Finite element analysis of composite laminates

Matematiikan laitos

Juho Könnö

Komposiittilaminaattien analyysi elementtimenetelmällä

TEKNILLINEN KORKEAKOULU

^ TIKf**11 ***** PYKUKAN ЛА. MATEMATIIKAN KHUA8TO

Diplomi-insinöörin tutkintoa varten tarkastettavaksi jätetty diplomityö Espoo, 24. lokakuuta 2007

Työn valvoja: professori Rolf Stenberg Työn ohjaaja: FT Antti Niemistö

Osasto:

Pääaine:

Sivuaine:

Työn nimi:

Title in English:

Professuurin koodi ja nimi;

Juho Könnö

Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto Mekaniikka

Lujuusoppi

Komposiittilaminaattien analyysi elementtimenetelmällä Finite Element Analysis of Composite Laminates

Mat-5 Mekaniikka Työn valvoja: Professori Rolf Stenberg Työn ohjaaja: FT Antti Niemistö

Tiivistelmä: Komposiittirakenteet ovat nykyään käytännön teollisuussovelluksissa yhä yleisempiä, ja niiden tehokas mallintaminen asettaa uusia haasteita laskennallisen meka­

niikan näkökulmasta. Tässä työssä käsitellään komposiittilaminaattirakenteiden mallin­

tamista Reissner-Mindlin laattateorian avulla, ja teoriaa sovelletaan paperin kupruiluun.

Osana tätä työtä on Numeróla Oy:n Numerrin-ohjelmistoon lisätty tarvittavat elemen­

tit ja luotu paperin mallintamiseen soveltuva malli.

Aluksi muotoillaan klassisen laminaatioteorian mukainen matemaattinen malli, jossa laattatehtävä kytketään tasoelastisuustehtävään konstitutiivisen yhteyden avulla. Edel­

leen johdetaan tehtävän heikko muoto, sekä osoitetaan tehtävä hyvin määritellyksi ja stabiiliksi. Tehtävä ratkaistaan elementtimenetelmällä käyttäen laattatehtävälle MITC- elementtejä, joiden konstruktio esitellään yksityiskohtaisesti, ja johdetaan a priori vir­

hearviot koko tehtävälle.

Lopuksi esitellään paperin mallintamiseen soveltuva materiaalimalli, joka ratkaistaan käyttäen Numerrin-ohjelmistoa, sekä lasketaan muutamia numeerisia esimerkkejä. Tu­

loksiin perustuen komposiittilaattamallin voidaan todeta soveltuvan varsin hyvin pape­

rin mallintamiseen, ongelmaksi havaitaan muodostuvan kuitenkin ennenkaikkea tehtä­

vän laskennallinen vaativuus.

Sivumäärä: 55 Avainsanat: laminaatioteoria, komposiittilaminaatti, elementtimenetelmä, kupruilu, MITC

Täytetään osastolla

Hyväksytty: Kirjasto:

Juho Könnö

Department: Department of Engineering Physics and Mathematics Major subject: Theoretical and Applied Mechanics

Minor subject: Mechanics of Materials

Title: Finite Element Analysis of Composite Laminates

Title in Finnish: Komposiittilaminaattien analyysi elementtimenetelmällä

Chair: Mat-5 Mechanics

Supervisor: Professor Rolf Stenberg Instructor: Antti Niemistö, Dr.Sc.

Abstract: Composite structures are nowadays very common in industrial applications, and present a whole new challenge from the mathematical point of view. In this thesis we introduce a model based on the Reissner-Mindlin plate model and apply it to the paper cockling problem. As a part of the work the corresponding plate elements and the mechanical model were implemented to Numerrin, a finite element solver developed by Numeróla Oy.

First the mathematical model based on classical lamination theory (CLT) is introduced, which interconnects the plate equations with a plane elasticity problem. Next the prob­

lem is shown to be well-defined and stable. Finally the problem is solved with the finite element method using the MITC element family. The element families used are intro­

duced and an a priori error analysis is performed for the composite plate problem.

Finally a material model suitable for modelling paper is introduced and some numerical experiments are conducted with the Numerrin software. From the results one can de­

duce that the model considered is well-suited to the modelling of cockling, even though some problems are recognized regarding the effectiveness of computation.

Number of pages: 55 Keywords: laminated composite, CLT, cockling, finite element method, MITC

Department fills

Approved: Library code:

Alkusanat

Tämän diplomityön tekeminen on ollut varsin opettavainen prosessi käytän­

nön toteutuksen ja teorian yhteenliittämisestä todellisen fysikaalisen ongel­

man käsittelyssä. Olen tehnyt diplomityön Teknillisen korkeakoulun mate­

matiikan laitoksella sekä Jyväskylässä Numeróla Oy:n palkollisena.

Haluan kiittää sekä valvojaani Rolf Stenbergiä että ohjaajaani Antti Nie­

mistöä pitkäjänteisestä ohjauksesta ja neuvoista matkan varrella. Erityinen kiitos kuuluu myös Janne Martikaiselle suuresta avusta ohjelmointityön to­

teutuksen kanssa. Lisäksi haluan kiittää mukavan työilmapiirin mahdollista­

neita työkavereita sekä matematiikan laitoksella että Numeróla Oy:ssä.

Erityisesti haluan vielä kiittää vanhempiani kannustuksesta ja tuesta koko opintojen! ajalta.

Espoo, 24. lokakuuta 2007 Juho Könnö

Sisältö

1 Johdanto 1

2 Anisotrooppiset materiaalit 3

2.1 Anisotrooppinen elastisuus... 3

2.2 Ortotrooppiset materiaalit... 4

3 Matemaattinen malli 6 3.1 Reissnerin-Mindlinin laattamalli... 6

3.2 Komposiittilaatan konstitutiiviset yhteydet... 7

3.3 Reissnerin-Mindlinin malli komposiittilaatalle... 9

3.3.1 Variaatiomuoto... 10

3.3.2 Reunaehtojen määrittäminen ... 11

3.4 Ratkaisun olemassaolo... 12

3.5 Ratkaisun säännöllisyys ... 17

3.5.1 Helmholtzin hajotelma leikkausvoimalle... 17

3.5.2 Säännöllisyys reunalla ja sisäalueessa... 19

3.5.3 Kytketyn tehtävän säännöllisyys... 21

4 Elementtimenetelmä МГТС-elementeille 23 4.1 Laattatehtävän analyysi... 23

4.1.1 MITC-elementtiperhe... 23

4.1.2 Virhearviot MITC-elementeille... 26

4.2 Yhdistetyn mallin analyysi... 37

5 Mallin sovellus paperiarkin kupruiluun 39 5.1 Orientaatio ja anisotropia... 39

5.2 Materiaaliparametrien määrittäminen... 40

5.2.1 Kimmomoduli... 40

5.2.2 Poissonin luvut... 41

5.2.3 Liukumodulit... 43

5.3 Kosteuden aiheuttama muodonmuutos... 44

5.4 Reunaehtojen valinta... 45

6 Mallin toteutus Numerrin-ohjelmistoon 46 6.1 Tensoreiden vektorinotaatio... 46

6.2 Numerrin-kielinen malli... 48

6.3 Reunaehtojen vaikutus...49

6.4 Verkon tiheys ja elementtiapproksimaation aste... 50

7 Yhteenveto 53

1 Johdanto

Vastoin yleistä mielikuvaa, laminoidut komposiittirakenteet ovat olleet tun­

nettuja jo antiikin ajoista. Vuonna 1837 löydettiin Gizan pyramidista noin vuodelta 2750 eKr. [23] peräisin oleva useista kerroksista laminoitu teräslevy, myöhemmin historioitsija Homeros kirjoitti muistiin kuvauksen kulta-, tina­

ja pronssikerroksista laminoidusta kilvestä. Lähihistoriassa komposiittiraken­

teet ovat avanneet uusia mahdollisuuksia erityisesti avaruus- ja ilmailuteol­

lisuudessa. Nykyisin komposiittirakenteet ovat vallanneet alaa myös arkipäi- väisemmissä sovelluskohteissa niiden painoonsa nähden hyvän taivutuskestä- vyyden ansiosta. Komposiittimallia voidaan soveltaa muillekin materiaaleille, kuten esimerkiksi paperille, joka perinteisesti on ollut haastava mallinnettava monimutkaisen kuiturakenteensa vuoksi.

Tutuin esimerkki laminaatista lienee tavallinen vaneri, josta käy hyvin il­

mi laminaatille tyypillinen rakenne, jossa laatta jakautuu paksuussuunnassa erilaiset elastiset ominaisuudet omaaviin kerroksiin. Tyypillisesti materiaa­

lit koostuvat tietyllä tavalla orientoituneista vetolujuudeltaan voimakkaista kuiduista, jotka ovat heikommasta materiaalista valmistetun matriisin sisällä.

Erityisesti kuitujen orientaatiota eri kerroksissa muuttamalla voidaan suures­

ti vaikuttaa materiaalin lujuuteen juuri halutussa suunnassa, jolloin kompo­

siittimateriaali voidaan optimoida tietylle jännitysjakaumalle. Muita materi­

aalien vahvoja puolia ovat hyvä kosteuden ja lämpötilan vaihteluiden kesto se­

kä usein hyvät eristysominaisuudet. Lisäksi komposiiteista voidaan piezosäh- köisten elementtien avulla luoda älymateriaaleja, jotka pystyvät sähköises­

ti vaimentamaan esimerkiksi tiettyjä värähtelyn ominaistaajuuksia. Toisaal­

ta komposiitteja vaivaa tyyppillisesti huono leikkausjännityksen kesto laatan suuntaisia voimia vastaan. Edellämainituista syistä komposiittimateriaaleis­

ta onkin viime vuosina tullut eräs laskennallisen mekaniikan tutkituimmista osa-alueista.

Tässä työssä tarkastellaan ensin yleistä klassista laminaatioteoriaa, jo­

ka yhdistetään paksuille laatoille soveltuvaan ja nykyisin varsin suosittuun Reissnerin-Mindlinin laattamalliin. Laattamalli kytketään tasoelastisuusteh- tävään ja tämä yhdistetty tehtävä ratkaistaan elementtimenetelmän avul­

la. Erityisesti painotetaan Reissnerin-Mindlinin mallille kehitettyjen MITC- elementtien virheanalyysiä, sekä verkkostabiloinnin tai kiertymän kuplamuo- tojen avulla saavutettavaa lukkiutumattomuusominaisuutta. Kytketylle teh­

tävälle esitetään a priori virhearvio, sekä näytetään että kytketty systeemi on hyvin käyttäytyvä.

Lopuksi mallia sovelletaan paperiarkin kupruilun simuloimiseen element­

timenetelmän avulla, mikä on paperiteollisuudessa varsin mielenkiintoinen ongelma erityisesti hyvälaatuista painopaperia tuotettaessa. Erityisen kiin­

nostuksen kohteena ovat paperin pinnan pienet muodonmuutokset paperin kuivamisvaiheen aikana. Tässä työssä käytetään Teemu Leppäsen tuoretta vuonna 2007 julkaistua materiaalimallia paperin mallintamiseen laattayhtä- löiden avulla. Osana tätä diplomityötä paperin komposiittilaattamalli toteu- tuttiin Numeróla Oy:n [18] Numerrin-ohjelmistoon, osa alustavasta työstä tehtiin jo syksyn 2006 aikana ohjelmoimalla MITC-elementit ohjelmistoon.

Lisäksi tässä työssä esitetään muutamia mallilla laskettuja simulaatiotulok- sia, joista ainakin kvalitatiivisesti saadaan alustava kuva paperin käyttäyty­

misestä.

2 Anisotrooppiset materiaalit

2.1 Anisotr o oppinen elastisuus

Komposiittirakenteiden ominaisuudet ovat luonteenomaisesti eri suuntiin var­

sin erilaisia, joten on tarpeen siirtyä isotrooppisista materiaalimalleista ani- sotrooppisiin. Komposiittilaminaattien rakenneominaisuudet ovat useimmi­

ten ortotrooppisia, jolloin riippumattomien materiaaliparametrien määrä on huomattavasti pienempi kuin yleisessä anisotrooppisessa materiaalissa.

Jännitystensori a määritellään tarkastelemalla Kuvan 1 esittämää infi- nitesimaalista materiaalikappaletta, jonka sivujen pituudet ovat dx, dy ja dz. a on toisen kertaluvun tensori, jonka komponentit <Tÿ kuvaavat akselia e¿ vastaan kohtisuorassa olevaan tahkoon kohdistuvaa akselin ej suuntaista jännitystä. Tahkoa vastaan kohtisuorassa olevia jännityskomponentteja au kutsutaan normaalijännityksiksi ja muita komponentteja leikkausjänni­

tyksiksi.

Kuva 1: Jännitysten määrittely kontrollitilavuudella dxdydz.

Venymätensori e kuvaa kappaleen muodonmuutosta jännityksen alaise­

na. Komponentit eü kuvaavat referenssitilavuuden dxdydz sivujen pituuk­

sien muutoksia vastaavien pääjännitysten suuntaan, komponentit

joille г Ф j kuvaavat referenssitilavuuden kulmien muutoksia suorakulmiosta suunnikassärmiöksi, missä 7on todellinen liukukulma.

Seuraava luonnollinen askel on johtaa yhteys venymien ja jännitysten vä­

lille. Yksinkertaisin tapaus on lineaarinen materiaalimalli eli kolmiulotteinen Hooken laki. Koska sekä venymät että jännitykset ovat toisen kertaluvun tensorisuureita, voidaan materiaalimalli esittää neljännen kertaluvun konsti­

tutiivisen tensorin Cijki avulla1,

1 Jatkossa tullaan käyttämään tensoreille tarvittaessa Einsteinin indeksinotaatiota [7].

(Jij — Cijkiiki- (2.1) Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa konstitutiivisella tensorilla on siis 34 = 81 komponenttia, mutta koska sekä jännitys- että venymätensori ovat symmetrisiä [9], pätee määritelmän (2.1) perusteella konstitutiiviselle ten­

sorille Cijki = Cjiki = Cijik. Täten vapaita materiaaliparametreja on enää 6 x 6 = 36 kappaletta. Jos lisäksi oletetaan, että muodonmuutosenergia W = ^ijtij = : C : e on hyvin määritelty2, täytyy päteä

dW — C'ijkl^kl- (2.2)

Tensorilaskennasta muistetaan, että (2.2) pätee ainoastaan, mikäli tensorille C pätee Cijki = CkUj. Täten riippumattomien komponenttien määrä yleiselle anisotrooppislle materiaalille putoaa lopulta 21:een kappaleeseen.

2.2 Ortotrooppiset materiaalit

Useimmat käytännön komposiittimateriaalit eivät onneksi ole täysin aniso- trooppisia, vaan niissä on voimakkaita tiettyjen akselien suuntaisia symmet­

rioita elastisten ominaisuuksien suhteen. Useimmiten materiaaleilla on kolme keskenään kohtisuoraa symmetria-akselia, jolloin materiaalia kutsutaan orto- gonaalisesti anisotrooppiseksi, tai lyhyemmin ortotrooppiseksi. Tarkastellaan ensin materiaalin yhtä symmetriatasoa karteesisissa koordinaateissa.

Kuva 2: Yhden symmetriatason tapaus.

Olkoon Kuvan 2 (xi,x2) -taso materiaalin elastisten ominaisuuksien sym- metriataso. Tällöin konstitutiivisen tensorin tulee pysyä invarianttina pei­

lauksessa x3 —> —x3. Tämän kuvauksen Jacobin matriisi T on

2Merkitään kahden indeksin kontraktiota ацЬ^ = a: b.

T =

1 О О 1 О О

О О -1

Sekä venymä- että jännitystensoreille pätee koordinaatistomuunnos

(2.3)

t'ij = TikTjiekU a\j = TikTåloki. (2.4) Täten siis pätee eL = ja сгЗ = сгц kun i, j = 1,2 tai i = j = 3. Toisaalta pätee б^з = —ei3 ja crj3 = — <7i3 sekä 623 = — б2з ja a'23 = —сг2з. Käyttämällä nyt konstitutiivista yhteyttä (2.1) esimerkiksi jännitykseen <723, saadaan

°23 — C2 311 Cl 1 + 2(3*2312^12 + 2(3*2313 ^13 + <3*2322^22 + 2(3*2323 ^3 +

(723 = (3*2311€11 + 2(3*2312^12 + 2(3*23l36i3 + <3*2822 ^22 + 2(3*2323^23 + <3*2333e33 Vertaamalla lausekkeita ja ottamalla huomioon koordinaatistomuunnok­

sen merkinvaihdot, nähdään että pätee G2311 = C2312 = C2322 = C2333 = 0. Vastaavasti jännitystä (7i3 vertaamalla saadaan tulos С*1зц = Cm2 = Ci322 = C*i333 = 0. Anisotrooppisen materiaalitensorin 21 riippumatonta komponent­

tia vähenevät siis kahdeksalla, joten yhden symmetriatason tapauksessa riip­

pumattomia komponentteja on 13 kappaletta.

Ortotrooppisella materiaalilla on kolme toisiaan vasten kohtisuorassa ole­

vaa symmetriatasoa, joten suorittamalla vastaava tarkastelu myös X\ ja x2 -suunnissa, päädytään tulokseen Cmi = <3*1222 = Cm3 = C*23i3 = 0. Tä­

ten ortotrooppisella materiaalilla on yhteensä yhdeksän riippumatonta kons­

titutiivisen tensorin komponenttia: С*цц, С*ц22) С*цзз, C2222) C2233) С*зззз sekä C*1212, C*i3i3 ja (3*2323•

Ortotrooppisen laatan tapauksessa ei oletuksen mukaan tapahdu muo­

donmuutosta laatan paksuussuunnassa, joten (3*цзз = C2233 = C3333 = 0 ja jäljelle jäävät kuusi riippumatonta komponenttia voidaan kirjoittaa materi­

aalivakioiden £*i, £2,/¿12,/¿21 sekä G\2,G23 ja G31 avulla muotoon [10]

C*mi = £l

(3*1212 = G 1 — /¿12/^21 ’

(3*2222 = ^e2

С2323 = G 1 — Р12Ц21 ’

C*1122 = ßuE2

G3131 = G 1 ~ p\2^2\ ’

12,

23)

31-

3 Matemaattinen malli

Komposiittilaattamalli eroaa jonkin verran normaalista laattamallista, sillä siinä joudutaan lisäksi huomioimaan tason suuntaiset siirtymät, jolloin rat­

kaistava tehtävä itse asiassa koostuu kytketyistä laatta- ja levytehtävistä.

Tässä työssä käytetyssä mallissa laattatehtävä perustuu Reissnerin ja Mind- linin kinemaattisiin oletuksiin. Lisäksi tullaan osoittamaan, että mikäli sekä laatta- että levytehtävälle käytetään tunnettuja hyvin käyttäytyviä menetel­

miä, on myös kytketty tehtävä hyvin määritelty. Lisäksi laatta- ja levytettä­

vän suppenemisominaisuudet periytyvät myös kytketylle tehtävälle.

3.1 Reissnerin-Mindlinin laattamalli

Koska komposiittilaatoissa leikkausjännitykset vaikuttavat varsin huomatta­

vasti laatan jäykkyyteen, on luonnollista käyttää leikkausjännitykset ensim­

mäisen asteen approksimaationa huomioivaa Reissnerin-Mindlinin laattamal- lia. Laattamallin klassiset kinemaattiset oletukset ovat [21]

(i) Laatan keskiviivaan nähden kohtisuorassa olevat janat pysyvät suorina (ii) Pystysuuntainen siirtymä ei riipu ^-koordinaatista

(iii) Keskiviivan pisteet liikkuvat vain x3-suunnassa (iv) Normaalijännitys <r33 häviää

Kuva 3: Taipuman derivaatan ja kiertymän eroavaisuus Reissner-Mindlin laa­

tan poikkileikkauksessa.

Kiertymän merkitystä on havainnollistettu Kuvassa 3. Oletusten alaisuudessa kokonaisvenymän ja kiertymien ß sekä pystysiirtymän w välillä pätevät seu- raavat yhteydet, missä e on lineaarinen jännitystensori e(u) = |(Vu + Vitr) ja merkitään lisäksi z := z3, jolloin [19]

^atß — Z€aß (/³), СЗа = dw

дхг ßon езз — 0.

Kuten edellä mainittiin, komposiittilaattojen tapauksessa joudutaan luo­

pumaan oletuksesta (iii) ja tasosiirtymät otetaan huomioon kytkemällä laatta- ja levytehtävät. Tällöin kinemaattiset olettamukset säilyvät muuten ennal­

laan, mutta tasonsuuntaisissa venymissä täytyy huomioida levytilan siirtymä u, jolloin venymille saadaan lausekkeet [19]

z*t3 = eaø{u) + zea0(ß), еза = 7(w,ß) := т^т - ßa,

езз = 0.

3.2 Komposiittilaatan konstitutiiviset yhteydet

Koska laatta on tasojännitystilassa, voidaan voidaan kalvotilan voimaresul- tantit N = Naß ja taivutusmomenttiresultantit M = Maß määrittää in­

tegroimalla ensin kunkin laminaatin paksuuden yli ja sitten summaamalla täten saadut n kerroskohtaista voima- ja momenttiresultanttia. Samalla ta­

voin lasketaan myös leikkausvoiman resultantit S = Sa, jolloin tulokseksi saadaan

fV* fZk

Naß = / Oaßdz = 22 Vaßdz,

•I —t/2 д.=1 J Zk-1

ft/2 n ^ fZk

Maß = / (TaßZdz = z2 CTaßZdz,

J —t/2 k=l d Zk-1

ft/2 fZk

Sa= CTZadz = V / J -t/Ъ k=l J Zk-l

(3.1) (3.2) (3.3) Käyttämällä seuraavaksi konstitutiivista yhteyttä (2.1) sekä yllämainit­

tuja komposiittilaattamallin kinemaattisia oletuksia, saadaan voimaresultan- tit (3.1) ja (3.2) muotoon

Naß У ^ / Caßryg(€^g(u) + zelS(ß))dzfZk k=i ^zf=-i

^ ^ i f C'aßyödz J 67,5(14) + У ^ f f Caßygzdz J 67,5 (/3)

fc=l Zk—l ) fc=l \^zfc-l /

Maß ^ ^ / fZk Caß^g{t^g{u) + zc^g^ß)) zdz k=i

^ ^ f f Caßyszdz J c-yj('u) + У ^ f f Caßjgz dz J c-y¿(/3)

fc=l \^zk-l ) k=l \^2fc-l /

Täten Reissner-Mindlin laattamalliin perustuvalle komposiittilaattamal- lille saadaan seuraavat voimaresultantit, joissa siis e (и) on kalvotilan line­

aarinen venymä, e(/3) keskipinnan kaarevuus ja 7(ги,/3) laatan normaalien liukuma.

N = A: e(u) + B: e(ß), (3.4)

M = В: e(u) + D: e(ß), (3.5)

S = A*-1(w,ß). (3.6)

Yhtälöissä neljännen kertaluvun tensorit А, В, В sekä toisen kertaluvun ten­

sori A* on määritelty

n ' /"Zk n '

■A-aß^S = У ^ / Caß^gdz = У XZk ~ zk-l)Caßi¿1 fc=l

BaßyS =

УЗ f

BaßyS =

УЗ

- y3(Zfc

k=1 ° fc=l

n ^ rzk n ^

■^•a/3 У у / CsaZßdz = У \(Zk ^fc-\)^ZoZßi

k=l Jzk-\ k=1

(3.7) (3.8) (3.9) (3.10) missä Ck on kunkin laminaatin konstitutiivinen tensori ilmaistuna laatan pääkoordinaateissa ja n laminaattien lukumäärä. Lisäksi jokainen Cfc olete­

taan г-suunnassa vakioksi. Tyypillinen komposiittilaatta on esitetty Kuvas­

sa 4.

Kuva 4: Komposiittilaatan kaavakuva ja laminaattirakenne.

3.3 Reissnerin-Mindlinin malli komposiittilaatalle

Kun resultanttivoimasuureet on nyt ilmaistu venymien avulla, saadaan laa­

tan kokonaisenergia kertomalla jokaista voimasuuretta vastaavalla venymä- suureella ja integroimalla koko laatan alueen ylitse. Täten komposiittilaatan fysikaaliseksi kokonaisenergiaksi П tulee ylläolevilla merkinnöillä

(3.11) missä f on kalvotilaan liittyvä kuormafunktio laatan tasossa, G laatan mo- menttikuormitus ja g pystysuora laattatilaan liittyvä kuormitus. Kun tähän sijoitetaan resultantit (3.4)-(3.6), päädytään lopulta ainoastaan siirtymäsuu- reiden avulla ilmaistuun lineaarisen mallin energiaan [10]

josta pystytään tunnistamaan toiselta riviltä perinteisen Reissner-Mindlin laatan energia ja ylemmältä riviltä kalvotilaa vastaava energia sekä nämä

tehtävät toisiinsa kytkevä termi. Energian lausekkeesta siis huomataan heti, että komposiittilaatassa myös pelkkä pystysuuntainen kuormitus aiheuttaa välittömästi tasosiirtymiä, toisin kuin isotrooppisessa laatassa.

Virheanalyysia varten määritellään seuraava laatan paksuudella skaalat­

tu energia, jolle komposiittilaatan virheanalyysi saadaan yksinkertaisempaan muotoon.

Määritelmä 3.1. Skaalataan muttujat, konsitutiiviset tensorit sekä kuormi­

tukset siten, että

(3.13)

Sijoittamalla uudet muuttujat fysikaalisen kokonaisenergian lausekkeeseen (3.12) ja skaalaamalla energiaa termillä t~z saadaan skaalatulle energialle uusien

muuttujien ja skaalattujen tensoreiden avulla lauseke

3.3.1 Variaatiomuoto

Kokonaisenergian minimointia vastaava variaatiomuoto saadaan varioimalla lauseketta (3.14) sekä kalvotila- että laattamuuttujien suhteen, jolloin vari- aatiotehtäväksi saadaan

Tehtävä 3.2. Etsi (u,w,ß) G U x W x V siten, että V(v, v, 77) G U x W x V pätee

(A: e(u),e(v)) + (B: e(v),e(ß)) = (f,v),

< (B: e(u),e(rj)) + (D: e(ß),e(rj))

+t 2(A*-rf(w, ß),^{y, r])) = (g, v) + (G, 77),

missä variaatioavaruudet ovat U x W x V С [Я1^)]2 x H1 (Cl) x [Я1(^)]2.

Virheanalyysiä varten voidaan laattatehtävä muotoilla myös sekaelementti- formulaatiossa, kun käsitellään leikkausvoimaa

q = t~2A*-j(w,ß) (3.15)

riippumattomana muuttujana. Tällöin tehtävä tulee muotoon

Tehtävä 3.3. Etsi (u,w,ß,q) G UxWxVxT siten, ettäkaikilla (v,u,rj,s) G U x W x V x Г pätee

(A: e(u),e(v)) + (B: e(v),e(ß)) = (f,v),

< (B: e(u),e(rj)) + (D: e(ß),e(rj)) + (q^^rß) = (9Л) + (G, ry), t2(A*~lq, s) + (i(w,ß),s) = О,

(3.16) missä C/xlTxVxTc ^(Í2)]2 x Я1^) х [Я1 (fi)]2 x [L2(fi)]2.

3.3.2 Reunaehtojen määrittäminen

Olennainen osa tehtävää on reunaehtojen määrittäminen. Ensinnäkin laat- tatehtävässä on jokaisella reunalla määrättävissä kiertymän ß molempien komponenttien sekä taipuman w arvo. Taipuma voidaan ekvivalentisti jakaa myös reunan normaalin ja tangentin suuntaisiin komponentteihin ßn ja ßT.

Tarkastellaan ensin laattatehtävälle asetettavia reunaehtoja. Kiertymien ja taipuman arvoja yhdistelemällä saadaan seuraavat viisi fysikaalisesti mer­

kityksellistä reunaehtoa.

(i) Jäykästi tuetussa (engl. clamped) reunaehdossa kiinnitetään reunalla sekä taipuman w että molempien kiertymäkomponenttien ßn ja ßr ar­

vot. Tällöin laatan kaikki liike reunalla on estetty.

(ii) Pehmeässä jäykästi tuetussa (engl. soft clamped) reunaehdossa kiin­

nitetään ainoastaan w ja kiertymäkomponentti ßn. Tällöin laatta ei pääse kiertymään tuen päällä, mutta tuen suuntaista leikkausmuodon­

muutosta ei ole rajoitettu.

(iii) Yksinkertaisesti tuetussa (engl. simply supported) vain taipuman ar­

vo w kiinnitetään reunalla. Tämä vastaa fysikaalista tilannetta jossa laatta pääsee vapaasti kiertymään tuen päällä ja tuen suuntainen leik­

kausmuodonmuutos on sallittua.

(iv) Kovassa yksinkertaisesti tuetussa (engl. hard simply supported) reu­

naehdossa kiinnitetään taipuman w lisäksi kiertymä ßT, jolloin laatta pääsee edelleen vapaasti kiertymään tuen päällä, mutta tuen suuntai­

nen leikkausmuodonmuutos on estetty.

(v) Vapaassa reunaehdossa siirtymiä ei rajoiteta mitenkään.

Tasoelastisuustehtävän osalta voidaan kullakin reunan osalla kiinnittää

■u:n kumpikin komponentti erikseen, tai ekvivalentisti jakaa и tangentiaali- ja normaalikomponentteihin uT ja un. Molempien komponenttien kiinnittä­

minen vastaa jäykkää kiinnitystä, jolloin muodonmuutos on estetty reunalla.

Pelkän normaalikomponentin kiinnittäminen vastaa fysikaalisesti liukutukea, tangentiaalikomponentin taasen rullatuentaa.

3.4 Ratkaisun olemassaolo

Tässä kappaleessa näytetään, että yhdistetylle mallille löytyy ratkaisu joka on yksikäsitteinen riippumatta laatan kokonaispaksuudesta t, mikäli laatta on jäykästi tuettu ja tasosiirtymät estetty reunalla. Jatkossa oletetaan vir- heanalyysissä aina nämä reunaehdot. Avuksi tarvitaan sekä Kornin epäyh­

tälöä että Lax-Milgramin lemmaa, jotka muotoillaan seuraavaksi lyhyesti.

Sobolev-avaruuden alkiolle / € Hm(Ll) käytetään Sobolev-normeja 11/11« = E Ha“/U§.

|a|<m

missä a on multi-indeksi ja || ■ ||o normaali L2(f2)-normi. Vastaavasti vekto­

reille ja tensoreille käytetään ylläolevia normeja komponenteittain.

Lause 3.4 (Lax-Milgram lemma). Olkoon V Hilbertin avaruus, a(-, • ) : V x V —► R jatkuva V-elliptinen bilineaarimuoto ja L : V —► M rajoitettu lineaarinen funktionaali. Tällöin löytyy yksikäsitteinen и G V, joka ratkaisee variaatiotehtävän

a(u,v) = L(v), Vu € V. (3.17)

Todistus. Lauseen todistus löytyy esimerkiksi viitteestä [6]. □ Toinen välttämätön apuväline elastisuustehtävän tutkimisessa on Kornin epäyhtälö, joka karkeasti sanottuna merkitsee, että gradientin normi riippuu oleellisesti vain gradientin symmetrisestä osasta, mikäli jäykän kappaleen liike on estetty. Epäyhtälön todistus yleisessä tapauksessa on kuitenkin varsin hankalaa, eikä siihen paneuduta tässä työssä. Seuraavassa muotoiltua versiota kutsutaan usein myös Kornin toiseksi epäyhtälöksi.

Lause 3.5 (Kornin epäyhtälö). Olkoon Í2 G R3 avoin ja rajoitettu jouk­

ko, jonka reuna on paloittain sileä. Oletetaan lisäksi että Г0 C <9f2 on ei- nollamitallinen joukko, jolla on määrätty nollareunaehdot. Tällöin löytyy va­

kio C = C(il,r0) siten, että pätee

[ e{v): e(v)dn > C\\v\\\, Vv G [tf¿0(fi)]3. (3.18) Jq

Näytetään seuraavaksi, että Tehtävä 3.3 on elliptinen sekä kalvo- että laattamuuttujien suhteen. Tätä varten tarvitaan seuraava tulos:

Lemma 3.6. On olemassa positiiviset vakiot C\,C-i siten, että jokaiselle symmetriselle tensorille t,<t G [L2(fl)]4 pätee

CiGMIo+IMIo) < (A: t,t) + 2(B: r,a) + (D: <т,<т) < С2(\\г\Ц + ||cr||§), (3.19) missä A, B, D ovat edellä määritellyt skaalatut tensorit ja oletetaan, että konstitutiivinen tensori C G [L2($l)]4x4.

Todistus. Kirjoitetaan ensin arvioitava lauseke formaalina matriisitulona jol­

loin ottaen huomioon B:n symmetrisyys päätee

(A: t,t) + 2(B: r,cr) + (D: cr,cr) = T a

А В B D

(3.20) missä

А В n

=

E

B D k=l Bk Dk

Tällöin siis lemman väite pätee, mikäli kerroinmatriisi on rajoitettu ja po- sitiividefiniitti. Tarkastellaan yhteen laminaattikerrokseen liittyvää matriisia ja kirjoitetaan se kahden matriisin tulona määritelmien (3.7)-(3.9) ja (3.13)

avulla muotoon

Ak Bk \{zk - Zk-1) 1 ( ~2

2t?\Zk - 4-г) Ck 0 Bk DK .M4 - 4-i) 1 (JS

WyZk - 4-г). 0 Ck.

Näiden matriisien tulo selvästi kommutoi, sillä toinen on lohkodiagonaali- matriisi, joten symmetrisyys ja positiividefiniittisyys pätee tulolle, mikäli se pätee kummallekin matriisille erikseen. Koska tensori Ck on oletuksen mu­

kaan symmetrinen ja positiividefiniitti, riittää tarkastella ominaisarvoja sym­

metriselle 2x2 matriisille

R Hzk - zfc-i) 2h

(4

4

.2Ы

4

Ominaisarvot saadaan 2x2 matriisille yhteyksistä [8]

(3.22)

Ai(Äit)

tr(fífc) / f 4det(Ä*)\

2 v V tr(Äfc)2 /

tr(fífc) / 4det(Äfc)\

МЗД---—[1 + f

missä invariantit ovat matriisin determinantti ja jälki

det(Äfc) = ^(z¡ - 4—i)(<Zk - zk-1) - - zl^)2 = -^{zk - zfc_i)4, tr(Äfc) = ^(zfc - zfc-i) + ¿(4 - zLi)-

Merkitään laminaatin paksuutta hk = 2*. — z^-i. Determinantille pätee det№) = ï|î > 0

ja vastaavasti jäljelle

tr(fífc) > j(zh - Äjk-i) = y > 0,

mistä seuraa, että ominaisarvot ovat reaaliset ja positiiviset, sillä 0 < 4 det (Rk) h%_

tr(Rk)2 - 312

Lisäksi kaikilla k pätee Zk € [t/2, —t/2], joten jäljelle pätee arvio tv(Rk) <— + Л((-)3 - (—)3) < —•

y kJ ~ t 3t3 yy2 y 2 ’ ' - 12

Ominaisarvot ovat myös rajoitetut eivätkä ne riipu laatan paksuudesta. Kos­

ka jokaista laminaattikerrosta vastaava matriisi on symmetrinen ja positiivi- definiitti, on myös nämä summaamalla saatu koko komposiittilaatan matriisi symmetrinen ja positiividefiniitti, joten väite pätee. □

Sijoittamalla tulokseen muuttujia и ja ß vastaavat venymätensorit ja so­

veltamalla Kornin epäyhtälöä (3.5) molemmille muuttujille saadaan tehtä­

välle elliptisyystulos

C(\\u\\l + \\ß\\l) <(A : e(u),e(u)) + 2(B : e(u),e(ß)) (3.23) + (D:s(ß),e(ß)),

missä vakio C ei riipu laatan paksuudesta t. Edellisten lauseiden avulla näy­

tetään nyt ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys hyödyntämällä satula- pistetehtäville kehitettyä Brezzin ja Babuskan teoriaa [4]. Määritellään vielä avaruus #-1(div, Q) seuraavasti

B_1(div, Cl) = {q e [#_1(Q)]2 I div q E H~\Q,)}.

Lause 3.7 (Ratkaisun olemassaoloja yksikäsitteisyys). Jokaisella kiinnite­

tyllä laatan paksuudella t tehtävällä (3.3) on ratkaisu (u,w,ß,q) E [ЯЯШ12х Щ(П) x røtt)]2 x [L2(fi)]2

Todistus. Määritellään bilineaarimuoto T ja lineaariset operaattorit В ja L T(u,v;ß,ri) = (A : e(u),e(u)) + (B : e(v),e(/3))

+ (B:e(u),e(r])) + (D:e(ß),e(rj)) L(v, v, ri) = (f, v) + (g, u) + (G, 77)

B(w,ß-,q) = (7 (w,ß),q)

ja kirjoitetaan tehtävän sekaformulaatio seuraavaan muotoon: etsi (u, w, ß, q) E røtt)]2 x Щ(П) x [B¿(íí)]2 x [L2(fl)]2 siten, että V(v, u, 77, s) E [B¿(Q)12 x H№) x røtt)]2 x [L2(fi)]2 pätee

< T(u, v- ß, q) + B(u, 77; q) = L(v, и, q), fA*-\q,s) + B(w,ß]8) = 0.

Eliminoimalla tästä leikkausvoima päästään siirtymien suhteen kirjoitettuun tehtävään: etsi (u,w,ß) E [B01(fi)]2xB01(í2) x ^¿(fi)]2 siten, että V(v, u, 77) 6 røtt)]2 x H№) x №(Í2)]2 pätee

T(u, -u; ß, 77) + ^(A*7(w, /3),7(г/, 77)) = L(v, v, rj).

Tensori A* on symmetrinen ja positiividefiniitti, sillä ominaisuus seuraa suo­

raan konstitutiivisen tensorin C positiividefiniittisyydestä testaamalla tenso­

rilla r, jolle т3а3/3 ф 0 ja muulloin т = 0. Tensorin A* positiividefiniittisyy- den perusteella koko vasen puoli on siis koersiivinen jokaiselle t > 0, jolloin Lax-Milgramin lemman perusteella ratkaisu on olemassa ja yksikäsitteinen.

Myös leikkausvoiman osalta ratkaisu on olemassa ja yksikäsitteinen. Tä­

mä havaitaan tarkastelemalla yhtälöryhmän (3.24) viimeistä riviä, josta näh­

dään että kyseessä on elliptinen tehtävä avaruudessa Г, sillä A*:n symmet­

risyyden ja positiividefiniittisyyden perusteella Vq E Г on olemassa vakio C > 0 siten, että

*2(A*-1q,q) > Ct2||g||¡).

Tapauksessa t —* 0 leikkausvoiman säännöllisyyttä häviää, jolloin rajata­

pauksessa sekaformulaatiosta saadaan Kirchhoffin laattamallia vastaava teh­

tävä: etsi (u,w,ß,q) E [#¿(Q)]2 x Щ(С1) x [^¿(Í2)]2 x ^-1(div, Cl) siten, että V(v,z/, 77, s) 6 [Яо(Г2)]2 x Щ(С1) x [#¿(Q)]2 x Я-1(div, Í2) pätee

< T(u, v; ß, 77) + B(y, 77; q) = L(v, u, 77) ß(w,ß\s) = 0.

Välittömästi nähdään, että kyseessä on satulapistetehtävä siirtymien ja leik­

kausvoiman suhteen. Ratkaisun olemassaoloon vaaditaan tällöin [4] bilineaa- rimuodon T elliptisyys operaattorin В nolla-avaruudessa,

Ker В = {{у, 77) E Hq (Cl) x [#¿(ÍÍ)]a|(Vz/ - 77, s) = 0, Vs E Я-1 (div, Í2)}.

Koska Vu — 77 E Я-1 (div, Cl) ja lisäksi Poincarén epäyhtälö on voimassa kun taipuma kiinnitetään jollakin reunan osalla Г0, on olemassa vakio C siten, että kun (u, 77) E Ker В pätee

IMIi ^ Mi = llvHlo

< ||î?-Vi/||o+ Ц77Ц0 = Ц77Ц0

<C\\v\ 11.

Ottamalla lisäksi huomioon epäyhtälö (3.23), on T elliptinen kaikkien siirty- mämuuttujien suhteen B:n nolla-avaruudessa, eli löytyy vakio C siten, että

T(v, v, 77,77) > C(||v||? + ||i7||ï + IMIi)- (3.25) Toinen välttämätön ja riittävä ehto on niin kutsuttu Babuska-Brezzi stabiilisuusehto [4]:

sup (Vt/-77, s)

> C1|s||#-l(div,fi)

(^,г,)ея01(П)х[я0Чо)]2 llalli + llalli

Tämä nähdään arvioimalla vasenta puolta seuraavasti:

(Vz/ - 77, s) sup

(1/,Т7)еЯ01(П)х[Я01(П)]2 llalli + llalli

„lin f (z/,divs) ^ (77,s),

— SUP H-'l---П—M--- Г ^2"П—f]—J

(*,ч)€Яа(П)х[яа(П)]а llalli llalli

= Cl||sII_1 + C2||div s||_i

> C||s||H-i(div,Q)-

Kun nämä ehdot ovat voimassa, myös ratkaisun yksikäsitteisyys rajatapauk­

sessa t —► 0 seuraa suoraan satulapisteteoriasta. □

3.5 Ratkaisun säännöllisyys

Komposiittilaattatehtävän säännöllisyysestimaattien haastava osa on laatta- tehtävän säännöllisyyden määrittäminen, missä tarvitaan avuksi muutamia matemaattisia apuvälineitä. Tasoelastisuustehtävän säännöllisyys on epätri­

viaali seuraus biharmonisen ja Stokesin tehtävän säännöllisyysominaisuuk- sista.

3.5.1 Helmholtzin hajotelma leikkausvoimalle

Aluksi esitetään L2(fi) ja Я”1 (div.fi) -funktioille niin kutsuttu Helmholtzin hajotelma, jonka avulla ne voidaan kirjoittaa gradientin ja roottorin sum­

mana tietyistä funktioista [4]. Roottori on nyt määritelty skalaariarvoiselle suureelle p siten, että

rot p = (Ô2p, -dip).

Lause 3.8 (Helmholtzin hajotelma). Olkoon q E #_1(div,fi). Tällöin löytyy yksikäsitteiset ф 6 ja p E L2(fi)/M siten, että pätee

q = Vip + rot p

(3.26)

„ Il 9 II я-i (div,n) = llalli + II

II

-

Todistus. Ottamalla (3.26) :n ensimmäisestä yhtälöstä divergenssi puolittain ja huomioimalla, että div q E tf-1(fi) saadaan

div q = div Vip + div rot p = Aip 4Ф- (Vip,Vv) = (g, Vu) Vu E #¿(fi).

Koska q G #-1(div, ÍÍ), on ø tämän Poissonin tehtävän yksikäsitteinen rat­

kaisu. Lisäksi div (g — Vø) = 0. Koska divergenssitön funktio voidaan aina kirjoittaa roottorin avulla, pätee q - Vø = rot p, missä p G L2/M. Kos­

ka div rot p = 0 mielivaltaisella p, ovat hajotelman osat sisätulon suhteen ortogonaaliset, jolloin normi estimaatti pätee. □

Vastaavasti viitteen [4] perusteella kun q G [L2(f2)]2 löytyy Helmholtzin hajotelma siten, että (ø,p) G ЯХ(Г2) x [H1(Q)D L§(fi)]. Helmholtzin hajotel­

man avulla voimme todistaa lopulta koko tehtävälle seuraavan säännöllisyys- estimaatin seuraten laattatehtävän osalta viitteen [15] esitystä. Sovelletaan siis Helmholtzin hajotelmaa leikkausvoimalle

q = Vø + rot p, (3.27)

ja vastaavalle testifuktiolle

s = Vp + rot q. (3.28)

Tällöin sijoittamalla lausekkeet tehtävään (3.24) ja huomioimalla edellämai­

nittu ortogonaalisuus

(Vø, rot p) = 0,

saadaan ekvivalentti tehtävä, joka sisältää kolme kytkettyä tehtävää. Ensim­

mäinen yhtälö on tavallinen Poissonin tehtävä, samoin kuin viimeinen kahden keskimmäisen yhtälön muodostaessa Stokesin tehtävää muistuttavan tehtä­

vän. Merkitään a(ß,rj) = (£): e(/3),e(g)), jolloin laattatehtävälle saadaan muoto

Tehtävä 3.9. Etsi (ß, w, 0,p) G [tf^il)]2 x tf¿(f2) x tf¿(fi) x [Я^^Ш,2^)]

siten, että pätee (Vø, Vu) = (g,и)

i a(/3> v) - (rot p, r¡) = (Vø, ri) + (G, rt) í2A*-1(rot p, rot q) = (rot q,ß)

k (Vp, Vw) = (Vp, /3) - i2A*_1(V0, Vp)

mjissö voima g on laatan poikittaissuuntaista kuormitusta vastaava voima ja G on laatan momenttikuormitus.

w G Щ(П), Уд G [Я0Н^)]2,

Vg G [H1 (Li) n L2(Q)], Vp G Щ(П),

(3.29)

3.5.2 Säännöllisyys reunalla ja sisäalueessa

Rajalla t —► O pätee B(w,ß\s) = O, Vs 6 Г, jolloin rajatehtävän t = 0 ratkaisu (w°,ß°) toteuttaa Kirchoffin laattatehtävän, ja ratkaisulle pätee

ß° = VuA

Tällöin koko tehtävän ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon w = w° + wr ja ß = ß° + ßr.

Koska w° on Kirchoffin laattatehtävän ratkaisu, voidaan soveltaa tunnet­

tuja estimaatteja [3], jolloin konveksissa alueessa Q pätee

Mis < СШ-1- (3.30)

Samoin Tehtävän 3.9 ensimmäiselle osatehtävälle saadaan Poissonin teh­

tävän ./^-säännöllisyydestä konveksissa alueessa estimaatti

Mk < C\\g\\a-2, s= 1,2. (3.31) Ottamalla huomioon, että kahdessa dimensiossa roottori ja gradientti ovat тг/2-rotaatiota vaille sama operaattori, voidaan määrittämällä fj = (rj2, —щ) tehtävän (3.9) kaksi keskimmäistä yhtälöä kirjoittaa rajatapauksessa t = 0 uuden muuttujan f¡ avulla standardin Stokesin tehtävän muotoon [1]: etsi (ßo,Po) E [Щ(Í))]2x [H1 (ÍÍ)nLjj(fi)] siten, että V(rj, q) e [Щ(П)]2х

Lo(f2)] pätee

Í a(ßo, f¡) - (po, div 77) = (VV», fj) + (G, fj)

1 (q,

Lisäksi selvästi pätee ||/3||s = ||/3||3. Soveltamalla standardiestimaatteja [1] tehtävälle (3.32) ja huomioimalla (3.31) saadaan rajatehtävälle t = 0 sään- nöllisyystulos

Ilolla + Ibolli < CfllGUo + H^Hi) < CdJGIIo + ||p||_i). (3.33) Koska parit (ßo,Po) ja (/3, p) toteuttavat tehtävän (3.9) toisen ja kolmannen rivin vastaavasti tapauksissa t = 0 ja t ф 0, saadaan tulos

°(A) -/3,77) - (rot (p - po), t?) + (ß - ß0, rot q)

+ í2A*-1(rot (p - po), rot q) = (ß, rot q) + i2A*_1(rot (p - p0), rot q)

= i2A*-1(rot po, rot q),

josta valitsemalla testifunktioiksi r¡ = ß - ß0 ja q = p - p0 seuraa estimaatti 11/3-A) Hl+ Í2 Ib-PO Hl < CÍ2 Ibo II llb-Po 111.

Huomioimalla lisäksi (rot p, rot ç)-termin /f2-säännöllisyys, saadaan tulos 11/3 - ßo\\i + t\\p - pölli < Cílbolli < Cí(||G||o + Ibll-i).

Tämän perustella siis

Iblli ^ C'dl^llo + Ibll-i). (3.34) Koska Tehtävän 3.9 toinen yhtälö on #2-säännöllinen elliptinen tehtävä, pä­

tee standardiestimaattien ja yhtälön (3.31) perusteella

Wßh < C(||í>,Il + И, + ||G||„) < C(||G||o + lläll-,). (3.35) Lopuksi tarkastelemalla kolmatta riviä ja muistamalla, että ß0 on tehtävän t = 0 ratkaisu, saadaan (rot p, rot q) termin #2-säännöllisyyden nojalla arvio

Ibh < cr211/3 - /3o||x < CrbllGIlo + Ibll-i). (3.36) Kokoamalla yhteen yhtälöiden (3.31),(3.34),(3.35) ja (3.36) tulokset, päädy­

tään estimaattiin

Mil

Wßh

Iblli + ílbh < C(||G||o + Ibll-i).

Tarvitaan vielä estimaatti poikittaissiirtymän osalle wr = w — w°. Nyt wr toteuttaa Tehtävän 3.9 ensimmäisen rivin perusteella viimeisen yhtälön muodossa

( W, Vp) = (/3-ß0, Vp) + t2A*-\g, p), jolle pätee standardi Poissonin tehtävän estimaatti

IKIh < 0(11/3 - A)||i + i2|b||o) < C(i||G||o + i|b||_! + i2|b||o). (3.38) Estimaatit (3.37) ja (3.38) yhdistämällä saadaan lopulta koko laattatehtä- välle seuraava säännöllisyystulos

Lause 3.10. Konveksissa alueessa Í2 riittävän sileällä kuormalla tehtävän ratkaisulle pätee

Hb +1 Чкь +1|/3||2 + llalli + Iblli + ¿Iblb

^ C'dbll-I + %l|o + ||G||o).

(3.39)

Lisäksi sisäalueessa voidaan johtaa seuraava parempi säännöllisyysestimaat- ti [15].

Lause 3.11. Edellämainittuun konveksiin alueeseen ÍÍ kompaktisti upotetus­

sa alueessa pätee

||w0||s+2,n¿ + í-1||'Wr||s+i,ni + ||/9|Uia + IIV'lleA + IIpIIsA +Í||p||a+1A +*2||p||e+2A < C(\\g\\s-2 + t||p||s-i + ||G||s_i). (3.40) Lopuksi tarvitaan vielä säännöllisyysestimaatti kytkemättömälle tasoe- lastisuustehtävälle Dirichlet’n reunaehdoilla. Tehtävän heikko muoto on Tehtävä 3.12. Etsi и E [fí"¿(íl)]2 siten, että Vu 6 [//¿(fi)]2 pätee

(A: e(u),e(v)) = (f,v).

Tehtävä on elliptinen tensorin A symmetrisyyden ja positiividefiniitti- syyden nojalla. Viitteessä [2] on näytetty nojautuen biharmonisen yhtälön B4-säännöllisyysteen sekä standardin Stokesin tehtävän tunnettuihin esti- maatteihin isotrooppisessa tapauksessa tulos

H|2 < c\\f

missä kerroin C ei riipu Lamén vakiosta Л, kun toinen Lamén vakio p E [px > P2] • Mikäli konstitutiivinen tensori oletetaan riittävän säännölliseksi on syytä olettaa, että myös Tehtävälle 3.12 pätee konveksissa alueessa arvio (3.41).

3.5.3 Kytketyn tehtävän säännöllisyys

Edellä näytettiin, että molemmat osatehtävät ovat erikseen #2-säännöllisiä.

Kytketyn tehtävän säännöllisyys on kuitenkin epätriviaali ominaisuus ja pys­

tytään näyttämään toistaiseksi vain tietyillä tehtävien säännöllisyysvakioita koskevilla rajoituksilla. Kytketyssä mallissa Tehtävän 3.9 toinen rivi saa kir­

joittamalla termi T(- ,•;•>•) auki muodon i (A- e(u),e(v)) + (B: e(ß),s(v)) =

\(B: е(/3),е(ту)) + (В: е(п),е(ту)) - (p,div ту) = (Vip,r)) + (G,ту).

Siirtämällä kytkentätermit vasemmalle puolelle ja osittaisintegroimalla saa­

daan yhtälöryhmä muotoon

< (A: e(n),e(u)) = (f,v) + (div (B: e(ß)),v),

k(D'■ £(ß),£(v)) - (P, div ry) = (VV>, ту) + (G, ту) + (div (В: e(u)), ту).

(3.42)

Pitämällä ensimmäisessä yhtälössä ß vakiona, saadaan ensimmäisen rivin säännöllisyyden nojalla joillakin vakioilla C\,C2 > 0

Hb < Cxdl/llo+lldiv (B: e(/3))||0) < C1||/||o + C2\\ß\\2. (3.43) Vastaavasti pitämällä toisessa yhtälössä и vakiona pätee edeltävien estimaat­

tien perusteella vakioilla C3,C4 > 0

Wßh + Iblli < С-зСЦСЦо + hll-x + 11 di v (B: e(u))\\0)

< Сз(||С||0 + |b||-i) + C4||u||2. (3.44)

Sijoittamalla nyt estimaatti (3.43) epäyhtälöön (3.44) ja laskemalla näin saa­

tu epäyhtälö yhteen epäyhtälöm (3.43) saadaan arvio

(1 - c4(l + C2))\\ßh + Iblli + Hb < C(||G||o + ll/llo + Ibll-i). (3.45) Haluttu säännöllisyystulos kytketylle tehtävälle siis saadaan ainoastaan mikäli oleellisesti kytkentätermin tensorin В normista ja alueesta Í2 riippu­

valle vakiolle C4 pätee

C4(l + C2)<1^C4< —1— < 1.

1 + O2 (3.46)

4 Elementtimenetelmä MITC-elementeille

Tässä kappaleessa johdetaan virhearviot komposiittilaattatehtävälle. Virhear­

viot lasketaan tavallisen ^-normin sijaan verkkoriippuvassa normissa, jo­

ka ottaa huomioon Reissnerin-Mindlinin mallin puuttellisen säännöllisyyden, kun t —> 0. Käyttämällä tätä normia, saadaan tehtävän virheen käyttäytymi­

sestä tarkempaa tietoa kuin ^-normissa laatan ollessa ohut, mikä on varsin yleistä komposiittirakenteiden tapauksessa.

Yhdistetyn komposiittilaattamallin analyysi suoritetaan kahdessa osassa.

Ensin määritetään virhearviot erikseen laatta- ja kalvotilalle, jonka jälkeen näytetään, että mikäli käytettävissä on hyvin toimiva laattaelementti, joka yhdistetään toimivaan tasoelementtiin, saadaan lopulta hyvin käyttäytyvä menetelmä myös koko tehtävälle.

4.1 Laattatehtävän analyysi

Vaikka tässä työssä käytetään ainoastaan MITC-elementtejä laattatehtävälle, pätee seuraava Reissnerin-Mindlin laattamallin virheanalyysitekniikka pie­

nin muutoksin yleisemmälle elementtiperheelle astetta k, olettaen että dis- kretaatio täyttää tiettyjä perusvaatimuksia. Yleisyyden lisäksi tuloksista tu­

lee suoraviivaisempia eikä analyysissä tarvita epätriviaalisti voimassa olevaa diskreettiä Helmholtzin hajotelmaa. Jatkossa oletetaan verkko yksinkertai­

suuden vuoksi kvasisäännölliseksi, mutta tulos pätee myös epäsäännölliselle verkolle [17].

4.1.1 MITC-elementtiperhe

Tarkastellaan siis normaalia Reissnerin-Mindlinin laattamallia viitteen [22]

suuntaviivoja noudattaen. Kirjoitetaan ensin satulapistetehtävä (3.16), jossa siis nyt A = В = 0 ja merkitään a(ß,rj) = (D: e(/3), e(r])), muotoon

Tehtävä 4.1. Etsi (ß,w,q) 6 [Hq (fî)]2 x Hl (Í2) x [L2 (Í2)]2 siten ettäV(r],v,r) E [Щ{П)}2 x tf¿(f2) x [L2(íl)]2 pätee

A(ß, w, 9; 9, v, r) = (G, r¡) + (g, v), (4.1) missä bilineaarimuoto A on määritelty

Ä(ß, w, q-, r¡, v, r) := a(ß, rj) + (Vu -r],q) + (Vtu - ß, r) - í2(A*-1q, r).

Olkoon Th alueen Q kvasiuniformi kolmiointi ja h verkon tiheysparamet- ri. Kun a on vapaasti valittava stabilointiparametri, määritellään diskreetti

bilineaarimuoto seuraavasti:

Ah(ß, w, g; q, v, r) :=a(/3, q) + (Rh(Vv - q), q) + (RhiVw - ß),r) - (ah2 + t2)(A*-1g, r).

Tällöin vastaava diskreetti tehtävä approksimaatioavaruudessa Г4 x И4 x Г/, С У x x Г on muotoa

Tehtävä 4.2. Etsi (ßh,Wh,qh) G Vh x x szien, että V(q,w,q) G У x Н/, x Г/, pätee

A(/3fc, гпл, gk; 97, v, r) = (G, q) + (g, u). (4.2) MITC-elementtien perusajatus on leikkausvoiman modifiointi diskreetissä tehtävässä. Tätä varten diskreetti bilineaarimuoto Ah määritellään reduktio- operaattorin Rh : Vh —+ Vh avulla, joka otetaan käyttöön, jotta vältyttäi­

siin lukittumiselta leikkausvoiman suhteen. MITC-elementtien tapauksessa reduktio-operaattori Rh on määritelty siten, että pätee

RhVw — Viv, Vw G Wh- (4.3)

Sekä taipuma että kiertymät suppenevat optimaalisesti, jos löytyy ava­

ruus Qh G Lq siten, että seuraavat ominaisuudet pätevät [5]:

Pl.

vwh

P2. rot Th C Qh.

P3. rot Rhq = P^rot q, missä Ph : L2 —► Qh on I/2-projektio.

P4. Jos s G I\:lle pätee rot s = 0, löytyy v G Wh siten, että s = Vy.

P5. (VhL, Q/t) on stabiili ratkaisuavaruus Stokesin tehtävälle.

Roottori on edellä määritelty vektoriarvoiselle suureelle q siten, että rot q = d\q2 — d2q\ = div g1.

Täten voidaan määritellä avaruus

#o(rot,ft) = {g G [L2($l)]2 I rot g G L2(f2), g-r|9n = 0}.

Nyt voidaan seurata viitteessä [5] esitettyä konstruktiota sopivien variaatio- avaruuksien löytämiseksi:

• Valitaan pari (Vh, Qh) E [#¿(Q)]2x Lq(Q) stabiiliksi Stokesin tehtävälle

• Koska Qh on kiinnitetty, etsitään avaruus I\ ja operaattori Rh siten että seuraava kaavio kommutoi

[tfl(i})]2 Lg(n)

Rh Ph

Th

rot

Qh-

• Valitaan avaruus И4 siten, että

VWh = {s G rh I rot s = 0}.

Tässä työssä käytettyyn Numerrin-ohjelmistoon MITC laattaelementit on rakennettu valitsemalla elementtiavaruudet siten, että ainoastaan lineaaris­

ten elementtien kanssa tarvitaan verkkostabilointia, korkeamman asteen ele­

menteissä suppeneminen saavutetaan käyttämällä kiertymälle kuplamuotoja, jolloin voidaan siis valita a = 0. Nämä ominaisuudet saavutetaan valitsemal­

la ensin

Vh = {v E [#oW I Vi t E Vk(T),VT G %}.

Kolmioelementeille Vk määritellään vk(T) = , [ft(T)]2

.[Stmi2

kun k = 1, kun k = 2,3, missä avaruus Sk on määritelty

Sk(T) = {u € Pk+i(T) I v\e E Pk(E) jokaiselle reunalle E С dT}.

Nelikulmiolle puolestaan valitaan kaikilla k:n arvoilla Vk(T) = [Qk(T)}\

Stokesin tehtävän apuavaruus Qh on kaikilla k:n arvoilla sekä kolmio- että nelikulmioelementeillä

Qh = {peL201 p\T g -Pfc-i(T), vt g Th}.

Leikkausvoiman avaruudeksi valitaan nyt kolmioelementeillä тг/2 verran kierretty Raviart-Thomas-avaruus ja vastaavasti nelikulmioille käytetään Brezzi- Douglas-Fortin-Marini-avaruutta [4], jolloin siis kolmioille

Гh = {sG tfo(rot) I s|T E [Pfc-i(T)]2 + (æ2, —Xi)Pfc-i(T), VT E TJ ja nelikulmioille

Гь = {s € Ho(rot) I s|r E

(Pk(T)\{e})

Taipumalle valitaan kolmiolle

Wh = {w E #¿(íí)

I Hr e

ja nelikulmioille

Wh = {we Hq(Q)

I

n

Reduktio-operaattori voidaan määritellä Raviart-Thomas- ja Brezzi-Douglas- Fortin-Marini -elementtien vapausasteita vastaavasti sekä nelikulmioiden että kolmioiden tapauksessa

Lisäksi tulee huomata, että lineearisen elementin toiminnan kannalta verk- kostabilointi on olennaista, joten kun k = 1 valitaan a erisuureksi kuin nol­

la, yleisiä arvoja parametrille ovat a = 0.1,..., 0.25. Toisaalta kun k > 1 valitaan a = 0. On huomioinarvoista, että tapauksessa k > 1 tarvittaisiin verkkostabiloiduille elementeille toisen asteen derivaattoja sisältäviä lisäter- mejä bilineaarimuotoon, mutta näiden käytöltä vältytään käyttämällä kierty- mälle sopivaa kuplamuotoa. Tämä toteutustapa valittiin lähinnä käytännön syistä, voidaan nimittäin osoittaa että nämä kaksi stabilointitekniikkaa ovat ekvivalentit [14]. Näillä valinnoilla nelikulmioavaruus on alkuperäinen MITC avaruus ja kolmioelementeillä avaruus on viitteen [5] ensimmäinen element­

tip erhe.

4.1.2 Virhearviot MITC-elementeille

Oletetaan, että käytetty verkko on kvasisäännöllinen eli elementin koko h on vakio. Määritellään seuraavaksi normit, joissa a priori -arviot johdetaan.

Reduktio-operaattorin vuoksi normit määritellään ainoastaan aliavaruuksissa Vh, Wh ja I\. Siirtymäsuureille määritellään

\WM\\\h ■= IM? + IMI? + j^\\Rh(Vv - »7)118, (4.4) ja leikkausvoimalle vastaavasti

IIMIIfr := (t2 + h2)\\r\\l (4.5) Edellä määriteltyjen verkkoriippuvien normien käyttö ei ole ehkä intuitii­

visesti kovin selvää, mutta sitä, miksi juuri nämä normit ovat oikea valinta virheen mittaamiseen, voidaan perustella seuraavasti. Laatan paksuuden t lä­

hestyessä nollaa, palautuu alkuperäinen tehtävä Kirchoffin laattamallia vas­

taavaksi tehtäväksi, jonka ratkaisu on avaruudessa H2 (Cl). Koska käsiteltävän tehtävän ratkaisu liikkuu jossain ääripäiden H1 (Cl) ja H2(Cl) välillä, saadaan h:st& ja i:stä riippuvan termin lisäyksellä lisäinformaatiota siitä, kuinka lä­

hellä ratkaisu on Kirchhoffin tehtävän ratkaisua.

Jatketaan itse virhearvion todistamista näyttämällä seuraava normiekvi- valenssi, jonka avulla päästään kiinni tehtävän stabiiliuteen:

Lemma 4.3. Löytyy vakio C > 0 siten, että jokaiselle (rj, v) G Vh x Wh pätee

Cf (4,v)llß < IMI? + ÿL_l№(v» - ч)||= < ||(ч,«)||î (4.6)

Todistus. Oikeanpuoleinen epäyhtälö pätee triviaalisti. Toisaalta käyttämällä Poincarén epäyhtälöä sekä huomioimalla että löytyy vakio C\ jolle ^== >

h-T > 0, > t > 0 nähdään, että

IMI? < \\Vv\\20 < 2(||Vv - RhVlll + ll^llo)

<C1||R,(Vi;-77)||2 + C'2||r;||2 5C(ÿ^2ll^(Vi--4)ll! + lhli;),

jossa on käytetty avuksi sitä, että operaattori Rh on rajoitettu vakiolla C2 sekä ominaisuutta (4.3). Tällöin myös vasemmanpuoleinen epäyhtälö on tosi.

□

Lisäksi tarvitaan seuraava lemma

Lemma 4.4. Kun k = 2,3 voidaan valita r¡ E Vh ja v E Wh siten, että mielivaltaisella q € I\ pätee

Rh(Vv -rj) = h2q. (4.7)

Todistus. Variaatioavaruuksien valinnan perusteella kaikilla sivuilla E pätee sekä kolmioilla että nelikulmioilla rj r G Pk(E) ja Vu- т G Pk-i(E). Jat­

kuvuuden takaamiseksi avaruuksissa Vh ja Wh oletetaan kantafunktioiden arvot kulmapisteissä kiinnitetyiksi, jolloin polynomiapproksimaatio on var­

masti solmuissa jatkuva. Tämän jälkeen määritetään sivuilla olevien ylimää­

räisten momenttivapausasteiden avulla loput kantafunktiot siten, että (4.7) pätee. Tällöin saavutetaan välittömästi myös jatkuvuus sivujen yli, sillä q:n tangentiaalikomponentti on jatkuva elementin reunan ylitse. Selvästi sisäva- pausasteilla pätee yksi yhteen vastaavuus leikkaus- ja kiertymäavaruuksien välillä.

Tarkastellaan ensin tapausta k = 2. Tällöin momenttivapausastetta vas­

taava kantafunktio reunalla on toisen asteen polynomi, joka häviää päissä, joten rj- t on symmetrinen ja parillinen reunan keskipisteen suhteen. Mo­

menttivapausastetta vastaava derivaatta taasen on lineaarinen ja häviää välin keskipisteessä, joten Vu- r on reunan keskipisteen suhteen pariton. Tällöin

/ (Vv — rj)-т(а + bs)ds = a / Vv-t ds — a rj-r ds

Je Je Je

pariton parillinen

Koska sekä BDFM- että RT-elementtien vapausasteet ovat tangentiaalikom- ponentin ensimmäinen ja toinen momentti reunan yli, voidaan kiertymä ja taipuma valita yksikäsitteisesti. Tapauksessa k = 3 tulos voidaan todistaa samanlaisella päättelyketjulla huomioimalla lisäksi projisoitavien kantafunk­

tioiden lineaarinen riippumattomuus ja muodostamalla näistä sopivia line-

aarikombinaatioita. □

Tämän avulla voidaan todistaa diskreetin tehtävän stabiilius

Lause 4.5. Jokaisella (ß,w,q) G Vh x Wh x löytyy (r¡,v,r) G Vh x Wh x Th sekä vakio C siten, että

Ah{ß,w,q\T),v,r) > C(|||03,w)|||£+MÍ) (4.8) missa

IH(t7,v)IIU + ||r|U < C(lll(/3,iu)||U +

Todistus. Olkoon (ß,w,q) eVhxWhxTh annettu. Todistetaan väite kol­

messa osassa:

Valitaan ensin r\ = — g, rji = ß ja v\ = w. Tällöin bilineaarimuodolle Ah pätee Kornin epäyhtälön (3.18) perusteella

A(/3, to, g; ß, w, -q) = a(ß, ß) + (t2 + ah2)(A*~lq, q)

>C1(||/3||2 + (í2 + c/i2)||q||2).

Seuraavaksi valitaan testifunktioiksi r2 = (i2 + ah2)*1 Rh(4 w — /3),u2 = 0 ja T]2 = 0, jolloin

At(/3, to, g; 0,0, ¿2 + а^2 A(Vw - /3))

= wt^{Rk{Vw ~ «>fi-(Vto - 9» - £±S<i,^(vu, - m

- ¥T^Rk(Vw - - <f + °ft2)1/2ll9ll0(t2 + jAg)1/2llÆ>.(v^ - «Ilo

2 - «18 - wb^)^Vw - «18 -

> Coi^^llÄktV» - /3)112 - (t= + аЛ2)||?||2)}.

Tällöin valitsemalla sopiva konveksi kombinaatio A^, ui, r1)+(l—A)(g2, v2, r2) saadaan stabiloidussa tapauksessa o: > 0 tulos

A(/3,to,g; A(77!,ui,ri) + (1 - A)(t/2, u2, r2)) > ACi(||/3||J + \\q\\l)

+ (1-A)^(^ÿl№(v“ - «Ilo - lililí),

jolloin sopivalla parametrin arvolla A € [0,1] saadaan alaraja varmasti po­

sitiiviseksi ja bilineaarimuoto Ah on stabiili. Ilman verkkostabilointia a = 0 ja estimaattiin ei saada leikkausvoiman normin h:sta riippuvaa osaa. Sen si­

jaan edelleen voidaan valita r2 = (i2 + h2)~lRh(yw - /3), jolloin estimaatti saadaan ||| • |||A normissa taipumalle w ja kiertymälle ß.

Verkkostabiloimattomassa tapauksessa valitaan vielä r3 = 0. Lemman 4.4 perusteella voidaan valita pari (u3,r/3) siten, että Vg e Th pätee Rh(Vv3 -

»73) = h2q. Lisäksi skaalausargumentti ja g3:n määritelmä huomioiden pätee llalli < Ch-'WmWo < Ch~l\\h2q\\Q = Ch\\q\\0.

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 30

Valitsemalla e < ^ nähdään

Ah(ß,w,q;rj3,v3,0) = a(ß,rj3) + (h2q,q) = a(ß, rj3) + h2\\q\\20

> -¿I« + (i - piellä

>~m\+Ci?\\q\&

missä C > 0. Jälleen valitsemalla konveksi kombinaatio parametreillä Ai, Л2, saadaan estimaatin

A(/3, w, g; Ai(771, ui, ri) + A2(t72, u2, t-2) + (1 - Ai - A2)(»fc, u3, r3))

> A.c.tpii; + i2||eiiå) + >

C2(i^y||Äb(v«) - /з)||

f||g||2)

+ (i-a1-a2)H/3||; + c3a2m2)

alarajasta varmasti positiivinen. Lisäksi valituille testifunktioille pätee

|||»h.Vi|IU +

Ikillfc

IlIns.Vsllift + I|ï*3||ft = hslli + t2 l hJh2<l\\o < Chili

Täten väittämä on siis todistettu sekä verkkostabiloidussa että stabiloimat­

tomassa tapauksessa. □

Koska leikkausvoimaa on diskreetissä tapauksessa modifioitu, diskreetti bilineaarimuoto Ah ei ole konsistentti alkuperäisen bilineaarimuodon A kans­

sa. Virhearvion laskemiseksi tarvitaan siis ensin estimaatti konsistenssivir- heelle. Sijoittamalla bilineaarimuotoon Ah tehtävän tarkka ratkaisu (ß, w, q) voidaan V(?7, v, r) e V x W x Г kirjoittaa

Ah(ß, w, q, 77, v, r) = a(ß, 77) + (Rh(^w - ß),r) + (Rh(Vv - 77), q)

— (t2 + ah2)(A*~1q, r)

= a(/3,77) + (Vw - ß, r) + (Vu - 77, q) - t2(A*~lq, r) + {{Rh - /)(Vu - 77), q) + ((Rh - I)(Vw - ß),r)

— ah2(A*~1q,r)

= (<2, V) + {9, v) + E(q- 77, u, r).

Huomioimalla, että tarkalle ratkaisulle pätee

q = --(Vw-ß)^Vw-ß = t2 A*~l-q, saadaan konsistenssivirhe E muotoon

E(q-,ri,v,r) := ((Rh-I)(Vv-V),q)+t2(A*-1(Rh-I)q,r)-ah2(A*-1q,r).

Virheanalyysin läpiviemiseksi tarvitaan muutamia aputuloksia. Ensinnä­

kin pienillä verkkoa koskevilla rajoituksilla reduktio-operaattorilla Rh on op­

timaaliset interpolaatio-ominaisuudet [20].

Lemma 4.6. Jokaisella rj E [H"m(f2)]2, missä 1 < m < k, on olemassa vakio C siten, että pätee

\\V - RhVlWr < Chm\\r)\\mJ.

Lisäksi voidaan johtaa seuraava tulos [17].

Lemma 4.7. Jokaisella s E [H"m_1(i2)]2, missä 1 < m < k on olemassa vakio C siten, että pätee

|(s,/7 - Rhii)t\ < /im||s||m-i,T||î7||i,r-

Todistus. Mikäli ra = 1 tulos seuraa suoraan Schwarzin epäyhtälöstä ja lem- masta 4.6. Kun 2 < m < k, määritellään apuavaruus A(T) elementeittäin,

A(T) = [Pk_2(f)]2.

Lisäksi merkitään PT : [L2(T)]2 —> [L2(T)]2 Piolan munnosta PTs = \JT\JTs, s E [L2(T)]2.

Tällöin operaattorin Rh määritelmän perusteella valituille variaatioavaruuk- sille pätee elementillä T mielivalteisella s E A(T)

(Pts, 7^{? -} RhV)r = J Pts■ ^{(t? -} RhV)) dxdy

= f \Jt\-XJts- (77 - JïTRhJ?v))\JT\ dÇdrj

= / s- (JtV — RhJtV)) d^dr¡ = 0.

Määritellään seuraavaksi L2-projektio elementillä T referenssielementin avul­

la,

Hr = PjLJrpPrp1,

missä : [L2(T)]2 —> A(T) on lAprojektio referenssielementillä. Tällöin pätee mielivaltaiselle s € [#m-1(f2)]2

(UTs,r¡ - Rhrj)T =⁰. Lisäksi tunnetaan interpolaatioestimaatti [20]

Il s — Птв||о,г < Ch™ 1 ||s||m—i,r.

Näiden avulla saadaan lopulta haluttu tulos seuraavasti:

(s, Г) - RhV)r = (s - nTs, Г] - Rhrj)T < ||s - ПТв||о,т||»? - RhV\\o,T

< Ch™ 1||s||m_i>7'||77||i,T- □ Tällöin konsistenssi virhettä voidaan arvioida seuraavasti [17].

Lemma 4.8. Konsistenssivirheelle pätee

E(q; r?, v, r) < Chm(\\q\\m-i + i||q||m)

Todistus. Käyttämällä hyväksi ominaisuutta (4.3) sekä verkkoriippuvan nor­

min määritelmää saadaan konsistenssivirhetermille seuraava arvio sovelta­

malla ensimmäiseen termiin Lemmaa 4.7 ja toiseen Lemmaa 4.6. Lisäksi kun m > 2, valitaan a = 0, sillä verkkostabilointi ei ole kuplamuotojen kanssa tarpeen.

E(q; r), v, r) = (rj - Rhi7,

q)

< tCi\\Rhq — q||oí||t*||o + C^nklL-ilMIi + Cso^llflllo^lkllo

< C4(|||(»7,0)|||fc+ ||r||fc)(tÄm||qf||TO + Äm||9||m_1) Lisäksi huomioimalla, että stabiilisuusestimaatin perusteella pätee

lll(»?»«)lllfc+ Ikllfc <

saadaan haluttu arvio. □

Jatkoanalyysia varten määritellään taipumalle w erityinen interpolantti h'

Määritelmä 4.9. Interpolantti R : (il) —> Wh määritellään elementeit­

täin seuraavista ehdoista operaattorille R\t = It

((u — ITv) o FT) = 0 kaikissa T:n kärkipisteissä, (4.9) Rv — Rv) оF^r ds = 0, Vf € Pk-i(Ê) elementin reunoilla Ê (4.10) J Ê

j{[y — ITv) o FT)sd£dr] = 0, Vs E Pfc_3(T) elementissä T. (4.11)

Interpolantti on määritelty siten, että pätee

Lemma 4.10. Kaikille v E HS(Q), missä s > 1, pätee RhV(v - Ihv) = 0.

Todistus. Merkitään jälleen E referenssielementin T sivua sekä n sivun nor­

maalia ja r sivun tangenttia. Tällöin ominaisuuksien (4.9) ja (4.10) perus­

teella referenssielementillä pätee Vf E Pk-i(E)

[ V((v — ITv) o FT)- frds = f -^((u — ITv) o FT)fds

JÊ JÊ ¿'S

— [ ((v — ITv) o FT)r — f ((u — ITv) o FT)^ds = 0,

JdÊ Jê °s

sillä || E Pk~2{Ê). Valitaan sitten s E [Ffc_2(T)]2, jolloin siis div s E Рк-з(Т). Tällöin ominaisuuksista (4.10) ja (4.11) saadaan käyttämällä Gaußin kaavaa

/ V((u — Itv) oFt) - à dÇdrj = / ((v — Itv) o Ft)s-ñ ds

Jf J&T

— j\{v — ITv) o FT)div s dÇdrj = 0.

Merkitään reduktio-operaattorin rajoittumaa elementille T lyhyesti Rh\r =

Rt- Soveltamalla ylläolevia tuloksia operaattorin Rhmääritelmään, nähdään välittömästi, että referenssielementillä pätee

RTV((u — ITv) o Ff) = 0.

Täten siis elementillä T pätee

RtV(v — ITv) = JfrFTjfV((u — ITv) o FT)

= JjÄRtV((u — -Z^u) ° -Fr) = 0. П Lisäksi voidaan osoittaa, että operaattorilla R on optimaaliset interpolaatio- ominaisuudet [17]:

Lemma 4.11. Kaikille v E Hm(T), missä 1 < m < k + 1, löytyy vakio C siten, että pätee

Ml m,T, s = 0,1.

V - Ihv\\s,T < Chm~s

Edellä todistettujen ominaisuuksien avulla voidaan lopulta näyttää to­

deksi seuraava virhearvio kaikille ratkaistaville suureille halutuissa normeissa jäykästi tuetun laatan tapauksessa.

Lause 4.12. Olkoon il konveksi monikulmio ja laatta jäykästi tuettu. Lisäksi oletetaan kuorma riittävän säännölliseksi siten, että tarkan ratkaisun sään­

nöllisyydelle s pätee 1 < s < k, missä k on polynomiapproksimaation aste.

Olkoon Lii CC Cl ja hi verkkoparametri sisäalueessa ja hb reunalla. Tällöin pätee

\\ß - ßh\\i + lito - tob Hl + t\\q - <7b||o + ||q - qh ||_i <

C{hi(\M|S-2A + ¿IMIs-ia + ||<2||5_1А) + /гь(||у||-1 + í||g||0 + ||G||0)}.

Lisäksi verkko oletettiin kvasiuniformiksi, joten hi = hb = h.

Todistus. Olkoon ß Lagrangen interpolante ratkaisulle /3, 4to edellä määri­

telty interpolantti 4.9 taipumalle to ja q RT- tai BDFM-vapausasteiden avul­

la määritetty interpolantti leikkausvoimalle (kts. [4]). Lauseen 4.5 perusteella on olemassa (77, v, r) e Vh x Wh x Th siten, että

lll(i7)'y)HU + ||q||/i < C, joille pätee huomioimalla Lemma 4.10

III

tob -

+ lllQb -

< Ah(wh - Ihw, ßh - ß, qh - q, 77, v, r)

= Ль (to - Ihw, ß - ß, q - q- 77, v, r) - E(q; v, 77, r)

= Ab(0, ß - ß, q - q, 77, v, r) - E(q; 77, r).

Nyt virhetermin ensimmäistä osaa voidaan arvioida seuraavasti:

Ab(0, ß - ß, q - q, 77, v, r) = a(ß - /3,77) + (Rh(ß - ß), r) + (Rh(Vv - 77), q - q) - (t2 + ah2)(A*~\q - q),r)

< a(ß - Ä 4) + - ß)\\5)1/2((‘2 + «A2)l|r|ia,/2 + - 4)||S)V=((t= + ah2)\\q - «Ц2)1'2

+ C((f + ah2)h- g|li),/2((f + ah2)ЦгИ2)1'2

<C{ 11/3 - /ЗЦ, + *08 - /Sillo)1'2 + II« - «IW,