2.4.2. Geometrinen summa

(1)

2.4.2. Geometrinen summa

= on summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat geometrisen jonon

S

_n

= a

₁

+ a

₁

q+ a

₁

q

²

+ … + a

₁

q

^n-1

= 

 n  k

q

k

a

1

1 1

missä (a

_k

) on päättyvä geometrinen jono

ks. E.1. s. 106

(2)







 10

1

07

1

, 1 100

k

1 , 07

07 , 1 100

1





 

_



k k

a a EI KIRJOITETA

Onko summa geometrinen a) 8 + 16 + 32 + 64

on b)

k:sta riippumaton vakio on

c) 4 + 6 + 9 + 13

ei

(3)

q q aq a

n n k

k



 







1 ) 1

(

1

na a

a a a a

n k





 



...

1

Geometrisen summan kaava

S

_n

=

S

_n

=

missä

a = ensimmäinen yhteenlaskettava q = suhdeluku

n = yhteenlaskettavien lkm

kun q ≠ 1

kun q = 1

(4)

E.1. Laske S

₁₀

summasta 2 + 4 + 8 + … a = 2

q = 4 : 2 = 2

q q S a



 

1 ) 1

(

¹⁰

10

2 2046 1

) 2 1

(

2

¹⁰





 

q q

a

ⁿ



 1

) 1

(

(5)

E.2. Geometrisessa summassa S

₁₀

= 1000 ja q = 2.

Mikä on ensimmäinen termi?

2 1

) 2 1

1000 (

10



 a 

a(1 – 2

¹⁰

) = -1000 a = 1000/1023

q q

a

ⁿ



 1

) 1

(

(6)

2 1

) 2 1 ( 5 1

) 1

(



 



 

ⁿ ⁿ

n

q

S a 5115

2 1

) 2 1

(

5 



ⁿ

E.3. Montako termiä summan 5 + 10 + 20 + … alusta on otettava, jotta summa ylittäisi 5115?

a = 5 q = 2

5(1 – 2

ⁿ

) = -5115 1 – 2

ⁿ

= -1023 -2

ⁿ

= -1024 2

ⁿ

= 1024 2

ⁿ

= 2

¹⁰

n = 10

V: 11 termiä, jotta summa ylittäisi 5115

(7)

Ks. kirjan esimerkit 2 – 3, s. 68 - 70

1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 40 senttiä jne.

a) Kuinka paljon 10:ssä päivässä b) Kuinka paljon syyskuun lopussa?

a = 10 q = 2

a) n = 10 b) n = 30

q q

a

ⁿ



 1

) 1

(

10230 2

1 ) 2 1

(

10

¹⁰

10





  S

V: 102,30 €

0 1073741823 2

1 ) 2 1

(

10

³⁰

30





  S

V: 107 374 182,30 €

(8)

E.3. Joka kuukauden alussa 500 euroa tilille Vuotuinen korko 3,0 %.

Korko tilille kuukausittain a) Kolmen vuoden kuluttua?

b) Milloin 41 000 €?

Korko kuukautta kohden 3/12 = 0,25 %

1. talletus 500  1,0025³⁶ (36 kuukautta tilillä) 2. talletus 500  1,0025³⁵ (35 kuukautta tilillä)

…

viimeinen 500  1,0025 (kuukauden tilillä)

3. vuoden kuluttua rahaa tilillä:

500  1,0025³⁶+ 500  1,0025³⁵ +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,0025² +…+1,0025³⁶ )

q q

a

ⁿ



 1

) 1

(

31 , 18857 0025

, 1 1

) 0025 ,

1 1 ( 0025 ,

500 1

36





 



ⁿ

(9)

q q

a

ⁿ



 1

) 1

b)

(

Säästämisaika n kuukautta

1. talletus 500  1,0025ⁿ 2. talletus 500  1,0025^n-1

…

Viimeinen 500 1,0025

500  1,0025ⁿ + 500  1,0025^n-1 +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,0025² +…+1,0025ⁿ )

) 0025 ,

1 1 ( 200500 0025

, 1 1

) 0025 ,

1 1 ( 0025 ,

500 1

ⁿ

n

  



 

-200 500(1 - 1,0025ⁿ) = 41000 1 - 1,0025ⁿ = -82/401

-1,0025ⁿ = -483/401 1,0025ⁿ = 483 / 401

n = lg (483/401)/lg 1,0025  74,5