Matematiikan johdantokurssi 3/2004
1. Kirjoita kvanttorien avulla lauseet:
a) Jokaista reaalilukua x vastaa luonnollinen luku n siten, ett¨ax < n.
b) Jokainen positiivinen reaaliluku on reaaliluvun neli¨o.
2. OlkoonAkaikkien ihmisten joukko ja olkoonP(x, y) lausefunktio ”xtunteey:n”.
Kirjoita kvanttorien ja loogisten symbolien avulla:
a) jokainen tuntee jonkun, b) joku tuntee jokaisen, c) jokainen tuntee jonkun, jolle itse on tuntematon, d) joku tuntee jokaisen, joka tuntee h¨anet.
3. OlkoonB elokuvien joukko ja P(x, y) lausefunktio ”xon n¨ahnyt elokuvissa y:n”.
Tulkitse seuraavat lauseet sanallisesti. Miten se eroavat toisistaan.
a) [∃ y∈B : P(Emma, y)]∧[∃ y∈B : P(Miika, y)], b)∃ y∈B : [P(Emma, y)∧P(Miika, y)].
4. Olkoon P(x, y) =”x+y >1”(x, y ∈R). Sulje lausefunktioP(x, y) kaikilla mah- dollisilla tavoilla ja m¨a¨arit¨a saatujen lauseiden totuusarvot.
5. Muodosta edellisen teht¨av¨an lauseiden negaatiot.
6. Esit¨a seuraavat joukot luettelemalla alkiot:
a)A ={ y | y= n+1n , n∈N }, b)B ={ n∈Z |n = 3k, k∈Z }, c)C ={ sin(nπ4 ) | n∈N }.
7. Esit¨a seuraavat joukot reaaliakselin v¨alin¨a:
a)A ={ x∈R | ∃n ∈N : n > x }, b)B ={ x∈R | 1−x1 >−1 }.
8. Onko joukko{−1,1}joukon {x∈R | x3−2x2−x+ 2 = 0} osajoukko?
1
