11 ja 12

(1)

YLIOPPILASTUTKINTO

'[.9.1971

MATEMATIIKKA, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

Käsiteltävä en

i

nt

ä

^än ^kynunentä ^tehtävää. ^Tehtävät

11 ja 12

v

aa

t

i

vat tietoja taval lisen koulukurssin ulkopuolelta. - Vain yksi tehtävä kullekin paperille.

1. Ratkaise ybtäl6pari x+y ⁼

3,

_{- +}

1 - 1

⁼ ^-

3

x Y 2

l ,

2. ^Laske ^suo

r

ien

y = - _�

_{x +} _{2, y}

- 2x-3

ja

y =

^-

3

^x +

12 rajoittaman kolmion pinta-ala.

3. Olkoot A,

B

ja

C kolmion kulm

a

^t. Osoita, että sin(A+B) + sin(B+C) + sin( C+A) ⁼ sin A + siⁿ B + sin C.

4.

Jompikumpi ^seuraavista tehtävistä:

a) R-säteisen pallon sisään on

piirretty suora sär'IDiö,

jonka

pOhja

ori tasasivuinen kolmio. Laske

�ä

^r^m

ⁱ

6ⁿ ^tilavuus, ^kun pOhja särmä on R

12. b)

^Samasta pisteestä l ähtevät vektorit

a

⁼

-

... r;:; '''''''

-

_- ₂ ;;::; -r -

b ⁼ -1 + �2 J ⁺

k ja c = �(2t2

_J

- _{k) ovat}

Osoita, että te

t

r

a

ed

r

i on säännöllinen. )

I

+

12 r

₊

_k,

tetr^aed^riⁿ särminä.

5. O^soi^ta^,

että funktio fex)

⁼ ^cosa ^{- cos(2x} ⁺

a) (0: ^va

^kio

)

^saa

kuvaajansa

ka

ikiss

a

käännepisteissä saman arvon.

6. Yhtälö

3x

^-

5

⁼

,

y

-

₁

i

määrittelee kaksi jatkuvaa funktiota y ⁼

f(x) ja

y ⁼

g(x),

^joiden

kuvaajilla

on

y

htein

e

n piste. Pji�rä

funktioiden kuv

a

aj

a

^t ja laske se kul ma, jonka ne muodostavat mainitussa pisteessä.

7.

Olkoon n positiivinen kokonaisluku. To

d

ista

,

^että

1 < 1 1 1

-2 ⁼ ---1 + � ₊

• . . + ^� < 1.

n+ n+c n+n

8.

^Laske käyrän

y =1

_x

ja

suoran x + ey + 1 + e = 0

rajoittaman

^alueen

pinta-ala (e Neperin luku).

9. Osoita,

^et

^t ä

^funktio

f(t)

⁼ n/2 J (3t + 2 sin

x)2dx

on toisen asteen

pOlynomi, joka on k

a

ik

i

ll_a t:R arvoilla positi

i

vinen.

10. Yhtä15iden x2+ Plx + ql ⁼ 0 ^ja x2+ P2x +

q2 =

₀ kertoimet _ovat reaa

li

se

t ja

nollasta eroavat sekä toteuttavat yhtälön

p P _{1 2} =

2(ql

⁺

Q2)'

Osoita, että ainakin toisen yhtälön

juure�

ovat reaaliset.

11. Laske ⁱ

n

^teg^raali 1

f x(l-X)Pdx (p>O).

o 12"

LUkujoukon

ha.jonta

^s.

{X1,X2,

^{.. .}

,xn}

aritmeettinen ,.. 1 ^'}

2

OSOl't'" ^. .!4, ^� et4-a"

)

^v ^.., ^,,)

,

. ::' -^-,. ^{-- \}_{n '}IX':' + X

1 2

keskiarvo on

� ja keski- X2) -x2.

+ ^• ^• ^. + n

11 ja 12

'[.9.1971

i

ä

11 ja 12

aa

i

3,

1 - 1

3

r

y = - �

- 2x-3

y =

3

12 rajoittaman kolmion pinta-ala.

3. Olkoot A,

ja

a

4.

piirretty suora sär'IDiö,

pOhja

�ä

i

12.

b)

a

-

-

k ja c = �(2t2

- k) ovat

t

a

r

I

12 r

k,

että funktio fex)

a) (0: va

)

ka

a

3x

5

,

-

i

f(x) ja

g(x),

kuvaajilla

y

e

a

a

7.

d

,

8.

y =1

ja

rajoittaman

9. Osoita,

t ä

f(t)

x)2dx

a

i

i

q2 =

li

t ja

2(ql

Q2)'

juure�

n

f x(l-X)Pdx (p>O).

LUkujoukon

ha.jonta

{X1,X2,

,xn}

y = - _�

ⁱ

- _{k) ovat}

_k,

a) (0: ^va

^t ä