1.2. Perusyhteydet ja –kaavat
1.2.1. Suplementtikulmat x ja π - x
Suplementtikulmien summa on π = 180°
sin (180°- α) = sin α eli sin (π - x) = sin x cos (180°- α) = - cos α eli cos (π - x) = - cos x tan (180°- α) = - tan α eli tan (π - x) = - tan x
E.1.
a) Olkoon sin 50°= 0,77. Mitä on sin 130°?
b) Olkoon cos 41°= a. Mitä on cos 139°?
c) Olkoon cos x = a ja cos y = b. Määritä cos x + cos y + cos (π - x) - cos (π - y).
d) Olkoon tan π/7 = b. Määritä tan 6π/7.
a) sin 130°
= sin (180°- 50°)
= sin50°= 0,77 b) cos 139°
= -cos(180°- 139°)
= -cos 41°= -a
c) cos x + cos y + cos (π - x) - cos (π - y)
= cosx + cosy – cosx – (-cosy)
= 2cosy
= 2b
d) tan 6π/7
=-tan(π - 6π/7)
= -tanπ/7 = -b
1.2.2. Kulmat x ja x ± π sin (x + π) = - sin x
cos (x + π) = - cos x tan (x + π) = tan x
E.2E.2
a) Olkoon sin 34°= a. Mitä on sin 214°?
b) Tiedetään, että sin 50°= 0,766.
Mikä on α, kun 180°< α < 270°ja sin α = - 0,766
c) Olkoon sin x = a. Mitä on sin x - sin (x + π) + sin (π - x)?
d) Olkoon cos x = a. Mitä on cos (π + x) + cos (π - x) + cos x?
a) sin 214°
= sin(34° + 180°)
=-sin34°= -a
b) α = 180 + 50 = 230°
c) sin x - sin (x + π) + sin (π - x)
= sinx – (-sinx) + sinx = a + a + a = 3a
d) cos (π + x) + cos (π - x) + cos x
= -cosx – cosx + cosx = -cosx = - a sin (x + π) = - sin x cos (x + π) = - cos x tan (x + π) = tan x sin (π - x) = sin x cos (π - x) = - cos x tan (π - x) = - tan x
1.2.3. Vastakulmat x ja –x
sin ( - x ) = - sin x cos ( - x ) = cos x tan ( - x ) = - tan x
E.3.E.3.
a) Olkoon sin x = 0,4. Mitä on sin ( - x )?
b) Olkoon cos 56°= a. Mitä on cos ( - 56°)?
c) Olkoon tan x = 1,5. Mitä on tan (-x)?
a) sin (-x) = -sinx = -0,4 b) cos( - 56°) = cos56°= a c) tan(-x) = -tanx = -1,5
E.4.E.4.
Sievennä
a) cos (2π + x) + cos (π - x)
= cosx – cosx = 0 b) sin(-9π/4)
= -sin(9π/4)
= -sin(π/4 + 2π) = -sin(π/4) = (t. 46b)
sin (x + π) = - sin x cos (x + π) = - cos x tan (x + π) = tan x sin (π - x) = sin x cos (π - x) = - cos x tan (π - x) = - tan x sin ( - x ) = - sin x cos ( - x ) = cos x tan ( - x ) = - tan x c) tan(-17π/3)
= -tan(17π/3)
= -tan(2π/3 +5π)
= -tan(2π/3)
= (t. 47c)
2
− 1
3 )
3 ( − =
−
Parillinen funktio
Funktio f on parillinen, jos kaikilla x pätee: f(-x) = f(x) eli funktion arvot vastaluvuilla ovat yhtä suuret
Pariton funktio
Funktio f on pariton, jos kaikilla x pätee: f(-x) = -f(x) eli funktion arvot vastaluvuilla ovat vastalukuja
kosini on parillinen, koska cos (-x) = cos x
sini ja tangentti ovat parittomia, koska sin (-x) = - sin x ja tan (-x) = - tan x
1.2.5. Peruskaavat 1. sin
1. sin
22x + cos x + cos
22x = 1 x = 1
2. 2.
x x x
cos
tan = sin x ≠ π + n π
2
E.5.
E.5. Sievennä
sin2 (π - x) + cos2 x
= sin2x + cos 2 x
= 1
sin (π - x) = sin x cos (π - x) = - cos x tan (π - x) = - tan x E.6.Sievennä sin x · ( sin x + 1) + cosE.6. 2 x
= sin2x + sinx + cos2x
= sin2x + cos2x + sinx
= 1 + sinx
E.7.E.7.
Todista, että a)
x 2 x
2
cos tan 1
1+ = b) x
x
x sin sin
1 1 cos
2 =
− +
x
x 2 x
2 2
cos 1 sin tan
1+ = +
x x x
x
2 2 2
2
cos sin cos
cos +
=
x x x
2 2 2
cos sin cos +
=
2 x cos
= 1
x x sin 1
1 cos
2
− +
x x x
x
sin 1
cos sin
1
sin
1 2
− + +
= +
x
x x
sin 1
cos sin
1 2
+
−
= +
x
x x
sin 1
sin cos
1 2
+
+
= −
x x x
sin 1
sin sin2
+
= +
x x x
sin 1
) 1 (sin
sin +
= +
x
= sin
Kulman trigonometristen funktioiden tarkkojen arvojen laskeminen, kun ko.
kulman yhden trigonometrisen funktion arvo tunnetaan
A. Piirrä suorakulmainen kolmio ja merkitse annetusta tiedosta kulmaan liittyvät kaksi sivua
B. Laske Pythagoraan lauseella kolmion kolmas sivu.
C. Päättele missä neljänneksessä kulma sijaitsee.
D. Vastauksen etumerkin saat neljänneksen perusteella ja itseisarvon suorakulmaisesta kolmiosta
E.8.E.8.
Laske sin α ja cos α, kun tan α = ¾ ja 180°< α < 270°.
P: x = 5
III neljännes: sin α = -3/5, cos α = -4/5
1.2.6. Komplementtikulman sini ja kosini
E.9.E.9.
Olkoon sin x = a. Mitä on a) cos (½π - x) b) cos (x - ½π) a) cos (½π - x)
= sinx
= a
b) cos(x - ½π)
= cos(½π - x)
= sinx
= a
2 ) cos(
sin x = π − x
2 ) sin(
cos x = π − x
sin ( - x ) = - sin x cos ( - x ) = cos x tan ( - x ) = - tan x
