Pintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avulla

Tony Liimatainen

Pintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avulla

Diplomity¨o, joka on j¨atetty opinn¨aytteen¨a tarkastettavaksi diplomi-insin¨o¨orin tutkintoa varten teknillisen fysiikan koulutusohjelmassa.

Espoossa, 1.12.2008

Ty¨on valvoja: Professori Matti Lassas Ty¨on ohjaaja: Lehtori Kirsi Peltonen

TEKNILLINEN KORKEAKOULU DIPLOMITY ¨ON TIIVISTELM ¨A Informaatio- ja luonnontieteiden tiedekunta

Tekij¨a: Tony Liimatainen

Koulutusohjelma: Teknillisen fysiikan koulutusohjelma

P¨a¨aaine: Matematiikka

Sivuaine: Sovellettu fysiikka

Ty¨on nimi: Pintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avulla Title in English: Hyperbolising surfaces with the Ricci flow Professuurin koodi ja nimi: Mat-1 Matematiikka

Ty¨on valvoja: Professori Matti Lassas Ty¨on ohjaaja: Lehtori Kirsi Peltonen

Moniston Riemannin metriikan kehitt¨aminen Riccin virtauksella on osoittautunut tehok- kaaksi ty¨okaluksi differentiaaligeometrian tutkimuksessa. Riccin virtaus on metriikan evo- luutioyht¨al¨o, jolla on ep¨alineaarisuudesta huolimatta l¨amp¨oyht¨al¨om¨aisi¨a ominaisuuksia.

Vuonna 2003 Riccin virtauksen avulla todistettiin Poincar´en konjektuuri.

Ty¨oss¨a tutkimme Riccin virtausta pinnoilla ja samalla tutustumme Poincar´en konjektuu- rinkin todistuksessa k¨aytettyihin menetelmiin. Tutkimme miten metriikka kehittyy pinnalla Riccin virtauksessa. Selvit¨amme mill¨a oletuksilla ja miten kauan Riccin virtauksen ratkaisu on olemassa. Tutkimme miten pinnan kaarevuus k¨aytt¨aytyy virtauksen aikana ja millaiseen metriikkaan virtauksen ratkaisu pinnalla suppenee asymptoottisesti.

Ty¨oss¨a johdamme tunnettuihin Riccin virtauksen tuloksiin nojaten virtauksen ratkaisun olemassaoloteorian, joka on voimassa riippumatta moniston ulottuvuudesta. Sen j¨alkeen sovellamme sit¨a saadaksemme tarvitsemamme olemassaoloteorian pinnoille. Pinnoilla kaa- revuus yksinkertaistuu ja Gauss-Bonnetin teoreema kytkee pinnan kaarevuuden sen topolo- giaan. N¨ait¨a huomioita k¨aytt¨aen johdamme pinnan Riccin virtaukselle yksinkertaisemman muodon. Pinnan Riccin virtauksen analysointiin k¨ayt¨amme osittaisdifferentiaaliyht¨al¨oiden teorian menetelmi¨a, joita ensin yleist¨amme monistoille.

Osoitamme, ett¨a pinnalla Riccin virtauksella on aina yksik¨asitteinen ratkaisu koko aikav¨a- lill¨a [0,∞) mille tahansa alkuhetken C^∞-metriikalle. Asymptoottisesti virtauksen ratkai- su pinnalla suppenee vakiokaarevuuden metriikkaan, mink¨a osoitamme erikoistapauksessa, jossa pinnan Eulerin karakteristika on negatiivinen. Erityisesti negatiivisen Eulerin karak- teristikan pinta hyperbolisoituu. Pinnalla ratkaisu on konforminen alkuhetken metriikan kanssa, ja siten jokainen Riemannin metriikka pinnalla on konforminen vakiokaarevuuden metriikan kanssa.

Riccin virtaus vaikuttaa hy¨odylliselt¨a ty¨okalulta, kun tutkitaan lokaalien suureiden kuten kaarevuuden kytkeytymist¨a topologiaan. Riccin virtauksen vahvuus on sen kaarevuutta ta- soittavassa luonteessa ja siin¨a, ett¨a sen ratkaisu on olemassa minimaalisilla ehdoilla. Riccin virtauksen ty¨okaluja k¨aytt¨aen voi l¨ahesty¨a differentiaaligeometrian ongelmia my¨os korkeam- missa ulottuvuuksissa osittaisdifferentiaaliyht¨al¨oiden teorian avulla.

Sivum¨a¨ar¨a: 47 Avainsanat: Riccin virtaus, hyperbolinen pinta, evoluutioyht¨al¨o, vakiokaarevuuden metriikka, Poincar´en konjektuuri, ratkaisun olemassaolo, ratkaisun suppeneminen, vakiokaarevuuden pinta, Eulerin karakteristika T¨aytet¨a¨an tiedekunnassa

Hyv¨aksytty: Kirjasto:

HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ABSTRACT OF MASTER’S THESIS Faculty of Information and Natural Sciences

Author: Tony Liimatainen Degree Programme: Engineering Physics Major subject: Mathematics

Minor subject: Applied Physics

Title: Hyperbolising surfaces with the Ricci flow Title in Finnish: Pintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avulla

Chair: Mat-1 Mathematics

Supervisor: Professor Matti Lassas Instructor: Lecturer Kirsi Peltonen

Evolving a Riemannian metric of a manifold by using the Ricci flow has turned out to be a powerful tool in the study of differential geometry. The Ricci flow is an evolution equation of a Riemannian metric. Despite its nonlinear nature, it has similar properties with the heat equation. The Poincar´e conjecture was proved using the Ricci flow in 2003.

We study the Ricci flow on surfaces and methods used also in the proof of the Poincar´e conjecture become familiar. We study how a Riemannian metric on a surface evolves during the flow. We investigate under which assumptions the solution of the flow exists and on what time interval. We study how curvature behaves under the flow and to which kind of metric the solution of the flow converges asymptotically.

By using results from the general theory of the Ricci flow, we derive an existence theory for the solution of the flow. The derived theory holds in any dimension and we apply it in order to achieve a suitable existence theory for the solution on surfaces. Curvature simplifies on surfaces and the Gauss-Bonnet theorem connects the curvature of the surface to its topology. Using these remarks, the Ricci flow assumes a simpler form. To analyze the flow on surfaces, we use the methods of partial differential equations, which we first generalize to apply on manifolds.

We show that on manifolds the Ricci flow has a unique solution on the non-negative time interval [0,∞) for any initial time C^∞-metric. Asymptotically the solution of the flow converges to a metric of constant curvature, which we prove in the special case of negative Euler characteristic. Especially the surface becomes hyperbolic in the case of negative Euler characteristic. The solution of the flow is conformal to the initial time metric. Thus, every Riemannian metric is conformal to a metric of constant curvature.

The Ricci flow appears to be a useful tool for studying the relation between topology and local quantities, such as curvature. The Ricci flow has two key strengths. In addition to its nature of smoothening curvature, it has a solution for minimal conditions. By using the tools of the Ricci flow, one can approach the problems of differential geometry with the help of the theory of partial differential equations also in higher dimensions.

Number of pages: 47 Keywords: Ricci flow, hyperbolic surface,

evolution equation, metric of constant curvature, Poincar´e conjecture, existence of solution,

surface of constant curvature, Euler characteristic Department fills

Approved: Library code:

Esipuhe

T¨am¨an diplomity¨on motivaationa on ollut tutustua Riccin virtaukseen ja sii- hen, miten sit¨a voi k¨aytt¨a¨a tutkittaessa moniston kaarevuuden kytkeytymist¨a topologiaan. Haluan esitt¨a¨a kiitokseni ty¨on ohjaajalle lehtori Kirsi Peltoselle mielenkiintoisesta ty¨on aiheesta ja tehokkaasta ohjaamisesta. Lis¨aksi haluan kiitt¨a¨a tutkijatohtori Mikko Saloa sek¨a professoreita Matti Lassas ja Juha Kin- nunen hy¨odyllisist¨a kommenteista ty¨on alkuvaiheessa. Erityisen kiitoksen an- saitsee kollegani Kurt Baarman, joka ty¨on loppuvaiheessa tarjosi apuaan ty¨on oikoluvussa.

Ty¨o on tehty kes¨all¨a 2008 Teknillisess¨a korkeakoulussa Matematiikan ja systee- mianalyysin laitoksella. Toivon, ett¨a lukija viihtyy aiheen parissa, oppii Riccin virtauksen perustekniikat ja jaksaa ihmetell¨a lokaalien suureiden kuten kaare- vuuden kytkeytymist¨a topologiaan.

Espoo, 1. Elokuuta, 2008

Tony Liimatainen

Sis¨ alt¨ o

1 Johdanto 1

2 Notaatio ja Riemannin geometrian konventiot 5

3 Yleist¨a Riccin virtauksesta 8

3.1 Normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksen ekviva- lenssi . . . 9 3.2 Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria . . . 11

4 Riccin virtaus pinnalla 18

4.1 Skalaarikaarevuuden muutosrajat . . . 19 4.2 Ratkaisun olemassaolo pinnalla . . . 28 5 Pinnan Riccin virtauksen asymptoottinen k¨aytt¨aytyminen 29 5.1 Normien ekvivalenssi . . . 32 5.2 Skalaarikaarevuuden derivaattojen arviointi . . . 34

6 Yhteenveto 37

A 39

A.1 Riemannin geometrian identiteettej¨a . . . 39 A.2 Riccin virtauksen identiteettej¨a . . . 42 A.3 Poissonin yht¨al¨on ratkaisu . . . 44

Luku 1

Johdanto

Riccin virtaus on Riemannin metriikan evoluutioyht¨al¨o, jossa annettua alku- hetken metriikkaa kehitet¨a¨an ajassa ep¨alineaarisen osittaisdifferentiaaliyht¨al¨on avulla. Se on alkuarvoteht¨av¨a

∂

∂tg(t) =−2Ric(g(t)) g(0) =g₀,

(1.1) miss¨a g0 on jokin moniston sile¨a Riemannin metriikka ja Ric on Riccin tenso- ri. Sen esitteli Richard Hamilton vuonna 1982 julkaisussaan ”Three-manifolds with positive Ricci curvature” [Ham82]. Siin¨a h¨an osoitti, ett¨a jokaisella aidosti positiivisen (Riccin) kaarevuuden monistolla on my¨os positiivinen vakiokaare- vuuden metriikka. Vakiokaarevuuden metriikka l¨oytyy kehitt¨am¨all¨a annettua positiivisen kaarevuuden metriikkaa (normalisoidulla) Riccin virtauksella.

Julkaisu on Hamiltonin ohjelman ensimm¨ainen julkaisu. Hamiltonin ohjel- man menetelmi¨a k¨aytt¨aen voi l¨ahesty¨a Thurstonin geometrisaatiokonjektuurin todentamista Riccin virtausta k¨aytt¨aen. Thurstonin geometrisaatiokonjektuuri sis¨alt¨a¨a erikoistapauksenaan kuuluisan Poincar´en konjektuurin. T¨am¨an mukaan suljettu kolme-monisto, jolla on triviaali perusryhm¨a, on topologialtaan pallo S³. Vuonna 2003 ven¨al¨ainen Grisha Perelman teki huomattavan ty¨on vahvis- tamalla Thurstonin geometrisaatiokonjektuurin Hamiltonin ohjelman tuloksiin nojaten.

Varsinaisesti metriikan kehitt¨aminen k¨aytett¨aess¨a Riccin virtauksen teknii- koita tapahtuu normalisoidun Riccin virtauksen avulla. Normalisoitu Riccin virtaus on kompaktin moniston alkuarvoteht¨av¨a

∂

∂tg(t) = 2

nr(t)g(t)−2Ric(g(t)) g(0) =g₀,

(1.2) miss¨ar on skalaarikaarevuudenR integraalikeskiarvo

r(t) = ˆ

M

R(g(t))dµ ˆ

M

dµ . (1.3)

Osoittautuu, ett¨a normalisoimaton (1.1) ja normalisoitu Riccin virtaus ovat monessa mieless¨a samanlaisia. Molemmat virtaukset tasoittavat Riccin kaare- vuutta l¨amp¨oyht¨al¨om¨aisesti, jota voi heuristisesti ajatella kuoppaisen pallon

2

muokkaamista t¨aydelliseksi palloksi. Niiden ratkaisujen olemassaoloteoriat ovat my¨os ekvivalentteja. Normalisoitu Riccin virtauks poikkeaa normalisoimatto- masta kahdella keskeisell¨a tavalla. Normalisoitu Riccin virtaus s¨ailytt¨a¨a monis- ton tilavuuden ja sen kiintopisteet eiv¨at ole ainoastaan h¨avi¨av¨an Riccin kaare- vuuden metriikoita. J¨alkimm¨aisell¨a on suuri merkitys tarkasteltaessa ratkaisun pitk¨an ajan k¨aytt¨aytymist¨a.

T¨am¨a diplomity¨o jakautuu kahteen osaan. Ensimm¨ainen osa k¨asittelee Riccin virtauksen teoriaa yleisell¨an-ulotteisella monistolla. Rakennamme siin¨a teorian, jota tarvitsemme tutkiessamme suljettuja kaksi-monistoja, eli pintoja. T¨arkein alkuosan tulos on Riccin virtauksen ratkaisun pitk¨an ajan olemassaolon teoria.

Riccin virtauksella on aina lyhen ajan yksik¨asitteinen ratkaisu, mutta pitk¨an ajan olemassaoloa rajoittaa moniston kaarevuuden k¨aytt¨aytyminen virtauksen aikana. Osoittautuu, ett¨a jos kaarevuus ei hajaannu mill¨a¨an ajan hetkell¨a, on Riccin virtauksella yksik¨asitteinen ratkaisu aina alkuhetkest¨a eteenp¨ain. Alkuo- sassa osoitamme my¨os normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisujen yksik¨asitteisen vastaavuuden.

Saatuamme yleisen teorian valmiiksi siirrymme tutkimaan pintoja. Kahdes- sa ulottuvuudessa Riemannin kaarevuus yksinkertaistuu huomattavasti, jolloin normalisoitu Riccin virtausyht¨al¨o saa yksinkertaisemman muodon

∂

∂tg= (r−R)g. (1.4)

Pinnoilla p¨atee my¨os Gaussin ja Bonnetin kaava [Lee87, Thm 9.7.]

ˆ

M

Rdµ= 4πχ(M), (1.5)

miss¨a χ(M) on pinnan Eulerin karateristika. Gaussin ja Bonnetin kaava kyt- kee pinnan topologian ja kaarevuuden toisiinsa. N¨ait¨a huomioita k¨aytt¨am¨all¨a osoitamme, ett¨a skalaarikaarevuus s¨ailyy rajoitettuna virtauksen aikana. Ty¨on ensimm¨aisen osan nojalla Riccin virtauksella on pinnalla aina pitk¨an ajan rat- kaisu.

Rajalla t → ∞ normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu pinnalla suppe- nee vakiokaarevuuden metriikkaan. T¨am¨an osoittamisen vaikeus riippuu pin- nan topologiasta: positiivisen Eulerin karakteristikan tapauksessa vakiokaare- vuuden metriikka on hylkiv¨a kiintopiste, mik¨a monimutkaistaa analyysia. T¨ass¨a ty¨oss¨a osoitamme suppenemisen negatiivisen Eulerin karakteristikan tapaukses- sa. Ei-positiivisen tapauksen osoitti alunperin Hamilton vuonna 1988 [Ham88]

ja positiivinen tapaus todistettiin vuonna 1991 uniformisaatiolauseeseen noja- ten [Cho91]. Positiivinen tapaus todistettiin my¨os k¨aytt¨am¨att¨a uniformisaatio- lausetta vuonna 2006 [CLT06].

Riccin virtauksen tutkiminen kuuluu geometrisen analyysin matematiikan haaraan. Geometrinen analyysi tutkii differentiaaligeometriaa analyysin keino- ja k¨aytt¨aen ja k¨a¨ant¨aen. Lukijalta oletetaan perustietoja n¨ailt¨a matematiikan osa-alueilta, joskin oleellisinta on Riemannin geometrian perusty¨okalujen tun- teminen. Ty¨o perustuu Hamiltonin alkuper¨aiseen ty¨oh¨on aiheesta [Ham88] sek¨a artikkelin [CZ06] pohjalta tehtyyn Mikko Salon esitelm¨a¨an. L¨ahdemateriaalina Riccin virtauksen tuloksiin on k¨aytetty l¨ahinn¨a kirjaa [CK04].

3

Ennen siirtymist¨a varsinaiseen asiaan tutustumme Riccin virtaukseen esi- merkin kautta, jossa ratkaistaan normalisoimaton ja normalisoitu Riccin vir- taus, kun alkuhetken metriikka on Einsteinin metriikka. Huomaamme my¨os, ett¨a jokainen Einsteinin metriikka on normalisoidun Riccin virtauksen kiinto- piste.

Esimerkki 1.1. (Einstenin metriikan Riccin virtaus) Oletetaan moniston M alkuhetken metriikkag₀ Einsteinin metriikaksi:

Ric(g0) =λg0. (1.6)

Tehd¨a¨an yrite

g(t) =u(t)g0 (1.7)

Riccin virtauksen ratkaisemiseksi. Metriikan skaalaaminen positiivisella vakiol- la s¨ailytt¨a¨a Riccin kaarevuuden (Propositio A.4), joten sijoittaminen Riccin virtauksen yht¨al¨o¨on (1.1)antaa

u⁰(t)g₀ = ∂

∂tg(t) =−2Ric(g(t)) =−2Ric(g₀) =−2λg₀. (1.8) Metriikkag(t) on siten Riccin virtauksen ratkaisu, jos

u⁰(t) =−2λ

u(0) = 1. (1.9)

Eli

g(t) = (1−2λt)g0. (1.10) Huomataan ratkaisusta seuraavat asiat: Jos λ >0, eli monisto on esimer- kiksi pallo, monisto kutistuu pisteeksi ¨a¨arellisess¨a ajassa t = _2λ¹ . Jos λ = 0, kuten voi olla esimerkiksi toruksen tapauksessa, metriikka pysyy vakiona g₀. Ja jos λ < 0, kuten on hyperbolisella Einsteinin monistolla, metriikka kasvaa Riccin virtauksen aikana.

Tarkastellaan sitten vastaavaa tapausta normalisoidussa Riccin virtaukses- sa (1.2). Nyt saamme

2

nr(g)g= 2 n

ˆ

M

g^ijR_ij(g)dµ ˆ

M

dµ

g

= 2 n

ˆ

M

1

u(t)g^ij₀Rij(g0)dµ ˆ

M

dµ

g

= 2 n

1 u(t)λ

ˆ

M

ndµ ˆ

M

dµ

g= 2λ

u(t)g= 2λg0.

(1.11)

Sijoittamalla yht¨al¨o (1.11) normalisoidun Riccin virtauksen evoluutioyht¨al¨o¨on tulee se muotoon

u⁰(t)g₀= ∂

∂tg(t) = 2

nr(g(t))g(t)−2Ric(g(t)) = 2λg₀−2λg₀= 0, (1.12) jonka ratkaisu on

g(t) =g₀. (1.13)

4

L¨oyt¨am¨amme ratkaisu pysyy siis vakiona g₀. Osoittautuu, ett¨a (normalisoi- dun) Riccin virtauksen ratkaisu on yksik¨asitteinen, joten Einsteinin metriikka on normalisoidun Riccin virtauksen kiintopiste - normalisoitu Riccin virtaus, joka jonain hetken¨a on Einsteinin metriikka, pysyy Einsteinin metriikkana sii- t¨a hetkest¨a eteenp¨ain.

Luku 2

Notaatio ja Riemannin geometrian konventiot

Ty¨oss¨a noudatamme viitteen [Lee87] notaatiota. Tarkastelemme sileit¨a suunnis- tuvia Riemannin monistoja,M, tai vaihtoehtoisestiMⁿ, jos haluamme korostaa moniston ulottuvuuttan. Metriikalla tarkoitamme aina sile¨a¨a (C^∞) Riemannin metriikkaa ellei toisin mainita.

MonistonM Riemannin metriikkagm¨a¨arittelee moniston tangenttikimpun T M vektoreiden sis¨atulon

hU, Vi=g_ijUⁱV^j, U, V ∈T_xM, (2.1) miss¨aUⁱjaVⁱovat vektoreidenU jaV komponentit koordinaattikannassa. Yll¨a olemme k¨aytt¨aneet Einsteinin summauss¨a¨ant¨o¨a. K¨ayt¨amme sit¨a my¨os jatkossa.

Metriikka m¨a¨arittelee sis¨atulon my¨os kotangenttikimpunT^∗M ≡T¹M ko- vektoreille

hω, σi=g^ijω_iσ_j, ω, σ∈T_x^∗M (2.2) sek¨a yleisemmin tensoreille A, B∈T_{l x}^kM

hA, Bi=g^i1j1· · ·g^ikjkg_ik+1jk+1· · ·g_ik+ljk+lAⁱ_i^{k+1···ik+l}

1···ik B_j^{jk+1···jk+l}

1···jk . (2.3) Yll¨a T_l^kM on ^k_l

-tensoreiden

F :T^∗M× · · · ×T^∗M

| {z }

l kpl

×T M× · · · ×T M

| {z }

k kpl

−→R (2.4)

vektorikimppu. K¨ayt¨amme sis¨atuloille samaa kulmasulkumerkint¨a¨a < ·,· >

riippumatta siit¨a ovatko argumentit vektoreita, kovektoreita vai ^k_l

-tensoreita.

Selvi¨a¨a asiayhteydest¨a, mit¨a sis¨atuloa kulloinkin tarkoitetaan.

Sis¨atulo yleistyy vektori- ja kovektorikenttien avaruuksiin T(M) ja T¹(M) sek¨a ^k_l

-tensorikenttienT_l^k(M) avaruuteen normaalilla tavalla. Jatkossa emme yleens¨a sanallisesti erottele vektorikimppuja niiden kenttien eli sektioiden ava- ruuksista. Jos esimerkiksi puhumme ^k_l

-tensoristaF, tarkennamme sen merki- tyksen tarvittaessa merkitsem¨all¨a F ∈T_l^kM tai F ∈ T_l^k(M).

6

Tensorin A∈ T_l^k(M) normin neli¨o on tensorin sis¨atulo itsens¨a kanssa,

|A|²_g =g^i1j1· · ·g^ikjkg_ik+1jk+1· · ·g_ik+ljk+lAⁱ_i^{k+1···ik+l}

1···i_k A^j_j^{k+1···jk+l}

1···j_k . (2.5) Integrointi monistolla m¨a¨aritell¨a¨an metriikan m¨a¨ar¨a¨am¨an mitan

dµ=p

detgdx (2.6)

suhteen.

Lineaarinen konnektio∇m¨a¨aritt¨a¨a kovariantin derivaatan ^k_l

-tensorikentilt¨a k+1

l

-tensorikentille:

∇F(ω¹, . . . ω^l, U1, . . . , U_k, X) =∇_XF(ω¹, . . . ω^l, U1, . . . , U_k), (2.7) miss¨aF ∈ T_l^k(M),ωⁱ ∈ T¹(M) ja X, U_i ∈ T(M). Lokaaleissa koordinaateissa

∇_i∂_j ≡ ∇_∂i∂_j = Γ^k_ij∂_k, (2.8) miss¨a Γ^k_ij ovat konnektion Christoffelin symbolit. Christoffelin symboleita k¨ayt- t¨aen tensorinF ∈ T_l^k(M) kovariantin derivaatan komponentit voidaan kirjoit- taa seuraavasti:

∇_mF_i^j₁¹_···i^···jl

k =∂mF_i^j₁¹_···i^···jl

k +

l

X

s=1

Γ^j_ma^s F_i^j₁¹_···i^{···a···jl}

k −

k

X

s=1

Γ^a_misF_i^j₁¹_{···a···i}^···jl

k. (2.9) Erityisesti kovektorin ω ∈ T¹(M) ja tensorin F ∈ T₀²(M) kovarianttien deri- vaattojen komponentit ovat

∇_iω_j =∂_iω_j−Γ^k_ijω_k (2.10) ja

∇_iF_jk =∂_iF_jk−Γ^a_ijF_ak−Γ^a_ikF_ja. (2.11) Konnektio, jota ty¨oss¨a k¨ayt¨amme, on aina Levi-Civitan lineaarinen konnek- tio. Levi-Civitan konnektio on symmetrinen,

∇_XY − ∇_YX = [X, Y], (2.12) ja yhteensopiva metriikan kanssa,

∇g= 0. (2.13)

Sen Christoffelin symbolit voidaan laskea lokaaleissa koordinaateissa kaavasta Γ^k_ij = 1

2g^kl(∂ig_lj+∂jg_li−∂_lgij). (2.14) K¨aytt¨am¨amme kaarevuussuureet m¨a¨aritell¨a¨an seuraavasti: Riemannin kaa- revuustensori,Rm∈ T₀⁴(M), m¨a¨aritell¨a¨an kaavalla

Rm(X, Y, Z, W) =

∇_X∇_Y − ∇_Y∇_X − ∇_[X,Y] Z, W

, (2.15)

7

miss¨a X, Y, Z, W ∈ T(M). Riemannin kaarevuustensorin komponentit lokaa- leissa koordinaateissa ovat

R_ijkl=

∇_∂i∇_∂j − ∇_∂j∇_∂i

∂_k, ∂_l

=

R^m_ijk∂_m, ∂_l

=g_mlR^m_ijk. (2.16) KomponentitR^m_ijk, jotka on siis saatu nostamalla Riemannin kaarevuustensorin komponenttien viimeinen indeksi, voidaan laskea kaavasta

R^m_ijk =∂_iΓ^m_jk−∂_jΓ^m_ik+ Γ^m_iaΓ^a_jk−Γ^m_jaΓ^a_ik. (2.17) Komponenttien m¨a¨ar¨a¨am¨a¨a ³₁

-tensorikentt¨a¨a kutsutaan (Riemannin) kaare- vuusendomorfismiksi.

Riccin kaarevuus Ric∈ T₀²(M), joka t¨ass¨a ty¨oss¨a esiintyy erityisesti Riccin virtauksen evoluutioyht¨al¨oss¨a, on kontraktio Riemannin kaarevuustensorista ensimm¨aisen ja viimeisen indeksin suhteen,

Rij =g^klRkijl. (2.18)

Edelleen skalaarikaarevuusR∈C^∞(M) on kontraktio Riccin kaarevuudesta, R=g^ijR_ij ≡Tr g⁻¹Ric

, (2.19)

ja keskim¨a¨ar¨ainen skalaarikaarevuusr sen integraalikeskiarvo, r =

ˆ

M

R dµ ˆ

M

dµ = ˆ

M

R dµ/Vol(M). (2.20) Lopuksi m¨a¨arittelemme kaksi derivaattaoperaattoria. Kovariantti Laplacen operaattori ∆ :C^∞(M)→C^∞(M), m¨a¨aritell¨a¨an kaavalla

∆u=∇ⁱ∇_iu=g^ij∇_i∇_ju=g^ij(∂i∂j−Γ^k_ij∂k)u, (2.21) ja tensorin F ∈ T₀^k(M) divergenssi div : T₀^k(M) → T₀^k−1(M) kontraktiona tensorin∇F kahden ensimm¨aisen indeksin suhteen:

(divF)_i1···ik−1 =g^ij∇_iF_ji1···ik−1. (2.22) Erityisesti Laplacen operaattori esiintyy luonnollisesti tarkastelemissamme evo- luutioyht¨al¨oiss¨a. N¨aiss¨a yht¨al¨oiss¨a metriikka muuntuu ajassa, mist¨a johtuen jos- kus kirjoitamme ∆ = ∆g = ∆_g(t) korostaakseemme Laplacen operaattorin ai- kariippuvuutta n¨aiss¨a tapauksissa.

Luku 3

Yleist¨ a Riccin virtauksesta

T¨ass¨a luvussa tarkastelemme Riccin virtauksen piirteit¨a yleisess¨a ulottuvuudes- san >1. Normalisoimattoman Riccin virtauksen evoluutioyht¨al¨o metriikalle on

∂

∂tg=−2Ric(g) g(0) =g0,

(3.1) ja normalisoitu Riccin virtausyht¨al¨o on

∂

∂tg= 2

nrg−2Ric(g) g(0) =g₀,

(3.2) miss¨a

r= ˆ

M

R dµ ˆ

M

dµ . (3.3)

Normalisoimattoman Riccin virtauksen, jota kutsumme lyhyemmin my¨os Riccin virtaukseksi, ja normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisut monistolla Mⁿ ovat l¨aheisess¨a yhteydess¨a toisiinsa. Ne eroavat toisistaan ainoastaan ajan tparametrisoinnilla ja avaruuden skaalauksella. Erityisesti niiden ratkaisun ole- massaoloteoriat ovat ekvivalentteja kesken¨a¨an. Ratkaisun olemassaoloteoria ja ratkaisujen ekvivalenssi edell¨a kuvatussa mieless¨a ovat t¨am¨an luvun p¨a¨ateema.

Aloitamme osoittamalla, ett¨a normalisoitu Riccin virtaus s¨ailytt¨a¨a nimens¨a mu- kaisesti moniston tilavuuden:

Propositio 3.1. Olkoong(t)normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu. T¨all¨oin moniston tilavuus Vol(M),

Vol(M) = ˆ

M

dµt, (3.4)

on vakio ajassa.

Todistus. K¨aytt¨am¨all¨a identiteetti¨a (Propostio A.1)

∂

∂tln detg= Tr

g⁻¹ ∂

∂tg

, (3.5)

3.1. Normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksen

ekvivalenssi 9

voimme laskea

∂

∂t ˆ

M

dµ_t= ∂

∂t ˆ

M

pdetg dx= ˆ

M

∂

∂tlnp detg

pdetg dx

= 1 2

ˆ

M

∂

∂tln detg

dµ_t= 1 2

ˆ

M

g^ij 2

nrg_ij −2R_ij

dµ_t

= ˆ

M

(r−R)dµ_t= 0.

(3.6)

Tilavuus siis s¨ailyy normalisoidussa Riccin virtauksessa ja erityisesti mitta toteuttaa evoluutioyht¨al¨on

∂

∂tdµ_t= (r−R)dµ_t, (3.7)

kuten voimme proposition todistuksesta huomata. Normalisoimattomalle Riccin virtaukselle voimme vastaavasti laskea

∂

∂tdµt=−R dµ_t. (3.8) Jatkossa j¨at¨amme mitan aikariippuvuuden merkitsem¨att¨a.

3.1 Normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin vir- tauksen ekvivalenssi

Selvit¨amme seuraavaksi eksplisiittisesti normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksen yksik¨asitteisen vastaavuuden, jonka j¨alkeen siirrymme ratkai- sun olemassaoloteorian pariin. Laskeaksemme miten virtaukset vastaavat toisi- aan, m¨a¨arittelemme aluksi ajastatriippuvan avaruuden skaalauksen eli konfor- misen muunnoksen

eg:=ψg, (3.9)

miss¨a funktio ψ(t)>0 valitaan siten, ett¨a ˆ

M

dµe= 1, t≥0. (3.10)

Yll¨adµeon metriikanegsuhteen laskettu tilavuusmuoto. Vaadittuψon olemassa, sill¨a

1 = ˆ

M

dµe=ψ^n/2(t) ˆ

M

dµ, (3.11)

on yht¨apit¨av¨a¨a yht¨al¨on

ψ(t) = ˆ

M

dµ −2/n

>0 (3.12)

kanssa. Avaruuden skaalamisen lis¨aksi parametrisoimme ajan uudelleen seuraa- vasti

et(t) :=

ˆ _t

0

ψ(s)ds. (3.13)

3.1. Normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksen

ekvivalenssi 10

Riccin tensori on s¨ailyy avaruuden skaalaamisessa (Propositio A.4),

Ric(g) =Ric(cg) (3.14)

kaikilla positiivisilla vakioncarvoilla, joten

Ric(g) =e Ric(g). (3.15)

T¨ast¨a seuraa, ett¨a p¨atee

R(eg) =eg^ijR_ij(eg) = 1

ψR(g), (3.16)

sill¨a

ge⁻¹= 1

ψg⁻¹. (3.17)

Edelleen laskemme konformisesti muunnetun ja muuntamattoman keski- m¨a¨ar¨aisen skalaarikaarevuuden suhteen toisiinsa:

r(eg) = ˆ

M

R(g)e dµe ˆ

M

dµe = 1 ψ

ˆ

M

R(g)dµe

= 1 ψψ^n/2

ˆ

M

R(g)dµ= 1 ψr(g).

(3.18)

Osoitamme seuraavaksi, ett¨a m¨a¨arittelem¨amme avaruuden skaalaus ja ajan uudelleen parametrisointi m¨a¨aritt¨av¨at normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisujen yksik¨asitteisen vastaavuuden. Siten ratkaisut ovat ekvivalentteja siin¨a mieless¨a, ett¨a toisen ratkaisu antaa automaattisesti my¨os toisen ratkaisun.

Propositio 3.2. Olkoon g(t) normalisoimattoman Riccin virtauksen ratkaisu v¨alill¨a [0, T). T¨all¨oin

g_N(t) := eg◦et⁻¹

(t)≡ (ψg)◦et⁻¹

(t) (3.19)

on normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu v¨alill¨a

0,et⁻¹(T) .

K¨a¨ant¨aen, jos g_N(t) on normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu v¨alill¨a [0, T_N), niin

g(t) := 1

ψ(t) gN◦et

(t) (3.20)

on normalisoimattoman Riccin virtauksen ratkaisu v¨alill¨a

0,et(T_N) .

Todistus. Olkoon g(t) normalisoimattoman Riccin virtauksen ratkaisu v¨alill¨a [0, T). Koskaψ(t) on aidosti positiivinen,

et(t) = ˆ _t

0

ψ(s)ds (3.21)

on aidosti kasvava. Niinp¨a sill¨a on aidosti kasvava k¨a¨anteisfunktio, joka kuvaa v¨alin [0, T) v¨aliksi

0,et⁻¹(T) .

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 11

Derivoimalla metriikkaa g_N ajan suhteen, ketju- ja k¨a¨anteisfunktion deri- voimiss¨a¨ant¨o¨a k¨aytt¨aen, saamme

∂

∂tgN(t) = ∂eg(s)

∂s s=et⁻¹(t)

∂et⁻¹(t)

∂t = ∂(ψ(s)g(s))

∂s s=et⁻¹(t)

1

∂set(s) s=et⁻¹(t)

=

−2Ric(g(s))ψ(s) +∂ψ(s)

∂s g(s) 1

ψ(s) s=et⁻¹(t)

.

(3.22) Derivoimalla yht¨al¨o¨a (3.12) saamme

∂ψ(s)

∂s =−2 n

ˆ

M

dµ

−2/n−1ˆ

M

∂

∂sdµ

=−2 n

ψ(s) Vol(M)

ˆ

M

−R(g(s))dµ= 2

nψ(s)r(g(s)).

(3.23)

Niinp¨a yht¨al¨o (3.22) sievenee muotoon

∂

∂tg_N(t) = 2

nr(g(s))g(s)−2Ric(g(s))

s=et⁻¹(t)

= 2

nr(g_N(t))g_N(t)−2Ric(g_N(t)),

(3.24)

miss¨a viimeisell¨a rivill¨a on k¨aytetty identiteetti¨ar(g)g=r(eg)egja ehtoa (3.15).

Olemme osoittaneet, ett¨a gN(t) ratkaisee normalisoidun Riccin virtauksen v¨alill¨a

0,et⁻¹(T)

. K¨a¨anteinen puoli osoitetaan vastaavalla laskulla.

3.2 Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria

Seuraavassa luvussa aloitamme normalisoidun Riccin virtauksen tutkimisen pin- noilla. Oleellista tutkimuksemme kannalta tulee olemaan virtauksen ratkaisun pitk¨an ajan olemassaolo, jolla tarkoitetaan, ett¨a ratkaisu on olemassa v¨alill¨a [0,∞). Etsimme t¨ass¨a kappaleessa riitt¨av¨at ehdot ratkaisun pitk¨an ajan ole- massaololle. Kokonaisuudessaan (normalisoidun) Riccin virtauksen olemassao- loteoria osoittautuu ty¨ol¨a¨aksi teht¨av¨aksi, mink¨a vuoksi viittaamme sopivissa kohdissa muutamiin yleisiin tuloksiin. Rajoittuminen kahteen ulottuvuuteen ei helpota ty¨ot¨amme t¨alt¨a osin.

Ty¨ot¨amme helpottaa edellisess¨a propositiossa saatu vastaavuus normalisoi- mattoman ja normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisujen v¨alill¨a. Sen nojalla on ilmeist¨a, ett¨a normalisoidun virtauksen lyhyen ajan olemassaoloa varten riitt¨a¨a tutkia normalisoimatonta virtausta ja k¨a¨ant¨aen. Vastaava p¨atee my¨os ratkaisun pitk¨an ajan olemassaololle, ja johdammekin ratkaisun pitk¨an ajan olemassaolo- teorian aluksi normalisoimattomalle virtaukselle, jonka j¨alkeen osoitamme vas- taavan teorian p¨atev¨an my¨os normalisoidulle virtaukselle. Aloitamme teorian ratkaisun lyhyen ajan olemassaololauseella.

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 12

Lause 3.3. (Ratkaisun lyhyen ajan olemassaolo) Jos(Mⁿ, g₀) on suljettu Rie- mannin monisto, niin Riccin virtauksella

∂

∂tg=−2Ric(g) g(0) =g₀

(3.25) on olemassa yksik¨asitteinen ratkaisu jollakin positiivisella aikav¨alill¨a[0, )siten, ett¨a g(0) =g₀.

Sivuutamme lauseen vaativan todistuksen. Alkuper¨ainen todistus l¨oytyy Hamiltonin julkaisusta [Ham82], jossa lause on todistettu k¨aytt¨aen abstraktia Nashin ja Moserin k¨a¨anteiskuvauslausetta. Suoraviivaisempaa todistusta var- ten katso kirjan [CK04] Lause 3.13, jossa k¨aytet¨a¨an niin sanottua DeTurckin temppua.

Taktiikkamme pitk¨an ajan ratkaisun olemassaolon todistamiseksi on seuraa- va: Edellinen lause antaa meille ratkaisun pienell¨a v¨alill¨a [0, ). Osoittamalla, ett¨a ratkaisug(t) suppenee, kun aikatl¨ahestyy v¨alin p¨a¨atepistett¨a, l¨oyd¨amme uuden metriikan g(). Metriikasta g() voimme aloittaa uuden Riccin virtauk- sen ja ratkaisun yksik¨asitteisyyden nojalla ratkaisu jatkuu siis pidemm¨alle - itseasiassa koko v¨alille [0,∞).

Aloitamme raja-arvon g() tutkimisen lemmalla, joka antaa riitt¨av¨an eh- don jatkuvan raja-arvometriikan olemassaololle. Lemman oletus koskee met- riikan aikaderivaatan rajoittuneisuutta virtauksen aikana, mik¨a on tietenkin sama asia kuin Riccin tensorin rajoittuneisuus virtauksen aikana. My¨os raja- arvometriikan sileys seuraa lopulta kaarevuudena priori rajoista. Ennen lem- maa m¨a¨arittelemme ensin, mit¨a tarkalleen tarkoitamme metriikan suppenemi- sella.

M¨a¨aritelm¨a 3.4. Olkoon g(t), t ∈ [0, T), perhe metriikoita monistolla M.

Perheell¨a on raja-arvog(T), jos g(T)on metriikka, jonka komponenteille p¨atee g_ij(t)−→g_ij(T), t→T. (3.26) Sanotaan, ett¨a g(t) suppenee metriikkaan g(T) ja merkit¨a¨ang(t)→g(T).

Jos lis¨aksi komponentit suppenevat tasaisesti moniston M suhteen, tai ylei- semmin avaruudessaC^k(M), sanotaan ett¨a suppeneminen on tasaista, tai ett¨a se tapahtuu avaruudessa C^k.

Lemma 3.5. OlkoonM kompakti Riemannin monisto jag(t) yksiparametrinen perhe metriikoita joukossa [0, T). Jos on olemassa vakioC <∞ siten, ett¨a

ˆ _T

0

sup

x∈M

∂g

∂t(x, t) g(t)

dt≤C, (3.27)

niin g(t) suppenee tasaisesti metriikkaan g(T), kunt→T. Erityisesti rajamet- riikka g(T) on jatkuva.

Yll¨a

∂g

∂t(t, x)

g(t) on tensorin ^∂g_∂t normi pisteess¨a x hetkell¨a t metriikang(t) suhteen (vertaa yht¨al¨o¨on (2.5)).

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 13

Todistus. Olkoonx∈M,V ∈T_xM ja 0≤t₁≤t₂< T. Nyt on voimassa

ln

g(t₂, x)(V, V) g(t₁, x)(V, V)

=

ˆ _t2

t1

∂

∂s[ln(g(s, x)(V, V)]ds

=

ˆ _t2

t1

1 g(s, x)(V, V)

∂

∂sg(s, x)(V, V)ds

≤ ˆ _T

t1

∂

∂sg(s, x) V

|V|_s, V

|V|_s

ds.

(3.28)

KoskaV /|V|_song(s)-yksikk¨ovektori, niin liitteen Proposition A.2 nojalla p¨atee

arvio

∂

∂sg(s, x) V

|V|_s, V

|V|_s

≤

∂

∂sg(s, x) g(s)

, (3.29)

jota k¨aytt¨am¨all¨a saamme

ln

g(t₂, x)(V, V) g(t₁, x)(V, V)

≤ ˆ _T

t1

∂

∂sg(s, x) g(s)

ds≤C. (3.30) Ep¨ayht¨al¨on oikea puoli on rajoitettu parametrint1 laskeva jono, joka suppe- nee arvoon 0, kunt₁ →T. Niinp¨ag(t, x)(V, V) muodostaa Cauchyn jonon, joka siten suppenee rajallat→T. Suppeneminen on tasaista avaruudessaM×T M, koska majorantti ei riipu vektoristaV ja M on kompakti. Olemme osoittaneet, ett¨a

g(t, x)(V, V)^t→T−→g(T, x)(V, V), C(M×T M). (3.31) Edelleen suunnikass¨a¨ann¨ost¨a seuraa

g(t, x)(U, V) = 1

4[g(t, x)(U+V, U+V)−g(t, x)(U−V, U−V)]

t→T−→ 1

4[g(T, x)(U +V, U +V)−g(T, x)(U−V, U−V)]

=g(T, x)(U, V)

(3.32)

kaikille U, V ∈ T M. Tensori g(T) on siten symmetrinen, ja suppenemisen ta- saisuudesta johtuen my¨os jatkuva. Erityisesti metriikoiden g(t) komponentit suppenevat tasaisesti tensoring(T) komponentteihin:

g_ij(t) =g(t, x)(∂_i, ∂_j)→g(T, x)(∂_i, ∂_j) =g_ij(T), C(M). (3.33) Asetetaan seuraavaksi t1= 0 ja t2 =T ep¨ayht¨al¨oss¨a (3.30), josta saamme

ln

g(T, x)(V, V) g(0, x)(V, V)

≤C. (3.34)

Eksponentioimalla yll¨a olevan p¨a¨adymme lausekkeeseen

e^−Cg(0, x)(V, V)≤g(T, x)(V, V)≤e^Cg(0, x)(V, V). (3.35) Vasen puoli ep¨ayht¨al¨ost¨a osoittaa, ett¨a tensori g(T) on positiividefiniitti, ja oikea puoli osoittaa, ett¨a se on rajoitettu.

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 14

Kun Riccin tensorin normi on rajoitettu virtauksen aikana, edellisen nojalla on olemassa jatkuva rajametriikka. Jotta uusi Riccin virtaus voi alkaa raja- metriikasta, sen t¨aytyy lis¨aksi olla sile¨a. Osoittautuu, ett¨a suljetulla monistolla riitt¨av¨a ehto on Riemannin kaarevuuden rajoittuneisuus

|Rm(t)|_g(t) ≤C <∞ (3.36) virtauksen aikana. T¨all¨oin metriikan ja Riccin tensorin kovariantit derivaatat ovat rajoittettuja, mist¨a lopulta seuraa rajametriikan sileys.

Voidaan osoittaa, ett¨a Riemannin kaarevuuden rajoittuneisuus seuraa, ett¨a metriikka ja Riccin tensorin kovariantit derivaatat ovat my¨os rajoittuja. Tu- loksen osoittaminen on joukko ty¨ol¨ait¨a laskuja ja k¨aytt¨a¨a niin sanottuja Shin derivaatta-arvioita. Otamme tuloksen k¨aytt¨o¨on ilman todistuksia. Todistukset ja Shin derivaattaestimaatit l¨oytyv¨at j¨alleen kirjasta [CK04, Prop 6.48, Cor 6.51, Thm 7.1].

Lause 3.6. Olkoon Mⁿ kompakti monisto ja(Mⁿ, g(t)) Riccin virtauksen rat- kaisu v¨alill¨a [0, T). Olkoon g lis¨aksi mielivaltainen metriikka monistolla Mⁿ ja

∇sit¨a vastaava konnektio. Jos on olemassa vakio K <∞ siten, ett¨a

|Rm(t, x)|_g(t) ≤K, x∈Mⁿ, t∈[0, T), (3.37) niin t¨all¨oin jokaisellem∈Non olemassa vakio Cm <∞, jolle p¨atee

∇^mg(x, t)

g≤C_m, x∈Mⁿ, t∈[0, T) (3.38) ja

∇^mRic(x, t)

g≤Cm, x∈Mⁿ, t∈[0, T). (3.39) Ennen pitk¨an ajan ratkaisun olemassaololausetta tarvitsemme kohtalaisen ilmeisen seurauksen edellisest¨a:

Korollaari 3.7. Edellisen lauseen oletusten ollessa voimassa metriikan ja Riccin tensorin komponenteille sek¨a kaikille multi-indeksille α= (a1, . . . , ar),|α|=m, p¨atee

∂^m

∂x^αg_ij(x)

< C_m, x∈Mⁿ, t∈[0, T) (3.40) ja

∂^m

∂x^αRij(x)

< Cm, x∈Mⁿ, t∈[0, T) (3.41) virtauksen aikana. VakiotCm <∞ voivat poiketa edellisen lauseen arvoista.

Todistus. Todistetaan v¨aite induktiolla derivoinnin asteen m suhteen. Olkoon g jokin metriikka monistolla Mⁿ. Tapaus m = 1 on ilmeinen edellisen lauseen nojalla: Olkoon x ∈ Mⁿ ja (U, ϕ) x-keskiset g-normaalikoordinaatit ja a ∈ {1, . . . , n}. Nyt p¨atee

(∂_ag_ij(t, x))²≤δ^jl∇_ag_il(t, x)δ^ik∇_ag_jk(t, x) =g^jl(x)g^ik(x)∇_ag_il(t, x)∇_ag_jk(t, x)

=

∇_ag(t, x)

2 g ≤C₁².

(3.42)

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 15

Niinp¨a |∂_ag_ij(t, x)| ≤C₁ on voimassa kaikilla x∈Mⁿ. Vastaavasti osoitetaan, ett¨a p¨atee |∂_aRij(t, x)| ≤C1 kaikillax∈Mⁿ.

Oletetaan sitten, ett¨a v¨aite on voimassa, kun m ≤ k, ja osoitetaan, ett¨a se on t¨all¨oin voimassa my¨os tapauksessa m = k+ 1. Kuten edell¨a saamme v¨aitteen oletuksen nojalla rajoitettua tensorin ∇^k+1g∈ T₀^k+3(M) komponentit moniston pisteest¨a x riippumattomalla vakiolla:

(∇^k+1g)_{l1,...,lk+1ij}

≤C_k+1. (3.43)

Toisaalta voimme kirjoittaa (∇^k+1g)l1,...,lk+1ij = ∂^k+1

∂x^α∂x^lk+1gij

+ termej¨a, jotka ovat korkeintaan astetta k derivaatoissa koordinaattien suhteen,

(3.44)

miss¨aα = (l₁, . . . , l_k). Koska induktio-oletuksen nojalla termit, jotka ovat kor- keintaan astettakderivaatoissa koordinaattien suhteen, ovat rajoitettuja, saam- me arvion

∂^k+1

∂x^α∂x^lk+1gij

≤C_k+1, (3.45)

jollain yht¨al¨ost¨a (3.43) poikkeavalla vakiolla Ck+1 < ∞. Riccin tensorin kom- ponenttien R_ij osittaisderivaattojen rajoittuneisuus todistetaan samalla taval- la.

Olemme valmiita osoittamaan ratkaisun pitk¨an ajan olemassaololauseen.

Lause 3.8. (Ratkaisun pitk¨an ajan olemassaolo) Olkoon Mⁿ kompakti Rie- mannin monisto. Oletetaan, ett¨a jos g(t) on Riccin virtauksen ratkaisu mieli- valtaisella v¨alill¨a [0, T), niin on olemassa vakio CT <∞ siten, ett¨a virtauksen aikana

|Rm(t, x)|_g(t)≤C_T <∞, x∈Mⁿ. (3.46) Vakio C_T voi riippua v¨alist¨a [0, T). T¨all¨oin Riccin virtauksella on olemassa yksik¨asitteinen ratkaisu aikav¨alill¨a [0,∞).

Todistus. Olkoong(t) Riccin virtauksen yksik¨asitteinen ratkaisu maksimaalisel- la v¨alill¨a [0, T). Tehd¨a¨an vastaoletus:T <∞. Koska |Rm(t, x)|_g(t)≤CT v¨alill¨a [0, T), niin my¨os Riccin tensorin normi on rajoitettu (Propositio A.3) t¨all¨a v¨a- lill¨a. Toisaalta Riccin tensori on kerrannainen metriikan g(t) aikaderivaatasta, joten p¨atee

∂g

∂t(t, x) _g(t)

< C <∞, t∈[0, T). (3.47) Lemman 3.5 nojalla g(t) suppenee jatkuvaan metriikkaan g(T), kun t → T. Siten voimme kirjoittaa

gij(T) =gij(t)−2 ˆ T

t

Rij(s)ds. (3.48)

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 16

Olkoonα = (a₁, . . . a_r) jokin multi-indeksi,|α|=m. Korollaarin 3.7 nojalla termit

∂^m

∂x^αgij ja ∂^m

∂x^αRij (3.49)

ovat tasaisesti rajoitettuja v¨alill¨a [0, T). Siten derivoimalla yht¨al¨o¨a (3.48) saam- me

∂^m

∂x^αgij(x, T) = ∂^m

∂x^αgij(x, t)−2 ˆ _T

t

∂^m

∂x^αRij(x, s)ds. (3.50) Niinp¨a g_ij(T) onm kertaa jatkuvasti derivoituva ja lis¨aksi saamme

∂^m

∂x^αg_ij(x, T)− ∂^m

∂x^αg_ij(x, t)

≤C(T −t). (3.51)

Ep¨ayht¨al¨on oikea puoli h¨avi¨a¨a tasaisesti rajallat→T, joten p¨atee

∂^m

∂x^αgij(x, t)−→ ∂^m

∂x^αgij(x, T), C^m(Mⁿ). (3.52) Koska multi-indeksiα oli mielivaltainen, olemme osoittaneet

g_ij(t)−→g_ij(T), C^∞(Mⁿ). (3.53) Olkoon sitteng(t) Riccin virtauksen ratkaisu v¨alill¨a [T, T+) l¨ahtien met- riikasta g(T). Koska ratkaisu on yksik¨asitteinen, on g(t) metriikan g(t) jatko v¨alille [T, T +). Niinp¨a v¨ali [0, T) ei ole maksimaalinen ratkaisuv¨ali ja p¨a¨a- dyimme ristiriitaan. T¨aytyy siis olla T =∞.

Edellinen lause antaa riitt¨av¨an ehdon normalisoimattoman Riccin virtauk- sen ratkaisun pitk¨an ajan olemassaololle. Seuraavat huomiot osoittavat, ett¨a vastaava lause p¨atee my¨os normalisoidulle virtaukselle: Kaarevuusendomorfis- min komponentit R^k_ijl ovat invariantteja avaruuden skaalaamisessa (Proposi- tio A.4), joten

|Rm(gN)|²_g

N =

ψ⁻²|Rm(g)|²_g

◦et⁻¹, (3.54) miss¨a gN(t) on siis Propositiossa 3.2 m¨a¨aritelty vastaavuus normalisoidun ja normalisoimattoman Riccin virtauksen v¨alill¨a

gN(t) = (ψg)◦et⁻¹

(t). (3.55)

Funktion ψ potenssi (−2) seuraa tensorinormin m¨a¨aritelm¨ast¨a ja indeksin las- kemisesta.

Funktioψon aina positiivinen ja rajoitettu Riccin virtauksen aikana. Jos siis normalisoimattoman Riccin virtauksen kaarevuustensorin normi on rajoitettu v¨alill¨a [0, T), my¨os normalisoidun Riccin virtauksen kaarevuustensorin normi on rajoitettu v¨alill¨a

0,et(T)

. Lis¨aksi ajan parametrisointi on bijektio v¨alilt¨a [0,∞) itselleen, joten v¨aitt¨am¨at

|Rm(g_N(t))|_g

N(t)< C_T kaikilla v¨aleill¨a [0, T) (3.56)

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 17

ja

|Rm(g(t))|_g(t)< CT kaikilla v¨aleill¨a [0, T) (3.57) ovat yht¨apit¨avi¨a. N¨am¨a huomiot edellisen lauseen kanssa osoittavat sit¨a vastaa- van tuloksen normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisun pitk¨an ajan olemassao- losta.

Lause 3.9. (Normalisoidun virtauksen ratkaisun pitk¨an ajan olemassaolo) Ol- koonMⁿ kompakti Riemannin monisto. Oletetaan, ett¨a jos g(t) on normalisoi- dun Riccin virtauksen ratkaisu mielivaltaisella v¨alill¨a [0, T), niin on olemassa vakioC_T <∞ siten, ett¨a virtauksen aikana

|Rm(t, x)|_g(t)≤CT <∞, x∈Mⁿ. (3.58) VakioCT voi riippua v¨alist¨a [0, T). T¨all¨oin normalisoidulla Riccin virtauksella on olemassa yksik¨asitteinen ratkaisu aikav¨alill¨a [0,∞).

Olemme johtaneet tarvitsemamme teorian Riccin virtauksen olemassaololle valmiiksi yleisess¨a ulottuvuudessa n. Lyhyesti sanottuna, jos Riemannin kaa- revuustensorin normi ei divergoi min¨a¨an ajan hetken¨a, on ratkaisu olemassa koko ei-negatiivisella reaaliakselilla [0,∞). Siirrymme tarkastelemaan pintoja seuraavassa luvussa.

Luku 4

Riccin virtaus pinnalla

Aloitamme suljettujen Riemannin kaksi-monistojen eli pintojen kehittymisen tarkastelun Riccin virtauksessa. Tutkimme aluksi kaarevuuden aikakehityst¨a, jota tarvitsemme ratkaisun olemassaoloa varten. T¨ass¨a luvussa osoitamme, ett¨a pinnalla Riccin virtauksen ratkaisu on aina olemassa pitk¨all¨a aikav¨alill¨a.

Lis¨aksi pinnalla p¨atee tulos, ett¨a normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu suppenee aina vakiokaarevuudeen metriikkaan rajalla t → ∞. Edell¨a maini- tun tuloksen osoitamme seuraavassa luvussa tapauksesa, jossa pinnan Eulerin karakteristika on negatiivinen,χ(M)<0.

Aloitamme kertaamalla, miten kaarevuus yksinkertaistuu kahdessa ulottu- vuudessa. Kahdessa ulottuvudessa kaarevuussuureet voidaan lausua Gaussin kaarevuuden

K(x) = Rm(X, Y, Y, X)

|X|²|Y|²−< X, Y >², X, Y ∈TxM (4.1) avulla seuraavasti:

R_ijkl=K(g_ilg_jk −g_ikg_jl) R_ij =Kg_ij

R= 2K.

(4.2)

Kahdessa dimensiossa normalisoitu Riccin virtaus saa n¨ait¨a k¨aytt¨am¨all¨a muodon

∂

∂tg= 2

nrg−2Ric(g) = (r−R)g. (4.3) T¨am¨an lis¨aksi pinnan skalaarikaarevuus kytkeytyy Gauss-Bonnetin kaavan

ˆ

M

R dµ= 4πχ(M) (4.4)

kautta sen topologiaan [Lee87, Lem 8.7]. Erityisesti ´

MR dµ on vakio. T¨asta huomiosta seuraa suoraan

Propositio 4.1. Normalisoidussa Riccin virtauksessa pinnan keskim¨a¨ar¨ainen skalaarikaarevuusr on vakio.

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 19

Todistus. Gauss-Bonnetin kaavan nojalla keskim¨a¨ar¨ainen skalaarikaarevuuden lauseke on

r= ˆ

M

R dµ ˆ

M

dµ = 4πχ(M)

Vol(M), (4.5)

miss¨a moniston tilavuus Vol(M) on vakio Proposition 3.1 nojalla.

4.1 Skalaarikaarevuuden muutosrajat

P¨a¨ast¨aksemme k¨asiksi kaarevuuden muutokseen Riccin virtauksessa, johdamme seuraavaksi evoluutioyht¨al¨on skalaarikaarevuudelle:

∂

∂tR= ∆_g(t)R+R²−rR. (4.6) Yht¨al¨o seuraa seuraavasta yleisemm¨ast¨a tuloksesta.

Propositio 4.2. Olkoon g(t) yksiparametrinen perhe Riemannin metriikoita monistollaM, jotka noudattavat evoluutioyht¨al¨o¨a

∂

∂tgij =vij, (4.7)

miss¨a merkinn¨all¨a vij tarkoitetaan symmetrisen tensorin v ∈ T₀²(M) kompo- nentteja.

T¨all¨oin skalarikaarevuus toteuttaa

∂

∂tR=−∆V +div(divv)− hv, Rici. (4.8) Yll¨a on merkitty V = g^ijv_ij ja kulmasulkumerkinn¨all¨a tarkoitetaan yht¨al¨os- s¨a (2.3)m¨a¨aritelty¨a tensoreiden sis¨atuloa.

Todistus. Olkoonx∈M ja valitaanx-keskiset normaalikoordinaatit sen ymp¨a- rist¨o¨on. K¨aytt¨am¨all¨a normaalikoordinaattien ominaisuutta,∂_kgij = 0 pisteess¨a x, laskemme

∂

∂tΓ^k_ij = 1 2

∂

∂t h

g^kl(∂iglj+∂jgli−∂lgij) i

= 1 2

∂

∂tg^kl

(∂iglj+∂jgli−∂lgij) +1

2g^kl

∂i

∂

∂tg_lj+∂j

∂

∂tg_li−∂_l∂

∂tgij

= 1 2g^kl

∇_i∂

∂tg_lj +∇_j ∂

∂tg_li− ∇_l∂

∂tg_ij

,

(4.9)

joka on voimassa pisteess¨a x. Koska yht¨al¨on molemmat puolet ovat kuitenkin tensoreiden komponentteja jaxon mielivaltainen, p¨atee yht¨al¨o koko monistolla.

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 20

Edelleen pisteess¨a x, jossa Christoffelin symbolit h¨avi¨av¨at, saamme

∂

∂tR_ij = ∂

∂tR^k_kij = ∂

∂t

∂_kΓ^k_ij −∂_iΓ^k_kj+ Γ^k_kaΓ^k_ij−Γ^k_iaΓ^k_kj

=∂_k∂

∂tΓ^k_ij−∂i

∂

∂tΓ^k_kj

=∇_k∂

∂tΓ^k_ij− ∇_i ∂

∂tΓ^k_kj,

(4.10)

joka on voimassa kaikkialla samoin perustein kuin edell¨a.

Edellist¨a yht¨al¨o¨a k¨aytt¨am¨all¨a skalaarikaarevuuden aikaderivaatta tulee muo- toon

∂

∂tR= ∂

∂t(g^ijR_ij) =g^ij ∂

∂tR_ij+ ∂

∂tg^ij

R_ij

=g^ij

∇_k∂

∂tΓ^k_ij− ∇_i ∂

∂tΓ^k_kj

−v^ijRij,

(4.11)

sill¨a∂_tg^ij =−v^ij (Korollaari A.9). Sijoitetaan seuraavaksi Christoffelin symbo- lien aikaderivaatat (4.9) yll¨a olevaan, jolloin saamme

∂

∂tR=− hv, Rici+g^ij

"

∇_k 1

2g^kl(∇_ivlj+∇_jvli− ∇_lvij)

− ∇_i 1

2g^kl(∇_kv_lj+∇_jv_lk− ∇_lv_kj) #

.

(4.12)

Konnektio on yhteensopiva metriikan kanssa, joten voimme vied¨a derivoinnin terming^kl ohitse ja saamme

∂

∂tR=− hv, Rici+1

2g^ijg^kl(∇_k∇_iv_lj+∇_k∇_jv_li

− ∇_k∇_lvij − ∇_i∇_kvlj− ∇_i∇_jvlk+∇_i∇_lvkj).

(4.13) Ryhmitt¨am¨all¨a termit voimme kirjoittaa t¨am¨an muodossa

∂

∂tR=− hv, Rici+g^ijg^kl∇_k∇_jvli−g^ijg^kl∇_i∇_jvlk

=−∆V + div (divv)− hv, Rici.

(4.14)

Proposition todistuksesta voidaan my¨os suoraan poimia k¨aytt¨okelpoiset kaa- vat Christoffelin symbolien ja Riccin tensorin evoluutioille:

Huomautus 4.3.Edellisen proposition oletusten ollessa voimassa Christoffelin symbolitΓ^k_ij ja Riccin tensorin komponentit R_ij toteuttavat evoluutioyht¨al¨ot

∂

∂tΓ^k_ij = 1 2g^kl

∇_i ∂

∂tg_lj+∇_j ∂

∂tg_li− ∇_l ∂

∂tg_ij

(4.15) ja

∂

∂tRij =∇_k ∂

∂tΓ^k_ij − ∇_i ∂

∂tΓ^k_kj. (4.16)

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 21

Meit¨a kiinnostava skalaarikaarevuuden evoluutioyht¨al¨o seuraa nyt edellises- t¨a propositiosta.

Lause 4.4. Olkoon M pinta. T¨all¨oin Riccin virtauksen aikana skalaarikaare- vuus toteuttaa evoluutioyht¨al¨on

∂

∂tR= ∆_g(t)R+R²−rR. (4.17) Todistus. Edellisen proposition notaatiossa vij = (r−R)gij, joten

∂

∂tR=−∆ g^ij(r−R)gij

+g^ijg^kl∇_k∇_j((r−R)g_li)− h(r−R)g, Rici

=n∆R+g^ijg_lig^kl∇_k∇_j(r−R)−(r−R)R

= 2∆R−∆R−(r−R)R

= ∆R+R²−rR.

(4.18)

Skalaarikaarevuuden evoluutioyht¨al¨o on ep¨alineaarinen skalaarinen osittais- differentiaaliyht¨al¨o, joka on kytketty metriikangevoluutioon Laplacen operaat- torin ∆g kautta. Siten skalaarikaarevuuden evoluutioyht¨al¨o¨a ei voi ratkaista it- sen¨aisesti ratkaisematta my¨os metriikan evoluutioyht¨al¨o¨a

∂

∂tg= (r−R)g. (4.19)

Yht¨al¨o voidaan kuitenkin n¨ahd¨a koostuvan diffuusio-osasta

∂

∂tR= ∆_gR (4.20)

ja reaktio-osasta

∂

∂tR =R²−rR, (4.21)

joista j¨alkimm¨ainen on tavallinen metriikasta riippumaton differentiaaliyht¨al¨o skalaarikaarevuudelle. Reaktio-osasta huomataan my¨os, ett¨a sill¨a on pisteess¨a R = r attraktiivinen tai hylkiv¨a kiintopiste riippuen siit¨a onko r negatiivinen vai positiivinen.

Jos skalaarikaarevuuden evoluutioyht¨al¨oss¨a olisi ainoastaan diffuusio-osa, olisi odotettavissa, ett¨a ajan kuluessaRhakeutuisi pinnallaMl¨amp¨oyht¨al¨om¨ai- sesti vakioarvoon. Se, ett¨a skalaarikaarevuus hakeutuu vakioarvoon, on linjassa tavoitteittemme kanssa. Reaktio-osa puolestaan voidaan ratkaista sijoituksella Z= 1/R. Reaktio-osan ratkaisuR(t) pisteess¨a x on muotoa

R(t, x) = r

1 +Cre^rt, (4.22)

miss¨a

C= 1 r

r R(0)−1

. (4.23)

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 22

Voimme p¨a¨atell¨a, ett¨a ratkaisu hajaantuu ¨a¨arellisess¨a ajassa, jos

R(0, x)>max{r,0}. (4.24) On siis odotettavissa, ett¨a vaikeudet skalaarikaarevuuden aikakehityksen analysoinnissa johtuvat ensisijaisesti reaktio-osasta. Lis¨aksi reaktio-osa on vai- keammin hallittavissa, kun sen kiintopiste on hylkiv¨a.

Aloitamme analyysin tutkimalla diffuusio-osaa, johon sovellamme monistoil- le yleistetty¨a maksimiperiaatetta. Maksimiperiaatteen yleist¨aminen monistoille on suoraviivaista, sill¨a maksimiperiaatteen v¨aitt¨am¨a on luonteeltaan lokaali.

Lemma 4.5. (Maksimiperiaate) Jos u∈C²(M×[0, T]) ja

∂

∂tu≥∆gu u(0)≥c

(4.25) kaikkialla, niin t¨all¨oin

u≥c, M×[0, T]. (4.26)

Todistus. Oletetaan aluksic= 0 ja merkit¨a¨an u(t) =u(t) +(1 +t), jolloin

∂

∂tu = ∂

∂tu+ >∆u= ∆u (4.27) ja

u(0) =u(0) + >0. (4.28)

Osoitetaan ensin, ett¨a u > 0 joukossa M ×[0, T]. Tehd¨a¨an vastaoletus: on olemassa t0 = min{t : u(t, x) = 0, jollakinx ∈ M}. Koska u(t, x) > 0 jou- kossa M ×[0, t₀) ja u(t₀, x₀) = 0 jollakin x₀ ∈ M, niin u(t, x₀) on laskeva aikaparametrintsuhteen hetkell¨a t0. Siten p¨atee

∂

∂tu(t₀, x₀)≤0. (4.29) Kysess¨a on my¨os paikan x funktion x 7→ u(t₀, x) minimi monistolla M: Jos olisi ex∈M siten, ett¨a u(t0,x)e <0, niin funktion u jatkuvuuden nojalla olisi olemassaet < t₀ siten, ett¨au(et,x) = 0. T¨e am¨a on kuitenkin ristiriidassa ajant₀ minimaalisuuden kanssa. Piste (t₀, x₀) on siis funktion u minimi.

Lokaaleissa koordinaateissa ¨a¨ariarvoehto on

∂iu(t0, x0) = 0, i= 1, . . . n (4.30) eli

∇u(t0, x0) = 0. (4.31)

Kyseess¨a on lis¨aksi minimi, jolloin Hessen matriisi

H(u)_ij =∂_i∂_ju (4.32)

on positiividefiniitti.