Kvasiryhmät

Tinja Lindstedt

KVASIRYHMÄT

Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta Kandidaattitutkielma

Tiivistelmä

Tinja Lindstedt: Kvasiryhmät Kandidaattitutkielma

Tampereen yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma Joulukuu 2020

Tutkielmassa käsitellään kvasiryhmiä, jotka ovat algebrallisia struktuureja ja muo- dostuvat jostakin joukosta𝑄ja siinä määritellystä laskutoimituksesta·.

Tutkielman toisessa luvussa käsitellään kvasiryhmiä yleisesti. Paria (𝑄 ,·) kut- sutaan kvasiryhmäksi, jos joukon 𝑄 alkioille pätee yhtälö 𝑥 · 𝑦 = 𝑧 siten, että kun kaksi alkioista tiedetään, niin kolmas voidaan päätellä niistä yksikäsitteisesti. Kvasi- ryhmille voidaan määritellä kaksi erilaista jakolaskua, joita kutsutaan vasemman- ja oikeanpuoleiseksi jakolaskuksi. Vasemmanpuoleiselle jakolaskulle pätee, että yhtä- löstä𝑥·𝑦 =𝑧saadaan ratkaistua yksikäsitteinen𝑦, joka on sama kuin𝑥\𝑧. Oikeanpuo- leiselle jakolaskulle pätee, että samasta yhtälöstä saadaan ratkaistua yksikäsitteinen 𝑥, joka on sama kuin𝑧/𝑦. Kvasiryhmien jakolaskujen avulla luvussa esitetään myös uusi määritelmä kvasiryhmille, mikä on useissa tilanteissa käytännöllisempi kuin aluksi annettu määritelmä. Uuden määritelmän avulla pystytään myös todistamaan, että jos pari (𝑄 ,·) on kvasiryhmä varustettuna vasemman- ja oikeanpuoleisella ja- kolaskulla, niin myös parit, jotka muodostuvat joukosta 𝑄 ja joko vasemman- tai oikeanpuoleisesta jakolaskusta, ovat kvasiryhmiä.

Kolmannessa luvussa esitellään aluksi alikvasiryhmän määritelmä. Jos pari(𝑄 ,·) on kvasiryhmä ja joukko𝑆 on joukon𝑄 osajoukko, niin kvasiryhmä (𝑆,·)on kva- siryhmän (𝑄 ,·) alikvasiryhmä. Luvussa esitellään myös alikvasiryhmätesti, jonka avulla voidaan tutkia, muodostaako kvasiryhmän muodostavan joukon osajoukko alikvasiryhmän. Lisäksi määritellään kvasiryhmähomomorfismit ja -isomorfismit.

Funktio 𝑓 on kvasiryhmähomomorfismi, jos kahdelle kvasiryhmälle(𝑃,∗)ja(𝑄 ,◦) pätee, että 𝑓(𝑥) ◦𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥∗𝑦), kun𝑥ja𝑦kuuluvat joukkoon𝑃. Lisäksi jos funktio

𝑓 on bijektio, niin kvasiryhmät ovat isomorfiset.

Tutkielman neljännessä luvussa käsitellään kvasiryhmähomotopioita ja -isotopioita.

Kun parit (𝑃,∗) ja (𝑄 ,◦)ovat kvasiryhmiä ja 𝑓,𝑔 ja ℎfunktioita joukosta 𝑃 jouk-

koon 𝑄, niin kolmikko (𝑓 , 𝑔, ℎ): (𝑃,∗) → (𝑄 ,◦) on kvasiryhmähomotopia, jos pätee, että 𝑓(𝑥) ◦𝑔(𝑦) = ℎ(𝑥∗𝑦), kun alkiot𝑥ja𝑦 kuuluvat joukkoon𝑃. Jos lisäksi funktiot 𝑓, 𝑔 ja ℎ ovat bijektioita, niin kvasiryhmät ovat isotooppiset. Kaikki kva- siryhmähomomorfismit 𝑓 muodostavat kvasiryhmähomotopian, jossa kaikki kolme funktiota ovat funktio 𝑓. Tutkielman lopuksi esitellään vielä pääisotopiat, jotka ovat kvasiryhmäisotopioita, joissa kolmas funktioℎon identiteettikuvaus.

Avainsanat: kvasiryhmät, alikvasiryhmät, kvasiryhmähomomorfismit, kvasiryhmähomotopiat

Tämän julkaisun alkuperäisyys on tarkastettu Turnitin OriginalityCheck -ohjelmalla.

Sisällys

1 Johdanto 5

2 Kvasiryhmien ominaisuudet 6

2.1 Kvasiryhmän määritelmä . . . 6 2.2 Kvasiryhmän jakolaskut . . . 7

3 Kvasiryhmien homomorfiat 12

3.1 Alikvasiryhmät . . . 12 3.2 Kvasiryhmän homomorfiat ja isomorfiat . . . 13

4 Kvasiryhmien homotopiat ja isotopiat 17

4.1 Kvasiryhmän homotopiat ja isotopiat . . . 17 4.2 Pääisotopiat . . . 19

Lähteet 22

1 Johdanto

Tässä tutkielmassa käsitellään kvasiryhmiä, jotka ovat algebrallisia struktuureja ja muodostuvat jostakin joukosta𝑄 ja siinä määritellystä laskutoimituksesta·.

Luvussa 2 käsitellään kvasiryhmiä yleisesti. Aliluvussa 2.1 esitetään kvasiryh- män määritelmä ja annetaan kvasiryhmistä esimerkkejä. Aliluvussa 2.2 esitellään kvasiryhmän kaksi erilaista jakolaskua sekä niiden ominaisuuksia. Kvasiryhmien jakolaskujen avulla esitetään myös uusi määritelmä kvasiryhmille, mikä on useis- sa tilanteissa käytännöllisempi kuin aluksi annettu määritelmä. Uuden määritelmän avulla todistetaan, että jakolaskut muodostavat myös uusia kvasiryhmiä.

Luvussa 3 käsitellään kvasiryhmien homomorfioita. Aliluvussa 3.1 esitellään alikvasiryhmän määritelmän lisäksi alikvasiryhmätesti, jonka avulla voidaan tutkia, muodostaako kvasiryhmän muodostavan joukon osajoukko alikvasiryhmän. Lisäksi aliluvussa 3.2 määritellään kvasiryhmähomomorfismit ja -isomorfismit sekä niiden ominaisuuksia. Aliluvussa esitellään myös kahden kvasiryhmän karteesinen tulo varustettuna kertolaskulla.

Luvussa 4 käsitellään kvasiryhmähomotopioita ja -isotopioita. Aliluvussa 4.1 määritellään kvasiryhmähomotopiat ja -isotopiat sekä esitellään homomorfismin ja homotopian yhteys. Lisäksi todetaan, että kvasiryhmien isotooppisuus on ekviva- lenssirelaatio. Lisäksi aliluvussa 4.2 käsitellään kvasiryhmäpääisotopioita sekä nii- den ominaisuuksia.

Lukijalta odotetaan ryhmäteorian alkeiden tuntemusta, sillä tutkielmassa ei erik- seen anneta esimerkiksi ryhmän määritelmää. Lisäksi lukijan oletetaan tuntevan funktioiden ominaisuuksia kuten funktioiden bijektiivisyys, käänteisfunktiot ja iden- titeettifunktiot. Muut käsitteet pyritään määrittelemään tarkasti tutkielmassa ja niitä havainnollistetaan monilla esimerkeillä. Tutkielmassa käytetään päälähteenä J. D.

Smithin kirjaaIntroduction to Abstract Algebra.

2 Kvasiryhmien ominaisuudet

2.1 Kvasiryhmän määritelmä

Määritelmä 2.1(Kvasiryhmä). (Vrt. [3, s. 287].) Olkoon joukko𝑄suljettu joukko sen alkioiden𝑥 ja𝑦laskutoimituksen𝑥· 𝑦suhteen. Oletetaan, että yhtälö

𝑥·𝑦 =𝑧

pätee, kun alkiot𝑥,𝑦ja𝑧kuuluvat joukkoon𝑄. Kun kaksi näistä alkioista tunnetaan ja kolmas voidaan päätellä niistä yksikäsitteisesti, paria(𝑄 ,·)kutsutaankvasiryhmäksi.

Esimerkki 2.1. Tarkastellaan kokonaislukujen joukkoaℤ varustettuna tavallisella yhteenlaskulla, eli paria (ℤ,+). Oletetaan, että yhtälö

𝑥+𝑦=𝑧

pätee, kun alkiot 𝑥, 𝑦 ja 𝑧 kuuluvat joukkoon ℤ. Nyt jos alkiot 𝑥 ja 𝑦 tiedetään, niin𝑧voidaan selvästi päätellä yksikäsitteisesti yhtälöstä 𝑧 =𝑥+𝑦. Jos alkiot𝑥 ja𝑧 tiedetään, niin𝑦voidaan päätellä yksikäsitteisesti yhtälöstä𝑦 =𝑧−𝑥. Jos taas alkiot 𝑦 ja 𝑧 tiedetään,𝑥 voidaan päätellä yksikäsitteisesti yhtälöstä 𝑥 = 𝑧−𝑦. Näin ollen pari(ℤ,+)on kvasiryhmä.

Esimerkki 2.2. (Vrt. [3, s. 288].) Tarkastellaan seuraavaksi reaalilukujen joukkoa ℝ. Kahden reaaliluvun𝑥ja𝑦aritmeettinen keskiarvoon

𝑥◦𝑦= 𝑥+𝑦 2 . Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöä

𝑥◦𝑦=𝑧,

kun𝑥, 𝑦 ja𝑧 ovat reaalilukuja. Selkeästi aritmeettinen keskiarvo 𝑧 on pääteltävissä yksikäsitteisesti, kun𝑥 ja 𝑦 tiedetään. Tällöin 𝑧 = ^𝑥+𝑦

2 . Jos 𝑦 ja 𝑧 tiedetään, niin 𝑥 on pääteltävissä yksikäsitteisesti yhtälöstä 𝑥 = 2𝑧− 𝑦. Samalla tavalla myös 𝑦 on pääteltävissä yksikäsitteisesti yhtälöstä 𝑦 = 2𝑧−𝑥. Siis pari (ℝ,◦) on kvasiryhmä.

On kuitenkin huomioitava, että esimerkiksi

(2◦6) ◦8=4◦8=6,

mutta

2◦ (6◦8) =2◦7=4,5.

Siis kvasiryhmä (ℝ,◦) ei ole liitännäinen eikä siis täten myöskään ryhmä. Kaikki kvasiryhmät eivät siis ole ryhmiä. Toisaalta kuitenkin ryhmän määritelmästä seuraa, että kaikki ryhmät ovat kvasiryhmiä.

2.2 Kvasiryhmän jakolaskut

Kvasiryhmät ovat määritelty niin, että jakolasku on aina mahdollista suorittaa. Kva- siryhmässä voidaan itse asiassa suorittaa kaksi erilaista jakolaskua, joita kutsutaan vasemman- ja oikeanpuoleisiksi jakolaskuiksi.

Määritelmä 2.2(Kvasiryhmän jakolaskut). (Vrt. [2, s. 6].) Olkoon(𝑄 ,·)kvasiryhmä ja olkoot𝑥,𝑦 ja𝑧joukon𝑄alkioita.

1. Yhtälö𝑥·𝑦 =𝑧pätee, jos ja vain jos 𝑦=𝑥\𝑧. Siis 𝑥· 𝑦=𝑥· (𝑥\𝑧) =𝑧 .

Joukon 𝑄 laskutoimitusta \ kutsutaan kvasiryhmän (𝑄 ,·) vasemmanpuolei- seksi jakolaskuksi.

2. Yhtälö𝑥·𝑦 =𝑧pätee, jos ja vain jos𝑥 =𝑧/𝑦. Siis 𝑥·𝑦 =(𝑧/𝑦) ·𝑦=𝑧 .

Joukon 𝑄 laskutoimitusta / kutsutaan kvasiryhmän (𝑄 ,·) oikeanpuoleiseksi jakolaskuksi.

Huomautus. Oparaatiot\ja/ovat laskutoimituksia, sillä kvasiryhmän määritelmän 2.1 nojalla𝑥\𝑧ja𝑧/𝑦ovat aina olemassa, ne ovat yksikäsitteisiä ja kuuluvat joukkoon 𝑄.

Esimerkki 2.3. (Vrt. [3, s. 294].) Tarkastellaan kokonaislukujen joukkoa ℤvarus- tettuna yhteenlaskulla. Olkoot𝑥 ja𝑦 joukonℤalkioita. Esimerkissä 2.1 pari (ℤ,+) osoitettiin kvasiryhmäksi. Nyt kvasiryhmän(ℤ,+)alkio(1\2)saadaan ratkaisemalla yhtälö

𝑥· (𝑥\𝑦)= 𝑦, kun𝑥=1 ja 𝑦=2, eli siis 1+ (1\2)=2

(1\2)=2−1 (1\2)=1.

Siis kvasiryhmän (ℤ,+) vasemmanpuoleinen jakolasku (𝑥\𝑦) on yksinkertaisesti 𝑦−𝑥.

Vastaavasti kvasiryhmän(ℤ,+) alkio(1/2)saadaan ratkaisemalla yhtälö (𝑥/𝑦) ·𝑦 =𝑥 , kun𝑥 =1 ja𝑦 =2, eli siis

(1/2) +2=1 (1/2) =1−2 (1/2) =−1.

Siis kvasiryhmän(ℤ,+) oikeanpuoleinen jakolasku(𝑥/𝑦) on yksinkertaisesti𝑥−𝑦. Lause 2.1 (Kvasiryhmän jakolaskujen ominaisuudet). (Vrt. [3, s. 295].) Olkoon (𝑄 ,·)kvasiryhmä ja olkoot𝑥 ja𝑦joukon𝑄alkioita. Tällöin

1. 𝑥\(𝑥· 𝑦) =𝑦 2. 𝑦/(𝑥\𝑦) =𝑥 3. (𝑦·𝑥)/𝑥 =𝑦 4. (𝑦/𝑥)\𝑦 =𝑥

Todistus. (Vrt. [3, s. 295].) Oletetaan, että𝑥·𝑦 =𝑧. Vasemmanpuoleisen jakolaskun määritelmän 2.2 nojalla yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa𝑥 · (𝑥\𝑧) =𝑧, joten siis 𝑦 =𝑥\𝑧. Siis

𝑥\(𝑥· 𝑦) =𝑥\(𝑥· (𝑥\𝑧))

=𝑥\𝑧

=𝑦, joten väite 1 pätee.

Koska 𝑥 · (𝑥\𝑧) = 𝑧, niin määritelmän 2.2 nojalla 𝑥 = 𝑧/(𝑥\𝑧). Kun alkio 𝑧 korvataan alkiolla𝑦, saadaan𝑥 =𝑦/(𝑥\𝑦). Joten väite 2 pätee.

Olkoon𝑦·𝑥 =𝑧. Määritelmän 2.2 nojalla siis𝑦 =𝑧/𝑥. Nyt 𝑧/𝑥= 𝑦

(𝑦·𝑥)/𝑥= 𝑦,

joten väite 3 pätee.

Olkoon𝑧·𝑥 =𝑦. Määritelmän 2.2 oikeanpuoleisen jakolaskun nojalla(𝑦/𝑥) ·𝑥 = 𝑦 ja lisäksi kyseisen määritelmän vasemmanpuoleisen jakolaskun nojalla𝑥 =(𝑦/𝑥)\𝑦.

Joten siis väite 4 pätee. □

Lauseen 2.1 nojalla voidaan antaa uusi määritelmä kvasiryhmille, mikä on usein käytännöllisempi kuin määritelmä 2.1.

Lause 2.2. (Vrt. [3, s. 295].) Joukko𝑄varustettuna laskutoimituksella·muodostaa kvasiryhmän(𝑄 ,·), jos ja vain jos siinä on määritelty sellaiset vasemmanpuoleinen jakolasku\ja oikeanpuoleinen jakolasku/, että

1. 𝑥· (𝑥\𝑦) =𝑦 2. (𝑥/𝑦) ·𝑦 =𝑥 3. 𝑥\(𝑥· 𝑦) =𝑦 4. (𝑦·𝑥)/𝑥 =𝑦

kaikille joukon𝑄 alkioille𝑥ja𝑦.

Todistus. (Vrt. [3, s. 295].) Olkoon (𝑄 ,·) kvasiryhmä. Nyt väite 1 ja 2 seuraavat määritelmästä 2.2. Väite 3 seuraa lauseen 2.1 väitteestä 1 ja vastaavasti väite 4 seuraa kyseisen lauseen väitteestä 4.

Oletetaan, että joukossa𝑄on määritelty operaatiot·,\ja/siten, että väitteet 1–4 pätevät. Tarkastellaan yhtälöä

𝑥· 𝑦=𝑧,

kun alkiot𝑥,𝑦ja𝑧kuuluvat joukkoon𝑄. Tutkitaan ensin yhtälön ratkaisua muuttujan 𝑥 suhteen. Jos alkiot𝑦 ja 𝑧tiedetään, niin väiteen 2 nojalla (𝑧/𝑦) ·𝑦 = 𝑧, siten että 𝑥 = 𝑧/𝑦on ratkaisu yhtälölle𝑥 ·𝑦 = 𝑧. Jos 𝑠 ja𝑡 ovat yhtälön ratkaisuja, väitteen 4 nojalla𝑠 =(𝑠· 𝑦)/𝑦 ja𝑡 = (𝑡 ·𝑦)/𝑦. Siis 𝑧/𝑦 = (𝑠· 𝑦)/𝑦 = (𝑡· 𝑦)/𝑦, eli ratkaisu on yksikäsitteinen.

Samalla tavalla voidaan todistaa, että yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu𝑦, kun alkiot𝑥ja𝑧tiedetään. Väitteen 1 nojalla𝑥· (𝑥\𝑧) =𝑧siten, että𝑦 =𝑥\𝑧on ratkaisu yhtälölle𝑥 ·𝑦 = 𝑧. Jos 𝑠ja𝑡 ovat yhtälön ratkaisuja, väitteen 3 nojalla 𝑠 =𝑥\(𝑥 ·𝑠) ja𝑡 =𝑥\(𝑥·𝑡). Siis𝑥\𝑧=𝑥\(𝑥· 𝑠) =𝑥\(𝑥·𝑡), eli ratkaisu on yksikäsitteinen.

On siis todistettu, että (𝑄 ,·)on kvasiryhmä. □

Lauseen 2.1 yksi tärkeä seuraus on, että vasemmanpuoleinen jakolasku ja oikean- puoleinen jakolasku muodostavat uusia kvasiryhmiä.

Lause 2.3. (Ks. [3, s. 296].) Olkoon(𝑄 ,·)kvasiryhmä varustettuna vasemmanpuo- leisella jakolaskulla \ ja oikeanpuoleisella jakolaskulla/. Tällöin (𝑄 ,\) ja (𝑄 ,/) ovat kvasiryhmiä.

Todistus. (Vrt. [3, s. 296].) Todistetaan ensin, että pari (𝑄 ,\) on kvasiryhmä. Tar- kastellaan yhtälöä

𝑥\𝑦 =𝑧,

kun𝑥, 𝑦ja𝑧 ovat joukon𝑄 alkioita. Jos𝑥 ja 𝑦tiedetään, 𝑧voidaan päätellä yksikä- sitteisesti yhtälöstä𝑥\𝑦 =𝑧.

Oletetaan sitten, että𝑦ja𝑧tiedetään. Määritelmän 2.2 nojalla

𝑥\𝑦 =𝑧 𝑥·𝑧 =𝑦

𝑥 =𝑦/𝑧 .

Siis yhtälöllä𝑥\𝑦 = 𝑧 on ratkaisu𝑥 = 𝑦/𝑧. Jos lisäksi on olemassa jokin joukon𝑄 alkio𝑡siten että𝑡\𝑦 =𝑧, kuten𝑥\𝑦=𝑧, niin lauseen 2.1 väitteen 2 nojalla

𝑥 =𝑦/𝑧= 𝑦/(𝑡\𝑦)=𝑡 ,

joten ratkaisu on yksikäsitteinen.

Oletetaan seuraavaksi, että 𝑥 ja 𝑧 tiedetään. Määritelmän 2.2 nojalla yhtälöllä 𝑥\𝑦 = 𝑧 on ratkaisu 𝑦 =𝑥 · 𝑧. Jos lisäksi on olemassa jokin joukon 𝑄 alkio 𝑠siten että𝑥\𝑠=𝑧, kuten𝑥\𝑦 =𝑧, niin määritelmän 2.2 nojalla

𝑦 =𝑥·𝑧 =𝑥· (𝑥\𝑠)= 𝑠,

joten ratkaisu on yksikäsitteinen. On siis osoitettu, että(𝑄 ,\) on kvasiryhmä.

Todistetaan sitten, että pari(𝑄 ,/) on kvasiryhmä. Tarkastellaan yhtälöä 𝑥/𝑦 =𝑧,

kun𝑥, 𝑦ja𝑧 ovat joukon𝑄 alkioita. Jos𝑥 ja 𝑦tiedetään, 𝑧voidaan päätellä yksikä- sitteisesti yhtälöstä𝑥/𝑦 =𝑧.

Oletetaan, että 𝑦 ja 𝑧 tiedetään. Määritelmän 2.2 nojalla yhtälöllä 𝑥/𝑦 = 𝑧 on ratkaisu𝑧· 𝑦 =𝑥. Jos lisäksi on olemassa jokin joukon𝑄 alkio𝑡 siten, että 𝑡/𝑦 = 𝑧 kuten𝑥/𝑦 =𝑧, niin määritelmän 2.2 nojalla

𝑥 =𝑧· 𝑦= (𝑡/𝑦) ·𝑦 =𝑡 ,

joten ratkaisu on yksikäsitteinen.

Oletetaan seuraavaksi, että𝑥 ja𝑧tiedetään. Määritelmän 2.2 nojalla

𝑥/𝑦=𝑧 𝑧· 𝑦=𝑥

𝑦=𝑧\𝑥 ,

joten yhtälöllä𝑥/𝑦 =𝑧 on ratkaisu𝑦 =𝑧\𝑥. Jos lisäksi on olemassa jokin joukon𝑄 alkio𝑠siten, että𝑥/𝑠 =𝑧, kuten𝑥/𝑦 =𝑧, niin lauseen 2.1 väitteen 4 nojalla

𝑦=𝑧\𝑥 =(𝑥/𝑠)\𝑥 =𝑠,

joten ratkaisu on yksikäsitteinen. On siis osoitettu, että myös(𝑄 ,/) on kvasiryhmä.

□

3 Kvasiryhmien homomorfiat

Aivan kuten renkaat, ryhmät ja puoliryhmät, myös kvasiryhmät ovat abstrakteja struktuureita. Sellaisina niille voidaan määritellä alistruktuureita ja homomorfismeja.

3.1 Alikvasiryhmät

Määritelmä 3.1(Alikvasiryhmä). (Ks. [3, s. 297].) Olkoon (𝑄 ,·)kvasiryhmä ja ol- koon joukko𝑆joukon𝑄osajoukko. Jos(𝑆,·)on kvasiryhmä, niin se on kvasiryhmän (𝑄 ,·)alikvasiryhmä.

Lause 3.1(Alikvasiryhmätesti). (Ks. [3, s. 298].) Olkoon(𝑄 ,·)kvasiryhmä ja olkoon joukko𝑆 joukon𝑄 osajoukko. Pari (𝑆,·) on kvasiryhmän (𝑄 ,·) alikvasiryhmä, jos ja vain jos

𝑥·𝑦, 𝑥\𝑦, ja 𝑥/𝑦

kuuluvat joukkoon𝑆, kun alkiot𝑥ja 𝑦ovat joukon𝑆alkioita.

Todistus. (Vrt. [3, s. 298].) Oletetaan ensin, että joukko𝑆on suljettu laskutoimituk- sen·, vasemmanpuoleisen jakolaskun\ja oikeanpuoleisen jakolaskun/suhteen. Nyt lauseen 2.2 mukaan (𝑆,·)on kvasiryhmä. Lisäksi koska joukko𝑆on oletuksen mu- kaan joukon𝑄 osajoukko, niin alikvasiryhmän määritelmän 3.1 nojalla kvasiryhmä (𝑆,·)on kvasiryhmän(𝑄 ,·)alikvasiryhmä.

Oletetaan sitten käänteisesti, että(𝑆,·)on kvasiryhmän(𝑄 ,·)alikvasiryhmä. Nyt siis (𝑆,·) on kvasiryhmä. Kun alkiot 𝑥 ja 𝑦 kuuluvat joukkoon 𝑆, niin myös 𝑥 · 𝑦 kuuluu joukkoon𝑆, eli joukko𝑆 on suljettu laskutoimituksen· suhteen. Lisäksi jos alkiot𝑥, 𝑦ja𝑧kuuluvat joukkoon𝑆, niin määritelmän 2.2 nojalla yhtälöllä

𝑥·𝑦 =𝑧

on alkiolle𝑥 yksikäsitteinen ratkaisu𝑥 = 𝑧/𝑦. Joukko𝑆 on siis suljettu oikeanpuo- leisen jakolaskun/suhteen. Samalla tavalla voidaan osoittaa, että määritelmän 2.2 nojalla yhtälöllä

𝑥·𝑧= 𝑦

on alkiolle 𝑧 yksikäsitteinen ratkaisu 𝑧 = 𝑥\𝑦. Joukko 𝑆 on siis suljettu myös va- semmanpuoleisen jakolaskun\ suhteen. Nyt ekvivalenssin molemmat suunnat ovat

osoitettu todeksi, joten siis väite pätee. □

Esimerkki 3.1. Esimerkissä 2.1 todistettiin, että (ℤ,+) on kvasiryhmä. Samalla ta- valla voidaan osoittaa, että myös reaalilukujen joukko ℝ varustettuna tavallisella yhteenlaskulla(ℝ,+) on kvasiryhmä. Koska kokonaislukujen joukkoℤon reaalilu- kujen joukonℝosajoukko, niin kvasiryhmä(ℤ,+)on kvasiryhmän(ℝ,+) alikvasi- ryhmä.

Esimerkki 3.2. Tarkastellaan seuraavaksi luonnollisten lukujen joukkoaℕvarustet- tuna tavallisella yhteenlaskulla(ℕ,+). Luonnollisten lukujen joukkoℕon kokonais- lukujen joukonℤosajoukko, mutta pari(ℕ,+)ei kuitenkaan ole kvasiryhmän(ℤ,+) alikvasiryhmä. Tarkastellaan oikeanpuoleista jakolaskua luonnollisilla luvuilla 1 ja 2. Esimerkin 2.3 nojalla oikeanpuoleinen jakolasku voidaan laskea yhtälöllä

1/2=𝑥 1=𝑥+2 𝑥 =−1

Joten siis oikeanpuoleisen jakolaskun ratkaisu𝑥ei kuulu luonnollisten lukujen jouk- koon. Näin ollen pari(ℕ,+)ei ole kvasiryhmä, eikä siten alikvasiryhmä.

3.2 Kvasiryhmän homomorfiat ja isomorfiat

Määritelmä 3.2 (Kvasiryhmähomomorfismi). (Vrt. [3, s. 298].) Oletetaan, että (𝑃,∗) ja(𝑄 ,◦)ovat kvasiryhmiä.

1. Funktio 𝑓: 𝑃 →𝑄onkvasiryhmähomomorfismi, jos 𝑓(𝑥) ◦ 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥∗𝑦),

kun alkiot𝑥ja𝑦kuuluvat joukkoon𝑃.

2. Jos kvasiryhmähomomorfismi 𝑓: (𝑃,∗) → (𝑄 ,◦) on bijektio, sitä kutsutaan kvasiryhmäisomorfismiksi.

3. Kvasiryhmät (𝑃,∗) ja(𝑄 ,◦) ovatisomorfiseteli𝑃 ≅ 𝑄, jos niiden välillä on isomorfismi.

Huomautus. (Vrt. [2, s. 26].) Kvasiryhmäisomorfismia 𝑓: 𝑃 → 𝑃 kvasiryhmältä (𝑃,∗) itselleen kutsutaan automorfismiksi. Siis bijektio 𝑓 on automorfismi, jos ja vain jos 𝑓(𝑥)∗𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥∗𝑦), kun alkiot𝑥ja𝑦 kuuluvat joukkoon𝑃.

Esimerkki 3.3. Esimerkissä 2.1 osoitettiin, että kokonaislukujen joukko ℤ varus- tettuna tavallisella yhteenlaskulla (ℤ,+) on kvasiryhmä. Samalla tavalla voidaan osoittaa, että myös parillisten kokonaislukujen joukko varustettuna tavallisella yh- teenlaskulla (2ℤ,+) on kvasiryhmä, sillä kahden parillisen luvun summa ja erotus ovat aina parillisia.

Olkoon funktio 𝑓: (ℤ,+) → (2ℤ,+) määritelty siten, että 𝑓: 𝑥 ↦→ 2𝑥. Nyt selvästi funktio 𝑓 on bijektio. Olkoot alkiot𝑎ja𝑏kokonaislukuja. Nyt

𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)=2𝑎+2𝑏 =2(𝑎+𝑏) = 𝑓(𝑎+𝑏),

joten funktio 𝑓 on kvasiryhmähomomorfismi. On siis osoitettu, että kvasiryhmät (ℤ,+) ja(2ℤ,+) ovat isomorfiset.

Lause 3.2. (Vrt. [3, s. 299].) Olkoot (𝑃,·) ja (𝑄 ,·) kvasiryhmiä, joille on mää- ritelty vasemmanpuoleinen jakolasku \ ja oikeanpuoleinen jakolasku /, ja olkoon

𝑓: (𝑃,·) → (𝑄 ,·)kvasiryhmähomomorfismi. Tällöin

𝑓(𝑥)\𝑓(𝑦)= 𝑓(𝑥\𝑦) ja 𝑓(𝑥)/𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥/𝑦), kun𝑥ja 𝑦kuuluvat joukkoon𝑃.

Todistus. (Vrt. [3, s. 299].) Määritelmän 2.2 nojalla kvasiryhmässä(𝑃,·)pätee, että 𝑥· (𝑥\𝑦) = 𝑦. Koska funktio 𝑓 on kvasiryhmähomomorfismi, niin

𝑓(𝑥) · 𝑓(𝑥\𝑦) = 𝑓(𝑥· (𝑥\𝑦)) = 𝑓(𝑦)

pätee joukossa𝑄. Lisäksi yhtälön 𝑓(𝑥) ·𝑧= 𝑓(𝑦)yksikäsitteinen ratkaisu𝑧joukossa 𝑄on määritelmän 2.2 nojalla𝑧 = 𝑓(𝑥)\𝑓(𝑦). Nyt siis 𝑓(𝑥\𝑦) = 𝑧= 𝑓(𝑥)\𝑓(𝑦), eli on todistettu, että 𝑓(𝑥)\𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥\𝑦).

Määritelmän 2.2 nojalla kvasiryhmässä (𝑃,·) pätee, että (𝑥/𝑦) · 𝑦 = 𝑥. Koska funktio 𝑓 on kvasiryhmähomomorfismi, niin

𝑓(𝑥/𝑦) · 𝑓(𝑦) = 𝑓( (𝑥/𝑦) ·𝑦) = 𝑓(𝑥)

pätee joukossa𝑄. Lisäksi yhtälön𝑧· 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥)yksikäsitteinen ratkaisu𝑧joukossa 𝑄on määritelmän 2.2 nojalla𝑧 = 𝑓(𝑥)/𝑓(𝑦). Nyt siis 𝑓(𝑥/𝑦) = 𝑧= 𝑓(𝑥)/𝑓(𝑦), eli on todistettu, että 𝑓(𝑥)/𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥/𝑦). □ Lause 3.3. (Vrt. [3, s. 299].) Olkoot(𝑃,·)ja(𝑄 ,·)kvasiryhmiä. Tällöin karteesinen tulo𝑃×𝑄 varustettuna kertolaskulla

(𝑥₁, 𝑥₂) · (𝑦₁, 𝑦₂)= (𝑥₁·𝑦₁, 𝑥₂·𝑦₂),

muodostaa kvasiryhmän(𝑃×𝑄 ,·). Tässä kvasiryhmässä vasemmanpuoleinen jako- lasku

(𝑥₁, 𝑥₂)\(𝑦₁, 𝑦₂) = (𝑥₁\𝑦₁, 𝑥₂\𝑦₂) ja oikeanpuoleinen jakolasku

(𝑥₁, 𝑥₂)/(𝑦₁, 𝑦₂) = (𝑥₁/𝑦₁, 𝑥₂/𝑦₂)

toteutetaan alkioittain samoin, kuin kvasiryhmissä(𝑃,·)ja(𝑄 ,·). Todistus. (Vrt. [3, s. 299].) Tarkastellaan yhtälöä

(𝑥₁, 𝑥₂) · (𝑦₁, 𝑦₂) =(𝑧₁, 𝑧₂),

kun alkiot(𝑥₁, 𝑥₂), (𝑦₁, 𝑦₂), (𝑧₁, 𝑧₂) kuuluvat joukkoon𝑃×𝑄. Jos alkiot (𝑥₁, 𝑥₂)ja (𝑦₁, 𝑦₂) tiedetään, niin niiden kertolaskun määritelmän nojalla

(𝑥₁, 𝑥₂) · (𝑦₁, 𝑦₂) = (𝑥₁· 𝑦₁, 𝑥₂· 𝑦₂).

Koska𝑥₁, 𝑦₁ ∈ 𝑃 ja oletuksen nojalla (𝑃,·) on kvasiryhmä, niin myös𝑥₁· 𝑦₁ ∈ 𝑃. Vastaavasti myös koska𝑥₂, 𝑦₂ ∈ 𝑄 ja oletuksen nojalla (𝑄 ,·) on kvasiryhmä, niin myös𝑥₂·𝑦₂∈𝑄. Siis(𝑥₁·𝑦₁, 𝑥₂·𝑦₂) ∈ 𝑃×𝑄.

Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa alkiot (𝑦₁, 𝑦₂) ja(𝑧₁, 𝑧₂) tiedetään. Nyt yh- tälölle

(𝑥₁, 𝑥₂) · (𝑦₁, 𝑦₂) = (𝑥₁· 𝑦₁, 𝑥₂· 𝑦₂) =(𝑧₁, 𝑧₂)

on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu (𝑥₁, 𝑥₂) = (𝑧₁/𝑦₁, 𝑧₂/𝑦₂). Koska 𝑧₁, 𝑦₁ ∈ 𝑃 ja oletuksen nojalla (𝑃,·) on kvasiryhmä, niin myös 𝑧₁/𝑦₁ ∈ 𝑃. Vastaavasti myös koska 𝑧₂, 𝑦₂ ∈ 𝑄 ja oletuksen nojalla (𝑄 ,·) on kvasiryhmä, niin myös 𝑧₂/𝑦₂ ∈ 𝑄. Siis koska(𝑧₁/𝑦₁, 𝑧₂/𝑦₂) ∈𝑃×𝑄, niin(𝑥₁, 𝑥₂) ∈ 𝑃×𝑄

Tarkastellaan vielä lopuksi tilannetta, jossa alkiot (𝑥₁, 𝑥₂) ja (𝑧₁, 𝑧₂) tiedetään.

Nyt yhtälölle

(𝑥₁, 𝑥₂) · (𝑦₁, 𝑦₂) = (𝑥₁· 𝑦₁, 𝑥₂· 𝑦₂) =(𝑧₁, 𝑧₂)

on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu (𝑦₁, 𝑦₂) = (𝑥₁\𝑧₁, 𝑥₂\𝑧₂). Koska𝑥₁, 𝑧₁ ∈ 𝑃ja oletuksen nojalla(𝑃,·)on kvasiryhmä, niin myös𝑥₁\𝑧₁∈ 𝑃. Vastaavasti myös koska 𝑥₂, 𝑧₂ ∈ 𝑄 ja oletuksen nojalla (𝑄 ,·) on kvasiryhmä, niin myös 𝑥₂\𝑧₂ ∈ 𝑄. Siis koska(𝑥₁\𝑧₁, 𝑥₂\𝑧₂) ∈ 𝑃×𝑄, niin(𝑦₁, 𝑦₂) ∈ 𝑃×𝑄. On siis osoitettu, että (𝑃×𝑄)

on kvasiryhmä. □

Määritelmä 3.3. (Vrt. [3, s. 300].) Olkoot parit (𝑃,·)ja (𝑄 ,·)kvasiryhmiä. Kvasi- ryhmää(𝑃×𝑄 ,·), jossa kertolasku on määritelty

(𝑥₁, 𝑥₂) · (𝑦₁, 𝑦₂)= (𝑥₁·𝑦₁, 𝑥₂·𝑦₂),

kun 𝑥₁ ja 𝑦₁ kuuluvat joukkoon 𝑃 ja 𝑥₂ ja 𝑦₂ kuuluvat joukkoon 𝑄, kutsutaan kvasiryhmien(𝑃,·)ja(𝑄 ,·)tuloksi.

Esimerkki 3.4. Esimerkissä 2.1 todistettiin, että pari (ℤ,+) on kvasiryhmä, joten siis määritelmän 3.3 nojalla myös(ℤ×ℤ,+)on kvasiryhmä, jossa laskutoimitus+ on määritelty

(𝑥₁, 𝑥₂) + (𝑦₁, 𝑦₂) =(𝑥₁+𝑦₁, 𝑥₂+𝑦₂), kun alkiot𝑥₁,𝑥₂, 𝑦₁ja 𝑦₂ovat kokonaislukuja.

4 Kvasiryhmien homotopiat ja isotopiat

4.1 Kvasiryhmän homotopiat ja isotopiat

Määritelmä 4.1. (Vrt. [3, s. 302].) Oletetaan, että (𝑃,∗) ja(𝑄 ,◦)ovat kvasiryhmiä.

1. Kolmikkoa (𝑓 , 𝑔, ℎ), missä 𝑓: 𝑃 → 𝑄, 𝑔: 𝑃 → 𝑄 ja ℎ: 𝑃 → 𝑄 ovat funk- tioita, kutsutaankvasiryhmähomotopiaksi, jos

𝑓(𝑥) ◦𝑔(𝑦) =ℎ(𝑥∗𝑦),

kun alkiot𝑥 ja𝑦 kuuluvat joukkoon𝑃. Tällöin merkitään(𝑓 , 𝑔, ℎ): (𝑃,∗) → (𝑄 ,◦).

2. Edellisen kohdan funktioita 𝑓,𝑔jaℎkutsutaan homotopiankomponenteiksi.

3. Jos kvasiryhmän homotopian komponentit 𝑓, 𝑔ja ℎovat bijektioita, homoto- piaa kutsutaanisotopiaksi.

4. Kvasiryhmiä 𝑃 ja 𝑄 sanotaan isotooppisiksi (merkitään 𝑃 ∼ 𝑄), jos niiden välillä on isotopia.

Esimerkki 4.1. Esimerkissä 3.1 todettiin, että pari (ℝ,+)on kvasiryhmä ja vastaa- vasti esimerkissä 2.2 todettiin, että pari(ℝ,◦)on kvasiryhmä, kun laskutoimitus◦on reaalilukujen aritmeettinen keskiarvo. Olkoot nyt alkiot𝑥ja𝑦reaalilukuja ja kolmik- ko(𝑓,𝑔,ℎ): ℝ →ℝmääritelty siten, että 𝑓: 𝑥 ↦→ ^𝑥

2,𝑔: 𝑥 ↦→ ^𝑥

2 jaℎ=𝑖 𝑑_ℝ: 𝑥 ↦→𝑥. Nyt

𝑓(𝑥) +𝑔(𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦

2

= 𝑥+𝑦 2

=𝑥◦𝑦

=ℎ(𝑥◦𝑦),

joten siis (𝑓 , 𝑔, ℎ): (ℝ,◦) → (ℝ,+) on kvasiryhmähomotopia. Lisäksi koska funk- tiot 𝑓,𝑔ja ℎovat bijektioita, kvasiryhmät(ℝ,◦) ja(ℝ,+)ovat isotooppisia.

Lause 4.1. (Vrt. [3, s. 303].) Oletetaan, että (𝑃,∗) ja (𝑄 ,◦)ovat kvasiryhmiä.

1. Jos kolmikko(𝑓 , 𝑓 , 𝑓): (𝑃,∗) → (𝑄 ,◦)on kvasiryhmähomotopia, niin 𝑓: (𝑃,∗) → (𝑄 ,◦) on kvasiryhmähomomorfismi.

2. Jokainen kvasiryhmähomomorfismi 𝑓: (𝑃,∗) → (𝑄 ,◦)muodostaa kvasiryh- mähomotopian(𝑓 , 𝑓 , 𝑓): (𝑃,∗) → (𝑄 ,◦).

Todistus. Lause seuraa suoraan määritelmistä 3.2 ja 4.1. □ Lause 4.2. (Vrt. [3, s. 303].) Oletetaan, että (𝑁 ,·), (𝑃,∗) ja (𝑄 ,•) ovat kvasiryh- miä varustettuna homotopioilla (𝑓 , 𝑔, ℎ): (𝑃,∗) → (𝑄 ,•) ja (𝑓^′, 𝑔^′, ℎ^′): (𝑁 ,·) → (𝑃,∗). Nyt

(𝑓 ◦ 𝑓^′, 𝑔◦𝑔^′, ℎ◦ℎ^′): (𝑁 ,·) → (𝑄 ,•) on kvasiryhmähomomorfismi.

Todistus. (Vrt. [3, s. 303].) Käyttämällä lauseen 4.1 ominaisuutta 𝑓(𝑥) • 𝑔(𝑦) = ℎ(𝑥∗𝑦)funktioille(𝑓 , 𝑔, ℎ) ja(𝑓^′, 𝑔^′, ℎ^′), saadaan

(𝑓 ◦ 𝑓^′) (𝑥) • (𝑔◦𝑔^′) (𝑦)= 𝑓(𝑓^′(𝑥)) •𝑔(𝑔^′(𝑦))

= ℎ(𝑓^′(𝑥)∗𝑔^′(𝑦))

= ℎ(ℎ^′(𝑥·𝑦)) =(ℎ◦ℎ^′) (𝑥·𝑦),

kun alkiot𝑥ja𝑦kuuluvat joukkoon 𝑁. □

Seuraus 4.1. (Ks. [3, s. 303].) Kvasiryhmien isotooppisuus on ekvivalenssirelaatio.

Todistus. (Vrt. [3, s. 303].) Jotta kyseessä olisi ekvivalenssirelaatio, tulee osoittaa, että relaatio on refleksiivinen, transitiivinen ja symmetrinen. Lauseen 4.1 2-kohdan nojalla identiteettikuvaus𝑖 𝑑_𝑄muodostaa kvasiryhmässä𝑄isotopian. Siis identiteet- tikuvaus𝑖 𝑑_𝑄 on bijektio ja homomorfismi, sillä𝑖 𝑑_𝑄(𝑥) ·𝑖 𝑑_𝑄(𝑥)=𝑥·𝑥 =𝑖 𝑑_𝑄(𝑥·𝑥), kun x on joukon𝑄alkio. On siis osoitettu, että relaatio on refleksiivinen.

Seuraavaksi oletetaan, että 𝑁 ∼ 𝑃 ja 𝑃 ∼ 𝑄 kvasiryhmille 𝑁, 𝑃 ja𝑄. Lauseen 4.2 nojalla𝑁 ∼𝑄, joten relaatio on myös transitiivinen.

Lopuksi oletetaan, että (𝑓 , 𝑔, ℎ): (𝑃,∗) → (𝑄 ,◦) on isotopia. Tarkastellaan joukon𝑄 alkioita𝑥 ja 𝑦, joille pätee, että 𝑓(𝑥^′) = 𝑥 ja𝑔(𝑦^′) = 𝑦, kun𝑥^′ ja 𝑦^′ovat joukon 𝑃 yksikäsitteisiä alkoita. Lauseen 4.1 ominaisuuden 𝑓(𝑥) ◦𝑔(𝑦) = ℎ(𝑥∗𝑦) nojalla

ℎ(𝑥^′∗𝑦^′) = 𝑓(𝑥^′) ◦𝑔(𝑦^′) =𝑥◦𝑦 . Siis

ℎ⁻¹(𝑥◦𝑦) =𝑥^′∗𝑦^′= 𝑓⁻¹(𝑥)∗𝑔⁻¹(𝑦).

Joten siis (𝑓⁻¹, 𝑔⁻¹, ℎ⁻¹): (𝑄 ,◦) → (𝑃,∗) on isotopia, mikä osoittaa, että relaatio on myös symmetrinen. Nyt on osoitettu, että isotooppisuusrelaatio on refleksiivinen, transitiivinen ja symmetrinen, eli siis se on ekvivalenssirelaatio. □

4.2 Pääisotopiat

Määritelmä 4.2. (Vrt. [3, s. 304].) Kvasiryhmäisotopiaa (𝑓 , 𝑔, ℎ): (𝑃,∗) → (𝑄 ,◦)

kvasiryhmien(𝑃,∗) ja (𝑄 ,◦) välillä kutsutaanpääisotopiaksi, jos sen kolmas kom- ponenttiℎon identiteettikuvaus𝑃→ 𝑃joukossa𝑃(ja silloin siis joukot𝑃ja𝑄ovat yhtenevät). Kvasiryhmien(𝑃,∗)ja (𝑄 ,◦)sanotaan olevan tällöinpääisotooppiset.

Esimerkki 4.2. Esimerkissä 4.1 osoitettiin, että (𝑓 , 𝑔, ℎ) on kvasiryhmän (ℝ,◦) isotopia kvasiryhmälle(ℝ,+). Koska isotopian kolmas komponenttiℎon identiteet- tikuvaus𝑖 𝑑_ℝ, niin(𝑓 , 𝑔, ℎ)on myös kvasiryhmien välinen pääisotopia.

Lause 4.3. (Vrt. [3, s. 304]) Tarkastellaan kvasiryhmäisotopiaa(𝑓 , 𝑔, ℎ): (𝑃,∗) → (𝑄 ,•). Käytetään bijektiota ℎ: 𝑃 →𝑄laskutoimituksen·muodostamiseen

𝑥· 𝑦= ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦)),

kun alkiot𝑥ja 𝑦kuuluvat joukkoon𝑃. 1. Struktuuri (𝑃,·)on kvasiryhmä.

2. On olemassa isomorfismiℎ: (𝑃,·) → (𝑄 ,•). 3. Isotopia(𝑓 , 𝑔, ℎ) voidaan jakaa tekijöihin

(𝑓 , 𝑔, ℎ) =(ℎ, ℎ, ℎ) ◦ (ℎ⁻¹◦ 𝑓 , ℎ⁻¹◦𝑔, 𝑖 𝑑_𝑃)

eli siis isotopian(𝑓 , 𝑔, ℎ)tekijät ovat pääisotopia(ℎ⁻¹◦𝑓 , ℎ⁻¹◦𝑔, 𝑖 𝑑_𝑃): (𝑃,∗) → (𝑃,·)yhdessä isomorfian ℎ: (𝑃,·) → (𝑄 ,•)kanssa.

Todistus. (Vrt. [1, s. 17].) Tarkastellaan ensin väitettä 1. Oletetaan, että alkiot 𝑥, 𝑦 ∈𝑃tiedetään. Tällöinℎ(𝑥) jaℎ(𝑦) ovat yksikäsitteisiä, silläℎon funktio. Lisäksi tiedetään, että pari (𝑄 ,•) on kvasiryhmä, joten siis laskutoimituksella ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦) on yksikäsitteinen tulos, joka kuuluu joukkoon𝑄. Koska funtkio ℎon bijektio, niin käänteisfunktion määritelmän nojalla tiedetään, että myös käänteisfunktio ℎ⁻¹ on

bijektio. Siis laskutoimituksella ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦)) on yksikäsitteinen ratkaisu, joka kuuluu joukkoon𝑃.

Oletetaan sitten, että alkiot 𝑥, 𝑦 ja 𝑧 kuuluvat joukkoon 𝑃. Kun alkiot 𝑥 ja 𝑧 tiedetään ja niille pätee, että

𝑥·𝑦 =ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦)) =𝑧, niin määritelmän 2.2 ja funktionℎbijektiivisyyden nojalla

ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦)) =𝑧 ℎ(ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦))) =ℎ(𝑧)

ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦) =ℎ(𝑧) ℎ(𝑦) =ℎ(𝑥)\ℎ(𝑧) ℎ⁻¹(ℎ(𝑦)) =ℎ⁻¹(ℎ(𝑥)\ℎ(𝑧))

𝑦 =ℎ⁻¹(ℎ(𝑥)\ℎ(𝑧)).

Siis yhtälöllä𝑥· 𝑦=𝑧on ratkaisu muuttujan 𝑦suhteen. Osoitetaan seuraavaksi, että 𝑦 =ℎ⁻¹(ℎ(𝑥)\ℎ(𝑧)on yksikäsitteinen. Oletetaan, että on olemassa jokin alkio𝑡 ∈ 𝑃 siten, että𝑥·𝑦 =𝑥·𝑡. Nyt siis

ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦)) =ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑡)) ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦) =ℎ(𝑥) •ℎ(𝑡)

ℎ(𝑦) =ℎ(𝑡),

mutta koska tiedetään, että ℎ on bijektio, niin täytyy olla, että 𝑦 = 𝑡. Siis alkion 𝑦 täytyy olla yksikäsitteinen.

Oletetaan sitten, että alkiot 𝑥, 𝑦 ja 𝑧 kuuluvat joukkoon 𝑃. Kun alkiot 𝑦 ja 𝑧 tiedetään ja niille pätee, että

𝑥·𝑦 =ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦)) =𝑧, niin määritelmän 2.2 ja funktionℎbijektiivisyyden nojalla

ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦)) =𝑧 ℎ(ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦))) =ℎ(𝑧)

ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦) =ℎ(𝑧) ℎ(𝑥) =ℎ(𝑧)/ℎ(𝑦) ℎ⁻¹(ℎ(𝑥)) =ℎ⁻¹(ℎ(𝑧)/ℎ(𝑦))

𝑥 =ℎ⁻¹(ℎ(𝑧)/ℎ(𝑦)).

Siis yhtälöllä𝑥· 𝑦=𝑧on ratkaisu muuttujan𝑥 suhteen. Osoitetaan seuraavaksi, että 𝑥 =ℎ⁻¹(ℎ(𝑧)/ℎ(𝑦)on yksikäsitteinen. Oletetaan, että on olemassa jokin alkio𝑠∈ 𝑃 siten, että𝑥·𝑦 =𝑠·𝑦. Nyt siis

ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦)) =ℎ⁻¹(ℎ(𝑠) •ℎ(𝑦)) ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦) =ℎ(𝑠) •ℎ(𝑦)

ℎ(𝑥) =ℎ(𝑠),

mutta koska tiedetään, että ℎ on bijektio, niin täytyy olla, että 𝑥 = 𝑠. Siis alkion 𝑥 täytyy olla yksikäsitteinen. Nyt on siis osoitettu, että (𝑃,·) on kvasiryhmä, joten väite 1 pätee.

Tarkastellaan seuraavaksi väitettä 2. Oletetaan, että alkiot 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃. Täytyy todistaa, että

ℎ(𝑥·𝑦)= ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦).

Tiedetään, että funktioℎ: 𝑃→𝑄on bijektio, joten sillä on käänteisfunktioℎ⁻¹: 𝑄 → 𝑃. Käänteisfunktion määritelmän nojalla pätee, ettäℎ(ℎ⁻¹(𝑥)) =𝑥, joten

𝑥·𝑦 =ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦)) ℎ(𝑥·𝑦) =ℎ(ℎ⁻¹(ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦))) ℎ(𝑥·𝑦) =ℎ(𝑥) •ℎ(𝑦).

On siis todistettu, ettäℎon isomorfismi kvasiryhmältä (𝑃,·)kvasiryhmälle(𝑄 ,•).

Tarkastellaan vielä väitettä 3. Käänteisfunktion määritelmän nojallaℎ◦ℎ⁻¹ =𝑖 𝑑_𝑄 ja lisäksi identiteettifunktioille pätee, ettäℎ◦𝑖 𝑑_𝑃 =𝑖 𝑑_𝑃 ◦ℎ = ℎ. Nyt yhdistettyjen funktioiden liitännäisyyden perusteella pätee, että

𝑓 =𝑖 𝑑_𝑄 ◦ 𝑓 =(ℎ◦ℎ⁻¹) ◦ 𝑓 = ℎ◦ (ℎ⁻¹◦ 𝑓), 𝑔=𝑖 𝑑_𝑄 ◦𝑔= (ℎ◦ℎ⁻¹) ◦𝑔=ℎ◦ (ℎ⁻¹◦𝑔) ja ℎ=ℎ◦𝑖 𝑑_𝑃.

Funktiot 𝑓 ja 𝑔 ovat määritelty kvasiryhmästä (𝑃,∗) kvasiryhmään (𝑄 ,•), kään- teisfunktio ℎ⁻¹ on määritelty kvasiryhmältä (𝑄 ,•) kvasiryhmään (𝑃,·) ja iden- titeettikuvaus 𝑖 𝑑_𝑃 on määritelty joukolta 𝑃 joukkoon 𝑃. Kvasiryhmähomotopian määritelmän 4.1 nojalla siis kolmikon (ℎ⁻¹ ◦ 𝑓, ℎ⁻¹ ◦ 𝑔, 𝑖 𝑑_𝑃) lähtökvasiryhmä on kvasiryhmä (𝑃,∗) ja maalikvasiryhmä on kvasiryhmä (𝑃,·). Siis pääisotopia (ℎ⁻¹◦ 𝑓 , ℎ⁻¹◦𝑔, 𝑖 𝑑_𝑃): (𝑃,∗) → (𝑃,·)on isotopian(𝑓 , 𝑔, ℎ)tekijä. Lisäksi väitteen 2 nojalla ℎ: (𝑃,·) → (𝑄 ,•) on kvasiryhmäisomorfismi ja siis isotopian (𝑓 , 𝑔, ℎ)

tekijä. On siis osoitettu, että väite 3 pätee. □

Lähteet

[1] Pasanen, S. Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista. Pro gradu. Tampereen yliopis- to, Informaatiotieteiden yksikkö. Tampere. 2016.

[2] Pflugfelder, H. O. Quasigroups and Loops Introduction. Berlin: Heldermann Verlag, 1990.

[3] Smith, J. D. Introduction to abstract algebra. United States: Chapman &

Hall/CRC, 2009.