TRIGONOMETRISET FUNKTIOT

b

a

c



c

 b

 sin

c

 a

 cos

a

 b

 tan

TRIGONOMETRISET

FUNKTIOT

b

a c

 c

 b



sin c

 a



cos a

 b

 tan

x

34 m

68

68 34

tan ^  x  34

68

tan 34

 x

m x  84

V: 84 m Esimerkki

Laske sivun x pituus.

b

a c

 c

 b



sin c

 a



cos a

 b

 tan

Suorakulmaisen kolmion toisen terävän kulman suuruus on 28 ja lyhyemmän kateetin pituus on 7,3 cm. Laske hypotenuusan pituus.

7,3 cm x

28

x 3 , 28 7

sin ^   x

3 , 7 28

sin 

 ^

x

5 , 28 15

sin 3 ,

7 

 

x

:sin 28

V: 16 cm

b

a c

 c

 b



sin c

 a



cos a

 b

 tan

16 m

12 m



12 tan  16

53

 

Laske kulman  suuruus.

PYTHAGORAAN LAUSE

a

b

c

a

+ b

= c

KATEETTIEN NELIÖIDEN SUMMA

=

HYPOTENUUSAN NELIÖ

3

4

x

3² + 4² = x² 9 + 16 = x² (25 = x²) x² = 25 x = 5

Laske hypotenuusan x pituus.

KATEETTIEN NELIÖIDEN SUMMA

=

x

4

6

x² + 4² = 6² x² + 16 = 36

x² = 36 - 16 x² = 20

Laske kateetin x pituus.

5 2

20



 x x

Pythagoras – onko kolmio suorakulmainen

Esimerkki

Kolmion sivut ovat 2, 3 ja 4. Onko kolmio suorakulmainen?

Mahdollinen hypotenuusa:

4

Mahdolliset kateetit:

2 ja 3

2² + 3² = 4² 13 = 16 epätosi

V: Kolmio ei ole suorakulmainen

Kolmiot

teräväkulmainen kolmio suorakulmainen kolmio tylppäkulmainen kolmio

tasakylkinen kolmio

tasasivuinen kolmio

Muista:

Tasakylkisessä (kaksi sivua yhtä pitkiä) kolmiossa huipusta piirretty korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman





Termit

korkeusjana keskijana (leikkaavat

samassa pisteessä)

Sinilause





 sin sin sin

c b

a   



Esimerkki

Kolmion kaksi sivua ovat pituudeltaan 3,8 cm ja 5,7 cm sekä näistä pienemmän sivun vastainen kulma 32 º . Laske kolmion muut kulmat.

3,8

32

5,7

 sin

7 , 5 32

sin 8 ,

3 _ 

3,8  sin = 5,7  sin32º | : 3,8 sin = 0,795

  52,6 º tai 180 º - 52,6 º = 127,4 º

Kulmat: 52,6 º ja 95,4 º tai

127,4 º ja 20,6 º

Voidaan käyttää, kun kolmiosta tunnetaan - 2 kulmaa ja yksi sivu

- 2 sivua ja toisen vastainen kulma

46º

6,0 m 6,0m

A = ½ ab sin

A = ½  6,0  6,0  sin 46º  13 (m²)

Kosinilause

 a

= b

+ c

- 2bccos 

Esimerkki

Kolmion kulman suuruus on 63 º ja viereisten sivujen pituudet ovat 5,0 cm ja 8,0 cm. Laske kolmannen sivun pituus.

b= 5,0 cm c = 8,0 cm



a² = 5,0² + 8,0² – 2  5,0  8,0  cos63º a² = 52,68

a = 7,3 cm

- kaikki sivut

- yksi kulma ja 2 sivua

21,0 km

14,0 km 5,0 km

Laske puolisuunnikkaan pinta-ala.

b h A  a  

2

0 , 2 5

0 , 21 0

,

14  



 88 km

Tasakylkinen suunnikas =>

erisuuntaiset kyljet ovat yhtä pitkät

Esimerkki

Neliön pinta-ala on 25 cm² Mikä on sivun pituus?

x² = 25

5 25







 x x

V: 5 cm

A = x²

x

Esimerkki

Suunnikkaan pinta-ala on 35 cm² Kanta on 7 cm. Laske korkeus.

Korkeus = h 7h = 35 |:7 h = 5

V: 5 cm

a

h A = ah

Esimerkki

Ympyrän pinta-ala on 32 cm². Laske säde.







32

: 32

2 2



 r

r

Esimerkki

Ympyrän halkaisija on 7,2 cm.

Laske a) pinta-ala b) kehän pituus r = d / 2 = 7,2 cm / 2 = 3,6 cm

2 2

6 , 3  





r A

 41 (cm²)

b)

p = d

=  7,2 cm  23 cm

2 , 3

32





 r

r 

r b



r = 1,3 m

=74°

Laske sektorin a) sektorin ala b) kaaren pituus

) (

1 , 1 3

, 360 1

74

m A    

) ( 7 , 1 3

, 1 360 2

74 m

b    

r b



Segmentin pinta-ala

=

Sektorin pinta-ala -

keskuskolmion pinta-ala

- =

Suorakulmainen särmiö

a

b

c V = abc

avaruuslävistäjä

x

c

tai kaava (taulukkokirja)

2 2

2

b c

a

d   

E.1. Suorakulmaisen särmiön särmät ovat 3, 4 ja 12. Laske avaruuslävistäjän pituus.

13 12

4

3²  ²  ² 

 d

E.5. Suoran ympyrälieriön leveys ja korkeus ovat 20 cm. Mikä on vaipan ala?

2

2 13

64 , 1256 20

20cm cm cm dm

dh ph

A_V         

E.4. Suoran ympyräkartion pohjaympyrän säde on 5 ja sivujana 13. Laske kartion tilavuus.

h² = 13² – 5² h² = 144

12

144





 h h



 5 12 100 3

1 ₂







 V

Laske säännöllisen pyramidin pinta-ala

Pyramidin vaippa koostuu neljästä samankokoisesta kolmiosta

10 m

13 m x

x² + 5² = 132

x² = 13² - 5² x² = 144

x = 12

240 2

2 12

410m m  m

A_v = 10 m

13 m

E.7. Mikä on suoran ympyräkartion vaipan ala, kun pohjan säde on 3 ja korkeus 4?

s² = 4² + 3² s² = 25

s = ±5 A = rs

=  ·3 · 5 = 15

E.8. Miten suuri säde on pallolla, jonka pinta-ala on 1 m²?

1 4

4

2

2



 r

r A







 4

1 4

2

1



 r

r

) (

28 ,

0 m



V: 28 cm

s

r s || r

ristikulmat yhtä suuret

 

 +  = 180 º (vieruskulmat)

samankohtaisia kulmia

TASOKUVIOIDEN YHTENEVYYS

Monikulmiot ovat yhtenevät, jos niiden vastinsivut javastinkulmat ovat yhtä yhtenevät suuret.

(”kuviot samanmuotoiset ja samankokoiset”)

(”kuviot päällekkäin asetettuna peittävät toisensa”)

Kuvioiden yhtenevyyttä merkitään symbolilla 

K₁

D A

K₂

E.1.

E.1.

AB = A’B’

BC = B’C’

B C

A’

C’ B’

D’ K₁  K₂

Kolmioiden yhtenevyyslauseet

sss sks

ksk kks

ssk

vastinosat ovat yhtä suuret

Todistaminen

Lause Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret Oletus Kolmio ABC on tasakylkinen

A B

C Väitös Kantakulmat <BAC ja <ABC ovat yhtä suuret

Todistus Piirretään kannalle AB keskijana CD, jolloin AD = BD (tasakylkinen kolmio)

AC = BC (tasakylkinen kolmio) DC = DC (yhteinen)

D

ACD  BCD (sss) Kantakulmat ovat yhtenevien

kolmioiden vastinkulmina yhtä suuret

S

Yhdenmuotoisuus

Vastinkulmat yhtä suuret ja vastinsivut verrannolliset

Esimerkki

Kuvasta tehtiin pienennös. Mikä on kuvion korkeus pienennöksessä?

17,3 cm

8,2 cm

12,8 cm

x

2 , 8 8

, 12

3 , 17 

17,3x = 104,94 | : 17,3 x  6,1

V: 6,1 cm

Esimerkkejä mittakaavasta

a) Kartalla 8,7 cm, mittakaava 1 : 50 000. Mikä todellisuudessa?

50000 1 7

, 8 

x

x = 8,7  50 000

x = 435 000 (cm)  4,4 km

b) Etäisyys 111 km. Mittakaava 1 : 200 000. Mitta kartalla?

200000 1

111x  200000x = 111 | : 200 000

x  0,000555 (km) = 55,5 cm

c) Kartalla 7,4 cm – todellisuudessa 3,7 km. Mittakaava?

7,4 cm : 3,7 km

7,4 cm : 370000 cm | : 7,4 cm 1 : 50 000

Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö

mittakaavan neliö

Esimerkki

Kartan mittakaava on 1 : 50 000.

Järven pinta-ala kartalla 5,7 cm². Mikä on järven pinta-ala?

)2

50000 ( 1

7 ,

5 

A

A = 50 000²  5,7 A = 1,4*10¹⁰ cm² A = 1,4 km²

Yhdenmuotoisten kuvioiden kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio mittakaavan kuutio

Esimerkki

Avaruusaluksen pienoismallin (1 : 100) tilavuus 3,0 cm³. Mikä on avaruusaluksen tilavuus?

)3

100 ( 1 0

, 3 

V

A = 100³  5,7 A = 3,0  10⁶ dm³ A = 3000 m³

Kolmioiden yhdenmuotoisuus

Lause kk

Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

A B

C

A’ B’

C’

 ABC   A’B’C’

Muut

sks ssk ssk sss

(sivut verrannollisia)

Esimerkki

x

40 m 67 m

30 m

A

D E

B C

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia (kk),

koska

< ABC = < ADE (90º)

< BAC = < DAE (sama kulma) 67

40 30 

 x

x

67x = 40(x + 30) 67x = 40x + 120 27x = 120 | : 27 x  44 (m)

joki

Lause

Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa.

Esimerkki

Kolmion sivujen pituudet ovat 3, 5, ja 6. Laske niiden osien pituudet, joihin suurimman kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun.

3 5

6

x 6 - x

5 3

6 

 x x

5x = 18 - 3x x = 2,25

6 - 2,25 = 3,75

NELIKULMIOT

Suunnikas

= nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset

Lause

Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret

A B

D C Oletus

ABCD suunnikas, jolloin

AD || BC ja AB || DC (määritelmä) Väitös

vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret

G

< BAD = < GBC samankohtaisina kulmina

< GBC = < BCD samankohtaisina kulmina

< BAD = < BCD Todistus:

Sivun AB jatke puolisuora AG

Lause

Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät

Lause

Jos nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät, niin nelikulmio on suunnikas

Lause

Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa

Suunnikkaiden vierekkäiset kulmat ovat suplementtikulmia

Nelikulmioiden sisäkulmien summa on 360º

Esimerkki

Suunnikkaan yksi kulma on 70 º.

Miten suuria ovat muut kulmat?

Vastakkainen kulma: 70 º Kahdelle muulle kulmalle:

360 º - 2 70 º = 220 º’

220 º / 2 = 110 º

V: Kulmat: 70 º, 70 º, 110 º, 110 º

4.3.3. Kolmion kulman puolittajalause 4.3.3. Kolmion kulman puolittajalause

Lause:

Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa.

E.1.

Kolmion sivut ovat 4, 6, 7

Millaisiin osiin suurimman kulman puolittaja jakaa pisimmän sivun?

7

6 4

4 6

7 

 x x

x 7 - x 4x = 6(7 – x)

4x = 42 – 6x 10x =42

5 41 5

21 10

42  

 x

5 2 4 5 41 7

7  x   



 = kehäkulma



 = kehäkulmaa vastaava keskuskulma

Kehäkulma ja sitä vastaava keskuskulma

Kehäkulmaa vastaava kaari Kehäkulma on puolet

vastaavasta keskuskulmasta:

 = ½

Kehäkulma

= kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kylkinä kaksi jännettä tai toisena kylkenä on jänne ja toisena ympyrän tangentti

Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret

 

 = 



Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora

 = 90º

Tangenttikulman kyljet mitattuina kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä suuret

 A

B

P

PA = PB

Tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma ovat toistensa suplementtikulmia

 A

B

P



 +  = 180º

E.1.

Ympyrän kehäkulma on 27º. Mikä on vastaavan keskuskulman suuruus?

2  27º = 54º E.2.

Ympyrän säde on 13. Halkaisijan AB päätepisteestä A on piirretty 10 pituinen jänne AP. Laske PB.

Halkaisija = 2 13 = 26

2 2

2  26 10

PB

2 2

2  26 10

PB

PB = 24

Maapallo näkyy miehitetystä avaruusaluksesta 52º kulmassa.

Mikä on avaruusaluksen etäisyys Maasta? Maapallon säde on 6370 km.

52º

6370

x 26 6370

sin



x = 14530 Aluksen etäisyys Maasta:

14530 km - 6370 km = 8200 km

Muita käyttökelpoisia lauseita Lause

Suorakulmaisen kolmio hypotenuusalle piirretty korkeusjana jakaa kolmion kahdeksi kolmioksi, jotka ovat yhdenmuotoisia sekä

alkuperäisen kolmion kanssa että keskenään Lause

Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa janaa vasten

Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi

Lause

Kolmien kulmien summa on 180º

Lause

Kolmiossa suuremman kulman vastainen sivu on pidempi kuin pienemmän kulman vastainen sivu

Lause

Kolmion kahden sivun keskipisteiden yhdysjana on kolmannen sivun suuntainen ja puolet siitä

Lause

Kolmion keskinormaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste.

Lause

Kolmion kulmien puolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste.