Solmu 3/2013 1
Sinin yhteenlaskukaava helposti
Jorma Merikoski
emeritusprofessori, Tampereen yliopisto
Aluksi
”Vanhassa lukiomatematiikassa” sinin yhteenlaskukaa- va
sin (φ+θ) = sinφcosθ+ cosφsinθ (1) (missäφ, θ∈R) johdettiin keskitason lukiolaisen kan- nalta mutkikkaalla geometrisella tarkastelulla [7], jon- ka muunnelma löytyy lähteestä [8]. Sittemmin tämä kaava johdettiin vektoreilla, mutta edelleen keskitason lukiolaiselle melko vaikeasti. Silloin tutkittiin kantavek- torien kahden kierron yhdistämistä [5, 3] tai johdet- tiin aluksi kosinin yhteenlaskukaava skalaaritulon avul- la [6]. Nykyisissä oppikirjoissa sinin yhteenlaskukaava ja muut vastaavat kaavat annetaan ilman perusteluja.
Voidaanko sinin yhteenlaskukaava johtaa helposti?
Huomaamme, että voidaan. Ne lukijat, jotka eivät tiedä kompleksiluvuista mitään eivätkä tässä vaiheessa ha- luakaan tietää, voivat sivuuttaa luvut Helppo tapa ja Vielä Eulerin kaavasta.
Helppo tapa
Matematiikan kiinnostavimpiin kaavoihin kuuluu Eu- lerin kaava
eiθ= cosθ+ i sinθ. (2) Tässä e on Neperin luku, i imaginaariyksikkö (siis i2 =−1) jaθ reaaliluku. Josz on kompleksiluku (siis
z =x+ iy, missä x, y ∈ R), niin ez määritellään esi- merkiksi sarjakehitelmänä
ez= 1 +z+z2 2! +z3
3! +. . . . (3) Voidaan todistaa, että reaalimuuttujan eksponentti- funktion kaikki laskusäännöt säilyvät.
Eulerin kaavan perusteella
e−iθ= cos (−θ) + i sin (−θ) = cosθ−i sinθ. (4) Yhtälöparista (2), (4) saamme
cosθ= eiθ+ e−iθ
2 , sinθ=eiθ−e−iθ
2i . (5)
Jatkamme yksinkertaisella laskulla. Yhtälöiden (5) pe- rusteella
sinφcosθ=eiφ−e−iφ 2i
eiθ+ e−iθ 2
= 1
4i(eiφeiθ+ eiφe−iθ−e−iφeiθ−e−iφe−iθ)
= 1
4i(ei(φ+θ)+ ei(φ−θ)−e−i(φ−θ)−e−i(φ+θ))
=1 2
ei(φ+θ)−e−i(φ+θ)
2i +ei(φ−θ)−e−i(φ−θ)
2i
=1
2(sin (φ+θ) + sin (φ−θ)).
Vastaavasti
cosφsinθ= 1
2(sin (φ+θ) + sin (θ−φ)).
2 Solmu 3/2013
Koska sin (φ−θ) =−sin (θ−φ), on siis sinφcosθ+ cosφsinθ=1
2(sin (φ+θ) + sin (φ−θ)) +1
2(sin (φ+θ) + sin (θ−φ))
= sin (φ+θ).
Sinin yhteenlaskukaava (1) on näin todistettu.
Kirjoitettuani yllä olevan osoittautui, että lyhempi to- distus [9, 10] saadaan soveltamalla yhtälön
ei(φ+θ)= eiφeiθ
kumpaankin puoleen Eulerin kaavaa. Yksityiskohdat jätän lukijalle harjoitustehtäväksi. Päätin kuitenkin säilyttää alkuperäisen todistuksen, koska se sisältää
”bonuksena” kaavat (5), joissa sini ja kosini palaute- taan kiinnostavasti eksponenttifunktioon. Toisaalta tä- mä lyhempi tapa sisältää oikeastaan paremman ”bo- nuksen”: saadaan myös kosinin yhteenlaskukaava.
Helppo ja alkeellinen tapa
Edellinen todistus ei sovi lukioon, mutta satuin löytä- mään [1, s. 162] keskitason lukiolaisellekin kohtuullisen todistuksen. Kirjoittaja viittaa lähteeseen [2] ja arve- lee, että todistus löytyy muualtakin mutta ei ole laa- jalti tunnettu.
Merkitsemme kolmion ABC sivuja ja kulmia tavan- omaisesti, ja merkitsemme ∆(T):llä annetun kolmionT alaa. Kertaamme aluksi, miten ∆(T) saadaan, kun tun- netaanT:n kaksi sivua ja niiden välinen kulma. Olkoon sivunBC =a vastainen korkeusjana AD=h. Koska h=bsinγ, on
∆(ABC) =1 2ah= 1
2absinγ.
C B
A
a b
h γ
D
Johdamme nyt sinin yhteenlaskukaavan. Olkoon kol- mionABC sivunAB=cvastainen korkeusjanaCE= k. Merkitsemme∠ACE=φja∠BCE=θ. Jos kulmat αjaβ ovat teräviä, niin toisaalta
∆(ABC) =1
2absinγ= 1
2absin (φ+θ),
mutta toisaalta
∆(ABC) = ∆(ACE) + ∆(BCE)
= 1
2bksinφ+1 2aksinθ
= 1
2bacosθsinφ+1
2abcosφsinθ
= 1
2ab(sinφcosθ+ cosφsinθ).
Näin saamme kaavan (1) tapauksessa 0 < φ, θ < π2. Tyydymme siihen.
A B
C
a b
k
γ=φ+θ φ θ
α β
E
Josαtaiβ on tylppä, niin vastaavalla tavalla saadaan sinin vähennyslaskukaava.
Vielä Eulerin kaavasta
Kompleksiluvunzsini ja kosini määritellään tavallises- ti sarjakehitelminä
sinz=z−z3 3! +z5
5! −z7 7! +. . . , cosz= 1−z2
2! +z4 4! −z6
6! +. . . .
(6)
Eulerin kaava voidaan havainnollisesti perustella sijoit- tamalla kaavoihin (3) ja (6) z = iθ, tekemällä yksin- kertaisia laskutoimituksia ja muuttamalla sarjojen ter- mien järjestystä. Jätän nämä laskut lukijalle harjoitus- tehtäväksi.
Täsmällisen todistuksen esittäminen tällä tavalla vaatii kuitenkin perehtymistä kompleksianalyysiin. Nimittäin pitää tietää, miksi kyseiset sarjat suppenevat kaikilla z ∈ C. Lisäksi pitää tietää, miksi termien järjestystä saa muuttaa.
Mutta voidaanko Eulerin kaava perustella havainnol- lisesti pelkillä lukion tiedoilla? Voidaan ja monellakin tavalla, jotka tosin ovat edellistä mutkikkaampia. Sil- loinen lukiolainen Timo Kiviluoto [4] esitti kolme ta- paa.
Solmu 3/2013 3
Lopuksi
Sinin ja kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavoilla on trigonometriassa erittäin keskeinen merkitys. Itse asias- sa niistä ja parista lisäominaisuudesta saadaan koko tri- gonometria. Siis sini ja kosini voidaan määritellä paitsi sarjakehitelmillä myös tällä tavalla. Muitakin tapoja on olemassa.
Näiden kaavojen suuri merkitys ei näy nykyisissä ope- tussuunnitelmissa eikä oppimateriaaleissa. Kuten Hal- metoja [3] jo ehdottikin, trigonometrian opiskelu pitäi- si lukion pitkässä matematiikassa aloittaa ensin ker- taamalla perusmääritelmät ja sitten johtamalla nämä kaavat.
Kiitokset
Kiitän Markku Halmetojaa ja Pentti Haukkasta kirjoi- tustani parantaneista huomautuksista.
Viitteet
[1] R. Askey, Mathematical content. – Kirjassa S. G. Krantz, How to Teach Mathematics, Second
Edition, Amer. Math. Soc., 1999, s. 161–171.
[2] I. M. Gelfand and M. Saul, Trigonometry, Birkhä- user, 2001.
[3] M. Halmetoja, Lukion trigonometriaa, Solmu 2012/1. http://solmu.math.helsinki.fi/2012/
1/trigonometriaa.pdf
[4] T. Kiviluoto, Eulerin kaavaa johtamassa, Solmu 2002/1. http://solmu.math.helsinki.fi/2002/
1/kiviluoto/
[5] Y. Lehtosaari, J. Leino ja P. Norlamo,Laaja mate- matiikka 2, kurssit 5–8, Kirjayhtymä, 1983.
[6] H. Oinas-Kukkonen, J. Merikoski ja R. Niva,Akse- li 2, Matematiikan laaja oppimäärä, Weilin+Göös, 2. p., 1984.
[7] K. Väisälä,Trigonometria, 9. p., WSOY, 1967.
[8] http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/
kirjallisuus/trig.pdf
[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_
trigonometric_identities [10] http://mathworld.wolfram.com/
TrigonometricAdditionFormulas.html
