Mostow'n rigiditeettilause

Antti Lepp¨ anen

Matematiikan Pro gradu -tutkielma

Jyv¨askyl¨an yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kes¨a 2018

Tiivistelm¨a: Antti Lepp¨anen, Mostow’n rigiditeettilause (engl. Mostow rigidity theorem), matematiikan pro gradu -tutkielma, 37 sivua, Jyv¨askyl¨an yliopisto, Mate- matiikan ja tilastotieteen laitos, kes¨a 2018.

Mostow’n rigiditeettilauseen mukaan kaksi v¨ahint¨a¨an 3-ulotteista kompaktia hy- perbolista monistoa ovat isometriset, jos ne ovat diffeomorfiset. Hyperbolinen monisto on monisto, jolla on hyperbolisen avaruuden avointen joukkojen kanssa isometrisist¨a avoimista joukoista koostuva peite. George Mostow todisti lauseen vuonna 1968.

T¨aydellinen hyperbolinen monisto voidaan samaistaa hyperbolisen avaruuden iso- metrioiden ryhm¨an eli konformikuvausten M¨obius-ryhm¨an aliryhm¨an kanssa. T¨am¨a aliryhm¨a on isomorfinen moniston perusryhm¨an kanssa. Monisto saadaan t¨all¨oin te- kij¨aavaruutena t¨am¨an aliryhm¨an toiminnassa hyperbolisella avaruudella. Lause to- distetaan osoittamalla, ett¨a jos monistoja vastaavat aliryhm¨at ovat kvasikonformiku- vauksen konjugoimia, niin t¨am¨a kvasikonformikuvaus onkin konformikuvaus.

M¨obius-ryhm¨a osoitetaan hyperbolisen avaruuden isometrioiden ryhm¨aksi k¨ayt- t¨aen apuna sen isomorfisuutta ryhm¨an O(1, n + 1) kanssa. Osoitetaan my¨os, ett¨a hyperbolinen avaruus on jokaisen hyperbolisen moniston isometrinen peite. Kuoren eli yleistetyn annuluksen konformikapasiteetin jatkuvuus todistetaan aiempien apu- tulosten avulla.

Topologisen ryhm¨an operaatiossa invarianttia Haarin mittaa k¨aytt¨aen todistetaan er¨as p¨a¨alauseen todistuksessa tarvittava apulause. P¨a¨alause todistetaan k¨aytt¨aen li- s¨aksi konformikapasiteetin jatkuvuutta, polaarihajotelmaa, kvasikonformikuvauksen jatkumista pallon reunalle ja sit¨a, ett¨a 1-kvasikonformikuvaus on konformikuvaus.

1. Johdanto 1

2. Esitietoja ja m¨a¨aritelmi¨a 1

3. Konformikapasiteetti 13

3.1. Er¨aiden funktioiden heilahtelu 19

3.2. Konformikapasiteetin jatkuvuus 23

4. Kvasikonformikuvaukset 28

5. Haarin mitta ja ergodista teoriaa 30

6. P¨a¨alauseen todistus 33

L¨ahdeluettelo 37

1. Johdanto

T¨am¨an tutkielman tarkoituksena on tarkastella Mostow’n rigiditeettilauseen to- distusta. Lauseen todisti yhdysvaltalainen George Daniel Mostow (1923–2017) vuon- na 1968.Hyperbolinen monisto on monisto, jolla on hyperbolisen avaruuden avointen joukkojen kanssa isometrisist¨a avoimista joukoista koostuva peite. Lauseen mukaan kaksi v¨ahint¨a¨an 3-ulotteista kompaktia hyperbolista monistoa ovat isometriset, jos ne ovat diffeomorfiset. Mostow’n lause laajennettiin ¨a¨arellistilavuuksisille monistoille 1970-luvulla. Lause ei p¨ade hyperbolisille pinnoille eik¨a euklidisille monistoille mis- s¨a¨an ulottuvuudessa.

T¨aydellinen hyperbolinen monisto voidaan samaistaa hyperbolisen avaruuden iso- metrioiden ryhm¨an eli konformikuvausten M¨obius-ryhm¨an aliryhm¨an kanssa. T¨am¨a aliryhm¨a on isomorfinen moniston perusryhm¨an kanssa. Monisto saadaan t¨all¨oin te- kij¨aavaruutena t¨am¨an aliryhm¨an toiminnassa hyperbolisella avaruudella. Lause to- distetaan osoittamalla, ett¨a jos monistoja vastaavat aliryhm¨at ovat kvasikonformiku- vauksen konjugoimia, niin t¨am¨a kvasikonformikuvaus onkin konformikuvaus.

T¨am¨an tutkielman l¨ahdeaineistona on k¨aytetty p¨a¨aasiallisesti G. D. Mostow’n artikkelia Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms. Muut l¨ahdeteokset on mainittu erikseen asianomaisessa kohdassa. Ensimm¨ai- sess¨a luvussa esitet¨a¨an muun muassa M¨obius-ryhm¨an ominaisuuksia ja osoitetaan, ett¨a hyperbolinen avaruus on jokaisen hyperbolisen moniston isometrinen peite. Toi- sessa luvussa todistetaan erityisesti kuoren eli yleistetyn annuluksen konformikapa- siteetin jatkuvuus. Kolmannessa luvussa k¨asitell¨a¨an kvasikonformikuvauksia. Nelj¨an- ness¨a luvussa m¨a¨aritell¨a¨an invariantti Haarin mitta M¨obius-ryhm¨alle ja invariantti tekij¨amitta sen aliryhm¨an sivuluokkien avaruudelle. N¨aiden avulla todistetaan p¨a¨a- lauseen todistuksessa k¨aytett¨av¨a apulause. Viidenness¨a luvussa todistetaan p¨a¨alause k¨aytt¨aen muun muassa konformikapasiteetin jatkuvuutta, polaarihajotelmaa, kvasi- konformikuvauksen jatkumista pallon reunalle ja sit¨a, ett¨a 1-kvasikonformikuvaus on konformikuvaus. T¨ass¨a tutkielmassa oletetaan esitietoina yleisen topologian, algebral- lisen topologian ja mittateorian perusteet.

2. Esitietoja ja m¨a¨aritelmi¨a

OlkoonShyperpallopintaξ²₁+ξ₂²+· · ·+ξ_n²+ (ξn+1−1/2)² = 1/2 ja olkoonRⁿtaso ξ_n+1 = 0 ja olkoon ξ= (ξ₁, . . . , ξ_n+1) piste joukossa S ja olkoon x= (x₁, . . . , x_n,0) =

π(ξ), miss¨a π tarkoittaa stereograafista projektiota pohjoisnavalta p_∞ hypertasolle Rⁿ. T¨all¨oin kolmioiden yhdenmuotoisuudesta saadaan

ξ_i xi

= 1−ξ_n+1

1 .

K¨aytet¨a¨an pallon navat yhdist¨av¨an akselin ja pisteet p∞ ja x yhdist¨av¨an janan v¨a- liselle kulmalle merkint¨a¨a θ. Koska Thaleen lauseen perusteella d(p∞, ξ) = cos(θ) saadaan k¨aytt¨aen Pythagoraan lausetta

1−ξ_n+1

1 = cos(θ)

(1 +|x|²)^1/2 =

1 (1+|x|²)^1/2

(1 +|x|²)^1/2 = 1 1 +|x|². T¨aten π kuvaa seuraavasti

x_i = ξ_i

1−ξ_n+1 (i= 1, . . . , n) ja π⁻¹

ξ_i = x_i

1 +|x|², ξ_n+1 = |x|² 1 +|x|². Stereograafinen projektio yksikk¨opallolta Sⁿ = {Pn+1

i=1 η²_i = 1} tasolle ξ_n+1 = 0 saadaan samalla kaavalla:

ξi =ηi/2, ξ_n+1 = η_n+1+ 1

2 ,

xi = ξ_i

1−ξ_n+1 = η_i/2

1− ^ηn+1₂⁺¹ = η_i 1−η_n+1. Mutta kuvaukselle π⁻¹ p¨atee:

η_i = 2ξ_i = 2x_i

1 +|x|² (i= 1, . . . , n) η_n+1 = 2η_n+1−1 = 2|x|²

1 +|x|² −1 = |x|²−1

|x|²+ 1.

Monistojen v¨alist¨a kuvausta sanotaankonformaaliseksi, jos sen differentiaali saa- daan ortogonaalisen ryhm¨an alkiosta vakiolla kertomalla.

Lause 2.1. Stereograafinen projektio on konformaalinen.

Todistus. Olkoon L ja L⁰ pisteen x ∈ F kautta kulkevia suoria, miss¨a F on vektorin p_∞ ortogonaalikomplementti. Olkoon N ja N⁰ pisteen p_∞ ja suoran L tai L⁰ m¨a¨ar¨a¨am¨at tasot, vastaavasti. TasotN ja N⁰ leikkaavat yksikk¨opallon ympyr¨oiss¨a C ja C⁰, jotka sis¨alt¨av¨at pisteetp∞ ja π⁻¹(x). Koska suorien L ja L⁰ suuntavektorin komponenttin+1 on nolla, ovatCjaC⁰kohtisuorassa pisteidenxjap∞v¨alisen suoran suhteen molemmissa pisteiss¨a. T¨aten ympyr¨oiden C ja C⁰ v¨alinen kulma on sama pisteiss¨a p∞ ja π⁻¹(x). Toisaalta ympyr¨oiden v¨alinen kulma pisteess¨a p∞ on sama kuin suorienLjaL⁰v¨alinen kulma, sill¨a pisteenp∞tangenttitaso on yhdensuuntainen tason F kanssa. T¨aten suorien Lja L⁰ v¨alinen kulma on sama kuin ympyr¨oidenC ja

C⁰ v¨alinen kulma.

Avaruutta Rⁿ, johon on lis¨atty piste ∞ kutsutaaM¨obius-n-avaruudeksi.

M¨a¨aritelm¨a2.2. AvaruudenRⁿM¨obius-ryhm¨a, jolle k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨aGM(n), on avaruuden Rⁿ peilausten (n−1)-ulotteisten pallokuorien ja tasojen suhteen virit- t¨am¨a ryhm¨a.

Yhdist¨am¨all¨a peilaus σ_λ: p7→ ^λ_|p|^2p2 kuvaukseen σ₁ saadaan p7→ λ²p

|p|² 7→ λ²p

|p|²

λ²p

|p|²

−2

=λ⁻²p T¨aten venytykset kuuluvat M¨obius-ryhm¨a¨an.

OlkoonP₁ ja P₂ rinnakkaisia tasoja et¨aisyydell¨ad toisistaan. Olkoonxpiste et¨ai- syydell¨a d⁰ tasosta P₁ eri puolella tasoa P₁ kuin P₂. Olkoon lis¨aksi e tasolta P₁ pis- teest¨ax₀ pisteenxsuuntaan l¨ahtev¨a normaalivektori. Peilaus tason P₁ suhteen kuvaa pisteenx pisteeksi x₀−d⁰e. T¨am¨an pisteen et¨aisyys tasostaP₂ on |d−d⁰|, joten pei- laus tasonP₂ suhteen kuvaa sen pisteeksix₀−(2d−d⁰)e. Yhdistetty kuvaus siis siirsi pistett¨axtasojen normaalin suuntaan, joten se on siirto. Koskad ja tasojen normaali voidaan valita vapaasti, kuuluvat siirrot M¨obius-ryhm¨a¨an.

Olkoongpeilaus (n−1)-pallokuorenSsuhteen avaruudessaRⁿ. JoukkoS voidaan siirroilla ja venytyksill¨a, joiden yhdiste on h, kuvata origokeskiseksi yksikk¨opalloksi.

T¨ateng =h⁻¹σ1h. Koska (n−1)-taso voidaan peilauksella kuvata pallokuoreksi, niin σ₁ yhdess¨a siirtojen ja venytysten kanssa viritt¨a¨a M¨obius ryhm¨an.

Lause 2.3. Olkoon R peilaus hyperpallopinnan Sⁿ⁻¹(p₀, r₀)suhteen ja olkoot S= Sⁿ⁻¹(p₁, r₁) ja d(p₀, p₁)6=r₁. T¨all¨oin R(S) on hyperpallopinta

Sⁿ⁻¹(R(p₁), r₀²r₁/(d(p₀, p₁)(d(p₀, p₁) +r₁)).

Todistus. Olkoon p ∈ S ja olkoon q pisteiden p₀ ja p v¨alisen suoran toinen leikkauspiste joukon S kanssa. Olkoon p⁰₁ pisteest¨a R(p) l¨ahtev¨a pisteiden q ja p₁ v¨alisen suoran kanssa yhdensuuntaisen suoran leikkauspiste pisteidenp₀ jap₁ v¨alisen suoran kanssa. Olkoon α kulma pp₀p₁. T¨all¨oin pisteiden p ja q sijainti pisteeseen p₀ n¨ahden saadaan seuraavan yht¨al¨on ratkaisuista:

(xcos(α)−d(p₀, p₁)²+ (xsin(α))² =r²₁x= d(p₀, p₁) cos(α)

± q

d(p₀, p₁)²cos²(α) +r₁²−d(p₀, p₁)². T¨aten d(p0, p) d(p0, q) = |d(p0, p1)² −r²₁|, vaikka p ja q sijaitsisivat eri puolilla pis- tett¨a p0. Erityisesti tulo ei riipu kulmasta α eik¨a siten pisteest¨a p. Koska my¨os tulo d(p₀, p) d(p₀, R(p)) on vakio, on my¨os osam¨a¨ar¨a d(p₀, R(p))/d(p₀, q) vakio. Riippu- matta siit¨a ovatko pisteetpjaqsamalla puolella pistett¨ap₀, kolmioiden yhdenmuotoi- suuden perusteella osam¨a¨ar¨at d(p₀, p₁)/d(p₀, p⁰₁), d(p₁, q)/d(p⁰₁, R(p)) ja d(p₀, R(p))/d(p₀, q) ovat yht¨a suuret. T¨aten pistep⁰₁ei riipu pisteest¨apja pisteenR(p) et¨aisyys pisteeseen p⁰₁ on vakio.

Olkoon pisteetp⁺ ja p⁻ pisteiden p₀ ja p₁ v¨alisen suoran ja joukon S leikkauspis- teet. T¨all¨oin

d(R(p1), R(p⁺))

d(p₁, p⁺) = |r₀²/d(p0, p1)−r²₀/d(p0, p⁺)|

d(p₀, p⁺)−d(p₀, p₁) =r²₀/(d(p0, p1) d(p0, p⁺)).

Riippuen siit¨a ovatko pisteet p₁ ja p⁻ samalla vai eri puolella pistett¨ap₀ pisteelle p⁻ p¨atee joko samat yht¨al¨ot tai sitten keskimm¨aisess¨a lausekkeessa on erotusten tilalla summa, mutta lopputulos on kuitenkin sama. T¨aten p¨atee p⁰₁ = R(p₁) ja v¨aite on

todistettu.

Ryhm¨a O(1, n+ 1) on neli¨omuodon y₀² −y₁²−, . . . ,−y²_n+1 ortogonaalinen ryhm¨a (n + 2)×(n + 2)-matriiseja, eli jos T ∈ O(1, n+ 1), niin y²₀ −y²₁−, . . . ,−y_n+1² = T₀(y)²−T₁(y)²−, . . . ,−T_n+1(y)² kaikillay∈Rⁿ⁺².

Lause 2.4. GM(n) on isomorfinen ryhm¨an O(1, n+ 1)/±I kanssa Todistus. M¨a¨aritell¨a¨an kuvaus Φ : O(1, n+ 1)→GM(n) lausekkeella

Φ(g) :y_1,...,n+1 7→g_1,...,n+1((1, y_1,...,n+1))/g₀((1, y_1,...,n+1)),

miss¨a siirryt¨a¨an homogeenisiin koordinaatteihin jay_1,...,n+1 ∈Sⁿ⁺¹. Osoitetaan ensin, ett¨a Φ on surjektio. Olkoonh∈O(n+1) ja olkoonh⁰: (y₀, y_1,...,n+1)7→(y₀, h(y_1,...,n+1)), jolloin Φ(h⁰) =h. Vastaavasti kuvauksen Φ kuvajoukko sis¨alt¨a¨a peilaukseny₁ 7→ −y₁. Riitt¨a¨a siis osoittaa, ett¨a Φ(O(1, n+ 1)) sis¨alt¨a¨a avaruudenRⁿ venytysten aliryhm¨an.

M¨a¨aritell¨a¨an lineaarikuvaus T seuraavasti:

e₀ +e_n+1 7→λ(y₀+y_n+1), e₀−e_n+1 7→λ⁻¹(y₀−y_n+1), e_i 7→e_i (i= 1, . . . , n)

Seuraavassa k¨aytet¨a¨an kannanvaihtona 45 asteen kiertoa vastap¨aiv¨a¨an vektoreiden e₀ ja e_n+1 viritt¨am¨ass¨a tasossa.

1 0 0 . . . −1











√1

2 0 . . . ^√1

2

0 1 . . . 0 ... ... . .. ...

−^√1

2 0 . . . ^√1

2



















λ⁻¹ 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... . .. ...

0 0 . . . λ



















√1

2 0 . . . −^√1

2

0 1 . . . 0 ... ... . .. ...

√1

2 0 . . . ^√1

2

















 y₀ y₁ ... y_n+1









= (λ⁻¹/2 +λ/2−(−λ⁻¹/2 +λ/2))y₀+ (−λ⁻¹/2 +λ/2−(λ⁻¹/2 +λ/2))y_n+1

=λ⁻¹(y₀−y_n+1)

T¨aten T₀(y)−T_n+1(y) =λ⁻¹(y₀−y_n+1).

Projisoimalla stereograafisella projektiolla φ pisteest¨a en+1 tasolle ηn+1 = 0 saa- daan

φ_i(Φ(T)(η)) = Φ(T)i(η)

1−Φ(T)_n+1(η) = Ti(y)/T0(y)

T₀(y)/T₀(y)−T_n+1(y)/T₀y

= Ti(y)

T₀(y)−T_n+1(y) =λ yi

y₀ −y_n+1 =λφ_i(η).

Lopuksi osoitetaan, ett¨a Φ(T) on M¨obius-kuvaus kaikilla T ∈O(1, n+ 1). Olkoon T ∈ O(1, n + 1). Olkoon p⁰ piste pallolla Sⁿ ja olkoot q₁⁰ ja q⁰₂ pisteet siten, ett¨a d(q₁⁰, p⁰) = d(q₂⁰, p⁰) ja siten, ett¨a geodeesijanat pisteest¨appisteisiin q⁰₁ ja q⁰₂ ovat yht¨a

pitk¨at. Merkit¨a¨an q_i^t0 = (1−t)p+tq_i⁰, p = (1, p⁰) ja q_i^t = (1, q_i^t0). Koska T s¨ailytt¨a¨a neli¨omuodon, p¨atee

1− hp⁰, q^t_i⁰i=hp, q^t_ii_(1,n+1) =hT(p), T(q_i^t)i=|T(p)||T(q^t_i)| − hT_1,n+1(p), T_1,n+1(q_i^t)i.

T¨aten vektoreiden T_1,n+1(p) ja T_1,n+1(q_i^t) v¨alisen kulman kosinille p¨atee:

cos(α_i^t) = |T(p)||T(q^t_i)| −1 +hp⁰, q_i^t0i

|T(p)||T(q_i^t)| . K¨aytt¨am¨all¨a L’Hopitalin s¨a¨ant¨o¨a saadaan

limt→0

α^t_i

arccos(hp⁰, q^t_i⁰i) =

1−(^{|T(p)||T(qti)|−1+hp0,qt}

0 i i

|T(p)||T(q_i^t)| )² 1−(hp⁰, q^t_i⁰i)²

=

1−(^|T_|T^(p)||T_(p)||T^(q_(q^ti)|−zt i)| )² 1−(1−z)² =

−_(|T(p)||T^z2_(qt

i)|)² + _|T(p)||T^2z_(qt i)|

z²−2z

= 1

|T(p)|².

Koska tulos ei riipu indeksist¨a i, kuvauksen Φ(T) differentiaali kuvaa jokaisen yht¨a pitk¨an vektoriparin yht¨a pitk¨aksi vektoripariksi. T¨aten Φ(T) on konforminen ja siten

M¨obius-kuvaus.

Lause 2.5. Ryhm¨an GM(n) aliryhm¨a G⁰, joka kiinnitt¨a¨a pallonpuoliskon η_n+1 <

0, on isomorfinen ryhm¨an GM(n−1) kanssa, miss¨a isomorfismi on rajoitushomo- morfismi p¨aiv¨antasaajalle.

Todistus. Olkoon g ryhm¨an O(1, n+ 1) alkio, joka kiinnitt¨a¨a puoliavaruuden y_n+1 <0. T¨all¨oing_i(y_n+1) = 0, kuni= 1, . . . , n, sill¨ag kiinnitt¨a¨a hypertasony_n+1 = 0 ja my¨os li¨omuodon. T¨ast¨a seuraa, ett¨a g₀(y_n+1) = 0, sill¨a g s¨ailytt¨a¨a neli¨omuodon.

T¨aten g(y_n+1) =y_n+1, sill¨a g edelleen s¨ailytt¨a¨a neli¨omuodon. T¨aten g s¨ailytt¨a¨a my¨os neli¨omuodon x0y0−x1y1, . . . , xnyn, ja siten kuvauksen g rajoittuma voidaan ajatel- la olevan ryhm¨an O(1, n) alkio. Olkoon ΨO kuvaus g 7→ g|{yn+1=0} ja ΨGM kuvaus g 7→ g_|{ηn+1=0}. On helppo n¨ahd¨a, ett¨a Ψ_GM ◦Φ_n(g) = Ψ_O◦Φ_n−1(g), joten v¨aite on

todistettu.

Lause 2.6. G⁰ s¨ailytt¨a¨a positiivisesti definiitin differentiaalimuodon dy²₀−dy²₁−

· · · − dy_n+1² , miss¨a G⁰ on kuten edellisess¨a lauseessa. Kuvaamalla stereograafisella projektiolla pohjoisnavalta pallonpuolisko kuvautuu yksikk¨opalloksi ja s¨ailyv¨aksi met- riikaksi ds² tulee ^d_(1−|x|^x1,...d2)^x2n.

M¨a¨aritell¨a¨an joukko A seuraavasti

A ={(y₁, . . . , y_n+1}: y²₀−y₁²−. . . , y²_n+1 = 0, y_n+1 =−1, y₀ >0},

jolloin kuvauksessa y_i 7→ y_i/y₀ joukon A kuva on etel¨ainen pallonpuolisko. Koska y_i =η_iy₀ jay₀²−Pn

i=1y_i² = 1, saadaan y₀²(1−

n

X

i=1

η²_i) = 1,

josta edelleen

y₀ = (1−

n

X

i=1

η²_i)^−1/2.

Siten

dy₀ = P

iη_idη_i (1−P

iη_i²)^3/2 ja

dy_i =y₀dη_i+η_id = dη_i (1−P

jn²_j)^1/2 + η_iP

jη_jdη_j (1−P

jη²_j)^3/2

= (1−X

j

η_j²)^−3/2(η_iX

j

η_jdη_j + (1−X

j

η_j²) dη_i).

Niinp¨a dy₀²−X

i

dy_i² = (1−X

j

η²_j)⁻³[(X

j

ηjdηj)²−X

i

(ηi

X

j

ηjdηj+ (1−X

j

η_j²) dηi)²]

= (1−X

j

η²_j)⁻³[(X

j

η_j²)⁻³[(X

j

η_jdη_j)²−(X

i

η_i²)(X

j

η_jdη_J)²

−(1−X

j

η_j²)²(X

i

η_i²)−2(X

i

η_idη_i)(X

j

η_jdη_j) + 2(X

i

η²_i)(X

i

η_idη_i)²

= (1−X

j

η²_j)⁻³[(X

i

η_idη_i)²(−1 +X

j

η²_j)−X

j

dη_J(1−X

j

η_j²)²]

=−(1−X

j

η²_j)⁻¹[(1−X

j

η_jη_j²)⁻¹(X

i

η_idη_i)²+X

i

dη²_i].

Viimeisiss¨a hakasuluissa oleva lauseke on Pn+1

i=1 dη²_i yksikk¨opallolla, sill¨a ηn+1 = (1 −Pn+1

i=1 η²_i)^1/2. T¨aten invariantista neli¨omuodosta tulee −η_n+1⁻² (dη₁², . . . ,dη²_n+1).

K¨aytt¨am¨all¨a stereograafista projektiota saadaan η_i = 2x_i

1 +|x|² kaikillei= 1, . . . , n, ηn+1 = |x|²−1

|x|²+ 1.

T¨aten

n+1

X

i=1

dη_i² = 4

n

X

i=1

(1 +|x|²) dx_i−2x_iP

jx_jdx_j (1 +|x|²)²

!2

+ (1 +|x|²)2P

jxjdxj −(|x|²−1)2P

jxjdxj

(1 +|x|²)²

!2

= 4(1 +|x|²)⁻⁴(

n

X

i=1

[(1 +|x|²)²dx²_i −4(1 +|x|²)(X

j

xjdxj)xidxi+ 4(X

j

xjdxj)²x²_i]) + 16(1 +|x|²)⁻⁴(X

j

x_jdx_j)²

= 4(1 +|x|²)⁻²

n

X

i=1

dx²_i, ja siten η⁻²_n+1(Pn+1

i=1 dη_i²) = _(1−|x|⁴ 2)²

Pn

i=1dx_i. T¨am¨a todistaa v¨aitteen.

Lause 2.7. Ryhm¨a GM(n) on separoituva.

Todistus. Tarkastellaan hyperbolisen avaruuden pallomallia. Jos g ∈ GM(n), niin p¨atee g = Rh, miss¨a h ∈O(n) ja R on peilaus yksikk¨ohyperpallopinnan kanssa ortogonaalisen hyperpallopinnan suhteen. Voidaan valita yksikk¨opallon numeroitu- vaa, tihe¨a¨a osajoukkoa vastaavat peilaukset R. T¨ast¨a saadaan v¨aite, sill¨a O(n) on

kompaktina separoituva.

Lause 2.8. Separoituvalla metrisell¨a avaruudella on numeroituva topologian kan- ta.

Todistus. Olkoon S numeroituva tihe¨a joukko, jolloin m¨a¨aritell¨a¨an B ={B(x,1/n) : x∈S, n∈N}.

Olkoon nytU avoin joukko jay ∈U, jolloinB(y,1/k)⊂U jollaink∈N. On olemassa x ∈ B(y,1/2k)∩S, joten my¨os y ∈ B(x,1/2k) ∈ B. T¨am¨a todistaa v¨aitteen, sill¨a

B(x,1/2k)⊂B(y,1/k)⊂U.

Lause 2.9. K¨aytet¨a¨an pohjois- ja etel¨anavoille merkint¨oj¨a p_p ja p_e ja Lebesguen mitalle merkint¨a¨a µ. Jos γ on M¨obius-kuvaus, niin asetetaan

S_γ = lim

r→0

µ(γ(B(p_e, r))) µ(B(pe, r))

µ(γ(B(p_p, r))) µ(B(pp, r)) , miss¨a µ on Lebesguen mitta. T¨all¨oin p¨atee sup_γ∈GM(n)S_γ <∞.

Todistus. Olkoon γ M¨obius-kuvaus. T¨all¨oin R ◦γ(0) = 0, miss¨a R on peilaus sopivan joukonSⁿ⁻¹ kanssa ortogonaalisen hyperpallopinnan suhteen. Hyperbolisesta metriikasta seuraa, ett¨a R◦γ ∈ O(n). Koska ryhm¨an O(n) alkiot s¨ailytt¨av¨at pallo- mitan, riitt¨a¨a todistaa v¨aite kuvaukselle R.

Oletetaan, ett¨a on olemassa jono joukon Sⁿ⁻¹ kanssa ortogonaalisia hyperpallo- pintojaSj, joiden suhteen peilauksille k¨aytet¨a¨an merkint¨oj¨a Rj, s¨ateill¨a r⁰_j ja s¨ateit¨a

r¹_j siten, ett¨a limj→∞r¹_j⁰r_j¹⁰⁰/(r¹_j)² = ∞, miss¨a r¹_j⁰ ja r¹_j⁰⁰ ovat pohjois- ja etel¨anapa- keskisten hyperpallopintojen kuvien kuvauksessaR_j s¨ateet. T¨all¨oin p¨atee lauseen 2.3 perusteella

r_j¹⁰r¹_j⁰⁰

(r_j¹)² <min( (r_j⁰)⁴ (1−r_j¹)(q

1 + (r⁰_j)²−1)²

, (r_j⁰)⁴ 2(q

1 + (r⁰_j)²−1)⁴ ), sill¨a hyperpallopinnanS_j keskipiste on et¨aisyydell¨a √

1 +r² origosta ja et¨aisyys kes- kipisteest¨a toiseen napakeskiseen hyperpallopintaan on v¨ahint¨a¨an (1−r¹_j). T¨am¨a on ristiriita, sill¨a minimin ensimm¨ainen argumentti on rajoitettu, kun r₀ <1 ja toinen,

kun r0 >1.

Seuraavissa on k¨aytetty l¨ahteit¨a [6] ja [4].

JosM on metrinen avaruus, niin m¨a¨aritell¨a¨an kahden polunγ_i: [0,1]→M v¨alinen et¨aisyys D(γ₁, γ₂) = sup_t∈[0,1]|γ₁(t)−γ₂(t)|.

M¨a¨aritelm¨a 2.10. Olkoon M metrinen avaruus jax∈M. Jos jokaiselley∈M on olemassa polku γ_y pisteest¨a x pisteeseen y siten, ett¨a jokaiselle z₁ ∈ M ja > 0 on olemassa δ > 0 siten, ett¨a D(γ_z1, γ_z2) < kun d(z₁, z₂) < δ, miss¨a z₂ ∈ M, niin sanotaan, ett¨a M onkartiomainen.

M¨a¨aritelm¨a 2.11. Olkoon M metrinen avaruus ja γ polku avaruudessa M. Jos on olemassa > 0 siten, ett¨a jokainen polku γ⁰, jolle p¨atee D(γ, γ⁰) < , on homo- tooppinen polun γ kanssa p¨a¨atepisteet paikallaan pit¨aen, niin sanotaan, ett¨a polku γ onhyv¨a.

M¨a¨aritelm¨a2.12. OlkoonM metrinen avaruus. Jos jokaisellax∈M on olemas- sa ymp¨arist¨o, joka on yhdesti yhten¨ainen sek¨a kartiomainen, ja lis¨aksi, jos jokainen polku avaruudessa M on hyv¨a sanotaan, ett¨a M on hyv¨a.

M¨a¨aritell¨a¨an avaruus ˜X: Valitaan peruspistex∈X ja asetetaan avaruuden ˜X al- kioiksi (y,[f]), miss¨ay∈X ja [f] on pisteidenxjayv¨alisen polunf homotopialuokka p¨a¨atepisteet paikallaan pit¨aen. Asetetaan

D([f₁],[f₂]) = inf

f₁⁰∈[f1],f₂⁰∈[f2]

D(f₁⁰, f₂⁰).

Lopuksi asetetaan

d((y˜ ₁,[f₁]),(y₂,[f₂])) = d(y₁, y₂) + D([f₁],[f₂]).

Kuvaus ˜don selv¨asti symmetrinen ja toteuttaa kolmioep¨ayht¨al¨on. JosX on hyv¨a, niin siit¨a, ett¨a ˜d((y₁,[f₁]),(y₂,[f₂])) = 0 seuraa, ett¨a [f₁] = [f₂], sill¨a f₁ on hyv¨a.

Selv¨asti my¨os y₁ =y₂, joten ˜d on metriikka.

On olemassa kuvaus E: ˜X →X m¨a¨ariteltyn¨a E((y,[f])) =y.

Lause 2.13. Jos X on hyv¨a metrinen avaruus, niin E on peitekuvaus.

Todistus. Olkoon y ∈ X piste ja olkoon U -s¨ateinen pallo, joka on yhdesti yhten¨ainen sek¨a kartiomainen, ja jonka keskipiste on y. Olkoon H pisteet x ja y yhdist¨avien polkujen homotopialuokkien joukko. Ensin luodaan homeomorfismi Ψ joukolta E⁻¹(U) joukkoon U ×H. Mille tahansa x ∈ U olkoon γ(y, z) pisteest¨a y

pisteeseen z kulkeva polku, joka on kartiomaisen metrisen avaruuden m¨a¨aritelm¨an mukainen. Olkoon γ(z, y) sen k¨a¨anteispolku. M¨a¨aritell¨a¨an

Ψ((z,[f])) = (z,[f ∗γ(z, y)]),

miss¨a merkint¨a∗tarkoittaa konkatenaatiota eli siisf∗γ(z, y) on polku, joka saadaan siten, ett¨a ensin kuljetaan polku f ja sitten polku γ(z, y). T¨am¨a kuvaus on hyvin m¨a¨aritelty, sill¨a polkujenf₁ jaf₂ v¨alinen homotopia laajenee polkujenf₁∗γ jaf₂∗γ v¨aliseksi.

Lemma 2.14. Kuvaus Ψ on bijektio.

Todistus. Oletetaan, ett¨a Ψ(z₁,[f₁]) = Ψ(z₂,[f₂]). T¨all¨oin z₁ =z₂: =z. Tiede- t¨a¨an, ett¨a [f₁∗γ(z, y)] = [f₂∗γ(z, y)], joten

[f₁] = [f₁∗γ(z, y)∗γ(y, z)] = [f₂∗γ(z, y)∗γ(y, z)] = [f₂].

T¨aten Ψ on injektio. Jos (z,[g])∈U ×H, niin polku f =g∗γ(y, z) yhdist¨a¨a pisteen x pisteeseen z. Polut g ja f ∗γ(z, y) ovat homotooppisia, joten Ψ((z,[f])] = (z,[g])

ja Ψ on surjektio.

Joukkoon U × H laitetaan metriikka asettamalla et¨aisyydeksi 1, jos pisteiden toinen komponentti eli homotopialuokka eroaa. Muutoin et¨aisyyten¨a on ensimm¨aisten komponenttien v¨alinen et¨aisyys k¨aytt¨aen metriikkaa avaruudessaU.

Lemma 2.15. Kuvaus Ψ on homeomorfismi.

Todistus. Osoitetaan ensin, ett¨a Ψ on jatkuva. Jos (z₁,[f₁]) ja (z₂,[f₂]) ovat hyvin l¨ahell¨a toisiaa, niin koskaγ(z₂, y) on valittu kartiomaisuuden m¨a¨aritelm¨an mu- kaiseksi, on polku f₂ ∗ γ(z₂, y) l¨ahell¨a polkua γ(z₁, y). Koska X on hyv¨a ja koska niiden p¨a¨atepisteet ovat samat, ovat ne homotooppiset. T¨aten pisteiden Ψ((z1,[f1])) ja Ψ(z2,[f2]) ensimm¨aiset komponentit ovat hyvin l¨ahell¨a toisiaan ja toiset ovat sa- mat. T¨aten Ψ on jatkuva. Sitten ¨a osoittaa, ett¨a Ψ⁻¹ on jatkuva. K¨aytt¨aen edellisen lemman merkint¨oj¨a

Ψ⁻¹((x,[g])) = (z,[f]),

miss¨a f = g∗γ(y, z). Jos (z₁,[g₁]) ja (z₂,[g₂]) ovat l¨ahemp¨an¨a kuin 1 toisiaan, niin [g₁] = [g₂]. T¨all¨oin voidaan ottaa molemmille luokille sama edustaja g, mutta silloin f₁ = g ∗γ(y, z₁) ja f₂ = g ∗γ(y, z₂) ovat l¨ahell¨a toisiaan polun γ valinnan nojalla.

T¨aten Ψ⁻¹ on jatkuva.

Kuvaus Ψ : E⁻¹(U) → U × H on siis homeomorfismi. Olkoon π: U ×H → U projektiokuvaus, jolloin sen rajoittuma jokaiseen avaruuden U ×H komponenttiin U ×h on homeomorfismi. Selv¨asti E =π◦Ψ. Jokainen avaruuden E⁻¹ komponentti U˜ kuvautuu kuvauksessa Ψ joukoksi U × h jollekin h ∈ H. T¨aten kuvauksen E rajoittuma joukkoon ˜U on kahden homeomorfismin yhdisteen¨a homeomorfismi. Siten

E on peitekuvaus.

Kun avaruuden ˜X metriikka puolitetaan, niin kuvaus E on paikallinen isometria, jos avaruuden X polut ovat hyvi¨a.

Lause 2.16. Jos X on t¨aydellinen, niin my¨os X˜ on t¨aydellinen.

Todistus. Olkoon (˜x_j) Cauchy-jono avaruudessa ˜X. Konstruktion perusteella my¨os E((˜x)_j) on Cauchy-jono, joka suppenee johonkin pisteeseen x, sill¨a X on t¨ay- dellinen. OlkoonU pisteenxymp¨arist¨o siten, ett¨aE⁻¹(U) koostuu erillisist¨a joukois- ta, jotka ovat homeomorfisia joukon U kanssa. Koska ˜xj on Cauchy, kuuluvat sen alkiot jostain indeksist¨a l¨ahtien yhteen joukon E⁻¹ komponenttiin ˜U. T¨aten jono ˜xj

suppenee pisteeseen ˜U∩E⁻¹(x). T¨aten ˜X on t¨aydellinen.

Lause 2.17. Jos X on hyv¨a, on metrinen avaruus X˜ yhdesti yhten¨ainen.

Todistus. Valitaan peruspisteeksi ˜x ∈ X˜ pari (x,∗), miss¨a ∗ on triviaali sil- mukka. Oletetaan, ett¨a f: [0,1] → X˜ on silmukka. T¨all¨oin f(t) = (x_t,[γ_t]), miss¨a x_t ∈ X ja γ_t on polku, joka yhdist¨a¨a pisteen x pisteeseen x_t. Asetetaan β(t) = x_t. M¨a¨aritell¨a¨an β_t: [0,1]→X kaavalla

β_t(s) =β(st).

Siten sek¨aβ_t ett¨a γ_t liitt¨av¨at pisteen x pisteeseen x_t. Lemma 2.18. P¨atee [β_t] = [γ_t] kaikille t ∈[0,1].

Todistus. OlkoonJniiden pisteidentjoukko, joille p¨atee [β_t] = [γ_t]. Piste 0∈J, sill¨a t¨all¨oin molemmat polut ovat triviaaleja. Osoitetaan, ett¨aJ = [0,1] osoittamalla se sek¨a avoimeksi ett¨a suljetuksi.

J on suljettu. Oletetaan, ett¨a [βt] = [γt] pisteeseen s suppenevalle jonolle arvoja t. Koska polut β ja f ovat jatkuvia ja koska polun β jatkuvuudesta seuraa, ett¨a lim_s→td(β_t, β_s) = 0, niin p¨atee

(x_s,[γ_s]) = lim

t→s(x_t,[γ_t]) = lim

t→s(x_t,[β_t]) = (x_S,[β_s]).

T¨aten [β_s] = [γ_s].

J on avoin. Oletetaan, ett¨a [βt] = [γt]. Olkoon βts polun β rajoittuma joukkoon [t, s]. Koskaγs on hyv¨a, niin voidaan valita [γt∗βts] luokan [γt] edustajaksi, kun s on l¨ahell¨a pistett¨a t. Nyt saadaan

[γ_t] = [γ_t∗β_ts] = [β_t∗β_st] = [β_S].

(1)

T¨aten siis f(t) = (β(t),[βt]). Koska f on silmukka, on f(1) avaruuden ˜X perus- piste. Siten β₁ =β on triviaali polku avaruuden X perusryhm¨ass¨a. On siis olemassa homotopia B: [0,1] ×[0,1] → X siten, ett¨a B(t,0) = β(t) ja B(t,1) = x. M¨a¨a- ritell¨a¨an funktio F: [0,1]× [0,1] → X˜ asettamalla F(t, s) = (B(t, s),[B|[0,t]×{s}]).

Kuvaus F on jatkuva metriikan ˜d toisen termin suhteen, sill¨a jos (t⁰, s⁰) → (t, s), niin k¨aytt¨am¨all¨a kompaktiutta peitteeseen {F⁻¹(B(B(t⁰⁰, s)), )) : t⁰⁰ ∈[0, t]} saadaan polkujen B|[0,t⁰]×{s⁰} suppeneminen polkuun B|[0,t]×{s}. Koska F on my¨os selv¨asti jat- kuva t¨am¨an metriikan ensimm¨aisen termin suhteen, ja koska F(t,0) = (β(t),[β_t]) ja F(t,1) = (x,∗), on se homotopia polun f ja triviaalin polun v¨alill¨a. T¨aten lause on todistettu.

Lause 2.19. Hyperbolisen avaruuden pallojen B1 ja B2 v¨alinen isometria γ laa- jenee koko avaruuden isometriaksi.

Todistus. Oletetaan aluksi, ett¨a pallot ovat origokeskisi¨a pallomallissa. Olkoon γ⁰ koko avaruuden isometria, jolla on sama differentiaali origossa kuin kuvauksella γ. Kuvaus γ⁰ kuvaa origosta l¨ahtev¨at geodeesit samoiksi geodeeseiksi kuin γ, joten γ_|B⁰

1 = γ. Yleinen tulos seuraa siit¨a, ett¨a mik¨a tahansa pallo voidaan isometrialla

kuvata origokeskiseksi.

Lause 2.20. Olkoon M ja N Riemannin monistoja. Jos M on t¨aydellinen ja f:M →N on paikallinen isometria, niin f on isometrinen peitekuvaus.

Todistus. Olkoon x ∈ N ja r > 0 siten, ett¨a pisteen x tangenttiavaruuden eksponenttikuvaus palloltaB(0, r) on diffeomorfismi kuvalleen. Koskafon paikallinen isometria, niin f(exp_x˜(v)) = exp_x(v) kaikilla v ∈ B(0, r) kun f(˜x) = x. Nimitt¨ain f on jatkuva, joten kaksi pisteest¨a x l¨ahtev¨a¨a geodeesia leikkaavat vain jos niiden kuvatkin leikkaavat. T¨aten f on kahden diffeomorfismin yhdisteen¨a diffeomorfismi ja siten isometria. Toisaalta jos y ∈ M, niin pisteen f(y) pisteeseen x yhdist¨av¨a geodeesi nousee geodeesiksi, joka liitt¨a¨a pisteen y joksikin pisteeksi joukosta f⁻¹(˜x).

T¨aten joukonf⁻¹(B(˜x, r)) eri komponentit eiv¨at leikkaa. Siisp¨af on peitekuvaus.

Lause 2.21. Olkoon E polkuyhten¨ainen ja B yhdesti yhten¨ainen topologinen ava- ruus. Jos f: E →B on peitekuvaus, niin f on homeomorfismi.

Todistus. Olkoona, b∈E siten, ett¨af(a) = f(b). Olkoonγ pisteetajab yhdis- t¨av¨a polku. T¨all¨oinγ⁰ =f(γ) on silmukka avaruudessaB. OlkoonF polunγ⁰ pisteeksi x p¨a¨atepisteet paikallaan pit¨aen kutistava homotopia. Kuvaus F voidaan nostaa po- lun γ joukkoon f⁻¹(x) kutistavaksi, p¨a¨atepisteet paikallaan pit¨av¨aksi homotopiaksi.

Nimitt¨ain jokaisella pisteell¨a avaruudessa B on ymp¨arist¨oU siten, ett¨a sen alkukuva kuvauksessa f koostuu sen kanssa homeomorfisista, erillisist¨a komponenteista. Koska kuvauksenF kuvajoukko on kompakti, voidaanF nostaa avaruuteenE yksi joukkoU kerrallaan valitsemalla nostot yhteneviksi, kun joukot U leikkaavat. Koska f⁻¹(x) on diskreetti, kutistuuγyhdeksi pisteeksi. Koska homotopia piti p¨a¨atepisteet paikallaan,

p¨atee a=b.

Lause 2.22. T¨aydellinen, yhdesti yhten¨ainen hyperbolinen n-monisto M on iso- metrinen avaruuden Hⁿ kanssa.

Todistus. Valitaan piste x∈M. Olkoon y∈M ja olkoonαpisteetxjay yhdis- t¨av¨a geodeesi. Kompaktiuden nojalla v¨alill¨a [0,1] on jakot₀ = 0< t₁ <· · ·< tk−1 <

1 = t_k siten, ett¨a jokaiselle i ∈ 0, . . . , k −1 on isometria D: U_i → V_i, miss¨a U_i on avaruudenM avoin joukko, joka sis¨alt¨a¨a joukon α[t_i, t_i+1], jaV_i ⊂Hⁿ. OlkoonC jou- kon Ui−1∩U_i komponentti. T¨all¨oin Di−1◦D_i⁻¹: D_i(C)→Di−1(C) on avaruuden Hⁿ alueiden v¨alinen isometria ja siten laajenee koko avaruuden isometriaksi D_i⁰. Korva- taan joukkoV_i joukollaD_i⁰(V_i) ja kuvausD_i kuvauksellaD⁰_i◦D_i. Polustaαtulee polku α⁰: [0,1]→Hⁿ. M¨a¨aritell¨a¨an D(y) =α⁰(1). Osoitetaan sitten, ett¨a kuvaus D on hy- vin m¨a¨aritelty. Olkoon β toinen pisteet x ja y yhdist¨av¨a polku. Koska M on yhdesti yhten¨ainen, on olemassa homotopia polkujen α ja β v¨alill¨a. Kompaktiudesta seuraa, ett¨a Lebesguen peitelauseen perusteella voidaan jakaa joukko [0,1]×[0,1] samansuu- ruisiin neli¨oihin siten, ett¨a jokainen neli¨on kuva kuuluu v¨ahint¨a¨an yhteen avaruuden Hⁿ pallon kanssa isometriseen palloon. Neli¨on yl¨arivin isometrioita voidaan muokata kuten aiemmin ja sitten voidaan jatkaa muille riveille, jolloin ne saadaan yhdistetty¨a yhdeksi isometriaksi. Homotopia saadaan siten siirretty¨a polkujenα⁰ ja β⁰ v¨alille. Jos

y⁰ on l¨ahell¨a pistett¨a y, niin polku α⁰ voidaan konstruoida k¨aytt¨aen samoja isomet- rioita molemmille pisteille. SitenDon paikallinen isometria. KoskaM on t¨aydellinen,

onD isometrinen peitekuvaus. Siten se on isometria.

Lause 2.23. T¨aydellinen hyperbolinen monisto X on hyv¨a metrinen avaruus.

Todistus. Jokaisella pisteell¨a on selv¨asti ymp¨arist¨o, joka on yhdesti yhten¨ainen ja kartiomainen. Olkoon f₀ polku avaruudessa X. Jokaisella polun f₀ pisteell¨a on ymp¨arist¨o, joka on isometrinen hyperbolisen avaruuden pallon kanssa. Kompaktiu- desta seuraa, ett¨a sama vakio, jolle k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a 2, kelpaa t¨allaisen ymp¨a- rist¨on s¨ateeksi kaikille polun pisteille. Olkoon f₁ polku avaruudessa X siten, ett¨a D(f₀, f₁)< . Jokaisellet ∈[0,1] on olemassa geodeesi γ_t, joka yhdist¨a¨a pisteet f₀(t) ja f₁(t), sek¨a pysyy joukossa B(f₀(t), ). Tarpeeksi l¨ahell¨a pistett¨a t olevalle pisteelle s polku γ_s pysyy joukossa B(f₀(t),2). Koska geodeesit hyperbolisessa avaruudessa riippuvat jatkuvasti p¨a¨atepisteist¨a¨an, riippuuγ_tjatkuvasti pisteest¨at. T¨all¨oin kuvaus F(s, t) = γ_s(t) on homotopia polkujen f₀ ja f₁ v¨alill¨a.

Lause 2.24. Jos M on t¨aydellinen hyperbolinen monisto, niin on olemassa peite- kuvaus Hⁿ →M, joka on lokaali isometria.

Todistus. Ensinn¨akinM on hyv¨a metrinen avaruus, joten sill¨a on yhdesti yhte- n¨ainen peite ˜M, jonka peitekuvaus on lokaali isometria. Hyperbolisen moniston m¨a¨a- ritelm¨an perusteella ˜M on lokaalisti isometrinen hyperbolisen avaruuden kanssa. Kos- ka M on t¨aydellinen, on my¨os ˜M t¨aydellinen. Siten ˜M on isometrinen hyperbolisen

avaruuden kanssa.

Olkoon [γ] t¨aydellisen hyperbolisen moniston perusryhm¨an alkio. T¨all¨oin kuvaus gγ: Hⁿ →Hⁿm¨a¨ariteltyn¨agγ((x,[f])) = (x,[γ∗f]) on isometria, kun avaruus ˜M sa- maistetaan avaruudenHkanssa. Ensinn¨akingon hyvin m¨a¨aritelty, sill¨a jos [f1] = [f2], niin selv¨asti [γ∗f₁] = [γ∗f₂]. Vastaavasti koska M on hyv¨a, on g_γ paikallinen iso- metria. Kuvaus g_γ⁻¹ on kuvauksen g_γ k¨a¨anteiskuvaus. Koska paikallinen isometria s¨ailytt¨a¨a geodeesien pituudet, ja koska t¨aydellisen Riemannin moniston pisteet voi- daan yhdist¨a¨a et¨aisyyden toteuttavalla geodeesill¨a, on g_γ isometria. Koska polkujen ketjuttaminen on perusryhm¨an laskutoimitus, perusryhm¨a voidaan identifioida hy- perbolisen avaruuden isometrioiden ryhm¨an GM(n) aliryhm¨an kanssa.

Seuraavan todistuksen l¨ahtein¨a on k¨aytetty [1] ja [7].

Lause2.25.OlkoonT k¨a¨antyv¨a n-ulotteinen lineaarikuvaus. T¨all¨oinT =O₁O₂DO⁻¹₂ , miss¨a lineaarikuvaukset O_i ovat ortogonaalisia ja D on diagonaalinen.

Todistus. LineaarikuvausT^TT on itseadjungoitu ja siten positiivisesti definiitti, sill¨a

0≤ |T x|=p

hT x, T xi=p

hx, T^TT xi=x^TT^TT x.

Todistetaan induktiolla ulottuvuuden n suhteen, ett¨a itseadjungoidulla lineaariku- vauksella on ortonormaali ominaisvektorikanta. Perustapaus on selv¨a. M¨a¨aritell¨a¨an siis neli¨omuoto

Q(v) =hT v, vi.

T¨all¨oin p¨atee

1

4(Q(v+w)−Q(v−w)) =hT v, wi, sill¨aT on itseadjungoitu ja sis¨atulo on symmetrinen. M¨a¨aritell¨a¨an

λ₁ = max

{v∈V:|v|=1}Q(v).

Valitaan v₁ ∈S siten, ett¨a

Q(v₁) =λ₁.

Soveltamalla Lagrangen kertoimia funktiolle f m¨a¨ariteltyn¨av 7→ |v|² saadaan

∇Q(v₁) =λ∇f(v₁) jollekinλ. Koska

∇Q(v) = 2T(v) ja∇f(v) = 2v, joten T v₁ =λv₁. T¨aten

λ₁ =Q(v₂) = hT v₁, v₁i=hλv₁, v₁i=λhv₁, v₁i=λ.

Olkoon W =v_i^⊥ ja w∈W. T¨all¨oin

hT w, v₁i=hw, T v₁i=hwλ₁, v₁i= 0,

joten T W = W. Induktio-oletuksen mukaan on olemassa kuvauksen T ortonormaali ominaisvektorikantaB, joten B∪ {v₁} k¨ay induktioaskeleessa tarvittavasta ominais- vektorikannasta.

T¨aten kuvaukselleT⁰ =O₂DO₂⁻¹ saadaan neli¨ojuuri P =√

T⁰ ottamalla neli¨ojuu- ret matriisinD alkioista.

T¨all¨oin

|T⁰x|² =hT x, T xi=hxT⁰xi=hx, P P xi=hP x, P xi=|P x|². Kuvaus T P⁻¹ on ortogonaalinen, sill¨a kaikille y=P xp¨atee

|T P⁻¹y|=|T x|=|P x|=|y|.

T¨aten hajotelma saadaan, kun asetetaan O₁ =T P⁻¹. 3. Konformikapasiteetti

T¨am¨an luvun tarkoituksena on muun muassa osoittaa konformikapasiteetin jat- kuvuus.

M¨a¨aritelm¨a 3.1. Kuori M¨obius-avaruudessa on yhten¨ainen avoin joukko D, jonka komplementti koostuu kahdesta yhten¨aisyykomponentista C₀ ja C₁. Joukkoja δ₀ =C₀∩D ja δ₁ =C₁∩D kutsutaan sen reunakomponenteiksi.

Kuorta, joka ei sis¨all¨a pistett¨a ∞ kutsutaan avaruuden Rⁿ kuoreksi, ja pisteen

∞ sis¨alt¨av¨a komplementin komponentti on rajoittamaton. Jos a, b > 0, niin kuorta {x: a <|x|< b}kutsutaan pallokuoreksi ja sille k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a D_a,b.

M¨a¨aritelm¨a 3.2. Olkoon D kuori n-M¨obius-avaruudessa ja olkoon ∆₀,∆₁ sen reunakomponentit. T¨all¨oin konformikapasiteetti C(D) m¨a¨aritell¨a¨an

infu

Z

D

|∇u|ⁿdD, (2)

miss¨a u on joukossa D m¨a¨aritelty jatkuva, reaaliarvoinen, joukossa D luokkaa C¹ oleva, sek¨a joukossa ∆₀ vakioarvon 0 ja joukossa ∆₁ vakioarvon 1 saava funktio.

Konformikapasiteetin m¨a¨aritelm¨a ei riipu reunan komponenteille k¨aytett¨av¨ast¨a merkinn¨ast¨a, sill¨a |∇u|=|∇(1−u)|.

Lause 3.3. OlkoonD ja D⁰ kuoria ja olkoon f: D→D⁰ konformikuvaus. T¨all¨oin C(D) =C(D⁰).

Todistus. Olkoonukonformikapasiteetin m¨a¨aritelm¨an ehdot toteuttava funktio.

T¨all¨oin funktio u⁰, joka toteuttaa yht¨al¨on u = u⁰ ◦f, toteuttaa my¨os n¨am¨a ehdot.

Asettamalla y=f(x) saadaan

∇u= ∂u

∂x_i

, ∂u

∂x_i =X

j

∂u⁰

∂y_j

∂y_j

∂x_i,

josta seuraa, ett¨a ∇u =^t f(∇u˙ ⁰), miss¨a ˙f on kuvauksen f differentiaali ja ^tf˙ on kuvauksen ˙f transpoosi.

Mille tahansa kahdelle ortogonaaliselle yksikk¨ovektorille Xi, Xj yht¨al¨ost¨a hXi + Xj, Xi+Xi−Xji=hX_i, Xii − hX_j, Xji= 1−1 = 0 saadaan

0 =hX_i+X_j, X_i+X_i−X_ji=hf˙_p(X_i+X_j),f˙_p(X_i−X_j)i=|f˙_p(X_i)|²− |f˙_p(X_j)|². T¨aten siis |f˙_p(X_i)| = |f˙_p(X_j)|. Siten ˙f_p kuvaa yksikk¨opallon palloksi, jonka s¨ade on λ(p) = |f˙_p(X_i)|, koska venytys kommutoi kaikkien matriisien kanssa. Siisp¨a ^tf˙_pf˙_p = λ²Id. T¨aten

|det ˙fp|² = det(^tf˙pf˙p) =λ²ⁿ(p) ja

|∇u|² =h^tf˙(∇u⁰),^tf(∇u˙ ⁰)i=hf˙^tf(∇u˙ ⁰),∇u⁰i.

Mutta ˙f^tf˙=^t f˙⁻¹(^tf˙f)˙ ^tf˙=^tf˙⁻¹λ^2tf˙=λ². T¨aten |∇u|²(p) =λ²(p)|∇u⁰|²(f(p)), eli

|∇u|ⁿ=|det ˙f|(|∇u⁰|ⁿ◦f).

K¨aytt¨am¨all¨a muuttujanvaihtoa saadaan Z

D⁰

|∇u⁰|ⁿdD⁰ = Z

D

|∇u|ⁿdD,

josta v¨aite seuraa.

M¨a¨aritelm¨a 3.4. Olkoonv jatkuva reaaliarvoinen funktio m¨a¨ariteltyn¨a alueessa D⊂Rⁿ. Jos jokaisessa joukkoonDsis¨altyv¨ass¨a suljetussa pallossavon absoluuttisesti jatkuva melkein kaikilla janoilla, niin sanotaan, ett¨av on ACL alueessaD.

Lemma 3.5. Olkoon v jatkuva, ACL funktio avoimessa joukossa R ⊂ Rⁿ. Ol- koon R⁰ avoin joukko, jolla on kompakti, joukkoon R sis¨altyv¨a sulkeuma. Olkoon U = B(0, ) ja oletetaan, ett¨a et¨aisyys joukosta R⁰ joukon R komplementtiin on v¨ahint¨a¨an 2. Oletetaan, ett¨a |∇v| on integroituva joukossa R. Asetetaan w(x) =

1 m(U)

R

Uv(x+y) dy, jos x+U ⊂R, miss¨a m on Lebesguen mitta. T¨all¨oin (1) w on luokkaa C¹ joukossa R⁰,

(2) lim→0w=v tasaisesti joukon R kompakteissa osajoukoissa, (3) ∇w(x) = _m(U)¹ R

U∇v(x+y) dy melkein kaikille x, (4) R

R⁰|∇w(x)|^pdx≤R

R|∇v(x)|^pdx p≥1.

Todistus. V¨aitteet 1) ja 2) ovat tunnettuja tosiasioita jatkuvista funktioista.

V¨aitteen 3) perusteella p¨atee

|∇w(x)| ≤ _m(U)¹ R

U|∇v(x+y)|dy. T¨aten Z

R⁰

|∇w(x)|^pdx 1/p

≤ Z

R⁰

1 m(U)

Z

U

|∇v(x+y)|dy p

dx 1/p

≤ 1 m(U)

Z

U

Z

R⁰

|∇v(x+y)|^pdx 1/p

dy, Minkowskin integraaliep¨ayht¨al¨on perusteella. Nyt p¨ateeR

R⁰|∇v(x+y)|^pdx≤R

R|∇v(x)|^pdx, sill¨aR⁰+U ⊂R. T¨ast¨a saadaan

Z

R⁰

|∇w(x)|^pdx 1/p

≤ Z

R

|∇v(x)|^pdx 1/p

1 m(U)

Z

U

dy,

josta v¨aite 4) seuraa.

M¨a¨aritelm¨a 3.6. Reaaliarvoista, joukossaDm¨a¨aritelty¨a funktiota ukutsutaan sallituksi, jos se on jatkuva, ACL kuoressaD, ja saa arvon 0 joukossaC₀∩D, arvon 1 joukossaC₁∩D, ja jos lis¨aksi|∇u|ⁿon integroituva kuoressaD. Funktiotaukutsutaan sile¨asti sallituksi, jos se lis¨aksi on luokkaa C¹ joukossa D ja sen gradientilla ∇u on kompakti kantaja, joka sis¨altyy joukkoon D.

Sile¨asti sallitut funktiot toteuttavat konformikapasiteetin m¨a¨aritelm¨ass¨a funktioil- le annetut ehdot. Konformikapasiteetin m¨a¨aritelm¨ass¨a annetut funktiot puolestaan ovat aina sallittuja.

Lemma 3.7. Asetetaan

C¹(D) = inf

u

Z

D

|∇u|ⁿdD, miss¨a u on sallittu funktio ja asetetaan

C²(D) = inf

u

Z

D

|∇u|ⁿdD, miss¨a u on sile¨asti sallittu funktio. T¨all¨oin

C¹(D) = C(D) =C²(D).

Todistus. Olkoon u sallittu funktio. Kiinnitet¨a¨an 0< a <1/2. Asetetaan v(x) =







0 if u(x)< a

u(x)−a

1−2a if a≤u(x)≤1−a 1 if 1−a < u(x)≤1

ja jatketaan funktiota v siten, ett¨a se saa arvon 0 joukossa C₀ ja arvon 1 joukossa C₁. Koska u(x) → 1, kun x → ∞, niin funktiolla ∇v on kompakti kantaja K, joka on positiivisella et¨aisyydell¨a, jolle k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a , kuorenD komplementista.

Olkoon U ={y: |y|< /2}. Asetetaan w(x) = 1

m(U) Z

U

v(x+y) dy.

T¨all¨oin w = 0 joukossa C0 ja w = 1 joukossa C1. Koska funktiolla ∇v on kompakti kantaja K, saadaan k¨aytt¨aen H¨olderin ep¨ayht¨al¨o¨a

Z

D

|∇u|dD= Z

K

|∇v| ·1 dD≤ Z

K

|∇v|ⁿdD

1/nZ

K

1 dD

(n−1)/n

≤(1−2a)⁻¹ Z

D

|∇u|ⁿdD 1/n

m(K)≤ ∞.

T¨aten |∇v| on integroituva kuoressaD. T¨aten melkein kaikillex,

∇w(x) = 1 m(U)

Z

U

∇v(x+y) dy.

Lemman 3.5 perusteella won luokkaa C¹ joukossa K+U, joka sis¨alt¨a¨a funktion∇w kantajan. T¨aten w on sile¨asti sallittu funktio kuorella D. T¨aten

C²(D)≤ Z

D

|∇w|ⁿdx≤ Z

D

|∇v|ⁿdx.

(3)

Lemman 3.5 kohdan 4) perusteella ja toisaalta Z

D

|∇v|ⁿdx≤ Z

D

|∇u|ⁿ(1−2a)⁻ⁿdx.

T¨aten

C(D)≤ Z

D

|∇w|ⁿdx≤(1−2a)⁻ⁿ Z

D

|∇u|ⁿ. (4)

V¨aitteen toinen yht¨al¨o seuraa ep¨ayht¨al¨ost¨a (3) ja ep¨ayht¨al¨ost¨a (4), kun a→0. V¨ait- teen ensimm¨ainen yht¨al¨o taas seuraa ep¨ayht¨al¨ost¨a (4), kun a →0. N¨aiden yht¨asuu- ruksien toiset ep¨ayht¨al¨ot ovat nimitt¨ain triviaaleja lausetta edelt¨av¨an huomautuksen

nojalla.

Olkoon Q ⊂ Rⁿ, p ∈ Q ja olkoon L pisteen p sis¨alt¨av¨a suora. K¨aytet¨a¨an suoran L Lebesguen mitalla merkint¨a¨a µ. Jos lim→0 µ(B(p,)∩L∩Q)

µ(B(p,)∩L) = 1, niin sanotaan, ett¨a p on joukonQ lineaarisen tiheyden piste suoranL suuntaan.

Lemma 3.8. Melkein kaikki suljetun joukon Q ⊂ Rⁿ pisteet ovat sen lineaarisen tiheyden pisteit¨a koordinaattiakselien suuntaan.