TL9081 Signaaliteoria (3 op) HYV5SN
2. välikoe ratkaisut
1. Selitä lyhyesti seuraavat käsitteet (matemaattinen kaava + sanallinen selitys): (5 p)
a. Autokorrelaatio = Mittaa signaalin samankaltaisuutta itsensä kanssa
b. Ristikorrelaatio = Mittaa kahden eri signaalin samankaltaisuutta
c.Hilbert-muunnos = Muuttaa negatiivisten taajuuksien vaihetta +90 astetta ja positiivisten taajuuksien vaihetta –90 astetta. Ei vaikuta amplitudiin.
d. Valkoinen kohina = Sisältää kaikki mahdolliset taajuudet samalla painolla, eli tehotiheys on vakio.
e. Konvoluutioteoreema = Aikatason signaalien konvoluutio vastaa niiden Fourier-muunnosten kertomista ja
päinvastoin.
2. a. Piirrä oheisten signaalien derivaattojen kuvaajat.
b. Laske kuvan a) signaalin Fourier-muunnos.
(t) g
2 t
1
−1
−2
−1 1
a) b)
(t) g
t
2 1
−1
−2
1
3. Eksponentiaalisesti vaimeneva värähtely (mekaaninen tai sähköinen värähtelijä) voidaan kuvata kaavalla.
) 0 ( cos )
(t =e−2 0t t ≥
f t ω
Laske värähtelyn Fourier-muunnos.
Amplitudimodulaatio:
( )
+ + +
−
= +
⇒
+ =
⇔
=
=
=
+ +
−
=
−
−
) (
2 1 )
( 2
1 2
) 1 (
) ( 2
) 1 (
cos ) ( cos
) (
:
) (
) (
2 cos 1
) (
0 0
2
0 0
2
0 0
0
ω ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω
j F j
j G e
t g
t t
g t e
t f Nyt
G G
t t
g
t t
4. Laske signaalien f(t)=e−2t ja g(t)=e.−4t konvoluutio (t≥0). (5 p)
Konvoluutioteoreema: f(t)*g(t)⇔F(ω)G(ω)
Ratkaisu taajuustasossa. Lasketaan taajuustason tulo ja käänteismuunnetaan:
ω ω
ω ω ω
ω
ω ω ω ω
j B j
A j
G j F
G j F j
+ +
= +
⋅ +
= +
= +
= +
4 2
4 1 2
) 1 ( ) (
4 ) 1 2 (
) 1 (
dt t dg()
t a)
−2
−1 1
2 dt
t dg()
t a)
−2
−1 1
2
) cos 2 2 (cos ) (
) ( ) cos 2 (cos ) 2
(
) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ) (
(
2 2
ω ω ω
ω
ω ω ω ω δ
δ δ
δ
ω ω ω ω
−
⇒ =
=
−
= +
−
−
=
ℑ
− +
−
− +
− +
=
−
− + +
F j
F j e
e e dt e
t dg
t t
t dt t
t dg
j j j j
dt t dg()
t b)
−2 −1 1 2
1
−1
Haetaan kertoimet A ja B siten, että osoittajassa tulee olla
• Reaaliosa = 1
• Imaginääriosa = 0
− +
= +
−
=
=
⇒
−
=
=
⇒ −
= +
= +
+ +
+ +
= + +
+ +
+
= +
ω ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω ω
j G j
F
B A A
B A A B
A B A
j j
B j B A j A j
j B j j G A
F
4 1 2
1 2 ) 1 ( ) (
2 1 2 1 1
2 4 0
1 2 4
) 4 )(
2 (
2 4
) 4 (
) 2 ( ) 2 (
) 4 ) ( ( ) (
Vastaus saadaan Fourier-käänteismuunnoksella:
{
F G} [e t e t]
F 1 2 4
2 ) 1 ( )
( − −
− ω ω = −
