Kompleksianalyysi I 801385A 2011

2011

Esipuhe

Tämän luentomonisteen ensimmäisen version kirjoitti Tero Knuutinen Jorma Arhip- paisen kevään 2007 luentojen pohjalta. Uudistetun painoksen on toimittanut Markus Harju vuoden 2011 kesäkurssia varten.

1 Kompleksilukujen kunta 1

1.1 Kompleksilukujen kunta . . . 2

1.2 Kompleksitaso ja itseisarvo . . . 4

1.3 Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys . . . 6

1.4 Kompleksitason analyyttistä geometriaa . . . 8

1.5 Kompleksitason topologiaa . . . 9

1.6 Jonoista . . . 12

1.7 Sarjat . . . 14

2 Kompleksimuuttujan funktioista 17 2.1 Kompleksiarvoiset funktiot . . . 17

2.2 Funktion raja-arvo . . . 20

2.3 Jatkuvuus . . . 21

2.4 Analyyttiset funktiot (funktion derivaatta) . . . 24

2.5 Cauchyn–Riemannin yhtälöt . . . 26

2.6 Eräitä funktioita . . . 29

2.6.1 Polynomifunktiot . . . 29

2.6.2 Rationaalifunktiot . . . 29

2.6.3 Juurifunktiot . . . 30

2.6.4 Eksponenttifunktio . . . 30

2.6.5 Logaritmi . . . 31

2.6.6 Trigonometriset funktiot . . . 32

2.6.7 Hyperboliset funktiot . . . 34

2.6.8 Yleistetty potenssifunktio . . . 35

2.7 L’Hospitalin sääntö raja-arvon laskemiselle . . . 35

3 Käyräintegraali C:ssä 37 3.1 Kompleksitason käyristä . . . 37

3.2 Käyräintegraali . . . 40

Hakemisto 45

iii

Kompleksilukujen kunta

Lukujoukkoja merkitään seuraavasti:

N={0,1,2, . . .} (luonnolliset luvut) Z={. . . ,−1,0,1, . . .} (kokonaisluvut) Q={^m_n :m, n∈Z, n6= 0} (rationaaliluvut) R={x=P∞

k=lak10^−k :l∈Z, ak ∈ {0,1, . . . ,9}} (reaaliluvut)

Määritelmä 1.1 (Kunta). Olkoon K 6= ∅ joukko, jossa on määritelty laskutoimi- tukset + (yhteenlasku) ja ·(kertolasku¹) seuraavina kuvauksina:

+ : K×K →K, K×K ∋(a, b)7→a+b∈K

·:K×K →K, K×K ∋(a, b)7→a·b∈K

Sanotaan, että (K,+,·)on kunta, jos seuraavat aksioomat ovat voimassa:

K1^◦ (a+b) +c=a+ (b+c) kaikillaa, b, c∈K.

K2^◦ JoukossaK on nolla-alkio 0, jolle pätee a+ 0 = 0 +a=a kaikillaa∈K.

K3^◦ Jos a ∈ K, niin on olemassa vasta-alkio −a ∈ K, jolle pätee a + (−a) = (−a) +a = 0.

K4^◦ a+b=b+a kaikillaa, b∈K.

K5^◦ (ab)c=a(bc) kaikilla a, b, c∈K.

K6^◦ JoukossaK on ykkösalkio 1, jolle pätee a·1 = 1·a =a kaikilla a∈K.

K7^◦ Josa ∈K ja a6= 0, niin on olemassa a⁻¹ ∈K, jollea·a⁻¹ =a⁻¹·a = 1. Tässä 1 on ykkösalkio. Alkiota a⁻¹ sanotaan alkiona käänteisalkioksi.

1Usein käytetään lyhennysmerkintääa·b=ab

1

K8^◦ a·b =b·a kaikilla a, b∈K.

K9^◦ a·(b+c) = (a·b) + (a·c) kaikillaa, b, c∈K.

1.1 Kompleksilukujen kunta

Tarkastellaan joukkoa

R² =R×R={(x, y) :x, y ∈R},

missä(x, y) on järjestetty reaalilukujen pari, jolle pätee(x1, y1) = (x2, y2) jos ja vain josx1 =x2, y1 =y2.

Voidaan tulkita R⊂R², kun alkiox∈R samaistetaan alkion (x,0)∈R² kanssa.

Näin ajatellen R² onR:n laajennus joukkona.

Määritellään laskutoimitukset+ja·joukossaR²seuraavasti: jos(x1, y1),(x2, y2)∈ R², niin

1) (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)∈R²

2) (x1, y1)·(x2, y2) = (x1x2 −y1y2, x1y2+x2y1)∈R².

Huomautus. Laskutoimitukset + ja · ovat reaalilukujen tavanomaisten yhteen– ja kertolaskun laajennuksia joukkoonR².

Merkitääni= (0,1)∈R². Jos (x, y)∈R², niin

(x, y) = (x,0) + (0, y) = (x,0) + (0,1)(y,0) = (x,0) +i(y,0) =x+iy.

Täten voidaan samaistaen kirjoittaa

R² ={(x, y) :x, y ∈R}={x+iy:x, y ∈R}=C.

Huomautus. Joukon R² kertolaskun määritelmän nojalla i² = (0,1)·(0,1) = (0−1,0) = (−1,0) elii² =−1. Alkiota ikutsutaan imaginääriyksiköksi.

Määritelmä 1.2 (Joukko C). Jos x+iy ∈ C, x, y ∈ R ja i on imaginääriyksikkö, jolle pätee i² = −1, niin merkitään z =x+iy. Jos zk =xk+iyk ∈ C, k = 1,2, niin laskutoimitukset (1) ja (2) tulevat muotoon:

1) z1+z2 = (x1+iy1) + (x2+iy2) = (x1+x2) +i(y1+y2) 2) z1z2 = (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2−y1y2) +i(x1y2+x2y1).

Luvun z ∈Creaaliosaa merkitäänx= Re(z)∈Rja imaginääriosaa y= Im(z)∈R. Kompleksiluvut z1 ja z2 ovat samat, merkitään z1 = z2, jos Re(z1) = Re(z2) ja Im(z1) = Im(z2).

Lause 1.3. (C,+,·) on kunta.

Todistus. Käydään läpi kunta-aksioomat.

K1^◦ Selvä.

K2^◦ Nolla-alkio on 0 = 0 +i0.

K3^◦ Josz =x+iy∈C, niin(−z) = (−x) +i(−y)∈C.

K4^◦ Selvä.

K5^◦ Joszk∈C, k = 1,2,3, niin

(z1z2)z3 = [x1x2−y1y2+i(x1y2 +x2y1)](x3 +iy3)

= [(x1x2−y1y2)x3−(x1y2+x2y1)y3] +i[(x1x2−y1y2)y3+ (x1y2+x2y1)x3]

= [x1x2x3−x1y2y3 −y1y2x3−y1x2y3] +i[x₁x₂y₃+x₁y₂x₃+y₁x₂x₃−y₁y₂y₃]

= [x1(x2x3−y2y3)−y1(y2x3+x2y3)]

+i[x1(x2y3+y2x3) +y1(x2x3−y2y3)]

= (x1+iy1)[(x2x3−y2y3) +i(x2y3+x3y2)] =z1(z2z3).

K6^◦ Ykkösalkio on 1 = (1,0) = 1 +i0.

K7^◦ Josz =x+iy∈Cja z 6= 0 = 0 +i0, niinx6= 0 tai y6= 0. Asettamalla z⁻¹ = x

x²+y² +i

−y x²+y²

∈C nähdään, että

z⁻¹z = x

x²+y² +i

−y x²+y²

(x+iy) =· · ·= 1 =zz⁻¹. K8^◦ z1z2 =z2z1.

K9^◦ z1(z2+z3) =z1z2+z1z3.

Täten joukko C varustettuna laskutoimituksilla +ja · on kunta.

1.2 Kompleksitaso ja itseisarvo

TunnetustiR² voidaan kuvataxy-koordinaatiston avulla tasona. SamaistuksellaR² ≈ Cmyös C voidaan esittää koordinaatiston avulla.

- 6

x y

r

(x, y)

R²

- 6

Re Im

r

z =x+iy C

Määritelmä 1.4. Luvun z = x+iy ∈ C itseisarvo on |z| = p

x² +y² ∈ R, joka vastaa pisteen(x, y) etäisyyttä origosta.

Itseisarvo R:ssä antaa metriikan R:ään, eli lukujen x ja y etäisyyden d(x, y) =

|x−y|. Vastaavasti itseisarvoC:ssä määrää metriikand(z1, z2) =|z1−z2|. Merkitään

• dC=metriikka C:ssä

• dC|R=dR= metriikka R:ssä.

Kunta(C,+,·)on näin myös kunnan(R,+,·)metrinen (topologinen) kuntalaajennus.

Itseisarvolle pätee seuraavat ominaisuudet:

1) |z1z2|=|z1||z2|. 2)

z1

z2

= |z1|

|z2|, z2 6= 0.

3) Re(z)≤ |Re(z)| ≤ |z| ja Im(z)≤ |Im(z)| ≤ |z|. 4) |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|(kolmioepäyhtälö).

Määritelmä 1.5. Luvun z =x+iy ∈Cliittoluku onz =x−iy∈C.

Liittoluvulle pätee mm. seuraavat ominaisuudet:

1) i=−i.

2) zz =zz =x² +y² =|z|². 3) Jos z =z, niinz ∈R.

4) |z|=|z| kaikille z ∈C.

Jos z =x+iy 6= 0, niin edellä tavattu käänteisalkio voidaan laskea laventamalla liittoluvulla eli

z⁻¹ = 1 z = z

zz = z

x²+y² = x

x²+y² − iy x²+y². Lisää ominaisuuksia:

1) z =z kaikilla z ∈C.

2) z1+z2 =z1+z2. 3) z1z2 =z1z2. 4)

1 z

= 1 z. 5) z1

z2

= z1z2

|z2|², z2 6= 0.

6) z+z= 2 Re(z) ja z−z =i2 Im(z).

Määritelmä 1.6. Jos z₀ ∈ C ja ε > 0, niin z₀-keskinen, ε-säteinen kompleksitason ympyrä on

Sε(z0) ={z ∈C:|z−z0|=ε}. Huomautus. 1) Jos z1, z2 ∈S1(0), niinz1z2 ∈S1(0).

2) Jos z1 ∈S1(0), niin _z¹₁ ∈S1(0).

Esimerkki 1.7. Olkoon z1 = 3 + 4ija z2 = 2 + 3i. Tällöin a) z1+z2 = 3 + 2 + (4 + 3)i= 5 + 7i

b) z1z2 = (3 + 4i)(2 + 3i) = 6−12 + (9 + 8)i=−6 + 17i c) 1

z2

= z2

|z2|² = 2−3i 4 + 9 = 2

13 − 3 13i d) z1

z2

= z1z2

z2z2

= (3 + 4i)(2−3i)

13 = (6 + 12) + (−9 + 8)i

13 = 18

13− i 13.

1.3 Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys

Olkoon z ∈ C, z 6= 0, z = x+iy. Merkitään r = |z| = p

x²+y² (z:n moduuli) ja olkoonθpositiivisen reaaliakselin jaz:n väliin jäävä kulma. Kulmaθvoidaan rajoittaa välille 0≤θ < 2π. Tällöin

z =x+iy=r(cosθ+isinθ)

on luvun z (yksikäsitteinen)napakoordinaattiesitys. Kulmaa θ sanotaan luvun z ar- gumentiksi ja sitä merkitäänθ = argz.

x y

θ

z =x+iy r

Kulman θ määrääminen voidaan jakaa seuraaviin tapauksiin:

• Tapaus y= 0 ja x6= 0:

– Jos x >0, niin θ = 0.

– Jos x <0, niin θ =π.

• Tapaus x= 0 ja y6= 0:

– Jos y >0, niin θ = π 2. – Jos y <0, niin θ = 3π 2 .

• Jos taas x, y 6= 0, niin

(x=rcosθ y=rsinθ.

Tällöin

tanθ= y

x = rsinθ

rcosθ = sinθ cosθ

eli

θ= arctan y

x+nπ, n ∈Z,

jossa kertoimen n valinta riippuu lukujenx ja y merkistä eli siitä, mihin tason neljännekseen z kuuluu:

1^◦ Josx, y >0, niin n= 0 2^◦ Josx <0, y >0, niin n = 1 3^◦ Josx, y <0, niin n= 1 4^◦ Josx >0, y <0, niin n = 2

1^◦ 2^◦

3^◦ 4^◦

Esimerkki 1.8. 1) Jos z = 2, niin r =|2|= 2 ja θ = 0.

2) Jos z=−2i, niin r=| −2i|= 2 ja θ= 3π 2 . 3) Jos z= 1 +i, niin r =√

2 ja θ = π 4.

Tulo napakoordinaattiesityksessä Olkoon z1 = r1(cosθ1 + isinθ1) ja z2 = r2(cosθ2+isinθ2). Tällöin

z₁z₂ =r₁(cosθ₁+isinθ₁)r₂(cosθ₂+isinθ₂)

=r1r2(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2) +i(cosθ1sinθ2+ cosθ2sinθ1)

=r1r2(cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)).

Tästä seuraa, että josz =r(cosθ+isinθ), niin ns. De Moivren kaava zⁿ=rⁿ(cos(nθ) +isin(nθ)), n= 1,2,3, . . . pätee.

Esimerkki 1.9. Edellisen kaavan avulla voidaan mm. ratkaista yhtälö z³ = 1.

Kirjoitetaanz =r(cosθ+isinθ)ja pyritään määräämään r jaθ. De Moivren kaavan nojalla

z³ =r³(cos 3θ+isin 3θ) = 1 = cos 0 +isin 0,

missä myös luku1on kirjoitettu napakoordinaateissa. Ottamalla itseisarvot puolittain saadaanr³ = 1, jotenr = 1. Vertaamalla reaali- ja imaginääriosia keskenään saadaan jaksollisuus huomioiden

3θ= 0 +k2π, k ∈Z eliθ =θk =k2π/3. Täten yhtälön ratkaisut ovat (r= 1)

zk = cosθk+isinθk

eli

z0 = cos 0 +isin 0 = 1, z1 = cos2π

3 +isin2π

3 =−1 2+

√3 2 i ja

z2 = cos4π

3 +isin4π 3 =−1

2 −

√3 2 i.

Muilla arvoillak saadaan jaksollisesti samoja ratkaisuja.

1.4 Kompleksitason analyyttistä geometriaa

Tunnetusti tason R² suora voidaan aina esittää muodossa L={r∈R² :r=r0+tv, t∈R},

missär0 onL:n kiinteä piste jav ∈R², v 6= 0onvirittäjävektori. Vastaavasti pisteiden P1 ja P2 välinen jana on

[P1, P2] ={r ∈R² :r =OP1+t(OP2−OP1), t∈[0,1]},

missä O= (0,0)on origo. Avaruudessa R² suora voidaan ilmaista myös muodossa L={(x, y)∈R² :ax+by=d},

missä (a, b)6= (0,0). Vastaavasti kompleksitasossa C suora on L={z ∈C:z =z0+tw, t∈R}, missä z0 ∈L on kiinteä piste jaw∈C, w 6= 0 on virittäjävektori.

Jos z1, z2 ∈C, z1 6=z2, niin niiden välinen (suunnattu) jana on [z1, z2] ={z ∈C:z =z1+t(z2−z1), t∈[0,1]}. Suoran Lnormaalimuoto on

L={x+iy:ax+by =d}, missä a, b, d∈R ja a²+b² >0.

Jos z =x+iy eli

x= z+z

2 , y = z−z 2i , niin

L={z ∈C:az+z

2 +bz−z 2i =d}

={z ∈C:az+az −biz+biz= 2d}

={z ∈C: (a−ib)z+ (a+ib)z = 2d}

={z ∈C:αz+αz =γ}, missä γ = 2d∈Rja α =a+ib ∈C.

1.5 Kompleksitason topologiaa

Määritelmä 1.10. Olkoon z0 ∈Cannettu ja r∈R, r >0.

1) z0-keskinen, r-säteinen avoin kiekko on joukko

Dr(z0) = {z ∈C:|z−z0|< r} (vrt. ympyrä).

2) Vastaavasti suljettu kiekko on

Dr(z0) ={z ∈C:|z−z0| ≤r}. 3) Punkteerattu kiekko on

D_r^′(z0) =Dr(z0)\ {z0}.

Määritelmä 1.11. Olkoon A⊂C. Sanotaan, ettäA on avoin jos joko 1) A=∅ tai

2) jokaistaz ∈A kohti on olemassa sellainen r >0, että Dr(z)⊂A.

Määritelmä 1.12. Olkoon A ⊂ C. Sanotaan, että A on suljettu, jos sen komple- mentti A^c =C\A on avoin.

Huomautus. 1) C ja ∅ovat sekä avoimia ja suljettuja joukkoja.

2) Avoin kiekko on avoin joukko.

Todistus. 1) Con selvästi avoin, ja lisäksi sen komplementti∅on määritelmän mu- kaan avoin, joten Con myös suljettu. Samoin ∅on suljettu, koska sen komple- mentti Con avoin.

2) Olkoon Dr(z0) avoin kiekko ja z∈Dr(z0) sen mielivaltainen piste.

Valitaan δ = r− |z−z0| > 0, ja otetaan toinen avoin kiekko Dδ(z). Jos w ∈ Dδ(z), niin |w−z|< δ. Siten

|w−z0| ≤ |w−z|+|z−z0|< δ+|z−z0|=r− |z−z0|+|z−z0|=r.

Siis w∈Dr(z0). TätenDδ(z)⊂Dr(z0) ja Dr(z0) on avoin.

Huomautus. Olkoon I jokin indeksijoukko.

1) Jos Ai ⊂C, i∈I ovat avoimia, niin [

i∈I

Ai on avoin.

2) Jos A1, A2, A3, . . . , An⊂C ovat avoimia, niin

n

\

i=1

Ai on avoin.

3) Jos Ai ⊂C, i∈I ovat suljettuja, niin

\

i∈I

Ai on suljettu.

4) Jos A1, A2, A3, . . . , An ovat suljettuja, niin

n

[

i=1

Ai on suljettu.

Määritelmä 1.13. Olkoon A ⊂ C. Jos z ∈A, niin z on joukon A sisäpiste, jos on olemassa sellainen r > 0, että Dr(z) ⊂ A. Kaikkia joukon A sisäpisteitä merkitään A^◦ tai Int(A).

Voidaan osoittaa, että

A^◦ =∪{V :Von avoin jaV ⊂A}. Huomautus. A^◦ ⊂A aina. LisäksiA on avoin, jos A=A^◦.

Määritelmä 1.14. Piste z ∈ C on joukon A ulkopiste, jos se on komplementin A^c sisäpiste. Kaikkia joukon A ulkopisteitä merkitään Ext(A).

Määritelmä 1.15. Piste z ∈ C on joukon A reunapiste, jos se ei ole joukon A sisäpiste eikä ulkopiste. Kaikkia joukon A reunapisteitä merkitään ∂(A).

Määritelmä 1.16. JoukonA⊂C sulkeuma on

A¯= cl(A) =A∪∂(A) =A^◦∪∂(A).

Joukko A¯on aina suljettu.

Huomautus. Voidaan osoittaa, että

cl(A) = ∩{E :Esuljettu, A⊂E}. Täten A⊂ cl(A) ja A= cl(A) jos ja vain jos A suljettu.

Määritelmä 1.17 (Tiheä osajoukko). Jos A ⊂ C on suljettu ja B ⊂ A, niin B on tiheä joukossaA, joscl(B) =A.

Huomautus. Jos A=Dr(z₀), niin

• A^◦ =Dr(z0)

• cl(A) =A

• ∂(A) = {z ∈C:|z−z0|=r}=Sr(z0)

• Ext(A) ={z ∈C:|z−z0|> r}.

Määritelmä 1.18 (Kasaantumispiste). Piste z ∈C on joukon A kasaantumispiste, jos pisteen z jokainen r-ympäristö (avoin kiekko) sisältää z:sta eroavia A:n pisteitä eli

D^′_r(z)∩A6=∅

kaikilla r >0. Merkitään A^′ =A:n kasaantumispisteiden joukko.

Voidaan osoittaa että cl(A) = A∪A^′.

Esimerkki 1.19. Jos A={1,¹₂,¹₃, . . . ,_n¹, . . .}, niin A^′ ={0}.

Määritelmä 1.20. Joukko A ⊂ C on rajoitettu, jos on olemassa sellainen M > 0, että

|z| ≤M kaikillez ∈A.

Määritelmä 1.21. Jos joukko on suljettu ja rajoitettu, niin sen sanotaan olevan kompakti.

Määritelmä 1.22 (Polkuyhtenäisyys). Joukko A ⊂ C on polkuyhtenäinen, jos sen jokainen pistepari voidaan yhdistää joukkoon A sisältyvällä murtoviivalla.

Määritelmä 1.23 (Konveksi joukko). Joukko A ⊂ C on konveksi, jos sen jokainen pistepari voidaan yhdistää janalla, joka sisältyy joukkoon A.

1.6 Jonoista

Funktiotaf :N→Csanotaan kompleksilukujen jonoksi. Yleensä merkitään f(n) =an n= 0,1,2, . . .

tai

(an)^∞_n=0 ={a₀, a₁, a₂, . . .}. Jono voidaan usein määritellä rekursiivisesti, esim.

zn+1 =z_n²+a, missä a=vakio ja z0 on annettu.

Määritelmä 1.24 (Suppeneminen). Olkoon (an)n∈N kompleksilukujono. Jono (an) suppenee kohti pistettäa, jos jokaista ε >0kohti on olemassa N =N(ε)∈N, jolle

|an−a|< ε elian ∈Dε(a)aina, kun n≥N.

Jonoille C:ssä pätevät samanlaiset tulokset kuin reaalijonoille. Olkoot

n→∞lim an=a ja lim

n→∞bn=b, missä (an),(bn)∈C ja a, b∈C. Tällöin

1) raja-arvo a on yksikäsitteinen 2) lim

n→∞(an+bn) = a+b 3) lim

n→∞(anbn) = ab 4) lim

n→∞

an

bn

= a

b, kunb 6= 0

5) Jos an=xn+iyn missä xn, yn∈R ja lim

n→∞an=a=x+iy, niin

n→∞lim xn=x ja lim

n→∞yn=y.

Näin on, koska

|yn−y|,|xn−x| ≤ |an−a| →0.

6) Jos an=|an|(cosθn+isinθn) ja a=|a|(cosθ+isinθ), niin

n→∞lim |an|=|a| ja lim

n→∞θn=θ (mod 2π).

Määritelmä 1.25 (Cauchyn jono). Jono (an) ⊂ C on Cauchyn jono, jos jokaista ε >0 kohti on olemassas sellainen N =N(ε)>0, että

|am−an|< ε aina, kun m, n > N.

Esimerkki 1.26. Osoitetaan, että jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono. Olkoon

n→∞lim an=a.

Kolmioepäyhtälön nojalla

|am−an|=|(am−a)−(an−a)| ≤ |am−a|+|an−a|. Koska jono an suppenee, niin on olemassa sellaiset N1, N2, että

|am−a|< ε

2 ja |an−a|< ε 2 kun m > N1 ja n > N2. Valitaan N = max{N1, N2}, jolloin

|am−an|< ε, m, n > N elian on Cauchyn jono.

Tunnetusti jokainen (reaalinen) Cauchyn jono (an) ⊂ R suppenee, toisin sanoen on olemassa lim

n→∞an =a. Jokainen Cauchyn jono suppenee myös C:ssä.

Olkoon A ⊂ C epätyhjä. Tällöin a ∈ cl(A) jos ja vain jos on olemassa jono (an)⊂A jolle

n→∞lim an=a.

1.7 Sarjat

Olkoon (an)⊂C jono. Merkitään

Sn=

n

X

k=1

ak.

Tällöin saadaan osasummien jono (Sn)⊂C. Jos

n→∞lim Sn =S on olemassa, niin sanotaan, ettäsarja

∞

X

n=1

an

suppenee. Lisäksi tällöin S = P∞

n=1an. Jos lim

n→∞Sn ei ole olemassa, niin sanotaan, että sarjahajaantuu.

Kompleksilukujen sarjoille pätevät samat ominaisuudet kuin R:ssä:

1) Jos sarja P∞

n=1an suppenee, niinlim_n→∞an= 0. Osoitetaan tämä. Olkoon S = lim

n→∞Sn. Koska an =Sn−Sn−1, niin

n→∞lim an = lim

n→∞(Sn−Sn−1) =S−S = 0.

2) Jos P∞

k=1ak suppenee jaak=xk+iyk,(xk),(yk)⊂R, niin sarjat

∞

X

k=1

xk ja

∞

X

k=1

yk

suppenevat.

3) Jos sarja P∞

k=1|ak| suppenee (itseinen suppeneminen), niin sarja

∞

X

k=1

ak

suppenee.

Esimerkki 1.27 (Geometrinen sarja). Jos |z| < 1, niin P∞

k=0z^k suppenee. Koska

|z^k|=|z|^k <1, niin P∞

k=0|z^k|suppenee. Nyt

Sn= 1 +z+· · ·+zⁿ, joten

zSn=z+· · ·+zⁿ+zⁿ⁺¹. Puolittain vähentämällä saadaan

(1−z)Sn= 1−zⁿ⁺¹ eli

Sn = 1−zⁿ⁺¹ 1−z . Jos |z|<1, niin

n→∞lim Sn= lim

n→∞

1−zⁿ⁺¹

1−z = 1 1−z. Esimerkki 1.28. Tarkastellaan sarjaa

∞

X

k=0

z^k k!. Tiedetään, että sarja

∞

X

k=0

x^k k!

suppenee kaikilla x∈R ja

e^x =

∞

X

k=0

x^k k!. Siten sarja

∞

X

k=0

|z|^k k!

suppenee (itseinen suppeneminen) kaikilla z ∈C, joten

∞

X

k=0

z^k k!

suppenee kaikilla z ∈C. Määritellään nyt e^z =

∞

X

k=0

z^k k!.

Sijoittamallaz =iy, y∈R saadaan e^iy=

∞

X

k=0

(iy)^k

k! = 1 +iy− y² 2! − iy³

3! +y⁴ 4! +· · ·

=

∞

X

k=0

(−1)^k y^2k (2k)! +i

∞

X

k=0

(−1)^k y^2k+1

(2k+ 1)! = cosy+isiny, sillä

i^2k= (−1)^k, i^2k+1 = (−1)^ki k= 0,1,2, . . . Siten

|e^iy|² = cos²y+ sin²y= 1 eli

|e^iy|= 1

kaikilla y ∈ R. Näin ollen luvun z 6= 0 napakoordinaattiesitys voidaan kirjoittaa muodossa

z =|z|(cosθ+isinθ) =|z|e^iθ, θ ∈[0,2π).

Huomautus. Jos z∈C, niin

e^z =e^x+iy =e^xe^iy=e^x(cosy+isiny).

Näistä keskimmäisen yhtäsuuruuden todistus sivuutetaan. Muut ovat edeltä tuttuja.

Kompleksimuuttujan funktioista

2.1 Kompleksiarvoiset funktiot

Määritelmä 2.1. OlkoonA⊂C, A6=∅. Vastaavuutta, joka liittää jokaiseen lukuun z ∈ A yksikäsitteisen luvun w ∈ C sanotaan funktioksi A → C. Tällöin merkitään w := f(z) ja A on funktion f määritysjoukko, merkitään A = M(f). Arvojoukkoa merkitäänA(f) = {f(z) :z ∈A}=f(A).

Määritelmä 2.2 (Toinen tapa määritellä funktio). Funktio f : A → C on joukon A×C osajoukko f, jolle pätee:

1) (z, w)∈f pätee kaikilla z ∈A ja jollain w∈C

2) Jos (z, w₁),(z, w₂)∈f, niin w₁ =w₂, eli kohdan1 alkio won yksikäsitteinen.

Jos (z, w)∈f, niin merkitään w=f(z).

Useimmiten funktio f määritellään tietyn säännön f(z) avulla. Ellei toisin mai- nita, niin

M(f) ={z ∈C:Lausekef(z)on määritelty}.

Määritelmä 2.3. Jos f : A → C on funktio ja E ⊂ A, niin funktion f rajoittuma joukkoon E on funktiof|^E, jolle pätee

(f|^E)(z) = f(z) kaikilla z∈E. Siten M(f|^E) =E.

Funktion kuvaaja (graafi) on joukko

{(z, f(z))∈C² :z ∈ M(f)⊂C}. 17

Usein tutkitaan jonkin osajoukon B ⊂ M(f)kuvajoukkoa.

Kompleksimuuttujan kompleksiarvoisen funktion lauseke f(z) voidaan (ainakin periaatteessa) esittää seuraavassa muodossa:

Jos z = x+iy ∈ M(f), niin on olemassa sellaiset muuttujien x, y ∈ R reaaliar- voiset funktiot u ja v, että

f(z) =f(x+iy) = u(x, y) +iv(x, y).

Esimerkki 2.4. 1) Jos f(z) =z, niin u(x, y) =x ja v(x, y) = y.

2) Jos f(z) = z², niin u(x, y) =x²−y² ja v(x, y) = 2xy.

3) Jos

f(z) = 1 z = z¯

|z|², niin

u(x, y) = x

x²+y², v(x, y) = −y

x²+y² ja M(u) = M(v) = R²\ {0}. 4) Jos

f(z) =e^z =

∞

X

k=0

z^k

k! =e^x+iy =e^xe^iy=e^x(cosy+isiny) niin u(x, y) = e^xcosy ja v(x, y) = e^xsiny.

Määritelmä 2.5. Olkoot f ja g :A→C funktioita. Asetetaan 1) (f +g)(z) = f(z) +g(z), z ∈A, (summafunktio)

2) (f g)(z) =f(z)g(z), z ∈A, (tulofunktio)

3) (f /g)(z) = f(z)/g(z), z ∈A, g(z)6= 0 (osamääräfunktio) ja 4) (f ◦g)(z) = f(g(z)), z ∈A (yhdistetty funktio).

Määritelmä 2.6. Olkoot A, B ⊂C, A, B 6=∅ ja f :A→B. Tällöin funktio f on 1) surjektio A→B, jos jokainen w∈B on muotoa w=f(z)jollain z ∈A eli

f(A) = {f(z) :z ∈A}=B.

2) injektio, jos ehdosta f(z1) = f(z2), z1, z2 ∈A seuraa z1 =z2. 3) bijektio, jos se on injektio ja surjektio.

Määritelmä 2.7 (Käänteisfunktio). Jos f : A → B bijektio ja w = f(z) jollain z ∈ A, niin luku z on yksikäsitteinen (injektiivisyys) ja jokainen w ∈ B on muotoa w = f(z), z ∈ A (surjektiivisuus). Nyt voidaan määritellä funktio f⁻¹ : B → A asettamalla

f⁻¹(w) = z kun w=f(z), z∈A.

Käänteisfunktion määritelmästä seuraa, että

f⁻¹(f(z)) =z kaikillaz ∈A ja

f(f⁻¹(z)) =z kaikillaz ∈B.

Huomautus. Myös f⁻¹ on bijektio ja (f⁻¹)⁻¹ =f ja M(f⁻¹) = A(f).

Määritelmä 2.8 (Sektori). Olkoon ϕ1, ϕ2 ∈ [0,2π[, missä 0 < |ϕ1 − ϕ2| < 2π.

Joukkoa

S[ϕ1, ϕ2] ={z ∈C:z =r(cosϕ+isinϕ), ϕ1 ≤ϕ≤ϕ2, r≥0} sanotaan suljetuksi sektoriksi. Vastaavasti joukkoa

S]ϕ1, ϕ2[={z ∈C:z =r(cosϕ+isinϕ), ϕ1 < ϕ < ϕ2, r≥0} sanotaan avoimeksi sektoriksi. Huomaa, että S[0,2π[=C.

Esimerkki 2.9. Funktionf(z) = 2z+i, z∈C käänteisfunktio on f⁻¹(z) = z−i

2 .

Esimerkki 2.10. Olkoon f(z) =z², z ∈C. Tällöin f on surjektioC→C.

Todistus. Jos w = 0, niin valitaan z = 0, jolloin f(z) = f(0) = 0² =w. Jos w 6= 0, niin w=r(cosϕ+isinϕ), ϕ∈[0,2π[, joten valitsemalla

z =√ r

cosϕ

2 +isinϕ 2

nähdään, että

f(z) =z² =√ r²

cos2ϕ

2 +isin2ϕ 2

=w.

Funktio f ei kuitenkaan ole injektio, sillä jos z 6= 0 niin f(−z) = (−z)² = z² = f(z), mutta z 6=−z.

Huomautus. Jos funktio f ei ole bijektio, voidaan tutkia sen rajoittumaa joukkoon E ⊂ M(f). Edellisessä esimerkissä funktio f olisi bijektio, jos E =S[0, π[.

2.2 Funktion raja-arvo

Määritelmä 2.11. Olkoon f kompleksiarvoinen funktio ja z0 ∈ C sellainen, että D_r^′(z0) ⊂ M(f) jollain r > 0. Sanotaan, että luku a ∈ C on funktion f raja-arvo pisteessäz₀, merkitään

z→zlim0

f(z) =a,

jos jokaista ε >0kohti on olemassa luku δ=δ(ε, z₀), jolle

|f(z)−a|< ε

aina, kun0<|z−z0|< δ. Toisin sanoen f(z)⊂Dε(a) aina, kunz ∈D^′_δ(z0).

Esimerkki 2.12. Tarkastellaan vakiofunktiota f(z) = a, a ∈ C. Olkoon z₀ ∈ C ja ε >0. Nyt

|f(z)−a|=|a−a|= 0< ε

aina, kun 0 < |z −z0| < δ ja δ > 0 on mikä tahansa. Siis lim

z→z⁰f(z) = a aina, kun z0 ∈C.

Esimerkki 2.13. Tarkastellaan funktiota f(z) =z², z ∈C. Osoitetaan, että

z→zlim⁰f(z) = z₀². Todistus. Olkoon ε >0. Lasketaan ensin

|f(z)−z₀²|=|z²−z²₀|=|(z+z0)(z−z0)|=|z+z0||z−z0|. Riittää olettaa, että 0<|z−z₀|<1. Tällöin

|z+z0|=|(z−z0) + 2z0| ≤ |z−z0|+ 2|z0|<1 + 2|z0|, joten

|f(z)−f(z0)|<(1 + 2|z0|)|z−z0|. Valitaan δ= min{1,_1+2|z^ε

0|} ≤1. Jos 0<|z−z₀|< δ, niin

|f(z)−z₀²|<(1 + 2|z0|)|z−z0|<(1 + 2|z0|) ε

1 + 2|z0| =ε.

Esimerkki 2.14. Tarkastellaan funktion f(z) = z²+ 1

z−i , z 6=i raja-arvoa, kunz →i. Jos z 6=i, niin

z²+ 1

z−i = (z+i)(z−i)

z−i =z+i→i+i= 2i kunz →i.

Kuten reaalifunktioille, myös kompleksifunktioille pätee seuraavat ominaisuudet.

Lause 2.15. Jos lim

z→z⁰f(z) = a ja lim

z→z⁰g(z) =b, niin 1) a on yksikäsitteinen.

2) lim

z→z0

(f(z)±g(z)) =a±b.

3) lim

z→z0

f(z)g(z) = ab.

4) lim

z→z0

f(z) g(z) = a

b josb 6= 0.

5) Jos f(z) =f(x+iy) =u(x, y) +iv(x, y), z0 =x0+iy0 ja a=α+iβ, niin

z→zlim0

f(z) =a jos ja vain jos

(x,y)→(xlim0,y0)u(x, y) =α ja lim

(x,y)→(x0,y0)v(x, y) = β.

6) lim

z→z0|f(z)|=|a|. 7) lim

z→z0

f(z) =a.

Määritelmä 2.16 (Yleinen määritelmä raja-arvolle; vertaa toispuoleiseen raja-ar- voonR:ssä.). Olkoot A, B ⊂C, A, B 6=∅ ja f :A→B. Olkoon z0 ∈ cl(A) = A∪A^′. Sanotaan, että luku a on funktion f raja-arvo pisteessä z₀, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa δ >0 jolle

|f(z)−a|< ε

aina, kun 0<|z−z0|< δ, z ∈A. Toisin sanoen f(D_δ^′(z0)∩A)⊂Dε(a)∩B.

2.3 Jatkuvuus

Määritelmä 2.17. Olkoonf määritelty joukossaDr(z0). Sanotaan, ettäf onjatkuva pisteessä z0, jos

z→zlim⁰f(z) = f(z0).

Siis f on jatkuva pisteessä z0, jos jokaista ε >0 kohti on olemassa δ =δ(z0, ε)> 0, jolle

|f(z)−f(z0)|< ε aina, kun|z−z0|< δ.

Toisin sanoen f(Dδ(z0))⊂Dε(f(z0)). JosA⊂ M(f), niin f on jatkuva joukossa A, jos se on jatkuva kaikissa joukon A pisteissä.

Yleisemmin: Jos z0 ∈ cl(A), niin f on jatkuva z0:ssa, jos jokaista ε >0 kohti on olemassa δ > 0, jolle |f(z)−f(z0)| < ε aina, kun z ∈ A ja, kun |z −z0| < δ. Toisin sanoen z ∈A∩Dδ(z0).

Esimerkki 2.18. Vakiofunktio f(z) = a, z ∈C on jatkuva koko kompleksitasossa.

Esimerkki 2.19. Funktio f(z) =z, z ∈C on jatkuva koko kompleksitasossa.

Esimerkki 2.20. Funktio f(z) = ¹_z, z ∈C\ {0} on jatkuva joukossa C\ {0}. Todistus. Olkoon ε >0ja z ∈C\ {0}. Nyt

1 z − 1

z0

= |z0−z|

|z||z0| = |z−z0|

|z||z0| .

Koskaz0 6= 0, niin |z0|>0. Rajoitutaan joukkoon|z−z0|< ¹₂|z0|. Kolmioepäyhtälön nojalla

||z| − |z0|| ≤ |z−z0|< 1 2|z0| eli

−1

2|z0|<|z| − |z0|< 1 2|z0|. Siten

|z|>|z₀| − 1

2|z₀|= 1 2|z₀|

eli 1

|z| < 2

|z0|

eli 1

|z||z0| < 2

|z0|².

Valitaan δ= min{^|z₂^0|,^|z0₂^|2ε}>0. Jos nyt |z−z0|< δ, niin

1 z − 1

z0

= 1

|z||z0||z−z0|< 2

|z0|²|z−z0|< 2

|z0|²

|z0|² 2 ε=ε.

Tätenf on jatkuva pisteessäz0.

Lause 2.21. Oletetaan, ettäf jag ovat jatkuvia pisteessäz0 (tai joukossaA). Tällöin seuraavat funktiot ovat jatkuvia pisteessäz0 (joukossa A):

1) f ±g 2) f g

3) f

g, kun g(z0)6= 0 (tai g(z)6= 0 kaikilla z ∈A) 4) f, kun määritellään f(z) =f(z), z ∈ M(f) 5) |f|

Huomautus. Jos A ⊂ C on kompakti (suljettu ja rajoitettu) ja f on jatkuva, niin kohdan 5 nojalla |f| on jatkuva A:ssa. Siten f saavuttaa suurimman ja pienimmän (itseis)arvonsaA:ssa.

Jatkuvuuden kanssa yhtäpitäviä ehtoja ovat:

1) f on jatkuva pisteessäz0 ∈ M(f), jos ja vain jos jokaiselle jonolle(zn)⊂ M(f) jolle zn→z0 pätee f(zn)→f(z0).

Seuraus: f on jatkuva A:ssa, jos ja vain jos f(cl(A))⊂ cl(f(A)).

2) f on jatkuva A:ssa, jos ja vain jos jokaiselle avoimelle joukolle V ⊂ C on voimassa, että f⁻¹(V)on avoin A:ssa.

Lause 2.22. Oletetaan, ettäf on jatkuva pisteessäz0 jag on jatkuva pisteessäf(z0).

Tällöin g◦f on jatkuva pisteessä z0.

Esimerkki 2.23. Tunnetusti f(z) = z², z ∈ S[0, π[ on bijektio S[0, π[→ C. Siten f⁻¹(z) = √

z, z ∈ C on olemassa. Nyt f(z) = z² on jatkuva C:ssä. Tarkastellaan funktion f⁻¹(z)jatkuvuutta tilanteessa Im(√

z)>0.

Olkoot w=√

z =a+ib, b >0 (z mielivaltainen), ja w0 =√z0 =a0+ib0, b0 >0.

Tällöin w² =z, w²₀ =z0 ja

|z−z0|=|w²−w₀²|=|(w+w0)(w−w0)|=|w+w0||w−w0|

≥ |b+b0||√ z−√

z0|> b0|√ z−√

z0|. Siten

|√ z−√

z0|< 1

b0|z−z0| eli√

z on jatkuva alueessa Im(√

z)>0.

Määritelmä 2.24 (Tasainen jatkuvuus). OlkoonA⊂ M(f). Sanotaan, että funktio f on tasaisesti jatkuva joukossa A, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ=δ(ε)>0, että

|f(z)−f(z0)|< ε aina, kun z, z0 ∈A ja |z−z0|< δ.

Voidaan osoittaa: Jos A on kompakti (suljettu ja rajoitettu) jaf on jatkuva, niin f on tasaisesti jatkuva joukossa A:ssa.

Esimerkki 2.25. Osoitetaan, että funktio f(z) = z² on tasaisesti jatkuva joukossa A=D1(0). Olkoon ε >0. Nyt

|f(z)−f(z0)|=|z²−z₀²|=|z+z0||z−z0|. Olkoon z, z0 ∈D1(0) eli |z|<1,|z0|<1. Tällöin

|z+z0| ≤ |z|+|z0|<1 + 1 = 2

eli|f(z)−f(z0)|<2|z−z0|. Valitaan δ= ^ε₂. Jos nytz, z0 ∈A ja |z−z0|< δ, niin

|f(z)−f(z0)|<2ε 2 =ε.

2.4 Analyyttiset funktiot (funktion derivaatta)

Määritelmä 2.26. Olkoot A ⊂ C, A^◦ 6= ∅ ja z0 ∈ A^◦. Funktiolla f : A → C on derivaatta pisteessä z0 ja merkitään derivaattaaf^′(z0), jos raja-arvo

z→zlim⁰

f(z)−f(z₀) z−z0

=f^′(z0) on olemassa.

Merkitsemällä z−z0 =h ∈Cvoidaan ehto kirjoittaa myös muodossa f^′(z0) = lim

h→0

f(z₀+h)−f(z₀)

h .

Jos on olemassa sellainenδ >0, että f^′(z) on olemassa kaikissa pisteissä z ∈Dδ(z₀), niin f onanalyyttinen pisteessäz0.

Huomautus. Koska yllä z0 ∈A^◦, niin on olemassa sellainen r >0, että Dr(z0) ⊂ A.

Sitenz0+h∈A, jos |h| on tarpeeksi pieni.

Esimerkki 2.27. Vakiofunktion f(z) = a, z ∈ C derivaatta on f^′(z) = 0 kaikilla z∈C. Tämä seuraa siitä, että

h→0lim

f(z+h)−f(z)

h = lim

h→0

a−a

h = lim

h→0

0 h = 0.

Esimerkki 2.28. Funktion f(z) = z, z ∈C derivaatta on f^′(z) = lim

h→0

f(z+h)−f(z)

h = lim

h→0

z+h−z

h = 1.

Esimerkki 2.29. Olkoon f(z) =z, z ∈C. Jos z0 ∈C, niin f(z0+h)−f(z0)

h = z0+h−z0

h = z0+h−z0

h = h

h. Koska limh→0 h

h ei ole olemassa, niin f ei ole derivoituva!

Lause 2.30. Jos f on analyyttinen joukossa A⊂ M(f), A^◦ =A6=∅, niin tällöin f on jatkuva A:ssa.

Todistus. Jos z0 ∈A, niin

z→zlim0

(f(z)−f(z0)) = lim

z→z0

f(z)−f(z₀) z−z0

(z−z0) =f^′(z0)·0 = 0.

Huomautus. Jos funktio on jatkuva, niin se ei silti välttämättä ole derivoituva.

Esimerkki 2.31. Funktiof(z) = z, z ∈Con jatkuvaC:ssä, mutta ei ole derivoituva.

Lause 2.32. Olkoon f funktio, jolle f^′(z) on olemassa ja f^′(z) 6= 0. Jos f:n kään- teisfunktio on määritelty ja jatkuva eräässä pisteen w = f(z) δ-ympäristössä, niin silloin (f⁻¹)^′(w) on olemassa, ja

(f⁻¹)^′(w) = 1

f^′(f⁻¹(w)) = 1 f^′(z). Todistus. Koska f^′(z)on olemassa, niin¹

f(z+h)−f(z) =f^′(z)h+hε(h), missä ε(h)→0, kunh→0.

Josw=f(z)eliz =f⁻¹(w)ja|k|on tarpeeksi pieni, niinw+k ∈Dδ(w). Tällöin, jos f⁻¹(w+k) =z+h, niin w+k =f(z+h).

Siten

k =f(z+h)−w=f(z+h)−f(z)→0, kun h→0, ja edelleen

f⁻¹(w+k)→f⁻¹(w) =z käänteisfunktion jatkuvuuden nojalla. Siis

f⁻¹(w+k)−f⁻¹(w)

k = h

f(z+h)−f(z) = h

f^′(z)h+hε(h) = 1 f^′(z) +ε(h)

→ 1

f^′(z) = 1 f^′(f⁻¹(w)) kun h→0.

1Tässä on ensin kirjoitettuε(h) := (f(z+h)−f(z))/h−f^′(z).

Myös yhdistettyä funktiota f ◦g koskeva ketjusääntö (f ◦g)^′(z) =f^′(g(z))g^′(z) on voimassa.

Esimerkki 2.33. Funktion f(z) =

z−1 z+ 1

3

derivaatta on ketjusäännön nojalla

f^′(z) = 3

z−1 z+ 1

2

· 1·(z+ 1)−1·(z−1) (z+ 1)²

= 3

z−1 z+ 1

2

· 2

(z+ 1)² = 6(z−1)² (z+ 1)⁴.

Huomautus. Vaikka f ja g eivät kumpikaan olisi derivoituvia pisteessä z0, niin f ◦g voi silti olla derivoituva pisteessä z0.

Esimerkki 2.34. Funktiot f(z) = g(z) = z eivät ole derivoituvia missään pisteessä, mutta (f◦g)(z) =z =z on derivoituva koko kompleksitasossa.

2.5 Cauchyn–Riemannin yhtälöt

Olkoon f :A→C, jolle f =u+iv.

Josf^′(z), z ∈A on olemassa, niin raja-arvo

h→0lim

f(z+h)−f(z) h

on olemassa ja se onf^′(z), z∈A. Palautetaan mieleen joukkojen samaistus C⊃ M(f) = A={x+iy:x+iy∈A}={(x, y)∈R² :x+iy∈A}. Koska raja-arvo on (olemassa ollessaan) yksikäsitteinen, niin

f^′(z) = lim

h→0

f(z+h)−f(z) h

on sama riippumatta reitistä, jota pitkin kompleksiluku h lähestyy origoa.

Tarkastellaan tapausta, kun h → 0 reaaliakselia pitkin eli h = h+i0, h ∈ R. Olkoon z =x+iy∈A. Tällöin

f^′(z) = lim

h→0h∈R

f(z+h)−f(z)

h = lim

h→0h∈R

f(x+h+iy)−f(x+iy) h

= lim

h→0h∈R

[u(x+h, y) +iv(x+h, y)]−u(x, y)−iv(x, y) h

= lim

h→0h∈R

u(x+h, y)−u(x, y)

h +iv(x+h, y)−v(x, y) h

=ux(x, y) +ivx(x, y).

Siis f^′(z) =ux(x, y) +ivx(x, y), z=x+iy eli lyhyemmin f^′ =ux+ivx.

Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, missä h→0 imaginääriakselia pitkin eli h= ik, k∈R. Olkoon z =x+iy∈A. Tällöin

h→0lim

h=ik

f(z+h)−f(z)

h = lim

k→0

u(x, y+k) +iv(x, y+k)−u(x, y)−iv(x, y) ik

= lim

k→0

1 i

u(x, y+k)−u(x, y)

k +iv(x, y+k)−v(x, y) k

= 1

i[uy(x, y) +ivy(x, y)] =vy(x, y)−iuy(x, y).

Siis f^′(z) =vy(x, y)−iuy(x, y) elif^′ =vy −iuy. Nämä ovat samat eli f^′ =ux+ivx =vy −iuy, jos

ux =vy

vx =−uy A:ssa.

Nämä ovat niin sanotut Cauchyn–Riemannin yhtälöt. Olemme siis todistaneet seu- raavan tuloksen.

Lause 2.35. Olkoon f on analyyttinen alueessa A⊂C, A6=∅ ja f =u+iv. Tällöin u ja v toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt A:ssa.

Tämä tulos pätee myös kääntäen seuraavassa muodossa.

Lause 2.36. Oletetaan, että funktiot u, v : A → R, A ⊂ R², A^◦ = A 6= ∅ ovat jatkuvasti derivoituvia, toisin sanoen ux, uy, vx, vy,ovat olemassa ja jatkuvia. Tällöin, jos u ja v toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt, niin f^′(z) on olemassa kaikilla z =x+iy∈A. Lisäksi f^′ =ux+ivx.

Todistus. Koska u:A→Ron derivoituva pisteessä (x, y)∈A, niin u(x+k, y+l) =u(x, y) +ux(x, y)k+uy(x, y)l+|h|ε1(h), missä h= (k, l)∈C,|h|=√

k²+l². Vastaavasti,

v(x+k, y+l) = v(x, y) +vx(x, y)k+vy(x, y)l+|h|ε2(h).

Merkitään h = k+il. Olkoon z = x+iy ∈ A ja valitaan h niin, että z +h ∈ A.

Tällöin

f(z+h)−f(z) = u(x+k, y+l) +iv(x+k, y+l)−u(x, y)−iv(x, y)

=u(x+k, y+l)−u(x, y) +i(v(x+k, y+l)−v(x, y))

=ux(x, y)k+uy(x, y)l

+i(vx(x, y)k+vy(x, y)l) +|h|ε1(h) +i|h|ε2(h), missä ε₁(h), ε₂(h)→0, kun h= (k, l)→(0,0).

Merkitäänε1(h) +iε2(h) =ε(h)∈C. Koska funktiot ujav toteuttavat Cauchyn–

Riemannin yhtälöt, niin

f(z+h)−f(z) =ux(x, y)k−vx(x, y)l+i(vx(x, y)k+ux(x, y)l) +|h|ε(h)

= (ux(x, y) +ivx(x, y))(k+il) +|h|ε(h).

Siten

f(z+h)−f(z)

h =ux(x, y) +ivx(x, y) + |h| h ε(h).

Nyt

|h| h ε(h)

= |h|

|h||ε1(h) +iε2(h)|= q

ε²₁(h) +ε²₂(h).

Koskaε1(h)→0 ja ε2(h)→0, niin ε²₁(h)→0ja ε²₂(h)→0. Siten q

ε²₁(h) +ε²₂(h)→0, kunh→0. Näin ollen raja-arvo

h→0lim

f(z+h)−f(z)

h =ux(x, y) +ivx(x, y) = f^′(z) on olemassa.

Esimerkki 2.37. Olkoon f(z) = z², z∈C, z =x+iy. Tällöinf(x+iy) = x²−y²+ i2xy,(x, y)∈R². Tässä

u(x, y) =x² −y² ja v(x, y) = 2xy.

Siten

(ux(x, y) = 2x

vy(x, y) = 2x ja

(uy(x, y) = −2y vx(x, y) = 2y.

Siis Cauchyn–Riemannin yhtälöt toteutuvat. Lisäksi f^′(z) = ux(x, y) +ivx(x, y) = 2x+i2y= 2z.

Huomautus (Laplacen yhtälö). Jos f =u+iv ja f on analyyttinen joukossa A ⊂C ja funktioillauja v on kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat ja ne ovat jatkuvia, niin u ja v toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt A:ssa eli

(ux=vy

uy =−vx.

Tällöin uxx =vyx =vxy =−uyy eli uxx+uyy = 0 joukossa A. Tämä on niin sanottu Laplacen yhtälö. Sanotaan, että u on harmoninen funktio. Vastaavasti myös vxx + vyy = 0 joukossa A.

Huomautus. Jos C1 ja C2 ovat vakioita, niin yhtälöt u(x, y) = C1 ja v(x, y) = C2

määräävät R²:n käyrät. Nämä käyrät leikkaavat toisiaan kohtisuorasti.

2.6 Eräitä funktioita

2.6.1 Polynomifunktiot

Funktiota

p(z) =a0+a1z+· · ·+anzⁿ, z ∈C, a0, . . . , an∈C sanotaan polynomiksi.

Jos an 6= 0, niin polynomin p aste on n. Jos p(z0) = 0, niin p(z) = (z−z0)p1(z), missä p1 on astetta n−1 oleva polynomi.

2.6.2 Rationaalifunktiot

Funktiota

r(z) = p1(z)

p₂(z), z∈C, p2(z)6= 0, missä p1 ja p2 ovat polynomeja sanotaan rationaalifunktioksi.

2.6.3 Juurifunktiot

Olkoonf(z) = z^m, z ∈C, m = 2,3,4, . . .jaSk =S[k^2π_m,(k+1)^2π_m[, k = 0,1,2, . . . , m− 1.

Josw=z^m jaw=r(cos(ϕ+k2π)+isin(ϕ+k2π)), ϕ∈[0,2π[, niin (vrt. Esimerkki 2.10)

√m

w= ^m√ r

cos

ϕ+k2π m

+isin

ϕ+k2π m

, k = 0,1,2, . . . , m−1.

Näin saadaan eri ratkaisu jokaisellak:n arvolla. Josk = 0, saadaanpääarvo. Yleisesti voidaan asettaa:

fk =f|^Sk, f_k⁻¹ :C→Sk, fk(Sk) =C ja

f_k⁻¹(w) = √^m

w∈Sk.

2.6.4 Eksponenttifunktio

1) Eksponenttifunktio voidaan määritellä jollakin seuraavista tavoista:

f(z) = e^z =

∞

X

k=0

z^k

k! = lim

n→∞

1 + z n

n

=e^x(cosy+isiny).

2) Jos z ∈ R, niin e^z = e^x+iy = e^x(cos 0 + isin 0) = e^x eli e^z laajentaa tutun funktion e^x käsitettä.

3) |e^z|=|e^x(cosy+isiny)|=|e^x||cosy+isiny|=e^x >0. Siten0∈ A/ (e^z).

4) Koska e^z =e^x+iy =e^xe^iy, niin tutusti

e^z1e^z2 =e^x1+x2e^i(y1+y2)=e^z1+z2. 5) e^z =e^z kaikillaz ∈C.

6) Koska cos(y+k2π) = cosy ja sin(y+k2π) = siny kaikillay ∈R, niin e^z+ik2π =e^x+i(y+2kπ) =e^x(cosy+isiny) = e^z, z ∈C, k ∈Z.

Siis e^z on jaksollinen ja sen jakso on i2π. Erityisesti e^z ei ole injektio C→C.

Osoitetaan, että f(C) =C\ {0}, kunf(z) = e^z. Osoitetaan, että f(T[0,2π[) = C\ {0}, missä

T[0,2π[={x+iy∈C:x, y ∈R,0≤y <2π}

onjaksovyö. Yleisesti merkitään

Tk =T[2kπ,2(k+ 1)π[={x+iy∈C:x, y ∈R,2kπ≤y <2(k+ 1)π}. Olkoon w∈C, w 6= 0. Kirjoitetaan

w=r(cosϕ+isinϕ), r >0,0≤ϕ <2π.

Jos nyt e^z =e^xe^iy =w, niin e^x =r ja ϕ=y+k2π. Jos siis z = lnr+iϕ,

niin e^z = w. Jokaiselta jaksovyöltä löytyy siis yksi sellainen z, että e^z =w eli A(e^z) = C\ {0}. Siis eksponenttifunktio saa kaikki muut kompleksiarvot paitsi nollan.

2.6.5 Logaritmi

Tarkastellaan funktiota g =f|^T0, kunf(z) =e^z. Edellä olevan nojalla g(T0) = C\{0}. Lisäksigon bijektioT0 →C\{0}, joteng⁻¹ :C\{0} →T0 on olemassa.

Tarkastellaan tätä käänteisfunktiota g⁻¹. Olkoon f(z) =e^z, z ∈T₀, z =f⁻¹(w) eliw=e^z. Tällöin asetetaan (vrt. edellä)

f⁻¹(w) = ln|w|+iϕ, missä w=|w|(cosϕ+isinϕ). Siis

f⁻¹(z) = ln|z|+iargz = Logz ja tätä sanotaan (luonnollisen) logaritmin päähaaraksi.

Yleisesti, jos fk =f|^Tk, fk:Tk→C\ {0}, niin

f_k⁻¹(z) = ln|z|+iargz+i2kπ = logz.

Tämä on ns.k-haara. Tällaisia haaroja on ääretön määrä elilogz onmonihaa- rainen funktio.

Tarkastellaan vielä logaritmin derivaattaa. Jos f(z) = Logz ja g(z) = e^z, z ∈ T0, niin f =g⁻¹ ja Lauseen 2.32 nojalla

(g⁻¹)^′(z) = 1

g^′(g⁻¹(z)) = 1

g(g⁻¹(z)) = 1

z, z 6= 0.

Siis

f^′(z) = 1 z.

Yleisesti: jos f(z) = logz = Logz + i2kπ, niin f^′(z) = ¹_z. Kaikki (reaa- li)logaritmin laskusäännöt eivät kuitenkaan päde moniarvoisuuden takia.

2.6.6 Trigonometriset funktiot

Koskae^ix = cosx+isinx ja e^−ix = cosx−isinx, niin cosx= e^ix +e^−ix

2 ∈R

ja

sinx= e^ix−e^−ix 2i ∈R kaikillax∈R. Asetetaan nytmääritelmät:

cosz = e^iz +e^−iz

2 , z ∈C sinz = e^iz−e^−iz

2i , z ∈C.

Edelleen:

tanz = sinz

cosz, cosz6= 0, cotz = cosz

sinz, sinz 6= 0.

Ominaisuuksia:

1) Jos z ∈C, niin

sin²z+ cos²z =

e^iz−e^−iz 2i

2

+

e^iz+e^−iz 2

2

= 1

4i²(e^i2z−2·1 +e^−i2z) + 1

4(e^i2z + 2·1 +e^−i2z)

= 1

4(2 + 2) = 1.

2) sin(z₁+z₂) = sinz₁cosz₂+ cosz₁sinz₂. 3) cos(z1+z2) = cosz1cosz2−sinz1sinz2.

4) Sinin nollakohdat määrätään ratkaisemalla yhtälö sinz = e^iz−e^−iz

2i = 0 eli

e^iz−e^−iz = 0.

Laventamalla tämä saadaan muotoon e^2iz −1

e^iz = 0 eli

e^2iz = 1 =e^i(0+k2π), k ∈Z.

Täten 2z =k2π eli nollakohdat ovat z =kπ, k∈Z. Vastaavasti, cosz = e^iz +e^−iz

2 = 0

jos ja vain jos z = ^π₂ +kπ, k ∈Z.

5) sin(−z) = −sinz ja cos(−z) = cosz.

6) sinz= sinz ja cosz = cosz.

7) Määrätään joukot {cosiy:y∈R} ja{siniy:y∈R}. Josy ∈Ron mielivaltai- nen, niin

cosiy = e^i(iy)+e^−i(iy)

2 = e^−y+e^y

2 = coshy.

Siten {cosiy:y∈R}= [1,∞[. Vastaavasti siniy = e^i(iy)−e^−i(iy)

2i = i

i

e^−y−e^y 2

=i

e^y−e^−y 2

=isinhy, joten{siniy:y∈R}={iy|y∈R}=Imaginääriakseli.

8) Derivaatat. Jos

f(z) = sinz = e^iz −e^−iz 2i , niin

f^′(z) = ie^iz−(−i)e^iz

2i = e^iz+e^−iz

2 = cosz, z ∈C.

Vastaavalla tavalla nähdään, että d

dz(cosz) =−sinz, z ∈C.

Funktion

f(z) = tanz = sinz

cosz z 6= π 2 +kπ derivaatta on

f^′(z) = coszcosz−(−sinz) sinz

cos²z = 1

cos²z = 1 + tan²z.

9) Käänteisfunktiot. Olkoonf(z) = sinz ja z =f⁻¹(w) = arcsinw. Siis w= sinz = e^iz−e^−iz

2i . Yhtäpitävästi

2iw=e^iz−e^−iz =e^iz − 1 e^iz eli

(e^iz)²−2iwe^iz −1 = 0.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nojalla e^iz = 2iw+√

4i²w²+ 4

2 = 2iw+ 2√ 1−w²

2 =iw+√

1−w². Siten

iz = log(iw+√

1−w²) eli

z = 1

i log(iw+√

1−w²), missä logz = Logz+i2kπ. Siis

f⁻¹(w) = arcsinw=−ilog(iw+√

1−w²).

Tämä(kin) funktio on äärettömän morihaarainen funktio. Päähaaraksi sovitaan usein se haara, jolle arcsin 0 = 0. Derivaatta on

d

dz(arcsinz) = 1 i

d

dz log(iz+√

1−z²)

= 1 i

1 iz+√

1−z²

i+ 1 2√

1−z² ·(−2z)

= 1 i

1 iz+√

1−z² i√

1−z²−z

√1−z²

= 1

√1−z², z 6=±1.

2.6.7 Hyperboliset funktiot

Asetetaan

sinhz = e^z−e^−z

2 ja coshz = e^z+e^−z

2 , z ∈C.

Esimerkki 2.38. 1) cosh²z−sinh²z = 1.