Taksimatkan hinta on siis 27,00

2.1 a)

Miisan ikä on tällä hetkellä x vuotta. Neljä vuotta sitten Miisan ikä oli x−4 vuotta.

Valtteri oli neljä vuotta siten kolme kertaa niin vanha kuin Miisa, joten Valtterin ikää kuvaa lauseke

3(x−4) 3 12= x− b)

Kuvatoimituksen kokonaishinta koostuu toimituskuluista sekä kuvien osuudesta:

Kun kuvia on x kappaletta, kuvatoimituksen hintaa euroina kuvaa lauseke

5,40 0,18 0,18 5,40

x x +

= +

Vastaus a) 3 12x− b) 0,18x+5,40

Sievennä lauseke eli suorita kertolasku.

5,40 € + 0,18 €/kuva

Kuvia 1 kpl: 5,40 + 0,18 ⋅ 1 2 kpl: 5,40 + 0,18 ⋅ 2 3 kpl: 5,40 + 0,18 ⋅ 3 x kpl: 5,40 + 0,18 ⋅ x

Lasketaan matkan hinta sijoittamalla luku 14 muuttujan x paikalle lausekkeeseen ( )K x . (14) 1,50 14 6,00 27,00

K = ⋅ + = (€)

Taksimatkan hinta on siis 27,00 €.

b)

Taksimatka maksaa aloitusmaksun verran silloin, kun matka ei ole vielä alkanut, eli kuljettu matka on 0 km.

Lasketaan taksimatkan hinta, kun x=0.

(0) 1,5 0 6,00 6,00

K = ⋅ + = (€)

Taksimatkan aloitusmaksu on siis 6,00 €.

Vastaus a) 27,00 € b) 6,00 €

Laske lausekkeen arvo, kun x = 14.

Pöytälevyn piiri on sen kaikkien neljän sivun pituuksien summa. Koska pöytälevy on suorakulmio, sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät. Muodostetaan piirin lauseke:

( ) ( 1) ( 1)

1 1

4 2

p x x x x x

x x x x

x

= + + − + −

= + + − + −

= −

b)

Pöytälevyn pinta-ala saadaan kertomalla kanta korkeudella. Muodostetaan levyn pinta-alan lauseke:

( ) ( 1) 2

A x = ⋅ − =x x x −x c)

Lasketaan piiri ja pinta-ala sijoittamalla sivun pituus x=1,80 (m) lausekkeisiin ( )p x ja ( ).A x Pöytälevyn piiri on

(1,80) 4 1,80 2 5,20

p = ⋅ − = (m)

Pöytälevyn pinta-ala on

2 2

(1,80) 1,80 1,80 1,44 (m )

A = − =

Vastaus a) p x( ) 4= x−2 b) A x( )=x²−x c) piiri 5,20 m, pinta-ala 1,44 m ²

Enni juoksee ensimmäisellä viikolla 10 km ja pidentää juoksumatkaa joka viikko 3 km.

Juoksumatkan pituus on

1 viikon jälkeen 10 3 10 1 3

2 viikon jälkeen 10 3 3 10 2 3

3 viikon jälkeen 10 3 3 3 10 3 3

viikon jälkeen 10 3

x x

+ = + ⋅

+ + = + ⋅

+ + + = + ⋅

+ ⋅

Juoksumatkan pituutta kilometreinä, kun on kulunut x viikkoa kuvaa lauseke10 3x+ . b)

TAPA 1

Tuotteen uusi myyntihinta muodostuu nykyisestä hinnasta x, sekä 20 prosentin korotuksesta. Lasketaan ensin, paljonko on 20 % nykyisestä hinnasta:

20 0,2

100⋅ =x x

Korotetun myyntihinnan lauseke on 0,2 1,2

x+ x= x TAPA 2

Tuotteen alkuperäinen hinta on 100% ja korotus 20%. Tuotteen uusi hinta on tällöin 100% 20% 120%+ = alkuperäisestä. Uusi hinta saadaan siis kertomalla vanha hinta prosenttikertoimella 1,2. Uutta hintaa kuvaa lauseke:

120 1,2 100x= x

Vastaus a) 10 3x+ b) 1,2x

Lasketaan matkan hinta sijoittamalla arvo x=5(vrk) lausekkeeseen ( )h x (5) 65 5 350 675

h = ⋅ + = (€)

Matkan hinta on 675 €.

b)

Lasketaan ensin, paljonko 12 vuorokauden matka maksaa:

(12) 65 12 350 1130 1100

h = ⋅ + = > (€)

Koska Inkalla on rahaa vain 1100 €, hän ei saa ostettua 12 vuorokauden matkaa.

Vastaus a) 675 € b) Inka ei saa matkaa.

Lasketaan Petruksen arvosana laskemalla lausekkeen ( )a x arvo, kun x=25 (pistettä).

(25) 0,2 25 3,0 8,0

a = ⋅ + =

Perttu sai arvosanan 8,0.

b)

Lasketaan Unnan arvosana:

(4) 0,2 4 3,0 3,8

a = ⋅ + =

Koska 3,8 on pienempi kuin läpipääsyraja 5,0, Unna ei päässyt kokeesta läpi.

Vastaus a) 8,0 b) Ei päässyt.

Välinevuokran kokonaishinta muodostuu lumilaudan ja lumilautakenkien vuokrista.

Muodostetaan lauseke h x( ) välinevuokran hinnalle:

( ) 30 20 50

h x = x+ x= x (€)

Hintaa euroina kuvaa lauseke h x( ) 50= x, missä x on vuokrauspäivien lukumäärä.

b)

Viiden päivän vuokrauspaketin kokonaishinta on 110 € 75 € 185 €+ = .

Lasketaan vuokraamisen hinta, jos lumilauta ja lumilautakengät vuokrataan päivä kerrallaan. Lausekkeen ( )

h x arvo, kun x=5 (päivää):

(5) 50 5 250

h = ⋅ = (€)

Kasper säästää siis 250 € 185 € 65 €− = .

Vastaus a) 50x b) 65 €

Lumilaudan päivävuokra 30 € lumilautakenkien päivävuokra 20€

vuokrauspäivien määrä x

Piirretään mallikuva. Metsäpalstan lyhyemmän sivun pituus on x (m).

Metsäpalstaa kiertävän polun pituus eli suorakulmion piiri on 3200 m. Erisuuntaisten sivujen pituus on puolet piiristä eli 3200 m : 2 = 1600 m.

Pidemmän sivun pituus on siis 1600−x (m).

b)

Suorakulmion pinta-ala on kannan ja korkeuden tulo.

( ) (1600 ) 1600 2

A x =x −x = x x− c)

Lasketaan pinta-ala, kun x=550 (m).

(550) 1600 550 5502 577500

A = ⋅ − = (m ) ²

Muutetaan pinta-ala hehtaareiksi:

577500 m2 =5775 a 57,75 ha 58 ha= ≈

Vastaus a) 1600−x b) 1600x x− ² c) 58 ha x x

Sievennä lauseke eli suorita kertolasku.

Pinta-alojen muunnoksissa pilkkua siirretään kahden numeron yli.

km² ha a m²

: 100

Piirretään mallikuva.

Merkitään korkeutta kirjaimella x (cm).

Suorakulmion pinta-ala saadaan kannan ja korkeuden tulona.

( ) ( 2,0) 2 2,0

A x =x x+ =x + x (cm ). ² b)

Lasketaan pinta-ala, kun x=3,4 (cm).

(3,4) 3,42 2,0 3,4 18,36 18

A = + ⋅ = ≈ (cm ) ²

c)

Pinta-alan lausekkeessa muuttuja x on ilmaistu senttimetreinä, joten muutetaan 12 mm ensin senttimetreiksi.

12 mm 1,2 cm=

Lasketaan suorakulmion ala, kun x=1,2.

(1,2) 1,22 2,0 1,2 3,84 3,8

A = + ⋅ = ≈ (cm ) ²

Vastaus a) A x( )=x²+2,0x b) 18 cm c) 3,8 ² cm ²

x + 2,0 Suorakulmio x

Myyntitulot riippuvat tuotteen hinnasta ja myyntimäärästä. Olkoon x hinnan muutos euroina. Tuotteen hinta euroina muutoksen jälkeen on 20+x. Kävijöiden määrä on muutoksen jälkeen 14000 400x− .

Myyntitulo saadaan laskettua lipun hinnan ja kävijöiden määrän tulona:

2

( ) (20 )(14000 400 ) 400 6000 280000

M x x x

x x

= + −

= − + +

Lausekkeen sievennys GeoGebralla:

b)

Kun lipun hinta on 23 €, on lipun hinta muuttunut 23 € 20 € 3 €− = . Lasketaan myyntitulot, kun x=3.

(3) 400 3 6000 3 280000 2944002

M = − ⋅ + ⋅ + = (€).

c)

Kun lipun hinta on 15€, on lipun hinta muuttunut 15€ 20€− = −5€. Lasketaan myyntitulot, kun x= −5.

( 5) 400 ( 5)2 6000 ( 5) 280000 240000

M − = − ⋅ − + ⋅ − + = (€)

Vastaus a) M x( )= −400x²+6000x+280000 b) 294 400 € c) 240 000 €

Lausekkeen muodostamisessa voidaan käyttää apuna taulukointia.

hinnan

muutos (€) lipun hinta

(€) kävijöiden määrä (kpl) 1 20+ 1 14000 – 1 ⋅ 400 2 20 + 2 14000 – 2 ⋅ 400 3 20 + 3 14000 – 3 ⋅ 400 x 20+ x 14000 – x ⋅ 400

Kun tallennat lausekkeen CAS- laskimen muistiin, voit laskea lausekkeen arvon suoraan merkinnällä M(3).

Kun veroton hinta on x, veron suuruus on

24 0,24

100x= x.

Tuotteen myyntihinta on tällöin 0,24 1,24

x+ x= x.

Kun kauppias laskee hintaa 150 eurolla, hinta alennuksen jälkeen on 1,24 150 (€)x−

Vastaus 1,24 150x−

Lasketaan ensin naisen ja miehen maksimisykkeet, kun ikä T = 18.

Nainen: 226 18 208− = Mies: 220 18 202− = TAPA 1

Naisen syke on 208 202 6− = yksikköä korkeampi kuin miehen. Verrataan eroa miehen sykkeeseen 6 0.030 3,0 %

202 ≈ =

Naisen syke on siis 3,0 % korkeampi kuin miehen.

TAPA 2

Verrataan naisen sykettä miehen sykkeeseen.

208 1,030 202 ≈

Naisen syke on 1,030 1 0,030 3,0 %− = = korkeampi kuin miehen.

b)

30-vuotiaan naisen maksimisyke on 226 30 196− = . Lasketaan, paljonko on 60 % ja 70 % maksimisykkeestä:

0,60 196 117,6 118⋅ = ≈ 0,7 196 137,2 137⋅ = ≈

Sykkeen tulisi olla 30-vuotiaalla naisella välillä 118 - 137.

Vastaus a) 3,0 % b) 118 - 137

Piirretään mallikuva.

Merkitään pidempää sivua kirjaimella x (m).

Uima-altaan, eli suorakulmion piiri on 74 m. Erisuuntaisten sivujen pituus on puolet piiristä eli 74 m : 2 = 37 m.

Lyhyemmän sivun pituus on siis 37−x (m).

Koska pinta-ala on kannan ja korkeuden tulo, saadaan pinta-alan lausekkeeksi ( ) (37 ) 37 2

A x =x −x = x x− (m ) ²

b)

Lasketaan suojakankaan pinta-ala sijoittamalla pinta-alan lausekkeeseen sivun pituus x=25 (m).

2 2

(25) 37 25 25 300 (m )

A = ⋅ − =

Vastaus a) 37x x− ² b) 300 m ²

x

UIMA-ALLAS

Suorakulmion kanta on 4 yksikköä lyhyempi kuin korkeus, joten kannan pituus on (3x− − =2) 4 3x−6.

Suorakulmion piiri on sen sivujen summa.

Merkitään piiriä kirjaimella p.

( ) 2 (3 6) 2 (3 2) (6 12) (6 4)

6 12 6 4

12 16

p x x x

x x

x x

x

= ⋅ − + ⋅ −

= − + −

= − + −

= −

b)

Suorakulmion pinta-ala saadaan kannan ja korkeuden tulona. Merkitään pinta-alaa kirjaimella A.

2 2

( ) (3 6)(3 2)

3 3 3 ( 2) 6 3 6 ( 2)

9 6 18 12

9 24 12

A x x x

x x x x

x x x

x x

= − −

= ⋅ + ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

= − − +

= − +

c)

Lasketaan piiri lausekkeen, kun x=5.

(5) 12 5 14 44

p = ⋅ − = (pituusyksikköä) Lasketaan pinta-ala, kun x=5.

(5) 9 52 24 5 12 117

A = ⋅ − ⋅ + = (pituusyksikköä) d)

Jos x=1, tulisi kannan pituudeksi 3 1 6⋅ − = −3 (pituusyksikköä) eli negatiivinen luku. Tämä ei ole mahdollista, koska pituudella on aina epänegatiivinen arvo.

Vastaus a) 12 16x− b) 9x²−24x+12 c) piiri 44 , pinta-ala117 d) Kannan pituus olisi tällöin negatiivinen.

3x-6

3x-2

Myyntitulot riippuvat tuotteen hinnasta ja myyntimäärästä. Merkitään 10 sentin muutosten määrää hinnassa kirjaimella x. Tuotteen hinta euroina muutoksen jälkeen on 3,50 0,10x− . Myytyjen mukien määrä on muutoksen jälkeen 650 25x+ .

Myyntitulo saadaan laskettua mehumukin hinnan ja myyntimäärän tulona:

2

( ) (3,50 0,10 )(650 25 ) 2,5 22,5 2275

M x x x

x x

= − +

= − + +

Lausekkeen sievennys GeoGebrassa.

b)

Kun mehumukin hinta on 3,20 €, hinta on alentunut 3,50 3,20 0,30− = (€).

Koska 0,300,10 =3, 10 sentin muutoksia on tehty 3 kappaletta, eli x=3. Myyntitulot ovat

(3) 2,5 3 22,5 3 2275 23202

M = − ⋅ + ⋅ + = (€)

c)

Kun mehumukin hinta on 2,90 €, hinta on alentunut 3,50 2,90 0,60 (€)− = .

Koska 0,600,10 =6, on 10 sentin muutoksia tehty 6 kappaletta, eli x=6. Myyntitulot ovat

(6) 2,5 62 22,5 6 2275 2320

M = − ⋅ + ⋅ + = (€)

Vastaus a) M x( )= −2,5x²+22,5x+2275 b) 2320 € c) 2320 €

Lausekkeen muodostamisessa voidaan käyttää apuna taulukointia.

hinnan

muutos (€) mukin hinta

(€) myyntimäärä (kpl) 1 ⋅ 0,10 3,50-1 ⋅ 0,10 650 + 1 ⋅ 25 2 ⋅ 0,10 3,50-2 ⋅ 0,20 650 + 2 ⋅ 25 3 ⋅ 0,10 3,50-3 ⋅ 0,30 650 + 3 ⋅ 25 x ⋅ 0.10 3,50-x ⋅ 0,10 650 + x ⋅ 25

Osakesalkun arvo eli osakkeiden yhteisarvo on osakkeen hinnan ja osakkeiden määrän tulo. Osakkeen hinnan muutos euroina on x. Tällöin osakkeen hintaa (€) kuvaa lauseke 26,50+x ja osakkeiden määrää lauseke 4200 350− x.

Osakkeiden yhteisarvoa euroina kuvaa lauseke

( ) (26,50 )(4200 350 ) 350 2 5075 111300

R x = +x − x = − x − x+

b)

Kun osakkeen hinta on 30,00 €, sen hinta on muuttunut 30,00 € 26,50 € 3,50 €− = . Lasketaan osakkeiden yhteisarvo, kun x=3,50.

(3,50) 350 3,50 5075 3,50 111300 89250 (€)2

R = − ⋅ − ⋅ + =

Lausekkeen sieventäminen ja arvon laskeminen GeoGebralla:

c)

Kun osakkeen hinta on 22,50 €, sen hinta on muuttunut 22,50 € 26,50 €− = −4,00 €. Näin ollen Siirin osakkeiden määrä on

4200 350 ( 4) 5600− ⋅ − = kappaletta.

Vastaus a) R x( )= −350x²−5075x+111300 b) 89250 € c) 5600 kappaletta