NOSTURIN VAUNUN ESTIMAATTORIPOHJAINEN TILASÄÄTÖ
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta Kandidaatintyö Huhtikuu 2020
TIIVISTELMÄ
Ari-Pekka Kinnunen: Nosturin vaunun estimaattoripohjainen tilasäätö Kandidaatintyö
Tampereen yliopisto Automaatiotekniikka Huhtikuu 2020
Nosturin kuorman sijainnin ohjaus on haastavaa kuorman kiinnitystavan vuoksi. Kuorma on ripustettu vaijerilla nosturin puomilla kulkevaan vaunuun, minkä takia se heiluu vapaasti liikutel- taessa. Kuorman siirtäminen paikasta toiseen tulisi olla nopeaa, mutta samalla kuorma ei saisi heilua liikaa.
Tässä työssä suunnitellaan takaisinkytketty säätö torninosturin pienoismallin vaunun sijainnin ohjaamiseksi. Säätimeksi suunnitellaan tilasäädin, jonka säätölaki määritetään LQR-menetelmällä (engl. Linear Quadratic Regulator). Systeemin kaikkia tiloja ei mitata, minkä vuoksi tilasäätöön vaadittava tilatieto estimoidaan tilahavaitsijalla. Työssä tutkitaan asetusarvosuotimen vaikutusta systeemin vasteeseen. Lisäksi suunnitellaan integroiva säätö, jolla varmistetaan vaunun tarkka asettuminen haluttuun paikkaan ja pienennetään ulkoisten häiriöiden vaikutusta.
Suunniteltuja säätöratkaisuja testataan simuloimalla. Suorituskykyä mitataan askelvasteko- keilla, joissa tutkitaan kuorman asettumisaikaa, sekä kuorman heiluntakulman suuruutta. Tilaha- vaitsijan toimintaa tutkitaan häiriötilanteessa ja epätarkalla mittauksella. Suunniteltu säätö kyke- nee siirtämään kuorman haluttuun paikkaan nopeasti, samalla vaimentaen kuorman heilumisen nopeasti. Tilahavaitsija luo estimaatin systeemin tilasta, ja kykenee seuraamaan todellista tilaa myös häiriöiden tai mittauskohinan vaikuttaessa systeemiin.
Avainsanat: torninosturi, säädön suunnittelu, tilasäätö, LQR, tilahavaitsija
Tämän julkaisun alkuperäisyys on tarkastettu Turnitin OriginalityCheck -ohjelmalla.
ALKUSANAT
Haluan kiittää työni ohjaajaa Veli-Pekka Pyrhöstä mielenkiintoisesta aiheesta, sekä avus- ta työn tekemisessä. Hänen tekemänsä työ opiskelijoiden eteen myös tämän hetkisissä poikkeusoloissa on kiitoksen arvoista.
Tampereella, 27. huhtikuuta 2020 Ari-Pekka Kinnunen
SISÄLLYSLUETTELO
1 Johdanto . . . 1
2 Säädettävä systeemi . . . 3
2.1 Nosturin rakenne . . . 3
2.2 Systeemin malli . . . 3
2.3 Ohjattavuus ja havaittavuus . . . 6
2.4 Systeemin ominaisarvot ja stabiilius . . . 7
3 Säädön suunnittelu . . . 9
3.1 Tilatakaisinkytkentä . . . 9
3.2 Linear Quadratic Regulator . . . 10
3.3 Tilahavaitsija . . . 12
3.4 Yhdistetty tilatakaisinkytkentä ja tilahavaitsija . . . 15
3.5 Asetusarvon seuranta . . . 16
3.6 Integroiva säätö . . . 17
4 Tulokset . . . 20
4.1 Askelvastekokeet . . . 20
4.2 Tilahavaitsijan suorituskyky . . . 23
5 Yhteenveto . . . 26
Lähteet . . . 28
LYHENTEET JA MERKINNÄT
LQR Linear Quadratic Regulator
LTI Linear Time-Invariant, lineaarinen aikainvariantti systeemi
SIMO Single-Input, Multiple-Output, yhden ohjauksen ja usean ulostulon systeemi
A Tilamallin systeemimatriisi
B Tilamallin ohjausmatriisi
C Tilamallin mittausmatriisi
D Tilamallin suoravaikutusmatriisi det(M) MatriisinM determinantti
diag(d1, d2, . . . , dn) Diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovatd1, d2, . . . , dn
γ Kuorman heilahduskulma [rad]
Im Vaunun moottorin ohjausvirta [A]
K Tilatakaisinkytkennän vahvistusmatriisi kr Asetusarvon kalibrointikerroin
L Tilahavaitsijan vahvistusmatriisi
λ Systeemin ominaisarvo
Q Tilojen painomatriisi
R Ohjauksien painomatriisi
rank(M) MatriisinM aste
MT MatriisinM transpoosi
u Systeemin ohjaus
V LQR-kustannusfunktio
Wc Ohjattavuuden testimatriisi Wo Havaittavuuden testimatriisi
x Systeemin tilavektori
xp Kuorman sijainti [m]
xj Vaunun sijainti [m]
̇
x Muuttujanxaikaderivaatta
x̂ Tilavektorin estimaatti
̃
x Tilahavaitsijan estimointivirhe
y Systeemin mittaukset
1 JOHDANTO
Nostureiden kuorman ohjaus ja säätö ovat paljon tutkittu aihe. Kuormaa täytyy pystyä siirtäämään haluttuun paikkaan tarkasti, nopeasti ja turvallisesti, joskus rajatuissa tilois- sa. Haastavaksi tämän tekee se, että kuorma on ripustettuna nostureissa vaijerin varaan, minkä vuoksi se heiluu vapaasti sitä liikuteltaessa [8, s. 6]. Tämän takia on kehitelty eri- laisia säätö- ja ohjausratkaisuja joiden tavoitteena on kuorman heilumisen vähentäminen [1].
Tässä työssä suunnitellaan takaisinkytketty säätö torninosturin vaunun sijainnille. Käy- tössä on Quanserin valmistama torninosturin pienoismalli, joka on esitetty kuvassa 1.1.
Tavoitteena on vaunun sijainnin tarkka ja nopea säätö siten, että kuorman heiluminen py- syy hallittavissa rajoissa. Nämä jokseenkin ristiriitaiset tavoitteet pyritään toteuttamaan suunnittelemalla vaunun sijainnille tilasäädin. Haasteena säädön suunnittelussa on se, että liikkeen vapausasteita on enemmän kuin ohjauksia. Heiluntakulmaa ei voida halli- ta itsenäisesti, vaan vaunun sijainti ja kuorman heiluntakulma riippuvat samasta ohjaus- muuttujasta. Säätimen tulee muodostaa sellainen ohjaus, jolla kuorman sijaintia voidaan muuttaa ilman liiallista kuorman heilumista.
Kuva 1.1.Nosturin pienoismalli [10]
Työn ensimmäisessä luvussa esitellään säädettävän systeemin fyysinen rakenne ja ma- temaattinen malli. Vaunun systeemin dynaaminen malli esitetään tilamallilla. Ohjattavuu- den ja havaittavuuden käsitteet esitellään, sekä systeemin näytetään olevan ohjattavissa ja havaittavissa. Lisäksi systeemin dynaamisia ominaisuuksia ja stabiiliutta tutkitaan omi- naisarvojen avulla.
Toisessa luvussa suunnitellaan tilasäädin vaunun sijainnin takaisinkytkettyä säätöä var-
ten. Ensin suunnitellaan regulaattori tilatakaisinkytkennällä. Säätimen säätölaki määri- tetään käyttämällä LQR-menetelmää (engl. Linear Quadratic Regulator). Koska kaikista systeemin tiloista ei ole mittausta, estimoidaan systeemin tila täyden tilan tilaestimaat- torilla. Säätimeen lisätään asetusarvon seuranta, jolloin vaunun sijainti voidaan säätää haluttuun paikkaan. Vaunun liikkeen pehmentämiseksi ja kuorman heilunnan vähentämi- seksi tutkitaan asetusarvosuotimen vaikutusta vasteeseen asetusarvon muutoksissa. Lo- puksi toteutetaan integroiva säätö, jolla varmistetaan säädettävän suureen tarkka suppe- neminen haluttuun asetusarvoon mallinnusvirheistä ja mahdollisista ulkoisista häiriöistä huolimatta.
Viimeisessä luvussa tutkitaan säädetyn systeemin toimintaa simuloimalla. Suunniteltua säätöratkaisua arvioidaan kuorman asettumisajan sekä heilunnan amplitudin perusteella askelvastekokeilla. Tilaestimaattorin toimintaa arvioidaan tutkimalla sen kykyä estiomoi- da systeemin tilaa ulkoisista häiriöistä sekä kohinaa sisältävästä mittauksesta huolimat- ta.
2 SÄÄDETTÄVÄ SYSTEEMI
Tässä luvussa esitellään torninosturin fyysinen rakenne sekä nosturin vaunun matemaat- tinen malli. Vaunun dynamiikkaa kuvataan lineaarisena ja aikainvarianttina LTI-systeeminä (engl. Linear Time-Invariant), jota mallinnetaan tilamallilla. Lisäksi esitellään säädön suun- nittelun kannalta tärkeitä käsitteitä. Systeemin todetaan olevan ohjattavissa ja havaitta- vissa. Luvun lopussa tutkitaan systeemin stabiiliutta ominaisarvojen avulla.
2.1 Nosturin rakenne
Torninosturi koostuu sen pystysuorasta rakenteesta eli tornista, tornin päällä vaakatasos- sa olevasta puomista sekä puomia pitkin kulkevasta vaunusta, johon ripustettuun vaijeriin kiinnitetään siirrettävä taakka. Torninosturilla on kolme eri vapausastetta. Torni kääntyy pystysuoran akselinsa ympäri molempiin suuntiin, vaunu kulkee puomia pitkin edestakai- sin ja taakan korkeutta voidaan muuttaa vaijeria kelaamalla.
Vaunu on kiinnitetty puomin alapuolella sijaitseville kiskoille. Vaunu liikkuu tasavirtamoot- torin avulla, jota ohjausmoduuli ohjaa pulssinleveysmodulaatiolla. Moottorin ohjausvirta on rajoitettu välille ±7 A. Moottorin akselin kiertokulmaa mitataan optisella enkooderil- la, jolla määritetään vaunun sijainti. Vaijeri on kiinnitetty vaunun pohjaan gimbaaliin, joka mahdollistaa vaijerin vapaan heilumisen joka suuntaan. Vaijerin kulmaa puomin suun- taisesti sekä vastaisesti mitataan optisilla enkoodereilla. Kuorman korkeutta muutetaan kelaamalla vaijeria.
2.2 Systeemin malli
Vaunu mallinnetaan lineaarisena kiskoa pitkin kulkevana vaununa. Vapaakappalekuva systeemistä on esitetty kuvassa 2.1. Vaijerin pituuslpon vakio, ja kuorman oletetaan hei- luvan ainoastaan puomin suuntaisesti. Vaijeri oletetaan jäykäksi, jolloin kuormaa voidaan mallintaa jäykkävartisena heilurina. Kun vaunun moottorin ohjausvirtaIm on positiivinen, liikkuu vaunu tornista poispäin. Tällöin vaunun sijaintixj kasvaa. Vaunun sijainnin yksikkö on metri. Taakan heilahduskulmaγ määritetään positiiviseksi, kun vaijeri kiertyy myötä- päivään, eli kun taakka poikkeaa vaunusta tornia kohti. Kun vaijeri on pystysuorassa ja taakka suoraan vaunun alapuolella, heilahduskulma on 0. Heilahduskulma ilmoitetaan
radiaaneina. Kuorman massakeskipisteen sijaintixp saadaan yhtälöstä
xp(t) =xj(t)−lpsin (γ(t)). (2.1)
Kuva 2.1.Vaunun vapaakappalekuva, perustuu lähteeseen [10]
Säädön suunnittelua varten tarvitaan systeemin dynaaminen malli.Tilamalli esittää sys- teemin 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ryhmänä. LTI-systeemin tilamalli on muotoa
⎧
⎨
⎩
̇
x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t),
(2.2) jossa tilavektori x sisältää systeemin tilamuuttujat, ohjausvektori u systeemin ohjaus- muuttujat ja ulostulovektoriysysteemin ulostulomuuttujat eli mittaukset. Tilamallin ylem- pää differentiaaliyhtälöä kutsutaan tiladifferentiaaliyhtälöksi ja alempaa yhtälöä mittausyh- tälöksi. Tilamallin lohkokaavio on esitetty kuvassa 2.2. Systeemissä, jossa onntilaa,poh- jausta jaq ulostuloa, ovat tilamallin matriisien dimensiotA ∈Rn×n,B ∈Rn×p,C ∈Rq×n jaD∈Rq×p. MatriisiaAkutsutaan systeemimatriisiksi, matriisiaBohjausmatriisiksi, mat- riisiaC mittausmatriisiksi ja matriisiaDsuoravaikutusmatriisiksi. Usein suoravaikutuster- miä ei esiinny systeemin tilamallissa eli ohjaukset eivät vaikuta suoraan ulostuloon. [3, s. 34]
Nosturin vaunun dynamiikkaa kuvaavan tilamallin tilavektori on
x(t) = [xj(t) γ(t) ẋj(t) γ(t)]̇ T, (2.3) jossa xj on vaunun asema,γ taakan heilahduskulma sekäẋj jaγ̇ niiden aikaderivaatat eli vaunun nopeus ja taakan heilahdusnopeus. Systeemissä on vain yksi ohjausmuuttuja,
Kuva 2.2.Tilamallin lohkokaavio
joka on moottorin ohjausvirtaIm. Täten ohjaus on skalaari
u(t) =Im(t). (2.4)
Systeemin mittaukset ovat vaunun asemaxj ja taakan heilahduskulmaγ, jolloin ulostu- lovektori on
y(t) = [xj(t) γ(t)]T. (2.5) Systeemin tilojen määrä eli sen kertalukunon siis 4, ohjausten määräpon 1 sekä ulos- tulojen määrä q on 2. Tällaista systeemiä, jolla on yksi ohjaus ja useampia ulostuloja, kutsutaan SIMO-systeemiksi (engl. Single-Input, Multiple-Output).
Tilamallin matriisit nosturin vaunulle ovat [10]
A=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 0 1 0
0 0 0 1
0 − mpr
2 j,pg
mtrj,p2 +JψKg,j2 0 0 0 −g(mtr
2
j,p+mpr2j,p+JψKg,j2 (mtrj,p2 +JψK2g,j)lp 0 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, (2.6a)
B =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 0
rj,pηg,jKg,jηm,jKt,j
mtr2j,p+JψKg,j
rj,pηg,jKg,jηm,jKt,j
(mtr2j,p+JψKg,j2 )lp
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, (2.6b)
C=
⎡
⎣
1 0 0 0 0 1 0 0
⎤
⎦ja (2.6c)
D=
⎡
⎣ 0 0
⎤
⎦. (2.6d)
Mallin parametrit on esitetty taulukossa 2.1.
Taulukko 2.1.Mallin parametrit [10]
Symboli Kuvaus Arvo Yksikkö
Kt,j Moottorin vääntövakio 0,0396 Nm/A Kg,j Moottorin vaihteiston välitys 3,7:1 -
mt Vaunun massa 0,60 kg
mp Taakan massa 0,147 kg
rj,p Vetopyörän säde 0,0396 m
Jψ Moottorin hitausmomentti 9,14·10-7 kgm2
ηg,j Vaihteiston hyötysuhde 0,95 -
ηm,j Moottorin hyötysuhde 0,79 -
lp Vaijerin pituus 0,80 m
Säätämättömälle systeemille simuloidut yksikköaskelvasteet on esitetty kuvissa 2.3a ja 2.3b. Vaunun sijainnin askelvasteesta kuvassa 2.3a nähdään, että vaunun sijainti kasvaa kiihtyvällä nopeudella. Kuorman heilahduskulma kuvassa 2.3b oskilloi vaimentumatta.
(a)Vaunun sijainti (b)Kuorman heilahduskulma Kuva 2.3.Vaunun yksikköaskelvasteet
Tässä aliluvussa esitetty systeemin mallia käytetään tilasäätimen suunnitteluun. Malli ei ota huomioon ohjausrajoituksia, eikä vaunun maksimi- tai minimisijainteja. Nämä rajoi- tukset tulee ottaa huomioon säätimen implementoinnissa oikeaan systeemiin.
2.3 Ohjattavuus ja havaittavuus
Jotta systeemille on toteutettavissa takaisinkytketty säätö ja tilahavaitsija, on sen oltava ohjattavissa ja havaittavissa. Systeeminohjattavuuskertoo, voidaanko systeemin ohjauk- silla vaikuttaa kaikkiin sen tilamuuttujiin.Havaittavuuskertoo, voidaanko systeemin koko tilatieto muodostaa sen mittauksista ja ohjauksista. [4, s. 143]
Systeemi on ohjattavissa, jos on olemassa ohjaus u(t), jolla mielivaltaisesta alkutilasta x(t0) päästään mihin tahansa toiseen tilaan x(0) äärellisessä ajassa t0 ≤ t ≤ T [5,
Systeemi on ohjattavissa, jos ja vain jos ohjattavuusmatriisiWcon täysiasteinen [4, s. 145].
Vaunun tilamallille muodostetun ohjattavuusmatriisinWc,v aste on rank(Wc,v) =rank[︂
B AB A2B A3B ]︂
= 4 =n, (2.8)
eli systeemi on ohjattavissa.
Systeemi on havaittavissa, jos sen alkutilax(t0)voidaan määrittää äärellisessä ajassaT mittaushistoriastay(t) tietäen ohjaushistoriau(t),t0 ≤ t≤ T [5, s. 818]. Havaittavuutta voidaan tutkiahavaittavuusmatriisilla
Wo=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ C CA
... CAn−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. (2.9)
Systeemi on havaittavissa, jos ja vain jos havaittavuusmatriisi Wo on täysiasteinen [4, s. 156]. Vaunun tilamallille muodostetun havaittavuusmatriisinWo,v aste on
rank(Wo,v) =rank
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ C CA CA2 CA3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= 4 =n, (2.10)
eli systeemi on havaittavissa.
2.4 Systeemin ominaisarvot ja stabiilius
Systeemin dynamiikkaa voidaan analysoida senominaisarvoilla. Ominaisarvojen avulla voidaan tutkia systeeminstabiiliutta ja dynaamisia ominaisuuksia, kuten värähtelyn vai- mentumista. Systeemin ominaisarvotλratkaistaan yhtälöstä [5, s. 412]
det(λI−A) = 0. (2.11)
Vaunun systeemille ominaisarvojen yhtälö on
det(λI−A) =λ4+ 13,33λ2 = 0, (2.12)
joka ratkaisemalla saadaan ominaisarvoiksi
⎧
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩ λ1 = 0 λ2 = 0 λ3 = 3,6510i λ4 =−3,6510i.
(2.13)
Tässä työssä stabiiliutta tutkitaan tarkastelemalla systeemin asymptoottista stabiiliutta.
Systeemi on asymptoottisesti stabiili, kun sen luonnollinen vaste suppenee nollaan sys- teemin alkutilasta riippumatta. Systeemin luonnollinen vaste on
̇
x(t) =Ax(t), (2.14)
jonka ratkaisu on
x(t) =eAtx(t0), (2.15) jossax(t0)on systeemin alkutila. Systeemi on asymptoottisesti stabiili eli
x(t) =eAtx(t0)→0, kunt→ ∞, (2.16) jos ja vain jos kaikki ominaisarvot ovat reaaliosaltaan aidosti negatiivisia. Systeemi on marginaalisesti stabiili, jos ja vain jos sen ominaisarvot ovat reaaliosaltaan negatiivisia ja imaginääriakselilla olevat ominaisarvot ovat yksinkertaisia.[4, s. 129–130]
Vaunun systeemillä on ominaisarvoja, joiden reaaliosa on nolla, joten se ei ole asymp- toottisesti stabiili. Origossa oleva ominaisarvo on kaksinkertainen, joten systeemi ei ole myöskään marginaalisesti stabiili. Säätämätön vaunun systeemi on siis epästabiili. Ori- gossa oleva kaksinkertainen ominaisarvo kertoo systeemin mallissa olevasta tuplainte- graattorista. Tämä näkyy vaunun sijainnin askelvasteessa kuvassa 2.3a, jossa vaunu liik- kuu kiihtyvällä nopeudella. Puhtaasti imaginäärinen ominaisarvopariλ3,4aiheuttaa vakio- amplitudista oskillointia, joka näkyy kuorman vasteessa kuvassa 2.3b. Ominaisarvoparin kulmataajuus on 3,79 rad/s. [7, s. 150]
Stabiilius on säädetyn systeemin välttämätön ehto. Epästabiilin systeemin ohjaus ilman takaisinkytkentää siten, että sitä voidaan hallita halutulla tavalla on mahdotonta. Tämän vuoksi vaunulle on suunniteltava takaisinkytketty säätö, jolla systeemi stabiloidaan.
3 SÄÄDÖN SUUNNITTELU
Tässä luvussa suunnitellaantilasäädinvaunun paikan säädölle. Tilasäätimen suunnitte- lun vaiheet ovat [7, s. 432]:
1. takaisinkytketyn systeemin ominaisarvojen valinta ja säätölain muodostaminen 2. tilaestimaattorin suunnittelu
3. säätölain ja tilaestimaattorin yhdistäminen 4. asetusarvon seuraamisen toteuttaminen.
Tässä työssä säätölaki määritetään LQR-menetelmällä. Tilaestimaattoriksi suunnitellaan täysitilahavaitsija, joka suunnitellaan ominaisarvojen asettelu menetelmällä. Lisäksi suun- nitellaan integroiva säätö.
3.1 Tilatakaisinkytkentä
Oletetaan, että saatavilla on tieto systeemin koko tilastax(t), kaikilla ajanhetkillät. Sys- teemin ohjaus muodostetaansäätölailla[5, s. 821]
u(t) =−Kx(t), (3.1)
jossaK∈Rn×p on takaisinkytkennän vahvistusmatriisi.
Kuva 3.1.Tilatakaisinkytkennän lohkokaavio
Kun yhtälön 3.1 säätölaki sijoitetaan yhtälön 2.2 mukaiseen tilamalliin, saadaan tilayhtä- löksi
̇
x(t) =Ax(t)−BKx(t) = (A−BK)x(t). (3.2)
Tällöin takaisinkytketyn eli suljetun systeemin systeemimatriisi on
Φsulj =A−BK, (3.3)
ja suljetun systeemin ominaisarvot ratkaistaan yhtälön 2.11 mukaan yhtälöstä
det(λI−Φsulj) = det(λI−(A−BK)) = 0. (3.4) Kun suljetun systeemin ominaisarvot ovat reaaliosiltaan aidosti negatiivisia, on se asymp- tioottisesti stabiili eli
x(t) =e(A−BK)tx(t0)→0, kunt→ ∞. (3.5) Suljetun systeemin ominaisarvot ovat sijoitettavissa mielivaltaisesti, jos systeemi on oh- jattavissa [4, s. 235], jolloin ne voidaan sijoittaa imaginääriakselin vasemmalle puolelle kompleksitasolla. Täten ohjattavissa oleva systeemi voidaan stabiloida, ja sen dynamii- kasta voidaan tehdä halutunlainen täyden tilan tilatakaisinkytkennällä. Alaluvussa 2.3 to- dettiin vaunun systeemin olevan ohjattavissa, joten tilatakaisinkytkennän suunnittelu vau- nulle on mahdollista.
Lohkokaavio tilatakaisinkytkennästä on esitetty kuvassa 3.1. Kaavion mukaista säätö- piiriä kutsutaan regulaattoriksi [5, s. 822]. Regulaattori ohjaa systeemin tilat alkutilasta origoon suunnitellun dynamiikan mukaisesti.
3.2 Linear Quadratic Regulator
LQR-menetelmällä voidaan analyyttisesti ratkaista optimaalinen neliöllisen kustannus- funktion minimoiva säätölaki lineaariselle systeemille. Tässä työssä käytettävä kustan- nusfunktio on
V(u(t)) =
∫︂ ∞ 0
(xT(t)Qx(t) +uT(t)Ru(t))dt, (3.6) jossaQon positiivisesti semidefiniitti matriisi, jaRon positiivisesti definiitti matriisi. Ohjat- tavissa olevalle LTI-systeemille yhtälön kustannusfunktion minimoiva ohjaus on [2, s. 37]
u(t) =−R−1BTPx(t), (3.7)
josta saadaan yhtälön 3.1 säätölain mukainen tilatakaisinkytkennän vahvistus
K =R−1BTP. (3.8)
Yhtälön 3.7 matriisiP ratkaistaanRiccatin yhtälöstä[2, s. 40]
P A+ATP−P BR−1BTP +Q= 0. (3.9) Matriisit Qja R ovat kustannusfunktion painomatriiseja. Tässä työssä tilojen painomat- riisin valitaan olevan diagonaalimatriisi Q = diag(q1, q2, . . . , qn), jolloin systeemin i:nen
kytavoitteiden välillä ei ole välttämättä suoraa yhteyttä. Vaunun LQR-säätimen painomat- riisit määritettiin simuloimalla askelvasteita eri painomatriiseilla lasketuilla tilatakaisinkyt- kennän vahvistuksilla. MatriisinQ diagonaalialkioita iteroitiin välillä [1, 25], ja ohjauksen painoarvo oliR = 1jokaisella iteraatiolla. MatriisiksiQvalittiin se matriisi, joka tuotti pie- nimmän kuorman asettumisajan simuloidussa askelvasteessa. Pienimmän asettumisajan tuottaneeksi matriisiksi saatiin
Q=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
9 0 0 0
0 21 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. (3.10)
Yhtälön 3.6 kustannusfunktion minimoiva optimaalinen tilatakaisinkytkennän vahvistus määritetyillä painomatriiseilla on
K= [︂
3,00 5,63 2,61 −0,187 ]︂
. (3.11)
Suljetun systeemin ominaisarvotλsulj yhtälön 3.4 mukaan ovat
⎧
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
λ1,sulj =−38,7 λ2,sulj =−1,85
λ3,sulj =−1,43 + 2,69i λ4,sulj =−1,43−2,69i,
(3.12)
joiden sijainti kompleksitasolla on esitetty kuvassa 3.2.
Kuva 3.2.Suljetun systeemin ominaisarvot
Tilatakaisinkytketyn systeemin kaikki ominaisarvot ovat reaaliosaltaan aidosti negatiivi-
sia. Tilatakaisinkytkennän dynamiikkaa dominoi kompleksinen konjugaattipari λ3,4,sulj. Tähän konjugaattipariin liittyvä kulmataajuus on 3,05 rad/s, ja vaimennuskerroin on 0,47.
Täten suunniteltu tilatakaisinkytkentä stabiloi systeemin, sekä luo vaimennusta systee- min värähtelyyn.
3.3 Tilahavaitsija
Tilatakaisinkytkennän suunnittelussa alaluvuissa 3.1 ja 3.2 oletettiin, että systeemin tila- tieto on saatavilla kokonaisuudessaan. Käytännössä tilatieto ei kuitenkaan ole aina saata- villa kokonaan. Kaikkien tilojen mittaamiseen tarvitaan enemmän sensoreita, mikä tekee järjestelmän toteuttamisesta monimutkaisempaa ja lisää kustannuksia [5, s. 827]. Kos- ka tilatakaisinkytkentä vaatii tiedon kaikista tiloista, on mittaamattomat tilat estimoitava tilaestimaattorilla.
Vaunusta mitataan sen sijaintixj ja taakasta sen heilahduskulmaγ. Koko tilatiedon muo- dostamiseksi täytyy vaunun nopeusẋjja taakan heilahduskulmanopeusγ̇ estimoida. Tä- tä varten suunnitellaantäyden tilan tilahavaitsija. Tilahavaitsija muodostaa tilan estimaa- tin ohjauksen ja mittauksien avulla. Täyden tilan tilahavaitsija muodostaa estimaatin koko tilavektorista, eli myös mitatuista tiloista. Täyden tilan tilaestimaattori voidaan suunnitella sellaiseksi, että se suodattaa mitattujen tilojen mittauskohinaa [7, s. 490].
Tilahavaitsijan tiladifferentiaaliyhtälö on muotoa [5, s. 827]
̂̇
x(t) =Âx(t) +Bu(t) +L(y(t)−Cx(t)),̂ (3.13) jossa ̂x on tilan estimaatti ja L ∈ Rn×q tilahavaitsijan vahvistusmatriisi. Tilahavaitsijan lohkokaavio on esitetty kuvassa 3.3. Tilahavaitsijanestimointivirheon
̃
x(t) =x(t)−̂x(t). (3.14) Tilahavaitsija tulee suunnitella siten, että estimointivirhe suppenee nollaan. Derivoidaan yhtälö 3.16 jolloin saadaan
x(t) = ̇̇̃ x(t) + ̇̂x, (3.15) johon systeemin malli ja yhtälön 3.13 tilahavavaitsija sijoittamalla saadaan
x(t) =̇̃ Ax(t) +Bu(t)−Âx−Bu(t)−L(y(t)−Cx(t))̂
=Ax(t)−Âx(t)−L(Cx(t)−Ĉx(t))
= (A−LC)(x(t)−x(t))̂
= (A−LC)̃x(t).
(3.16)
Estimointivirhẽx(t)suppenee nollaan kun tilahavaitsijan ominaisarvot, jotka saadaan yh- tälöstä
det(λI−(A−LC)) = 0, (3.17)
Kuva 3.3.Tilahavaitsijan lohkokaavio
Tilahavaitsijan dynamiikka tulee olla suljetun systeemin haluttua dynamiikkaa nopeam- pi. Tällöin estimointivirhe suppenee nopeasti, eikä vaikuta merkittävästi suljetun sýstee- min vasteeseen. Kirjallisuudessa tilahavaitsijan ominaisarvojen suositellaan olevan 2–6 [7, s. 494] tai 2–10 [5, s. 835] kertaa nopeampia kuin tilatakaisinkytkennän ominaisarvot.
Ominaisarvojen asettelussa täytyy ottaa huomioon mittauksien kohinaisuus. Ominaisar- voja ei voi asettaa mielivaltaisen nopeiksi, koska samalla tilahavaitsijan mittauskohinan suodatuskyky heikkenee [7, s. 494]. Tämän vuoksi ominaisarvojen asettelu on kompro- missi riittävän kohinansuodatuksen ja estimointivirheen suppenemisnopeuden välillä.
Tilahavaitsijan ominaisarvojen asettelu on mahdollista tehdä tilatakaisinkytkennässä käy- tettävillä menetelmillä. Tämän mahdollistaa ongelmienduaalisuus. VahvistuksienKjaL laskennat ovat matemaattisesti ekvivalentteja tekemällä sijoitukset [3, s. 207]
A↔AT B ↔CT K ↔LT (3.18)
Vaunun tilahavaitsijan ominaisarvot sijoitetaan kompleksitasolla 4 kertaa kauemmaksi imaginääriakselista kuin tilatakaisinkytkennän ominaisarvot, eli tilatakaisinkytkennän omi- naisarvojen reaaliosa kerrotaan 4:llä. Tällöin halutuiksi tilahavaitsijan ominaisarvoiksi saa-
daan ⎧
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
λ1,havaitsija=−155 λ2,havaitsija=−7,44
λ3,havaitsija=−5,74 + 2,70i λ4,havaitsija=−5,74−2,70i.
(3.19)
Tilahavaitsijan ja tilatakaisinkytkennän ominaisarvot kompleksitasolla on esitetty kuvassa
3.4.Halutut havaitsijan ominaisarvot saavutetaan tilahavaitsijan vahvistuksella
L=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
73,8 146 37,6 99,9
484 1040 284 695
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. (3.20)
Kuva 3.4.Tilahavaitsijan ja tilatakaisinkytkennän ominaisarvot
Tilahavaitsijan estimointivirheen suppeneminen alkuarvovirheestä on esitetty kuvassa 3.5. Siinä vaunun tilamallin alkuarvoksi on asetettu simulaattorissax(t0) = [1 −0.25 0 0], eli vaunun sijainti on 1 m ja heilahduskulma on -0,25 rad ajanhetkellä 0 s. Kuvaajasta näh- dään, että sijainnin estimointivirhe x̃j ja heilahduskulman estimointivirhe γ̃ suppenevat noin sekunnissa nollaan.
Kuva 3.5.Estimointivirhe
Jos mittauskohina aiheuttaa ongelmia säädön toiminnassa, voi olla tarpeen pienentää tilahavaitsijan vahvistuksia sijoittamalla tilahavaitsijan ominaisarvot uudelleen.
tilan olevan käytettävissä. Vaunun systeemistä ei mitata kaikkia tiloja, vaan tilatieto muo- dostetaan tilahavaitsijalla. Tällöin säätölaki voidaan muodostaa siten, että siinä hyödyn- netään tilahavaitsijan muodostamaa tilan estimaattia, jolloin säätölaiksi saadaan
u(t) =−Kx(t).̂ (3.21)
Sijoittamalla yhtälön 3.21 estimoitua tilaa käyttävä säätölaki yhtälön 3.13 tilahavaitsijaan, saadaan tilahavaitsijan tiladifferentiaaliyhtälöksi
x(t) =̂̇ Âx(t)−BKx(t) +̂ L(y(t)−Cx(t))̂
= (A−BK−LC)̂x(t) +Ly(t).
(3.22) Estimointivirheen differentiaaliyhtälö ei muutu, koska kuten yhtälöstä 3.16 nähdään, su- pistuvat ohjauksen sisältämät termit pois. Sijoittamalla yhtälön 3.21 systeemin malliin, saadaan tilatakaisinkytkennän tiladifferentiaaliyhtälöksi
x(t) =̇ Ax(t)−BKx(t),̂ (3.23) johon sijoittamalla
̂
x(t) =x(t)−x(t),̃ (3.24) saadaan
̇
x(t) =Ax(t)−BK(x(t)−̃x(t))
= (A−BK)x(t) +BKx(t).̃ (3.25) Nyt suljetun systeemin dynamiikka koostuu estimointivirheen ja tilatakaisinkytkennän dy- namiikoista. Yhtälön 3.16 estimointivirhe sekä yhtälön 3.25 tilatakaisinkytkentä ovat mat- riisimuodossa esitettynä
⎡
⎣ x(t)̇ x(t)̇̃
⎤
⎦=
⎡
⎣
A−BK BK
0 A−LC
⎤
⎦
⎡
⎣ x(t)
̃ x(t)
⎤
⎦. (3.26)
Koska saatu systeemimatriisi on yläkolmiomatriisi, saadaan ominaisarvot yhtälöstä [5, s. 832]
det(λI−(A−BK)) det(λI−(A−LC)) = 0, (3.27) josta nähdään, että jos tilatakaisinkytkennän sekä tilahavaitsijan ominaisarvot ovat stabii- leja, on myös koko suljettu systeemi stabiili. Niiden ominaisarvot eivät myöskään vaikuta toistensa dynamiikkaan, mikä tarkoittaa että ne voidaan suunnitella toisistaan riippumat- ta.
3.5 Asetusarvon seuranta
Edellisissä luvuissa suunniteltiin säädin, joka kykenee liikuttamaan vaunun paikan ori- goon alkutilasta, sekä pitämään sen siellä mahdollisten ulkoisten häiriöitten vaikuttaessa systeemiin. Kuormaa kuitenkin pitää pystyä myös siirtämään haluttuun paikkaan eliase- tusarvoon. Tätä kutsutaan säätimenservotehtäväksi.
Lisätään yhtälön 3.1 säätölakiin asetusarvotermi, jolloin uudeksi säätölaiksi saadaan u(t) =−Kx(t) +krr(t), (3.28) jossakr on asetusarvon kalibrointikerroin jar(t)asetusarvo. Sijoittamalla uusi säätölaki yhtälön 2.2 tiladifferentiaaliyhtälöön saadaan
x(t) =̇ Ax(t) +B(−Kx(t) +krr(t))
= (A−BK)x(t) +Bkrr(t).
(3.29) Jotta säädettävä suure asettuu tarkasti asetusarvoonsa, tulee suljetun systeemin tasa- painotilan vahvistus olla 1. Tämä saadaan aikaiseksi valitsemalla kalibrointikertoimen ar- voksi [3, s. 176]
kr= 1
−(C(A−BK)−1B). (3.30) Yhtälön käytössä tulee huomata, että se toimii ainoastaan yhden säädettävän suureen tapauksessa. Vaunun systeemissä säädettävä suure, jonka halutaan asettuvan tarkasti asetusarvoonsa, on vaunun sijainti xj, joten yhtälöön 3.30 sijoitettava mittausmatriisi on tällöinC = [1 0 0 0].
Yhtälöstä 3.29 nähdään, että asetusarvon lisääminen ei muuta suljetun systeemin sys- teemimatriisiaA−BK. Tämä tarkoittaa sitä, ettei asetusarvotermi vaikuta suljetun systee- min stabiiliuteen tai regulointiominaisuuksiin. Systeemin asetusarvoastetta voidaan muo- kata suodattamalla asetusarvoa asetusarvosuotimella. Tässä työssä asetusarvoa suo- datetaan 1. kertaluvun alipäästösuotimella. Suotimen aikavakio τ määrittää sen, kuinka nopeasti suodattimen ulostulo nousee asetettuun asetusarvoon. Suotimen askelvasteita eri aikavakioilla on esitetty kuvassa 3.6.
Kuva 3.6.Alipäästösuotimen askelvasteita
rille menevä ohjaus muodostetaan säätölailla, joka koostuu tilatakaisinkytkennästä sekä asetusarvotermistä. Asetusarvotermi sisältää käyttäjän antaman asetusarvon r(t), jota suodatetaan asetusarvosuotimella ja vahvistetaan kalibrointikertoimella.
Kuva 3.7.Estimaattoripohjaisen tilasäätimen lohkokaavio
3.6 Integroiva säätö
Systeemin malli ei ole koskaan täydellinen, vaan siihen liittyy aina epävarmuutta. Tä- män takia systeemin mallin avulla määritetty kalibrointikerroin ei takaa säädettävän suu- reen tarkkaa asettumista asetusarvoon. Robusti vakioasetusarvon seuranta saavutetaan suunnittelemallaintegroiva säätö. [3, s. 195] Lisäksi integroivalla säätimellä voidaan pie- nentää ulkoisten häiriöiden vaikutusta systeemiin. Integroivan säädön sisältävän tilasää- timen rakenne on esitetty kuvassa 3.8.
Kuva 3.8.Integroivan tilasäätimen lohkokaavio
Integroivassa säädössä säätölakiin lisätään erosuureene(t) =r(t)−y(t)integraalin sisäl- tävä termi. Systeemin tilaan lisätään integraalin sisältävä tilaxi, jonka differentiaaliyhtälö on
̇
xi(t) =r(t)−y(t) =r(t)−Cx(t). (3.31)
Tällöin uusi säätölaki on
u(t) =−Kx(t) +kixi(t), (3.32) jossaki on integraalitermin vahvistus. Sijoittamalla yhtälön 3.32 säätölaki systeemin tila- differentiaaliyhtälöön saadaan
x(t) =Ax(t) +̇ B(−Kx(t) +kixi(t))
=(A−BK)x(t) +Bkixi(t).
(3.33) Kirjoittamalla yhtälöt 3.31 ja 3.33 matriisimuodossa, saadaan integroivan säädön dyna- miikan selittäväksi differentiaaliyhtälöryhmäksi
⎡
⎣
̇ x
̇ xi
⎤
⎦=
⎡
⎣
A−BK Bki
−C 0
⎤
⎦
⎡
⎣ x xi
⎤
⎦+
⎡
⎣ 0 1
⎤
⎦r(t). (3.34)
Integroivan säätimen integraalitermin vahvistus ki on uusi viritettävä parametri. Se voi- daan määrittää myös LQR-menetelmän avulla, jolla saatua säädintä kutsutaan myös LQI-säätimeksi (engl. Linear-Quadratic-Integral) [6]. Tällöin tilatakaisinkytkennän suun- nittelemista varten systeemin tilavektoriin lisätään tilamuuttuja säädettävän suureen inte- graalille, jolloin uusi tilavektori on
z(t) = [xj γ ẋj γ̇ ∫xj]T. (3.35) Systeemimatriisi ja ohjausmatriisi täytyy päivittää sisältämään integraali, jolloin ne ovat
Ai =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 − mpr
2 j,pg
mtr2j,p+JψKg,j2 0 0 0 0 −g(mtr
2
j,p+mpr2j,p+JψKg,j2
(mtr2j,p+JψKg,j2 )lp 0 0 0
1 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, Bi =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 0
rj,pηg,jKg,jηm,jKt,j
mtrj,p2 +JψKg,j
rj,pηg,jKg,jηm,jKt,j
(mtr2j,p+JψK2g,j)lp
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. (3.36)
Nyt optimaalinen ohjaus voidaan ratkaista luvun 3.2 menetelmällä. Ratkaistu vahvistus on muotoa
K= [Kx ki], (3.37)
jossaKxon tilatakaisinkytkennän vahvistus, jakiintegraalitermin vahvistus.
Koska integraali luo ylimääräisen tilamuuttujan, on myös painomatriisiin Qlisättävä uusi diagonaalialkio. Uusi painomatriisi määritettiin luvussa 3.2 esitetyllä tavalla. Integroivan säädön painomatriisiksi saatiin
Qi=diag(7,5,1,1,19), (3.38)
jossa tilatakaisinkytkennän ja integraalitermin vahvistukset ovat kaavan 3.37 mukaan Kx=
[︂
5,35 3,74 2,48 −0,45 ]︂
, ki= 4,35. (3.40)
Integroiva säädin voitaisiin suunnitella myös siten, että sen säätölaki sisältää yhtälön 3.28 kalibrointikertoimen sisältävän asetusarvotermin. Tämän termin myötäkytkennällä voitai- siin muodostaa staattinen ohjaus, jolloin integrattorin tehtäväksi jää ainoastaan mahdolli- sen säätövirheen poistaminen.
4 TULOKSET
Tässä luvussa tutkitaan suunnitellun takaisinkytketyn säädön toimivuutta simuloimalla.
Säädetyn systeemin suorituskykyä mitataan kuorman sijainnin asettumisajalla sekä kuor- man heilunnan amplitudilla askelvastekokeissa. Asettumisaika määritetään aikana, jossa kuorman massakeskipistexp pysyy±2 %:n marginaalin sisällä uudesta asetusarvosta.
Tilahavaitsijan toimintaa tutkitaan häiriöiden vaikuttaessa systeemiin.
4.1 Askelvastekokeet
Simuloiduissa askelvastekokeissa vaunun sijainnin asetusarvoa muutettiin askelmaisesti ajanhetkellät= 1s. Kuvassa 4.1 on esitetty vaunun sijainnin ja kuorman heiluntakulman simuloitu vaste.
Kuva 4.1.Säädetyn systeemin askelvaste
Askelvasteen alussa vaunu kiihdyttää nopeasti, joka aiheuttaa kuorman heiluntakulman kasvamisen, eli kuorma jää vaunun liikkeestä jälkeen. Vaunun lähestyessä asetusarvo- aan vaunun nopeus hidastuu, jolloin kuorma heilahtaa eteenpäin vaunun liikkeeseen ver- rattaessa. Vaunun sijainnin saapuessa asetusarvoonsa kuorman heilunta vaimenee no-
Kuva 4.2.Massakeskipisteen sijainti
Kuorman massakeskipisteen sijainti askelvastekokeessa on esitetty kuvassa 4.2. Massa- keskipisteen asettumisaika askelkoeessa on 2,042 s.
Asetusarvosuotimella simuloitu askelvaste on esitetty kuvassa 4.3. Asetusarvosuotimen aikavakio on määritetty kokeellisesti. Askelkokeessa suotimen aikavakioksi on asetettu 0,45 sekuntia. Vaunu kiihtyy vasteen alussa hitaammin ilman asetusarvosuodinta saa- tuun vasteeseen verrattuna. Kuorman heiluntakulman amplitudi on siten pienempi ase- tusarvosuotimella. Suurin heiluntakulma asetusarvosuotimella on 0,123 rad.
Kuva 4.3.Säädetyn systeemin askelvaste asetusarvosuotimella
Massakeskipisteen sijainti askelvasteessa asetusarvosuotimen sisältämällä säätimellä on esitetty kuvassa 4.4. Massakeskipisteen asettumisaika asetusarvosuotimella on 3,00 s.
Kuva 4.4.Massakeskipisteen sijainti asetusarvosuotimella
Askelvaste integroivalla säädöllä on esitetty kuvassa 4.5. Vaunu kiihtyy myös integroivalla säädöllä hitaammin vasteen alussa, mikä johtuu integraattorin luomasta hitaasta dynamii- kasta ja kalibrointikertoimen sisältämän asetusarvotermin puuttumisesta. Täten kuorman heiluntakulmakin pysyy pienempänä integroivalla säädöllä. Kuorman suurin heiluntakul- ma integroivalla säädöllä on 0,129 rad.
Kuva 4.5.Askelvaste integroivalla säädöllä
Massakeskipisteen sijainti askelvastekokeessa integroivalla säädöllä on esitetty kuvassa 4.6. Kuorman asettumisaika integroivalla säädöllä on 2,51 s.
Kuva 4.6.Massakeskipisteen sijainti integroivalla säädöllä
Ohjaussignaalit askelkokeissa eri säätimillä on esitetty kuvassa 4.7. Ohjausvirta ei kasva millään säätöratkaisulla yli sallitun±7A yli. Asetusarvosuotimella ja integroivalla säädöllä ohjauksen suurin piikki askelkokeen alussa on merkittävästi pienempi.
(a)Askel (b)Asetusarvosuodin (c)Integroiva säätö Kuva 4.7.Askelvasteiden ohjaussignaalit
4.2 Tilahavaitsijan suorituskyky
Tilahavaitsijan suorituskykyä tarkastellaan simuloimalla sen toimintaa, kun systeemiin kohdistuu ulkoisia häiriöitä. Tutkittavat häiriötilanteet ovat systeemiin kohdistuva impulssi- häiriö sekä kohinaa sisältävä mittaus. Tilahavaitsijan toimintaa impulssihäiriössä tutkitaan tarkastelemalla estimaatin käyttäytymistä häiriön jälkeen. Kohinaisen mittauksen vaiku- tusta arvioidaan tutkimalla tilahavaitsijan kykyä suodattaa mittauskohinaa.
Estimoidut ja todelliset tilat impulssihäiriökokeessa on esitetty kuvassa 4.8. Kokeessa systeemin ohjaukseen summataan positiivinen impulssisignaali ajanhetkellä 1 sekuntia.
Häiriö aiheuttaa tilahavaitsijan estimointivirheen hetkellisen kasvamisen. Vaunun sijain- nin ja kuormann heilahduskulman estimaatit seuraavat todellisia tiloja melko tarkasti. No- peuksien estimaatit eivät seuraa impulssista syntyvää äkillistä nopeudenmuutosta, mutta alkavat kuitenkin seuraamaan oikeaa nopeutta nopeasti. Kaikkien tilojen estimointivirhe on supennut nollaan sekunnin aikana häiriöstä.
Kuva 4.8.Tilaestimaatti impulssihäiriössä
Mittauskohinan vaikutus tilahavaitsijan toimintaan on esitetty kuvassa 4.9. Kokeessa ti- lahavaitsijan saamaan mittaussignaaliin on summattu normaalijakautunutta kohinaa. Ku- vasta nähdään, että tilahavaitsijan muodostamassa estimaatissa on mittaukseen verrat- tuna vähemmän kohinaa. Mitattujen tilojen estimoinnilla pystytään siis suodattamaan mit- tauskohinaa.
Kuva 4.9.Tilaestimaatti mittauskohinalla
Kuten kappaleessa 3.3 todettiin, on tilahavaitsijan suunnittelu estimointivirheen suppe- nemisnopeuden ja mittauskohinan suodatuksen välinen kompromissi. Estimointivirheen dynamiikka voitaisiin suunnitella nopeammaksi asettamalla tilahavaitsijan ominaisarvot
tarkoittaisi sitä, että tilahavaitsijan ominaisarvot sijaitsisivat lähempänä imaginääriakse- lia. Tämä voi johtaa siihen, että myös tilatakaisinkytkentä on suunniteltava hitaammaksi, koska suljetun systeemin dynamiikan tulee olla tilahavaitsijan dynamiikkaa hitaampi.
5 YHTEENVETO
Tässä työssä suunniteltiin tilasäädin puominosturin vaunun sijainnin säätöön. Vaunul- la siirretään siihen vaijerilla ripustettua kuormaa. Kuorman kiinnitystavan takia se hei- luu liikuteltaessa, minkä vuoksi heiluminen tulee ottaa huomioon säädön suunnittelussa.
Säädössä käytettiin tilatakaisinkytkentää, jonka säätölaki määritettiin käyttämällä LQR- menetelmää. Tilatakaisinkytkennän vaatima estimaatti systeemin kaikista tiloista muo- dostettiin täyden tilan tilahavaitsijalla. Lisäksi tutkittiin asetusarvosuotimen vaikutusta sää- detyn systeemin asetusarvovasteeseen, sekä toteutettiin integroiva säätö. Säätöratkaisu- jen suorituskykyä tutkittiin simulaattorilla suoritetuilla kokeilla. Eri säädintyypeillä saadut tulokset askelvastekokeissa on koottu taulukkoon 5.1.
Säädintyyppi Asettumisaika (s) Suurin heilahduskulma (rad)
Tilasäädin 2,04 0,220
Tilasäädin asetusarvosuotimella 3,00 0,123 Tilasäädin integroivalla säädöllä 2,51 0,129 Taulukko 5.1.Askelkokeiden tulokset
Nosturin kuorman sijainnin säädön perustavanlaatuinen ongelma syntyy siitä, että kuor- ma on ripustettu vaijerilla siten, että se heiluu vapaasti liikuteltaessa. Koska täyden tilan tilatakaisinkytkennän säätölaki ottaa huomioon vaunun sijainnin ja nopeuden lisäksi kuor- man heilahduskulman ja -nopeuden, saadaan sen avulla luotua vaimennusta kuorman heiluntaan.
Tilatakaisinkytkennän vahvistusmatriisin määrittämiseksi käytettiin LQR-menetelmää, jol- la saadaan neliöllisen kustannusfunktion minimoiva optimaalinen säätölaki. Kustannus- funktion painomatriisi systeemin eri tiloille määritettiin simuloimalla systeemin vastetta eri tilojen painoilla, ja valitsemalla painomatriisiksi pienimmän asettumisajan tuottaneet pai- not. Tällä tavalla saatiin helposti yhdistettyä kustannusfunktion painojen valinta systeemin suorituskykyä mittaavaan suureeseen.
Tilaestimaattoriksi suunniteltu täyden tilan tilahavaitsija loi estimaatin systeemin tilasta, jota voitiin käyttää tilatakaisinkytkennässä. Tilahavaitsijan vahvistusmatriisi suunniteltiin napojen asettelulla. Siten tilahavaitsijan estimointivirheen dynamiikka saatiin suunnitel- tua riittävän nopeaksi suljetun systeemin dynamiikkaan verrattuna. Tilahavaitsija estimoi myös mitattuja tiloja, mikä suodatti kohinaista mittausta. Jos suuri mittauskohina aiheut- taisi ongelmia säädössä, voitaisiin tilahavaitsijan vahvistus suunnitella uudestaan parem-
nähdään, kuorman heilahduskulma on merkittävästi pienempi asetusarvosuotimella. Pie- nempi kuorman heilunnan amplitudi saavutetaan kuitenkin kasvaneella asettumisajalla, joten näiden tavoitteiden välillä joudutaan tekemään kompromissi.
Lisäksi toteutettiin integroiva säätö, jonka tehtävänä on varmistaa vaunun sijoittuminen haluttuun asetusarvoon mallivirheistä tai ulkoisista häiriöistä huolimatta. Integroivan sää- timen integraalitermin vahvistuksen määrittäminen tehtiin luomalla integraattorille uusi ti- lamuuttuja, jonka jälkeen takaisinkytkennän vahvistukset määritettiin LQR-menetelmällä.
Toteutettu säätöratkaisu oletti systeemin olevan täysin lineaarinen. Kuitenkin jos säädintä käytettäisiin nosturissa, tulisi ottaa huomioon systeemin epälineaarisuudet hyvän suo- rituskyvyn takaamiseksi. Epälineaarisuuden luo esimerkiksi kuorman vaijerin pituuden muuttuminen kuormaa nostettaessa tai laskettaessa. Epälineaarisuuksien kompensoimi- seksi voitaisiin toteuttaa gain scheduling -säätö [9], jossa säätimen parametrejä muute- taan toimintapisteen mukaan.
Tässä työssä suunniteltu säädin on mahdollista implementoida fyysiseen torninosturin pienoismalliin, jolla voitaisiin jatkaa säädön toimivuuden tutkimista. Mahdollisten kali- brointien ja hienosäätöjen jälkeen säädintä voitaisiin käyttää torninosturin pienoismallin vaunun sijainnin ohjaamiseen.
LÄHTEET
[1] E. M. Abdel-Rahman, A. H. Nayfeh ja Z. N. Masoud. Dynamics and Control of Cranes: A Review.Journal of Vibration and Control 9.7 (2003), 908 p.
[2] B. D. Anderson ja J. B. Moore.Optimal control: linear quadratic methods. Courier Corporation, 2007.
[3] K. J. Aström ja R. M. Murray.Feedback systems: an introduction for scientists and engineers. Princeton university press, 2010.
[4] C.-T. Chen.Linear system theory and design. 3rd ed. New York: Oxford University Press, Inc., 1999, 334 p.
[5] R. C. Dorf ja R. H. Bishop.Modern control systems. 13th, global. Harlow: Pearson, 2017, 1025 p.
[6] Z. Feng, J. Zhu ja R. Allen. Design of continuous and discrete LQI control sys- tems with stable inner loops.Journal of Shanghai Jiaotong University (Science)12 (2007).
[7] G. F. Franklin, J. D. Powell ja A. Emami-Naeini.Feedback control of dynamic sys- tems. 6th ed. Upper Saddle River N.J.: Pearson, 2010, 819 p.
[8] W. de Gruyter. Anti-Sway Control for Cranes : Design and Implementation Using MATLAB. Berlin/Boston: De Gruyter, Inc., 2017, 222 p.
[9] M. Narita, T. Ushiro, Y. Ushida, G. Chen ja I. Takami. Partial gain scheduling control of crane via parameter dependent Lyapunov function. Teoksessa:2014 13th Inter- national Conference on Control Automation Robotics & Vision (ICARCV). IEEE.
2014, 1106–1111.
[10] Quanser. 3 DOF Crane User Manual. Saatavilla: https : / / www . quanser . com / products/3-dof-crane/.
