit.
2.5 Analyyttinen lisätyn massan määritys
Lisätyllä massalla tarkoitetaan tässä säiliön märille pinnoille jaettua massa, joka kuvaa osuutta pintoihin vaikuttavan nesteen kokonaismassasta (Young-Surck & Chung-Bang, 1997).
Standardi EN 1998–4 esittää nesteen liikkeen kuvaamiseen kahta massaa, impulsiivista sekä konvektiivista massaa. Konvektiivinen osuus liittyy nesteen pinnan värähtelyyn (engl. sloshing) ja on pienempi osuus näistä kahdesta.
Se osa nesteestä, joka liikkuu säiliön seinämien mukana, kutsutaan impulsiiviseksi massaksi. Tutkimuksessa keskityttiin ominaismuotojen tutkimiseen, joissa suurin osa säiliön massasta osallistuisi liikkeeseen, ja tämän vuoksi impulsiivinen massa on valittu käytettäväksi. Lisätty impulsiivinen massa on määritetty standardin mukaisesti:
𝑚𝑖 = 𝑚2𝛾 ∑ 𝐼1(𝜈𝑛/𝛾)
𝜈𝑛3 𝐼1′(𝜈𝑛/𝛾)
∞𝑛=0 , (36)
missä m on rakenteen sisältämän nesteen kokonaismassa, 𝐼1(−) ja 𝐼1′(−) ovat ensimmäisen kertaluvun Besselin funktio ja sen derivaatta. 𝜈𝑛 ja 𝛾 on määritelty yhtälön (37) mukaisesti:
𝜈𝑛=2𝑛+1
2 𝜋 ja 𝛾 = 𝐻/𝑅. (37)
Impulsiivisen massan korkeus säiliön pohjasta on määritelty standardissa yhtälön (38) mukaisesti:
ℎ𝑖 = 𝐻∑
(−1)𝑛 𝐼1(𝜈𝑛/𝛾)
𝜈𝑛4 𝐼1′(𝜈𝑛/𝛾) (𝜈𝑛(−1)𝑛−1)
∞𝑛=0
∑ 𝐼1(𝜈𝑛/𝛾)
𝜈𝑛3 𝐼1′(𝜈𝑛/𝛾)
∞𝑛=0
. (38)
Suorakulmiopohjaisen säiliön tapauksessa voidaan standardin EN 1998–4 mukaan käyttää samoja ylempänä esitettyjä yhtälöitä korvaamalla säiliön säde sillä säiliön sivun pituuden puolikkaalla, joka on herätteen suuntainen.
3. TUTKIMUKSESSA SUORITETUT ANALYYSIT
Työssä tutkittiin ominaistaajuuksia eri muotoisille säiliöille. Ominaismuotojen tarkastelut suoritettiin sekä tyhjille että eri nesteen pinnan korkeuksilla. Nesteen vaikutusta säiliöön mallinnettiin käyttäen akustisia elementtejä sekä kahta lisätyn massan menetelmää.
Massaa lisättiin käyttäen tasaisesti jaettua massaa sekä pistemassaa.
Ominaistaajuuksien määritys suoritettiin moodianalyysillä käyttäen Ansys Workbench 19.2 -ohjelmistoa ja akustisten elementtien käyttöä varten hyödynnettiin Acoustics ACT -lisäosaa.
Työ aloitettiin tutkimalla testisäiliötä, jolle löytyy kirjallisuudesta analyyttisesti laskettujen ominaistaajuuksien tuloksia (Kondo, 1981; Amabili et. al., 1998). Suorittamalla moodianalyysi akustisilla elementeillä ja vertailemalla saatuja ominaistaajuuksia kirjallisuudesta löytyviin tuloksiin, voidaan arvioida menetelmän tarkkuutta.
Työ etenee tämän jälkeen ominaistaajuuksien tutkimisella ympyräpohjaiselle säiliölle.
Säiliön geometrian valinnalla pyrittiin yksinkertaiseen muotoon, jolla akustisten elementtien sekä lisätyn massan toimivuutta voitaisiin verrata. Ympyräpohjainen säiliö on hyvä valinta sen symmetrisen muodon sekä standardin 1998–4 tälle säiliömuodolle tarjoaman lisätyn massan laskentaohjeen vuoksi.
Tämän jälkeen työssä tutkitaan ominaistaajuuksia suorakulmiopohjaiselle säiliölle.
Tarkoituksena on selvittää, onko ympyräpohjaisen säiliön laskenta helposti siirrettävissä erimuotoisille säiliöille.
Viimeiseksi työssä tutkitaan säiliötä, jonka sisällä on säiliön rakenteeseen verrattuna suuri ja jäykkä kappale. Tarkoituksena on tutkia säiliön sekä kappaleen ominaistaajuuksia säiliön ollessa tyhjä ja täytettynä vedellä. Vertailu on tehty ainoastaan suorakulmiopohjaiselle säiliölle. Suorakulmiogeometriaan päädyttiin tämänkaltaisten laskentatehtävien suuremman esiintyvyyden vuoksi teknisessä laskennassa. Työssä analysoidut säiliöt sekä upotettu kappale esitellään seuravaksi.
3.1 Testisäiliö
Testisäiliön moodianalyysi on suoritettu säiliölle, joka mukailee Kondon (1981) sekä Amabili et al. (1998) tutkimuksissaan käyttämää geometriaa. Testisäiliö on ympyräpohjainen säiliö, jonka seinämän korkeus on L = 30 m, pohjansäde R = 25 m,
nestepinnan korkeus H = 21.6 m, sekä seinämän vahvuus t = 0.03 m. Säiliön materiaali on terästä, jonka kimmokerroin on E = 206 GPa ja Poissonin vakio 0.3. Säiliö on täytetty vedellä, jonka tiheys on ρ = 1000 kg/m3. Säiliön pohja on tuettu jäykästi, estäen pohjan translaatiot ja rotaatiot, myös säiliön yläreunan säteen suuntaiset siirtymät ovat estetty.
3.2 Ympyrä- ja suorakulmiopohjaisten säiliöiden analyysit
Tutkitut säiliöt ovat muodoltaan ympyrä- sekä suorakulmiopohjainen. Ominaistaajuuksia laskettiin tyhjälle sekä nestetäytteiselle säiliölle. Nesteen vaikutusta huomioitiin kolmella tapaa: hyödyntäen akustisia elementtejä, antamalla säiliön märälle pinnalle tasaisesti jaetun lisämassan, sekä kiinnittämällä märälle pinnalle lisämassaa vastaavan pistemassan. Lisätyn massan suuruus laskettiin käyttäen standardin EN 1998-1-4 mukaista laskentaa impulsiiviselle massalle. Analyysit suoritettiin viidelle eri nestepinnan korkeudelle.
3.2.1 Säiliöiden geometriat
Taulukko 1 esittää ympyräpohjaisen säiliön sisämitat, seinämän vahvuuden, tyhjän säiliön massan sekä käytetyt nestepintojen korkeudet.
Taulukko 1. Analysoidun ympyräpohjaisen säiliön mitat
R [mm] L [mm] t [mm] m [kg] H [mm]
1000 2545 5 754 250; 500; 1000; 1250; 1500
Säiliön sisäpinnan säteelle käytetään merkintää R, säiliön seinämän korkeudelle L, seinämän vahvuudelle t sekä nestepinnankorkeudelle säiliön pohjasta H, Kuva 1 esittää ympyräpohjaiselle säiliölle käytetyn rakenteen.
Kuva 1. Lieriömäisen säiliön mittojen merkinnät.
Suorakulmiopohjaisen säiliölle käytetyt sisämitat, seinämän vahvuus, tyhjän säiliön massa ja nestepinnan korkeudet ovat esitetty taulukossa 2 sekä vastaavat mitat ovat esitetty kuvassa 2.
Taulukko 2. Analysoidun suorakulmiopohjaisen säiliön mitat.
R [mm] b [mm] L [mm] t [mm] m [kg] H [mm]
1000 800 2545 5 625 250; 500; 1000; 1250; 1500
Kuva 2. Analysoidun suorakulmiopohjaisen säiliön mitat.
Kuva 3 esittää upotettuna kappaleena käytettyä säiliön mittoihin verrattuna isoa kappaletta. Kappaleen päämitat ja massa ovat esitetty taulukossa 3. Kappale on 50 mm korkeiden korokkeiden päällä, jotka ovat kiinnitettynä säiliön pohjaan.
Taulukko 3. Upotetun kappaleen mitat.
l [mm] w [mm] d [mm] e [mm] f [mm] g [mm] j [mm] m [kg]
2000 1500 450 1500 525 150 200 5052
Kuva 3. Suorakulmiosäiliöön upotettu kappale.
3.2.2 Laskentamallin elementtityypin valinta
Säiliön mallinnustavan valinta aloitettiin käyttämällä kahta eri elementtityyppiä, lineaarisia tilavuus- ja kuorielementtejä. Ominaistaajuuksia tutkittiin tyhjille säiliöille.
Näiden kahden eri elementtityypin tuloksista etsittiin toisiaan vastaavia ominaismuotoja ja näiden taajuuksien arvoja verrattiin. Säiliörakenteen verkotuksessa tilavuuselementtejä käyttämällä huomattiin ominaismuotojen esiintymisen ja
ominaistaajuuksien olevan herkkiä elementtiverkon laadulle sekä seinämän paksuussuunnan elementtimäärälle. Yhdellä elementtikerroksella sekä automaattisilla verkotusasetuksilla ei saatu ratkaistua kaikkia muotoja, joita kuorimallin tulokset antoivat.
Automaattiasetuksella verkotus koostui sekaisin pyramidi sekä tetraedri tilavuuselementtejä. Käyttämällä vain heksaedri tilavuuselementtejä sekä tihentämällä verkkoa säiliön seinämän paksuussuunnassa pyrittiin tarkempaan mallintamiseen.
Säiliön neljäsosamallia käyttäen ja symmetriaa hyödyntäen voitiin verkkoa tihentää paksuussuunnassa kolmeen elementtikerrokseen, elementtimäärää kokonaisen säiliön mallista merkittävästi kasvattamatta. Saatujen ominaismuotojen ja -taajuuksien tulokset vastasivat nyt hyvin kuorimallilla saatuja. Täytyy kuitenkin huomioida, että kyseistä mallinnustapaa käyttämällä rajataan pois ominaismuotoja, jotka eivät ole symmetrisiä käytettyjen leikkaustasojen suhteen. Koska mahdollisesti olennaisia ominaismuotoja tai taajuusalueita saattaisi jäädä mallintamatta käyttämällä osamallinnusta, on syytä käyttää koko geometriaa kuvaavaa diskretisoitua mallia. Tilavuuselementtejä käyttämällä voidaan päästä yhtä hyvään tulokseen kuin kuorielementeillä, mutta elementtien määrä voi olla moninkertainen kuorimalliin verrattuna.
Rajapinnan kytkentään voidaan käyttää rakenteen ja nesteen yhteen verkotuksen lisäksi myös rajapintojen liitosta kontaktilla. Molemmissa tapauksissa pyritään siistiin verkkoon rajapinnan läheisyydessä. Tähän päästiin geometrian pilkkomisella rajapintojen kohdilta ja näin pakottaen elementtien solmut kohdakkain vastakkaisilta pinnoilta. Kuva 4 esittää esimerkin työssä käytetystä elementtiverkosta. Säiliön rakenne on verkotettu nelikulmio kuorielementeillä ja nestealue heksaedri tilavuuselementeillä. Tässäkin kuorielementit osoittautuivat verkottuvan helpommin verrattuna tilavuuselementteihin, joilla saattoi syntyä vinoja elementtejä elementtikerroksen sisälle ja aiheuttaen näin enemmän työtä hyvälaatuisen verkon saamiseksi.
Kuva 4. Esimerkki kuori- ja tilavuuselementtien verkotuksesta rajapinnalla. Mallia on pilkottu sopivasti, jotta rajapinnalla solmut olisivat kohdakkain.
Yksinkertaisella geometrialla elementtityypin valinta ei välttämättä tuo suurta eroa varsinaiseen koneen käyttämään laskenta-aikaan, mutta monimutkaisemmalla mallilla voi tämä olla toisin. Ansys suosittelee lineaarisia elementtejä käytettäessä vähimmäismääräksi 12 elementtiä per tutkittava aallonpituus (ANSYS, 2017, s.60).
Mallinnettavan geometrian koon kasvaessa ja tutkittavien aallonpituuksien pienentyessä voi tarkkaan tulokseen pääsy vaatia suuriakin määriä elementtejä. Kuorimallinnuksella saatujen etujen, kuten elementtimäärän pienemmän vaatimuksen ja säiliön seinämien vaivattomampi mallintaminen, ovat syy säiliön mallintamiseen tässä työssä kuorielementeillä.
3.2.3 Mallinnus
Säiliöt mallinnettiin käyttämällä lineaarisia nelikulmiokuorielementtejä. Säiliön sekä akustisen alueen rajapinnan kytkentään käytettiin yhteen verkotusta tai bonded- kontaktilla tehtyä MPC-liitosta (engl. multipoint constraint). Akustinen alue verkotettiin heksaedri tilavuuselementeillä ja laskenta ohjelmistossa tälle annettiin määritelmä Acoustic body, jolloin hyödynnettiin FLUID30-elementtejä (ANSYS, 2020).
Säiliön pohja tuettiin jäykästi, estäen näin pohjan translaatiot sekä rotaatiot. Akustisia elementtejä käytettäessä moodianalyysissa käytettiin nesteen vapaanpinnan
huomioimiseksi gravitaation suuruista kiihtyvyyttä. Nesteen vapaa pinta on akustisen alueen pinta, joka ei ole kosketuksissa rakenteeseen.
3.2.4 Materiaalit ja lisätyt massat
Säiliöiden materiaalina käytettiin terästä ja nesteelle annettiin veden ominaisuudet.
Taulukko 4 esittää työssä käytettyjen materiaalien ominaisuudet. Arvot on koottu Tekniikan taulukkokirjasta sekä johtamalla yhtälöstä (11) (Valtanen, 2013).
Taulukko 4. Materiaaliominaisuudet.
Materiaali Vesi Teräs
Tiheys [kg/m3] 1000 7850
Kimmokerroin [GPa] - 200
Puristuvuuskerroin [GPa] 2,25 204
Poissonin luku - 0.3
Äänennopeus [m/s] 1500 5100
Taulukko 5 esittää ympyräpohjaiselle säiliölle eri nestepinnan korkeuksilla yhtälön (36) mukaan määritetyt impulsiiviset massat sekä pistemassoille yhtälön (38) mukaan määritetyt korkeudet. Lisätyt massat on annettu säiliön märille pinnoille. Pistemassa on kiinnitetty seinämille käyttäen rakennetta jäykistämätöntä kiinnitysehtoa (engl.
deformable). Pistemassan sijainnin korkeus säiliön pohjasta on annettu taulukon 5 mukaan. Massalle ei ole määritetty hitausmomentteja.
Taulukko 5. Eri nestepinnan korkeuksien impulsiivinen massa sekä pistemassan korkeus säiliön pohjasta mitattuna ympyräpohjaiselle säiliölle.
H [mm] mi [t] hi [mm]
250 0,114 100
500 0,472 200
1000 1,721 404
1250 2,464 510
1500 3,233 619
Kuva 5 esittää edellä mainituilla menetelmillä säiliön seinämille lisättyjä massoja.
Punainen väri seinämillä esittää märkää pintaa, joihin massa vaikuttaa.
Kuva 5. Tasaisesti jaettu massa (vasen) ja pistemassa (oikea), H = 1000 mm.
Suorakulmiosäiliön impulsiiviset massat voidaan määrittää myös yhtälön (36) mukaan.
Herätteen suuntaiseksi säiliön pituudeksi on valittu pidemmän sivun pituus 2000 mm, jolloin yhtälössä (37) käytetään tämän pituuden puolikasta R = 1000 mm. Taulukko 6 esittää impulsiiviset massat ja näiden korkeudet suorakulmiopohjaiselle säiliölle.
Taulukko 6. Eri nestepinnan korkeuksien impulsiivinen massa sekä pistemassan korkeus säiliön pohjasta mitattuna suorakulmiopohjaiselle säiliölle.
H [mm] mi [t] hi [mm]
250 0,058 100
500 0,240 200
1000 0,876 404
1250 1,255 510
1500 1,646 619
4. ANALYYSIEN TULOKSET
4.1 Testisäiliö
Testisäiliölle tutkittiin kahta ensimmäistä pyörähdyssymmetristä ominaismuotoa, joissa koko säiliön seinämä osallistuu säiliön pullistumiseen. Taulukko 7 esittää akustisilla elementeillä saadut kulmataajuudet sekä kirjallisuudessa esitettyjä tuloksia. Tutkitut muodot ovat esitetty kuvassa 6.
Taulukko 7. Testisäiliön ominaismuotojen kulmataajuudet.
Ominaismuoto Akustiset elementit
[rad / s] Kondo
[rad / s] Amabili et. al.
[rad / s]
1. 22,074 22,096 22,244
2. 44,099 43,762 44,010
Akustisilla elementeillä ensimmäisen muodon ominaistaajuuden suhteellinen ero on suurin vertailemalla sitä Amabili et al. esittämään tulokseen. Tällöin akustisilla elementeillä taajuus on noin 0.8 % pienempi. Toisen ominaismuodon ero on suurin vertaamalla sitä Kondon esittämään tulokseen. Tällöin akustisilla elementeillä saatu ominaistaajuuden arvo on noin 0.8 % suurempi. Erot ovat hyvin pieniä ja osoittaisi, että akustisilla elementeillä on mahdollista saada tarkka kuvaus nesteen vaikutuksesta rakenteen ominaistaajuuksiin.
Kuva 6. Vasemmalla on esitetty ensimmäinen ja oikealla toinen ominaismuoto.
Liikettä hallitsee seinämien pyörähdyssymmetrinen muoto.
Nestealueen rajapinnasta mitatulla paineesta saadaan käsitellyille ominaismuodoille muodostettua painejakaumat ja nämä ovat esitetty kuvassa 7. Kondon (1981) esittämät painejakaumat näyttävät samalta ja vahvistaisi tutkittujen muotojen vastaavan toisiaan.
Kuva 7. Ensimmäisen ja toisen ominaismuodon nestealueen painejakauma säiliön ja nesteen rajapinnalla. Pystyakseli kuvaa säiliön seinämän korkeutta. Vaaka-akseli
esittää suhteellisia paineenarvoja.
4.2 Ympyräpohjainen säiliö
Ympyräpohjaisen säiliön moodianalyysissä tutkittiin ensimmäisenä tyhjän säiliön 80 alinta ominaismuotoa. Saadut ominaistaajuudet sijoittuvat 31–240 Hz väliin. Muodoista etsittiin x-suuntaan heräävää suurinta efektiivistä massaa, tämän taajuutta ja muotoa.
Efektiivinen massa on suure, joka kuvaa kuinka paljon rakenteen kokonaismassasta herää tietyllä ominaismuodolla (Clough & Penzien 2003, s. 627). Ominaismuodon merkitsevyyttä voidaan arvioida siihen liittyvän massan suuruudesta ja tämän vuoksi taajuuksien lisäksi esitetään myös niihin liittyvät efektiiviset massat.
Tyhjälle säiliölle tutkituista ominaismuodoista löytyi yksi merkittävä muoto, jonka herännyt massa oli merkittävästi suurempi verrattuna muiden muotojen massoihin.
Tämän ominaistaajuus oli 171.83 Hz. Vastaavaa muotoa etsittiin säiliölle käyttäen nesteen vaikutusta kuvaavia menetelmiä. Vaikka analysoitu malli on symmetrinen, huomattiin tutkittavan ominaismuodon massasta merkittävän osuuden liikkuvan molempien vaakasuuntaisten akseleiden suuntiin. Jotta ominaismuotoon liittyvän heräävän massan suuruus tulisi huomioitua paremmin, muodostettiin efektiivinen massa näiden vaakasuuntaisten efektiivisten massojen resultantista. Kuva 8 esittää tutkitun
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
1. ominaismuoto
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
2. ominaismuoto
ominaismuodon. Taulukko 8 esittää tutkittujen ominaismuotojen tuloksia eri lisätyn massan menetelmillä viidellä eri nestepinnan korkeudella.
Kuva 8. Tyhjän säiliön ominaismuoto, jolla herää suurin efektiivinen massa.
Rakenteen taajuuksia eri massan lisäysmenetelmillä on vertailtu nestepinnan korkeuden H ja säiliön säteen R suhteeseen kuvassa 9. Tuloksista huomataan, että nestepinnan kasvaessa ominaistaajuudet laskivat. Tämä on linjassa tietoon lisätystä massasta kirjallisuudessa (Kaneko, 2014). Myös liikeyhtälön kytkennässä todettu nesteen vaikutus systeemin jäykkyyteen, näyttäisi toteutuvan. Tasaisesti jaetun massan taajuudet näyttävät pienentyvän hyvin samalla tavalla akustisilla elementeillä saatuihin arvoihin verrattuna. Vertailemalla tyhjän säiliön sekä korkeimmillaan olevan nestepinnan ominaistaajuuksia, laskee akustisilla elementeillä taajuus noin 44 %. Tasaisesti jaetulla massalla taajuus laskee noin 46 %. Pistemassalla taajuus laskee noin 38 %. Ero taajuuksissa akustisten elementtien sekä tasaisesti jaetun massan välillä on suurimmillaan noin 3 %. Suurempi ero näkyy taajuuksissa akustisten elementtien ja pistemassan välillä ja suurimmillaan se on noin 11 %.
Nestepinnan korkeuden kasvaessa akustisilla elementeillä efektiivisen massan kasvu ei vastaa muilla massamenetelmillä saatuja arvoja. Vaikuttaisi, ettei käytetyllä analyysimenetelmällä saada esitettyä nesteen vaikutusta ominaismuodon efektiivisessä massassa. Akustisilla elementeillä saatu efektiivinen massa näyttäisi koostuvan vain kiinteän aineen massan heräämisestä. Efektiivisten massojen ero tasaisesti jaetun ja pistemassan välillä on suurimmillaan noin 60 %. Tämä ero syntyy nestepinnan korkeudella 1500 mm ja pistemassaa käyttämällä heräisi merkittävästi suurempi massa.
Tuloksista on pääteltävissä, ettei pistemassaa hyödyntämällä saada mallinnettua nesteen vaikutusta kovin tarkasti. Pistemassaa käyttämällä systeemi käyttäytyisi muihin malleihin verrattuna jäykemmin ja herättäisi suuremman osan massasta liikkeelle
Taulukko 8. Ympyräpohjaisen säiliön tuloksia käyttäen akustisia elementtejä, tasaisesti jaettua massaa sekä pistemassaa.
Akustiset elementit
H [mm] meff x-suunta [t] f [Hz] meff Resultantti [t]
0 0,244 171,83 0,326
250 0,442 171,49 0,443
500 0,435 167,46 0,437
1000 0,476 131,11 0,479
1250 0,531 112,19 0,531
1500 0,511 96,78 0,511
Tasaisesti jaettu massa
H [mm] meff x-suunta [t] f [Hz] meff Resultantti [t]
0 0,244 171,83 0,326
250 0,470 171,52 0,470
500 0,479 167,98 0,505
1000 0,989 133,02 1,218
1250 1,967 111,35 2,000
1500 1,595 93,61 2,082
Pistemassa
H [mm] meff x-suunta [t] f [Hz] meff Resultantti [t]
0 0,244 171,83 0,326
250 0,349 171,64 0,373
500 0,327 169,38 0,445
1000 0,956 143,60 1,312
1250 2,561 124,03 2,565
1500 3,322 106,79 3,328
