Kenguru 2019 Student

3 pistettä

TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8

VASTAUS C B D C B E C A

4 pistettä

TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16

VASTAUS B B E D A E A A

5 pistettä

TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24

VASTAUS E E D D C C B A

Kilpailu pidetään aikaisintaan 25.3.2019.

Logon suunnitteli Samin Ahmed.

3 pistettä 1.

Digitaalinen kello näyttää tältä:

.

Mitä kello näyttää, kun siinä on seuraavan kerran numerot 2, 0, 1 ja 9 jossakin järjestyksessä?

(A) (B) (C) (D) (E)

Ratkaisu:

Koska ei ole oikea aika, seuraava on .

2.

Pienoisjunalla menee yhteen kierrokseen 1 min 11 s. Kuinka kauan sillä menee 6 kierrokseen?

(A) 6 min 56 s (B) 7 min 6 s (C) 7 min 16 s (D) 7 min 26 s (E) 7 min 36 s Ratkaisu:

Aikaa menee 6 min 66 s, joka on sama kuin 7 min 6 s.

3.

Kolme kolmiota on kytketty toisiinsa kuvan mukaisesti.

Mikä seuraavista kuvista esittää samoja kolmiota?

(A) (B) (C) (D) (E)

Ratkaisu:

Valkoinen kolmio on kiinni kahdessa muussa, jotka puolestaan eivät ole kiinni toisissaan. Vain D on oikein.

4.

Kolmea tavallista noppaa heitetään ja silmäluvut lasketaan yhteen. Kuinka monta eri mahdollisuutta summaksi on?

(A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) 18

Ratkaisu:

Summa on pienimmillään 1 + 1 + 1 = 3 ja suurimmillaan 6 + 6 + 6 = 18. Myös kaikki tältä väliltä onnistuvat. Mahdollisuuksia on siis 16 kpl.

5.

Paperi taitellaan kahdesti ja leikataan kuvan mukaisesti. Kuinka monessa osassa paperi on leikkaamisen jälkeen?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

Ratkaisu:

Paloja tulee kolme. Avattuna tilanne näyttää tältä:

6.

Viisi samanlaista suorakulmiota on väritetty eri tavoilla. Missä suorakulmiossa on eniten harmaata?

(A) (B) (C) (D) (E)

Ratkaisu:

Suorakulmioista A – C puolet on väritetty harmaaksi. (Niissä kaikissa harmaiden ja valkoisten kolmioiden kannat ovat nimittäin yhteensä yhtä pitkät ja korkeudet samat.) Suorakulmiossa D harmaata on alle puolet, koska harmaiden kolmioiden kannat ovat pienemmät kuin valkoisten.

Suorakulmissa E yli puolet on harmaata, koska kolmioiden lisäksi siinä on harmaa suorakulmio.

7.

Pyramidissa on 23 kolmion muotoista tahkoa. Kuinka monta särmää tässä pyramidissa on?

(A) 23 (B) 24 (C) 46 (D) 48 (E) 69

Ratkaisu:

Kahden tahkon välissä on aina yksi särmä, joten vinoja särmiä on myös 23. Pohjassa on toiset 23 särmää (kunkin kolmiotahkon alareuna), joten särmiä on yhteensä 23 + 23 = 46.

8.

Viidessä identtisessä ympyrälieriön muotoisessa astiassa on mehua. Yhdessä astiassa on eri määrä mehua kuin neljässä muussa. Mikä se on?

(A) (B) (C) (D) (E)

Ratkaisu:

Jos astiat nostettaisiin pystyyn, nesteen pinta asettuisi viivan mukaiselle tasolle. Astiassa A on muita enemmän mehua.

4 pistettä

9.

Kolme nelinumeroista lukua on kirjoitettu kuvan paperilapuille. Näiden lukujen summa on 11 126.

Mitkä numerot ovat piilossa?

(A) 1, 4 ja 7 (B) 1, 5 ja 7 (C) 3, 3 ja 3 (D) 4, 5 ja 6 (E) 4, 5 ja 7 Ratkaisu:

Merkitään lasku allekkain. Piilossa olevat numerot olkoot X, Y ja Z.

7243 21X7 + YZ26 11126

Ykkösten sarakkeesta jää muistinumeroksi 1:

1

7243 21X7 + YZ26 11126

Täytyy siis olla X = 5. Seuraavakin muistinumero on 1:

1 1

7243 2157 + YZ26 11126

Täytyy siis olla Z = 7, ja taas muistinumero on 1:

1 1 1

7243 2157 + Y726 11126

Täytyy siis olla Y = 1. Puuttuvat numerot ovat 1, 5 ja 7.

10.

Ada etsii pienimmän luvun, jonka numeroiden summa on 2019. Mikä on sen ensimmäinen (vasemmanpuoleisin) numero?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

Ratkaisu:

Pienin luku on mahdollisimman lyhyt ja alkaa mahdollisimman pienellä numerolla. Summa 2019 saadaan lyhyimmällä luvulla aikaiseksi, kun numeroa 9 käytetään mahdollisimman paljon.

Jakamalla 2019 yhdeksällä saadaan 2019 = 224 ⋅ 9 + 3. Tarvitaan siis 224 kpl numeroa 9 ja yksi kolmonen. Pienin luku on

3 9999 … 9⏟

224 kpl

, ja sen ensimmäinen numero on 3.

11.

Pieni kenguru leikkii mitalla, joka koostuu kymmenestä saranoidusta osasta.

Mitä seuraavista kuvioista ei voi saada aikaiseksi mittaa vääntelemällä?

(A) (B) (C) (D) (E)

Ratkaisu:

Kohdat kuviot A – D onnistuvat:

Kuvio E on mahdoton, sillä siinä on neljä risteystä, jossa kuvio haarautuu kolmeen. Näissä paikoissa täytyy olla mitan pää tai johonkin suuntaan mitta kaksin kerroin. Päitä on vain kaksi, eikä mittaa riitä kaksin kerroin laitettavaksi. Kuvio on siis mahdoton.

12.

Mikä on korkein luvun 3 potenssi, jolla luku 7! + 8! + 9! on jaollinen?

(Kertomalla 𝑛! tarkoitetaan luvun 𝑛 ja sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tuloa;

esimerkiksi 7! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1.)

(A) 3² (B) 3⁴ (C) 3⁵ (D) 3⁶ (E) Jokin

suurempi luvun 3 potenssi

Ratkaisu:

7! + 8! + 9! = 7! ⋅ (1 + 8 + 8 ⋅ 9) = 7! ⋅ 81 = 7! ⋅ 3⁴ = 1 ⋅ 2 ⋅3⋅ 4 ⋅ 5 ⋅6⋅ 7 ⋅3⁴

= 1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅3⁶. Korkein tekijänä oleva luvun 3 potenssi on siis 3⁶.

13.

Neliön kaksi kärkeä on puoliympyrän kaarella ja kaksi sen suoralla sivulla.

Puoliympyrän säde on 1 cm. Mikä on neliön pinta-ala?

(A) ⁴

5cm² (B) ^𝜋

4cm² (C) 1 cm² (D) ⁴

3cm² (E) ²

√3cm² Ratkaisu:

Olkoon neliön sivu 𝑥, jolloin sen puolikas on ^𝑥₂ .

Kuvaan punaisella merkitty ympyrän säde on pituudeltaan 1 (cm). Pythagoraan lauseella saadaan 1² = 𝑥²+ (𝑥

2)² 1 = 𝑥²+𝑥²

4 1 =5

4𝑥² 𝑥² = 4

5 Kysytty pinta-ala on siis 𝑥² =⁴₅ cm².

14.

Suorakulmaisen särmiön muotoisessa tankissa on 120 m³ vettä. Veden korkeus tankissa vaihtelee tankin asennon mukaan kuvan (ei mittakaavassa) mukaisesti. Mikä on tankin tilavuus?

(A) 160 m³ (B) 180 m³ (C) 200 m³ (D) 220 m³ (E) 240 m³

Ratkaisu:

Olkoot tankin särmien pituudet 𝑎, 𝑏 ja 𝑐. Tällöin sen tilavuus on 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐. Kuvista saadaan ehdot (mitat metreinä):

𝑎𝑏 ⋅ 2 = 120 ⇒ 𝑎𝑏 = 60 𝑏𝑐 ⋅ 3 = 120 ⇒ 𝑏𝑐 = 40 𝑐𝑎 ⋅ 5 = 120 ⇒ 𝑐𝑎 = 24 Kertomalla nämä keskenään saadaan

𝑎𝑏 ⋅ 𝑏𝑐 ⋅ 𝑐𝑎 = 60 ⋅ 40 ⋅ 24 𝑎²𝑏²𝑐² = 2400 ⋅ 24 (𝑎𝑏𝑐)² = 24²⋅ 10² 𝑎𝑏𝑐 = 24 ⋅ 10 𝑎𝑏𝑐 = 240

Tankin tilavuus on siis 240 m³. Kuva ei ole aivan oikein piirretty!

15.

Mikä on luvun

√20 + √20 + √20 + √20 + √20

kokonaisosa? (Eli kokonaisluku, joka jää jäljelle, kun luvun desimaalit poistetaan.)

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 20 (E) 25

Ratkaisu:

Koska 16 < 20 < 25, luvun 20 neliöjuurelle pätee 4 < √20 < 5. Kun tähän lisätään 20, saadaan 24 < 20 + √20 < 25,

ja koska 16 < 24 < 25 , pätee neliöjuurille

4 < √20 + √20 < 5.

Kun tähän taas lisätään 20, saadaan

24 < 20 + √20 + √20 < 25, ja niin edelleen:

4 < √20 + √20 + √20 < 5

24 < 20 + √20 + √20 + √20 < 25

4 < √20 + √20 + √20 + √20 < 5

24 < 20 + √20 + √20 + √20 + √20 < 25

4 < √20 + √20 + √20 + √20 + √20 < 5.

Luvun kokonaisosa on siis 4. (Oikea likiarvo olisi 4,999946…)

16.

Kuvassa on kaksi vierekkäistä neliötä, joiden sivujen pituuksille 𝑎 ja 𝑏 pätee 𝑎 < 𝑏.

Mikä on kuvaan merkityn harmaan kolmion pinta-ala?

(A) ¹₂𝑎² (B) ¹₂𝑏² (C) √𝑎𝑏 (D) ¹₄(𝑎²+ 𝑏²) (E) ¹₂(𝑎²+ 𝑏²) Ratkaisu:

Tapa 1

Pienemmän neliön halkaisijan pituus on Pythagoraan lauseen nojalla √2𝑎. Suuremman neliön halkaisija on sen kanssa yhdensuuntainen. Katkoviivalla piirretyt janat ovat halkaisijoita vastaan kohtisuorat ja siis harmaan kolmion korkeusjanan mittaiset. Tämän korkeusjanan pituus on puolet pienen neliön halkaisijasta, eli ^√2𝑎₂ . Pinta-alaksi saadaan 𝐴 =^√2𝑎⋅

√2𝑎 2

𝟐 =

2𝑎2 𝟐

𝟐 = ^𝑎₂². Yllättäen suuremman neliön koon muuttaminen ei muuta harmaan kolmion pinta-alaa!

Tapa 2

Neliöiden pinta-alasta voi vähentää kolme suorakulmaista kolmiota.

Harmaan alueen alaksi saadaan

𝐴 = 𝑎²+ 𝑏²−𝑎 ⋅ 𝑎

2 −𝑏(𝑏 − 𝑎)

2 −𝑏(𝑎 + 𝑏) 2 = 𝑎²+ 𝑏²−𝑎²

2 −𝑏² 2 +𝑎𝑏

2 −𝑏𝑎 2 −𝑏²

2 =𝑎²

2 .

5 pistettä 17.

Kuvassa vasemmalla näkyvä pahvinpala taitellaan kuvassa oikealla näkyväksi oktaedriksi. Mikä sivu päätyy yhteen sivun 𝑥 kanssa?

(A) Sivu 1 (B) Sivu 2 (C) Sivu 3 (D) Sivu 4 (E) Sivu 5 Ratkaisu:

Oktaedrin jokaisessa kärjessä kohtaa neljä kolmiota. Punaisella merkityt sivut kuuluvat siis yhteen.

Tämän jälkeen sivujen 𝑥 ja 5 tulee kohdata, sillä niiden yhteisen kärjen ympärillä on jo neljä kolmiota.

18.

Kuinka monta eri tasoa on olemassa, jotka kulkevat kukin tietyn kuution vähintään kolmen kärjen kautta?

(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 16 (E) 20

Ratkaisu:

Kunkin tahkon sisältävistä tasoista kertyy kuusi tasoa.

Vastakkaisten tahkojen lävistäjien suuntaisia tasoja kertyy myös kuusi kappaletta (kaksi jokaista tahkoparia kohden)

Kunkin kärjen kolmen naapurikärjen kautta kulkevia tasoja kertyy yksi joka kärkeä kohden, eli 8 kappaletta.

Yhteensä tasoja on siis 6 + 6 + 8 = 20 kappaletta. Enempää ei ole, sillä tässä on käyty läpi kaikki mahdolliset kolmen kärjen yhdistelmät.

19.

Neliön kuhunkin kärkeen kirjoitetaan positiivinen kokonaisluku.

Kaikissa vierekkäisissä kärjissä olevissa lukupareissa aina toinen luku on jaollinen toisella. Neliön vastakkaisissa kärjissä olevista luvuista kumpikaan ei ole jaollinen toisella. Mikä on tällaisten lukujen pienin mahdollinen summa?

(A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 35 (E) 60

Ratkaisu:

Lukua 1 ei voi käyttää, koska vastapäinen luku olisi sillä jaollinen.

Samaa lukua ei voi käyttää kahdesti, sillä ne eivät voisi olla vastakkain, eikä vierekkäinkään käy, sillä alla merkittyjen lukujen 𝑥 ja 𝑎 sekä pitäisi että ei pitäisi olla toisillaan jaollisia, koska 𝑥 ja 𝑎 ovat sekä vierekkäisiä että vastakkaisia.

𝑎 𝑎

𝑥 𝑦

Pienimmät käyttökelpoiset luvut ovat siis 2 ja 3.

Sijoitetaan luvut 2 ja 3 vastakkaisiin nurkkiin. Kahden muun luvun pitää olla jaollisia kahdella ja kolmella, mutta ei toisillaan. Pienimmät tällaiset luvut ovat 12 ja 18. (Lukua 6 ei voi käyttää, sillä kaikki kahdella ja kolmella jaolliset ovat jaollisia myös kuudella.) Luvut voi sijoitella esimerkiksi näin:

2 12 18 3

Pienimmät luvut ovat siis 2, 3, 12 ja 18. Niiden summa on 2 + 3 + 12 + 18 = 35.

Tätä pienemmäksi ei päästä, kuten voidaan huolellisemmalla argumentilla todeta:

Olkoot luvut aluksi 𝑎, 𝑏, 𝑐 ja 𝑑, ja olkoon pienin niistä a:

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

Koska 𝑎 on pienin, sen pitää jakaa luvut 𝑏 ja 𝑐, eli 𝑏 = 𝑎𝑥 ja 𝑐 = 𝑎𝑦.

𝑎 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑑

Luku 𝑑 ei ole jaollinen luvulla 𝑎, joten se ei voi olla jaollinen myöskään luvuilla 𝑎𝑥 tai 𝑎𝑦. Täytyy siis olla toisin päin, eli 𝑑 jakaa luvut 𝑎𝑥 ja 𝑎𝑦. Saadaan seuraava tilanne:

𝑎 𝑎𝑑𝑘 𝑎𝑑𝑝 𝑑

Koska 𝑎𝑑𝑝 ja 𝑎𝑑𝑘 eivät jaa toisiaan, täytyy olla 1 ≠ 𝑘 ≠ 𝑝 ≠ 1. Kysytty summa on siis 𝑎 + 𝑎𝑑𝑘 + 𝑎𝑑𝑝 + 𝑑 = 𝑎 + 𝑑 + 𝑎𝑑(𝑘 + 𝑝),

missä 𝑎 ≠ 𝑑 ja 𝑘 ≠ 𝑝. Pienimmät lukua 1 suuremmat kokonaisluvut ovat 2 ja 3, joten edellä mainittu lauseke on pienin, kun luvut ovat jomminkummin päin 𝑎 = 2, 𝑑 = 3, 𝑘 = 2, 𝑝 = 3.

20.

Kuinka monella kokonaisluvun 𝑛 arvolla luku |𝑛²− 2𝑛 − 3| on alkuluku?

(A) yhdellä (B) kahdella (C) kolmella (D) neljällä (E) äärettömän monella

Ratkaisu:

Jaetaan polynomi 𝑛² − 2𝑛 − 3 tekijöihin. Selvitetään ensin nollakohdat:

𝑛²− 2𝑛 − 3 = 0

𝑛 =2 ± √(−2)²− 4 ⋅ 1 ⋅ (−3) 2 ⋅ 1

𝑛 =2 ± √16

2 =2 ± 4

2 = 1 ± 2 𝑛₁ = 1 + 2 = 3, 𝑛₂ = 1 − 2 = −1.

Polynomi jakautuu siis tekijöihin seuraavasti: 𝑛²− 2𝑛 − 3 = (𝑛 − 3)(𝑛 + 1). Tämän tulon itseisarvo voi olla alkuluku vain, kun toinen tulon tekijöistä on ±1. Ratkaistaan sopivat luvun 𝑛 arvot:

𝑛 − 3 = 1 ⇒ 𝑛 = 4 𝑛 − 3 = −1 ⇒ 𝑛 = 2 𝑛 + 1 = 1 ⇒ 𝑛 = 0 𝑛 + 1 = −1 ⇒ 𝑛 = −2

Tarkistetaan vielä,mitkä näistä luvun 𝑛 arvoista aidosti tuottavat alkuluvun:

Kun 𝑛 = 4, saadaan |(𝑛 − 3)(𝑛 + 1)| = |(4 − 3)(4 + 1)| = 5 Kun 𝑛 = 2, saadaan |(𝑛 − 3)(𝑛 + 1)| = |(2 − 3)(2 + 1)| = 3 Kun 𝑛 = 0, saadaan |(𝑛 − 3)(𝑛 + 1)| = |(0 − 3)(0 + 1)| = 3 Kun 𝑛 = −2, saadaan |(𝑛 − 3)(𝑛 + 1)| = |(−2 − 3)(−2 + 1)| = 5 Kaikki tulokset ovat alkulukuja, joten sopia luvun 𝑛 arvoja on 4 kappaletta.

21.

Hämähäkin verkko koostuu kuvan mukaisesti 16 solmusta ja niiden välisistä langoista. Hämähäkki lähtee liikkeelle solmusta A ja kipittää yhteensä 2019 lankaa pitkin. Mitkä solmuista P, Q, R, S, T ovat mahdollisia matkan päätepisteitä?

(A) vain P, R ja S, ei Q tai T (B) vain P, R, S ja Q, ei T (C) vain Q

(D) vain T

(E) kaikki: P, Q, R, S ja T.

Ratkaisu:

Kaikissa verkon silmukoissa on parillinen määrä solmuja, joten hämähäkki voi olla tietyissä

solmuissa vain parillisen siirtymien määrän jälkeen (merkitty mustalla) ja toisissa vain parittoman siirtymien määrän jälkeen (merkitty punaisella). Luku 2019 on pariton, joten annetuista

vaihtoehdoista vain 𝑄 on mahdollinen.

22.

Lukujonon 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, … ensimmäinen jäsen on 𝑎₁ = 49. Kun 𝑛 ≥ 2, luku 𝑎_𝑛 saadaan laskemalla luvun 𝑎_𝑛−1 numeroiden summa, lisäämällä tulokseen yksi ja laskemalla tämän luvun neliö.

Esimerkiksi 𝑎₂ = (4 + 9 + 1)² = 196. Kuinka suuri on 𝑎₂₀₁₉ ?

(A) 25 (B) 49 (C) 64 (D) 121 (E) 400

Ratkaisu:

Lasketaan lukujonon ensimmäisiä termejä:

𝑎₁ = 49

𝑎₂ = (4 + 9 + 1)² = 14² = 196 𝑎₃ = (1 + 9 + 6 + 1)² = 17² = 289 𝑎₄ = (2 + 8 + 9 + 1)² = 20² = 400 𝑎₅ = (4 + 0 + 0 + 1)² = 5² = 25 𝑎₆ = (2 + 5 + 1)² = 8² = 64 𝑎₇ = (6 + 4 + 1)² = 11² = 121 𝑎₈ = (1 + 2 + 1 + 1)² = 5² = 25

Huomataan, että 𝑎₈ = 𝑎₅. Lukujonon rekursiivisesta luonteesta seuraa, että sen loput jäsenet toistavat kolmen syklissä jonoa 25, 64, 121, 25, 64, 121, … siten, että kolmella jaollisilla

järjestysnumeroilla jäsen on 64. Luku 2019 on kolmella jaollinen, joten 𝑎₂₀₁₉ = 64.

23.

Yhtälöllä

2 − |𝑥| = 𝑎𝑥 on tasan kaksi ratkaisua. Mitä siis tiedetään parametrista 𝑎?

(A) 𝑎 ≤ −1 (B) −1 < 𝑎 < 1

(C) 𝑎 ≥ 1 (D) 𝑎 = 0 (E) 𝑎 = 1 tai 𝑎 = −1 Ratkaisu:

Hahmotellaan kuvaajaan käyrät 𝑦 = 2 − |𝑥| (mustalla) ja 𝑦 = 𝑎𝑥 (punaisella). Alla on esitetty tilanteet, joissa −1 < 𝑎 < 1. Leikkauspisteitä syntyy kaksi.

Kun 𝑎 = ±1, suora 𝑦 = 𝑎𝑥 on käyrän 𝑦 = 2 − |𝑥| toisen haaran suuntainen, ja leikkauspisteitä on vain yksi, kuten myös silloin, kun 𝑎 > 1 tai 𝑎 < −1. (Ks. alla)

Oikea vastaus on siis B.

24.

Tutkitaan kolmiota 𝐴𝐵𝐶, jonka sivun 𝐵𝐶 keskipiste on 𝐷. Valitaan puolisuorilta 𝐵𝐴, 𝐷𝐴 ja 𝐶𝐴 pisteet 𝑃, 𝑄 ja 𝑅 siten, että 𝐴𝑃 = 2𝐴𝐵, 𝐴𝑄 = 3𝐴𝐷, 𝐴𝑅 = 4𝐴𝐶. Kolmion 𝐴𝐵𝐶 pinta-ala on 𝑆. Mikä on kolmion 𝑃𝑄𝑅 pinta-ala?

(A) 𝑆 (B) 2𝑆 (C) 3𝑆 (D) ¹₂𝑆 (E) 0, eli pisteet

𝑃, 𝑄 ja 𝑅 ovat samalla suoralla Ratkaisu:

Tilanne näyttää siis tältä (hieman mallikuvasta kierrettynä):

Janoille merkityt pisteet jakavat janan 𝐴𝑅 neljään, jana 𝐴𝑄 kolmeen ja jana 𝐴𝑃 kahteen yhtä suuren osaan.

Havaitaan aluksi, että kolmiot 𝐴𝐵𝐶 ja 𝐴𝐵₁𝐶₁ ovat yhteneviä (sks) ja kolmiot 𝐴𝐵𝐶 ja 𝐴𝑃𝐶₂ yhdenmuotoisia (sks) verrannollisuuskertoimella 2.

Kolmion 𝐴𝑃𝐶₂ korkeusjana on siis kaksinkertainen kolmioon 𝐴𝐵𝐶 nähden.

Nyt nähdään, että kolmiolla 𝑅𝐴𝑃 on kolmioon 𝐴𝐵𝐶 nähden nelinkertainen kanta suoralla 𝐴𝐶 (sillä 𝑅𝐴 = 4𝐴𝐶) ja kaksinkertainen korkeus suoraa 𝐴𝐶 vastaan (perusteluna yhdenmuotoiset kolmiot 𝐴𝐵𝐶 ja 𝐴𝑃𝐶₂). Siis pätee 𝐴_𝑅𝐴𝑃 = 4 ⋅ 2 ⋅ 𝑆 = 8𝑆.

Toisaalta kolmiolla 𝑅𝐴𝑄 on kolmioon 𝐴𝐷𝐶 (jonka ala on ¹₂𝑆) verrattuna nelinkertainen kanta suoralla 𝐴𝐶 ja kolminkertainen korkeus. Saadaan siis 𝐴_𝑅𝐴𝑄 = 4 ⋅ 3 ⋅¹₂𝑆 = 6𝑆.

Lopuksi kolmiolla 𝑄𝐴𝑃 on kolmioon 𝐴𝐵𝐷 (jonka ala on ¹₂𝑆) verrattuna kolminkertainen kanta suoralla 𝐴𝐷 ja kaksinkertainen korkeus sitä vastaan (yhdenmuotoiset kolmiot 𝐴𝑃𝐷₂ ja 𝐴𝐵𝐷). Siis pätee 𝐴_𝑄𝐴𝑃 = 3 ⋅ 2 ⋅¹₂𝑆 = 3𝑆.

Nyt saadaan laskettuna kysytty ala: 𝐴_𝑃𝑄𝑅= 𝐴_𝑅𝐴𝑄+ 𝐴_𝑄𝐴𝑃− 𝐴_𝑅𝐴𝑃 = 6𝑆 + 3𝑆 − 8𝑆 = 𝑆.