Lineaarisen hammashihnaservokäytön tilasäätö

Sähkötekniikan koulutusohjelma

LINEAARISEN HAMMASHIHNASERVOKÄYTÖN TILASÄÄTÖ

Työn tarkastajat: Professori Riku Pöllänen TkT Markku Niemelä Työn ohjaaja: Professori Riku Pöllänen

Lappeenrannassa 09.05.2008 Seppo Saarakkala

Korpimetsänkatu 6-8 B 5 53850 Lappeenranta

Nimi: Lineaarisen hammashihnaservokäytön tilasäätö Osasto: Sähkötekniikan osasto Vuosi: 2008 Paikka: Lappeenranta

Diplomityö. Lappeenrannan teknillinen yliopisto. 100 sivua, 47 kuvaa, 18 tauluk- koa ja 1 liite.

Tarkastajat: Professori Riku Pöllänen TkT Markku Niemelä

Hakusanat: Paikoitussäätö, Hammashihnakäyttö, Servokäyttö

Tuotantotehokkuus näyttelee yhä suurempaa roolia teollisuudessa, minkä vuoksi myös pakkauslinjastoille joudutaan asettamaan suuria vaatimuksia. Usein leik- kaus- ja kappaleensiirtosovelluksissa käytetään lineaarisia ruuvikäyttöjä, jotka voitaisiin tietyin edellytyksin korvata halvemmilla ja osittain suorituskykyisim- millä hammashihnavetoisilla johteilla.

Yleensä paikkasäädetty työsolu muodostuu kahden tai kolmen eri koordinaatisto- akselin suuntaan asennetuista johteista. Tällaisen työsolun paikoitustarkkuuteen vaikuttavat muun muassa käytetty säätörakenne, moottorisäätöketjun viiveet, sekä laitteiston eri epälineaarisuudet, kuten kitka.

Tässä työssä esitetään lineaarisen hammashihnaservokäytön dynaamista käytöstä kuvaava matemaattinen malli ja laaditaan mallin pohjalta laitteen simulointimalli.

Mallin toimivuus varmistetaan käytännön identifiointitesteillä. Lisäksi työssä tut- kitaan, kuinka hyvään suorituskykyyn lineaarinen hammashihnaservokäyttö kyke- nee, jos teollisuudessa paikoitussäätörakenteena tyypillisesti käytetty kaskadira- kenne tai PID-rakenne korvataan kehittyneemmällä mallipohjaisella tilasäädinra- kenteella. Säädön toimintaa arvioidaan simulointien ja koelaitteistolla suoritetta- vien mittausten perusteella.

Subject: State-feedback control of linear tooth-belt-drive Department: Electrical Engineering Year: 2008 Place: Lappeenranta

Master's Thesis. Lappeenranta University of Technology. 100 pages, 47 figures, 12 tables and 1 appendix.

Supervisors: Professor Riku Pöllänen D.Sc (Tech) Markku Niemelä

Keywrods: Position Control, Tooth-Belt Drive, Servo Drive

Nowadays, when production rate plays an important role in industrial applications, requirements for example for packaging machines have become more and more stringent. When considering packaging machinery, or cutting machines a ball screw feed drives are often used in order to get accurate results.

However, in some qualifications, the ball screw feed drives can be replaced by cheaper and higher performance tooth-belt drives.

Usually, a position controlled working station consists of guides installed in two or three different coordinate axis. Accuracy of this kind of working station is limited by the structure of the position controller, delays in the controller loop, and several non-linearities in the system; as an example the non-linear friction.

In this thesis a mathematical model for linear tooth-belt servo drive is introduced and a simulation model for two dimensional tooth-belt drive is formed. The effectiveness of the simulation model is tested with identification measurements.

Model based state-feedback control structure is studied and the performance of the control is tested with simulations and also by experimental tests, which are carried out with the laboratory test system.

osana laajempaa liikkeenohjaus tutkimushanketta. Haluan kiittää ohjaajaani pro- fessori Riku Pöllästä, sekä Carelian Motors and Drive Centerin (CDMC) tutki- musjohtajaa Markku Niemelää mahdollisuudesta osallistua erittäin haastavaan ja mielenkiintoiseen tutkimushankkeeseen.

Haluan myös kiittää tutkimusryhmämme jäseniä Markku Jokista, Mari Haapalaa ja Tomi Knuutilaa arvokkaista kommenteista ja ehdotuksista, joita olen saanut työn edetessä. Teidän kanssa on ollut hauska tehdä töitä.

Lopuksi haluan kiittää vaimoani Minna Perttulaa siitä tuesta, jota olen saanut koko työni tekemisen ajan.

SISÄLLYSLUETTELO

KÄYTETYT MERKINNÄT JA LYHENTEET...3

1 JOHDANTO...8

2 SERVOTEKNIIKKA...10

2.1 Lineaarihihnakäytöt osana pakkausketjua...15

3 HAMMASHIHNAKÄYTÖN MALLINNUS...17

3.1 Koelaitteen jousi-massa-malli...18

3.2 Jousivakioiden määritys...20

3.3 Kitkailmiöt hihnakäytöissä...23

3.3.1 Kitkamallit...24

3.3.2 Kitkamallien määrittäminen koelaitteelle...26

3.4 Tilamallin muodostus...28

3.4.1 Linearisoitu malli...28

3.4.2 Yksinkertaistettu systeemimalli...32

3.4.3 Resonanssitaajuuden analyyttinen ratkaisu...36

3.5 Järjestelmän identifiointi...39

4 PAIKOITUSSÄÄTÖRAKENTEET LIIKKEENOHJAUKSESSA...44

4.1 Trapetsimainen nopeusprofiili...44

4.2 Kaskadirakenne...47

4.3 PID-säädin...48

4.4 Tilasäätö...49

4.4.1 Tilatakaisinkytkentä...50

4.4.2 Tilaestimaattori...51

4.4.3 Integroiva tilasäätö...52

4.4.4 Kahden vapausasteen säätörakenne...53

4.5 Säädinrakenteiden vertailu...55

4.6 Myötäkytketyt säätörakenteet...56

4.7 Kehittyneemmät säädinrakenteet...58

4.7.1 Sliding-mode säätö ...59

4.7.2 Adaptiivinen säätö...61

4.7.3 Oppiva säätö...63

5 TILASÄÄDÖN SUUNNITTELU...66

5.1 Suorituskykyvaatimukset...67

5.2 Tilasäädön viritys...68

5.2.1 Optimaalinen tilatakaisinkytkentä...68

5.2.2 Tilahavaitsija ...72

5.2.3 Kahden vapausasteen säätörakenne...74

6 SIMULOINTI- JA MITTAUSTULOKSET...76

6.1 Koelaitteiston esittely...76

6.2 X-akselin paikkasäätö...78

6.3 Y-akselin paikkasäätö...85

6.4 Rata-ajo XY-tasossa...91

6.5 Johtopäätökset...95

7 YHTEENVETO...96

LÄHTEET...98 LIITE A KOELAITTEEN TEKNISIÄ TIETOJA

KÄYTETYT MERKINNÄT JA LYHENTEET Muuttujat

ai, bi Tilayhtälön kerroin

aref Kiihtyvyysohje

bs Väliakselin vaimennusvakio

ci Vakio

dev1,...,4 Tilan suurin sallittu muutos

e Neperin luku

F Voima

Fc Coulombinen kitka

Fmax Maksimi lepovoima, maksimi voima

Fs Lepokitka

FSTR Stribeckin efekti

Fv Liikekitka

f Häiriösignaali

ff Lineaarinen liikekitka

fn Resonanssitaajuus

fres1 Matalampi resonanssitaajuus fres2 Korkeampi resonanssitaajuus

G Liukukerroin

G(s) Säädettävän järjestelmän siirtofunktio Gc(s) Säätimen siirtofunktio

GPID(s) PID-säätimen siirtofunktio Gp(s) Paikkasäätimen siirtofunktio Gv(s) Nopeussäätimen siirtofunktio

IP Onton sylinterimäisen kappaleen vääntöjäyhyys

IX X-akselin ISE-kriteerin arvo

IXY XY-tason ISE-kriteerin arvo IY Y-akselin ISE-kriteerin arvo

i Indeksi

J LQR-säädön kustannusfunktio

JH Hihnan hitausmassa pituusyksikköä kohti

JL Kuorman hitausmassa

JM Moottorin hitausmassa

J0 Yhden johteen ylimääräinen hitausmassa

JP Hihnapyörän hitausmassa

JTOT Vetävän puolen hitausmassojen summa ΣJ Yhden akselin redusoitu kokonaishitausmassa K11, K12, K13 Hihnaosan jousivakio

K21, K22, K23 Hihnaosan jousivakio k, K1, K2, K3 Hihnaosan jousivakio Kekv Ekvivalenttinen jousivakio

KFFA Kiihtyvyysmyötäkytkennän skaalauskerroin KFFV Nopeusmyötäkytkennän skaalauskerroin

KI Integroivan tilan vahvistus

Kp Vahvistus

Ks Väliakselin jousivakio

Kv Nopeusvirhekerroin

k Aika-askel

kv Liikekitkakerroin

l0 Venytettävän kappaleen alkupituus l1, l2, l3 Hihnaosan pituus

ls Väliakselin pituus

M Kelkan massa

N Normaalivoima

n Määrittelemätön luku

Q2 Systeemin ohjausta painottava kerroin QI Integroivan tilan painokerroin

R Hihnapyörän säde

r Referenssi

ri Väliakselin sisäsäde

ro Väliakselin ulkosäde

s Laplace-muuttuja, liukupinta

sact Mitattu paikka

sref Paikkaohje

TD Derivointiaika

TE Moottorin tuottama vääntömomentti

TI Integrointiaika

Tref Vääntömomenttiohje

TS Näytteistysaika

Ts Väliakselin kiertymisestä aiheutuva vääntömomentti

t Aika

tj Jarrutusaika

tk Kiihdytysaika

tv Vakionopeusaika

u Ohjaus

uff Myötäkytkentäohjaus

um Referenssimallin tulosuure

umax Suurin sallittu takaisinkytkentäohjaus

V1 Mittauskohinan kovarianssi

v Nopeus

vact Mitattu nopeus

vref Nopeusohje

vs Stribeckin nopeus

W1 Prosessikohinan kovarianssi

X, Y, Z Liikeakseli

x, x1, x2, y, z Kelkan paikka

xi Järjestelmän tila

xI Integroivan osan tila

z z-tason muuttuja Kreikkalaiset

δ Kappaleen venytetty osuus, Stribeckin efektin vakio

ε Suhteellinen venymä

λ Ominaisarvo

µ Coulombinen kitkaverroin

θ, θ1, θ2 Kiertymäkulma θ11, θ12, θ21, θ22 Kiertymäkulma

θref Kiertymäkulman ohjearvo

τf Pyörimiskitka

ωref Kulmanopeuden ohjearvo

Matriisimuuttujat

A, B, C, D Tilamallin kerroinmatriisit

Acl Takaisinkytketyn systeemin kerroinmatriisi

I Yksikkömatriisi

K Tilatakaisinkytkennän kerroinvektori

K∞ Takaisinkytkennän kerroinvektori jatkuvuustilassa L, Le Estimaattorin takaisinkytkennän kerroinvektori Q1 Systeemin tiloja painottava matriisi

S(k), S(N) Diskreetin Riccatin yhtälön ratkaisu S∞ Algebrallisen Riccatin yhtälön ratkaisu

x Tilavektori

xm Referenssimallin tilavektori

Φ, Γ Diskreettiaikaisen tilamallin kerroinmatriisit

Yläindeksit

^ Estimaatti

˙ Ensimmäinen aikaderivaatta

¨ Toinen aikaderivaatta

T Matriisin transpoosi

-1 Käänteismatriisi

+ Yläraja

- Alaraja

1 JOHDANTO

Tuotantotehokkuuden, -nopeuden ja tarkkuusvaatimusten kasvaessa joudutaan myös pakkaustekniikan alueella kiinnittämään entistä enemmän huomiota pak- kauskoneiden kehittämiseen. Nykyaikaisen pakkauskoneen tulee suorittaa sille asetetut vaatimukset yhä suuremmilla kiihtyvyyksillä ja nopeuksilla. Myös toisto- tarkkuuden tulee olla hyvä. Edellä mainituista vaatimuksista johtuen myös koneen säädinrakenteeseen joudutaan kiinnittämään erityistä huomiota.

Nykyaikaisiin liikkeenohjaussovelluksiin, kuten työstökoneisiin, pakkauskoneisiin tai leikkauslaitteisiin valitaan voiman lähteiksi usein sähkömoottori. Yhdessä laa- dukkaan liikkeenohjaukseen soveltuvan taajuusmuuttajan kanssa, voidaan vaihto- virtakäytöllä jo toteuttaa vaativiakin liikkeenohjaussovelluksia. Pyörimisliikkeen muuntaminen lineaariseksi liikkeeksi voidaan toteuttaa esimerkiksi hammashihna- käyttöisellä lineaarijohteella tai ruuvivetoisella johteella. Hammashihnakäyttöisiä laitteita käytetään nykyään myös vaativampiin sovelluksiin kuin kuljetinsovelluk- siin. Hammashihnavetoista XY-tasoa voidaan käyttää esimerkiksi mallileikkurina pakkauslinjastolla. Hammashihnavetoisten lineaaristen servokäyttöjen etuja ovat mahdollisuus korkeaan käyttönopeuteen, korkea hyötysuhde, laaja työskentely- alue ja halpa hinta. (Haus R. 1996) Toisaalta hammashihnavetoisissa laitteissa esiintyy myös useita ongelmia juuri hihnan venymisestä johtuen. Tyypillisesti sys- teemin ensimmäinen resonanssitaajuus on alhainen, minkä lisäksi sen suuruus riippuu kelkan paikasta. Näin ollen säädössä resonanssia ei voida suoraan suodat- taa yksinkertaisella Notch-suotimella. Tämän lisäksi hammashihnavetoisissa lait- teissa esiintyy suhteellisen suuria ja erittäin epälineaarisia kitkavoimia, joiden vuoksi tarkan ja nopean paikkasäädön suunnittelu monimutkaistuu.

Tyypillisesti liikkeenohjauskäyttöjä säädetään perinteisillä säätörakenteilla kuten kaskadisäädöllä, jossa nopeutta ja paikkaa säädetään erikseen kaskadimuotoisesti.

Tämän lisäksi teollisuudessa käytetään paljon PID-säädintä paikkasäädössä, jol-

loin nopeussäädintä ei tarvitse erikseen käyttää. Hammashihnakäyttöjen tapauk- sessa edellä mainittujen yksinkertaisten säätörakenteiden ongelmaksi muodostuu resonanssitaajuuden muuttuminen paikan funktiona sekä merkityksellinen kitka- voima laitteistossa.

Tässä työssä tutkitaan, voidaanko perinteinen PID-paikkasäädin korvata mallipoh- jaisella tilasäädöllä, jossa tilaestimaattorin mallina käytetään hammashihnakäytön jousi-massa-mallia. Tilasäädön rakenteena käytetään servojärjestelmille ominaista kahden vapausasteen säätörakennetta, jossa myötäkytkentäsignaaleina käytetään kiihtyvyysmyötäkytkentää ja kitkan kompensointia. Työssä perehdytään tarkem- min laitteiston kitkamallien laatimiseen ja niiden soveltamiseen kitkakompensoin- nissa. Tämän lisäksi työssä pyritään muodostamaan mahdollisimman tarkasti hammashihnaservokäyttöä kuvaava matemaattinen malli ja tarkastaa mallin toimi- vuus käytännön mittauksin.

Työn rakenne jakautuu siten, että kappaleessa kaksi käydään läpi yleisellä tasolla servojärjestelmiä sekä pakkaustekniikkaa ja hammashihnavetoisten servojärjestel- mien käyttösovelluksia pakkaustekniikassa. Kappaleessa kolme esitetään ham- mashihnaservokäytön matemaattinen malli ja muodostetaan testilaitteistolle kitka- mallit. Kappaleessa neljä esitellään tyypillisimpiä liikkeenohjauskäyttöjen säädin- rakenteita, minkä jälkeen kappaleessa viisi viritetään testilaitteelle tilasäätö käyt- täen pakkaustekniselle sovellukselle ominaisia staattisia ja dynaamisia tarkkuus- vaatimuksia. Kappaleessa kuusi esitetään simulointi- ja mittaustuloksia tilasääde- tylle järjestelmälle.

2 SERVOTEKNIIKKA

Sanan 'servo' alkuperä juontaa juurensa latinankieliseen sanaan 'servus', joka tar- koittaa orjaa. Näin ollen servon voidaan ajatella olevan laite, jonka tulee toteuttaa tarkasti sille asetetut vaatimukset. Teollisuus alkoi käyttää servotekniikkaa toisen maailmansodan aikoihin, jolloin aseisiin ja muihin sotilaallisiin tarvikkeisiin saa- tettiin liittää säätöä. Taulukossa 2.1 on esitetty karkeasti paikka- ja nopeussäädet- tyjen teollisuusservojärjestelmien kehittymistä toisen maailmansodan jälkeen (Younkin 2003).

Liikkeenohjaussovelluksissa servojärjestelmällä pyritään säätämään taakan kierty- mää tai lineaarista paikkaa mahdollisimman tarkasti. Jotta edellä esitetty tarve saa- daan toteutettua, on taakkaa pystyttävä liikuttamaan, mitä varten servojärjestel- missä käytetään toimilaitteita. Nämä toimilaitteet voivat olla joko hydraulisia, pneumaattisia tai sähköisiä. Lisäksi, jotta paikoitussäätö saataisiin toteutettua mahdollisimman tarkasti, on servojärjestelmästä mitattava taakan paikkaa ja usein myös nopeutta ja käytettävä mitattuja tietoja säätöjärjestelmässä takaisinkytkentä- nä. Kuvassa 2.1 on esitetty lohkokaaviotasolla periaatteellinen liikkeenohjaus- käyttöön soveltuva servojärjestelmä.

Taulukko 2.1. Servojärjestelmien kehittyminen toisen maailmansodan jälkeen (Younkin 2003).

Nopeussäädetyt

servojärjestelmät AC-moottori + vaihde Shift Drives

Tyristori ohjatut DC Servo- käytöt

Muuttuvanopeuksiset AC- käytöt

AC Spindle Drives (0-6000rpm)

AC-moottori käytöt (0-15000rpm)

Paikkasäädetyt

servojärjestelmät Moottori- ja generaattori- käytöt DC- moottorit

Servoventtiilit Moottori- ja mäntäkäytöt Hydrauliset

SRC käytöt PWM käytöt DC-moottorit

Harjattomat DC-koneet

AC-moottorit

Kestomag- neettiservo- moottorit AC-moottorit Aikajakso 1940 - 1950 1960 - 1970 1970 - 1980 1980 1980 -

Kuten jo edellä on mainittu, servojärjestelmät jaetaan usein toimilaitteen mukai- sesti kolmeen pääalueeseen, hydraulisiin, pneumaattisiin ja sähköisiin servoihin.

Hydrauliset servot käyttävät paineistettua öljyä liikkeen tuottamiseen ja liikkeen nopeutta, sekä haluttua vääntömomenttia voidaan muuttaa säätämällä öljyn vir- tausnopeutta ja painetta. Hydraulisen servojärjestelmän voimatiheys on erittäin suuri, mutta paikoitustarkkuus ja liikkeen nopeudet ovat alhaisia. Pneumaattiset järjestelmät ovat toimintaperiaatteeltaan yhteneväisiä hydraulisten järjestelmien kanssa, mutta niiden voimatiheydet ovat selvästi pienempiä. Nykyaikainen säh- köinen toimilaite koostuu usein taajuusmuuttajasta ja sähkömoottorista. Moottori voi olla joko tasasähkö- tai vaihtosähkömoottori, joista jälkimmäinen on yhä useammin käytetty teollisuuden sovelluksissa. Laadukkaan paikoitussäätöjärjes- telmän kanssa sähköisillä servoilla voidaan toteuttaa erittäin tarkkoja liikkeenoh- jausrutiineja hyvällä hyötysuhteella. Taulukossa 2.2 on vielä listattu eri servotyyp- pien etuja, haittoja, sekä tyypillisimpiä käyttösovelluksia (Puranen 2006).

Kuva 2.1. Liikkeenohjauskäyttöön soveltuvan servojärjestelmän periaatekuva lohkokaaviona esi- tettynä.

SÄÄDIN TOIMI-

LAITE PROSESSI

Ohjearvo (Paikka) (Kulma)

Oloarvo (Paikka) (Kulma)

Kun ajatellaan sähköisiä servojärjestelmiä, on usein jouduttava päättämään myös kuinka muuntaa sähkömoottorin pyörimisliike lineaariseksi liikkeeksi. Tyypilli- simpiä järjestelmiä pyörimisliikkeen muuntamiseksi lineaariseksi liikkeeksi ovat ruuvivetoiset johteet (kuularuuvi tai kitkaruuvi), sekä hihnavetoiset johteet.

Kuularuuvijohteissa, pyörivän ruuvin kierteiden ja lineaarisesti liikkuvan luistin välissä kierrätetään teräksisiä kuulia kontaktin helpottamiseksi kuulalaakerin ta- voin, kuten kuvan 2.2 vasemmanpuoleisesta kuvasta voidaan havaita. Sen sijaan kitkaruuvivetoisissa johteissa pyörivä ruuvi ja lineaarisesti liikkuva luisti on suo- raan kytketty toisiinsa kuvan 2.2 oikeanpuoleisen kuvan mukaisesti.

Taulukko 2.2. Servojärjestelmissä käytettävien eri tyyppisten toimilaitteiden etuja, haittoja ja tyy- pillisimpiä käyttökohteita (Puranen 2006).

Tomilaite Edut Haitat Käyttösovellukset

Sähköinen - Hyvä dynamiikka - Paljon toimittajia - Yksinkertaisuus - Laaja valikoima laittei- ta

- Soveltuu suurille no- peuksille

- Hyvä hyötysuhde

- Kallis

- Tehotiheys huonompi, kuin hydraulisilla laitteil- la

- Vaatii monta mittalai- tetta

- Työstökoneet - Kuljettimet - Hissit ja nostimet - Robotit

- Automatisoitu varas- tointi

Hydraulinen - Helppo ottaa käyttöön - Suuri tehotiheys ja suu- ret vääntömomentit - Helppo käyttää - Keskitetty tehonsyöttö

- Paineistusverkon tarve - Meluhaitat

- Paikoitustarkkuus huo- no

- Hidas paikoitusnopeus - Mahdolliset öljyvuodot - Huono hyötysuhde - Tulipalon riski - Jatkuva huollontarve

- Hissit - Pumput

- Lineaarisen liikkeen tuottaminen

- Venttiilit - Metallin työstö - Raskaat koneet

Pneumaattinen - Halpa hinta - Helppo käyttää - Vaatii vähän huoltoa - Keskitetty tehonsyöttö

- Paineistusverkon tarve - Meluhaitat

- Huono paikoitustark- kuus

- Huono hyötysuhde - Alhainen tehotiheys - Epälineaarinen

- Venttiilit

- Elintarvike- ja pakkaus- sovellukset

- Paloalttiit liikkeenoh- jaussovellukset - Työkalupäät

Hammashihnavetoisissa johteissa tyypillisesti kaksi hihnapyörää on kytketty toi- siinsa hammashihnan välityksellä ja toiseen hihnapyörään liitetään vetävä sähkö- moottori. Hammashihnan päät on kytketty lisäksi kelkkaan, joka pääsee liuku- maan lineaarisesti, kun vetävää hihnapyörää pyöritetään moottorilla. Kuvassa 2.3 on esitetty hammashihnavetoisen johteen periaatteellinen rakenne.

Hammashihnavetoisissa johteissa hihna on yleensä neopreenirakenteinen, ja siinä käytetään lisäksi vahvistavia lankoja, jotka voivat olla esimerkiksi terästä, lasikui- tua tai kevlaria. Lineaarisesta liikkeestä aiheutuvien kitkavoimien minimoimiseksi liikkuva kelkka voidaan laakeroida.

Kuva 2.2. Ruuvivetoisten lineaarijohteiden periaatteellinen rakenne. Vasemmalla kuularuuvijohde ja oikealla kitkaruuvijohde. (IDC)

Kuva 2.3. Hammashihnavetoisen lineaarijohteen periaatteellinen rakenne. (IDC)

Esitellään taulukossa 2.3 ruuvivetoisten ja hammashihnavetoisten johteiden etuja, haittoja ja tyypillisimpiä sovelluskohteita.

Edellä esiteltyjen johteiden lisäksi lineaarista liikettä voidaan aikaansaada suoraan lineaarimoottoreilla, jolloin erillistä johdetta pyörivän liikkeen muuntamiseen li- neaariseksi ei tarvita lainkaan. Lineaarimoottori vastaa periaatteessa rakenteeltaan normaalia sähkömoottoria sillä erolla, että nyt moottorin staattori on periaatteessa levitetty tasoon ja roottorina toimii auki levitetyn staattorin päällä liukuva kelkka.

Taulukko 2.3. Servojärjestelmissä käytettävien eri tyyppisten johteiden etuja, haittoja ja tyypilli- simpiä käyttökohteita.

Johdetyyppi Edut Haitat Käyttösovellukset

Kuularuuvi - Vähäinen kitka - Hyvä hyötysuhde - Erinomainen paikoitus- tarkkuus

- Korkea toimintajakso - Pitkä käyttöikä

- Hidas - Kallis

- Tarkkuutta vaativat so- vellukset

- Hitsaus

- Täyttösovellukset - Leikkaussovellukset - Konepaja-automaatio Kitkaruuvi - Yksinkertaisuus

- Tarkkuus

- Pystyy pitämään pai- kan, vaikka moottorista katkeaisi sähkönsyöttö

- Hidas

- Alhaiset toimintajaksot - Suuri kitka

- Huono hyötysuhde

- Tarkkuutta vaativat so- vellukset

- Täyttösovellukset - Leikkaussovellukset - Hitsaus

Hammashihna - Halpa hinta

- Vaatii vähän huoltoa - Mahdollisuus käyttää suuria paikoitusnopeuk- sia

- Laaja toiminta-alue

- Hammashihnan veny- män vuoksi epätarkempi kuin ruuvikäytöt.

- Välys

- Kuljetinsovellukset - Paikoitussovellukset

2.1 Lineaarihihnakäytöt osana pakkausketjua

Tyypillisesti lineaarisia hammashihnakäyttöjä käytetään pakkausketjuissa kuljetin- sovelluksissa. Esimerkiksi elintarviketeollisuudessa hammashihnakäyttöä voidaan käyttää kuljettamaan laatikoita tai pulloja, ja niiden täyttämiseen käytetään jotain muuta laitetta kuten ruuvivetoista paikoitinta tai jopa nivelvarsirobotteja. Kuvassa 2.4 on tyypillinen esimerkki kuljettimena toimivasta lineaarisesta hihnakäytöstä.

Monesti ruuvivetoisia lineaarijohteita käytetään pakkauslinjastolla tarkkuutta vaa- tiviin tehtäviin, kuten hitsaamiseen tai leikkaukseen, kuten kuvan 2.5 esimerkistä voidaan havaita.

Kuva 2.4. Kuljetinsovelluksessa käytettävä lineaarinen hihnakäyttö. (Parker 2003)

Kuitenkin, jos leikkauksen tai hitsauksen paikoituksen tarkkuusvaatimukset ovat luokkaa 0,1 mm, voitaisiin ruuvikäyttö harkita korvattavaksi lineaarisella ham- mashihnakäytöllä, jota ohjataan nykyaikaisella taajuusmuuttajalla ja laadukkaalla säätöalgoritmilla. Tällöin hankintakustannukset pienenisivät ja tuotantotehokkuus kasvaisi, koska hammashihnakäytöllä voitaisiin toteuttaa nopeampaa paikoittamista.

Eräs sovellus lineaariselle kolmen dimension hammashihnakäytölle voisi olla toi- minta mallileikkurina, sekä nuuttaus- ja leikkauslaitteen korvaajana pakkauslinjas- tolla, jossa valmistetaan elintarviketeollisuuteen tarkoitettuja ruokapakkauksia.

Kuva 2.5. Leikkaussovelluksessa käytettävä lineaarinen ruuvikäyttö. (Parker 2003)

3 HAMMASHIHNAKÄYTÖN MALLINNUS

Tässä työssä tutkitaan Festo Oy:n toimittamaa hammashihnavetoista kolmen akse- lin (X, Y, Z) paikoituskäyttöä, jossa X-akselia pitkin liikkuvat Y-akseli ja Z-akseli ja Y-akselia pitkin Z-akseli. Kuvassa 3.1 on esitetty laitteiston rakenne.

Kuten kuvasta nähdään, jokaista akselia vetää oma moottorinsa ja sekä X-, että Y- akselilla on kaksi johdetta rinnakkain vetämässä kuormaa. Nämä johteet on kiinnitetty toisiinsa metallisen akselin välityksellä. Sekä X-, että Y-askeleilla joh- teet koostuvat kahdesta hihnapyörästä, niitä yhdistävästä hammashihnasta sekä hihnalla olevasta kelkasta.

Laitteiston voiman lähteinä toimivat ESR Pollmeier GmbH:n kestomagneettiser- vomoottorit, joita ohjataan ABB:n liikkeenohjauskäyttöön suunnitelluilla ACSM1

Kuva 3.1. Laboratoriotestilaitteen periaatekuva. Kuvaan on merkitty koordinaatisto laitteen hah- mottamisen helpottamiseksi (Festo 2007).

Y-akseli

X-akseli

Z-akseli

taajuudenmuuttajilla. Koelaitteen tärkeimmät tekniset tiedot on esitelty tarkemmin liitteessä A.

Kappaleessa 3.1 esitetään lineaarista hammashihnaservokäyttöä kuvaava mate- maattinen jousi-massa-malli, kappaleessa 3.2 mallinnetaan hihnojen venymisestä aiheutuvat jousivakiot. Kappale 3.3 käsittelee systeemissä esiintyviä kitkavoimia (liikevastusvoimat). Kappaleessa 3.4 muodostetaan säätösuunnittelussa käytettävä tilamalli systeemistä, sekä tutkitaan tilamallin avulla systeemin ominaisvärähtely- taajuuksia. Lopuksi kappaleessa 3.5 käydään lyhyesti läpi muodostetun matemaat- tisen mallin validoiminen käytännön mittauksin.

3.1 Koelaitteen jousi-massa-malli

Hihnakäytön X- ja Y-akselit ovat mallinnettavissa samalla tavalla, koska ne mo- lemmat koostuvat kahdesta rinnan kytketystä johteesta, niitä yhdistävästä akselista sekä johteilla liikkuvasta kelkasta.

Johteissa käytettävän hammashihnan takia prosessin dynamiikkaa ei voida mieltää jäykän kappaleen dynamiikaksi. Tästä johtuen yhtä johdetta on käsiteltävä kuvan 3.2 mukaisesti joustavana rakenteena, joka koostuu kolmesta massasta (kelkan, hihnapyörän ja moottorin) sekä niitä yhdistävistä jousista (hammashihna).

JP on yhden hihnapyörän hitausmassa, M on liikeakselin kuljettama kokonaismas- sa ja JM akselissa käytettävän moottorin pyörivien osien hitausmassa. TE on moot- torin tuottama vääntömomentti.

Muodostetaan molempia johteita ja väliakselia kuvaavat differentiaaliyhtälöt ku- van 3.2 perusteella.

Kun oletetaan moottorin ja vetävän hihnapyörän olevan kytketty jäykästi toisiinsa, johteelle 1 voidaan kirjoittaa, (Hace 2004)

J_PJ_M⋅¨₁₁_f=

T_E−T_S−R⋅[K₁₁x₁⋅R⋅₁₁−x₁−K₁₃⋅R⋅₁₂−R⋅₁₁] (3.1)

Kuva 3.2. X-akselin muodostama jousi-massa-systeemi. Molemmat johteet muodostavat oman kahdesta hihnapyörästä, kolmesta jousivakiosta ja yhdestä massasta koostuvan systeeminsä. Näitä johteita yhdistävä väliakseli voidaan mallintaa jousivakion Ks ja vaimennuksen bs avulla. Akselin kiertymisestä aiheutuvat vääntömomentit Ts ovat merkitty kuvaan. Jousivakiot K11(x1), K12(x1), K21(x2) ja K22(x2) ovat riippuvaisia paikoista x1 ja x2.

TE

θ11

M/2

M/2 K₁₁(x₁)

x₁

x₂ M bS

K_S T_S

J_M

J_P

K₁₂(x₁)

K₁₃

K₂₁(x₂) K22(x2)

K₂₃

JP J_P

J_P

θ12

θ22

θ21

T_S

JP⋅¨₁₂_f=R⋅[K12x1⋅x1−R⋅₁₂−K13⋅R⋅₁₂−R⋅₁₁] , (3.2)

M/2⋅¨x₁f_f=K₁₁x₁⋅R⋅₁₁−x₁−K₁₂⋅x₁−R⋅₁₂ . (3.3)

Vastaavasti johteelle 2 voidaan kirjoittaa

J_P⋅¨₂₁_f=T_S−R⋅[K₂₁x₂⋅R⋅₂₁−x₂−K₂₃⋅R⋅₂₂−R⋅₂₁] , (3.4) J_P⋅¨₂₂_f=R⋅[K₂₂x₂⋅x₂−R⋅₂₂−K₂₃⋅R⋅₂₂−R⋅₂₁] , (3.5)

M/2⋅¨x₂f_f=K₂₁x₂⋅R⋅₂₁−x₂−K₂₂⋅x₂−R⋅₂₂ . (3.6)

Johteita yhdistävän akselin kiertymisestä johtuva vääntömomentti Ts voidaan mal- lintaa jousivakion Ks ja vaimennusvakion bs avulla.

T_S=b_S⋅ ˙₁₁− ˙₂₁K_S⋅₁₁−₂₁ . (3.7)

Yhtälöissä (3.3) ja (3.6) esiintyvä ff termi vastaa hihnaan kohdistuvaa liikevastus- voimaa, ja sitä on käsitelty tarkemmin kappaleessa 3.3. Yhtälöissä (3.1), (3.2), (3.4) ja (3.5) esiintyvä termi τf tarkoittaa hihnapyörissä ja moottorissa esiintyvää pyörimiskitkaa.

Koska Y-akseli on rakenteeltaan identtinen X-akselin kanssa, voidaan se mallintaa samoja yhtälöitä käyttäen.

3.2 Jousivakioiden määritys

Vakiona pysyvien jousivakioiden K13 ja K23, sekä paikan suhteen muuttuvien jousi- vakioiden K11(x1), K12(x1), K21(x2) ja K22(x2) yhtälöt paikan funktiona voidaan mää- rittää käyttämällä hihnan valmistajalta löytyviä venymä- ja voimatietoja. Suhteel- liselle venymälle ε on olemassa yleisesti tunnettu yhtälö

=

l₀ , (3.8)

jossa δ on kappaleen pituuden muutos ja lo on kappaleen alkupituus, kuten kuvasta 3.3 voidaan havaita.

Kun yhtälöstä (3.8) ensin ratkaistaan δ, voidaan sen jälkeen ratkaista hihnan jousi- vakio Hooken laista

F=k⋅x=k⋅=k⋅⋅l₀ , (3.9)

k=F

⋅1

l₀ . (3.10)

Yhtälössä esiintyvät voiman F ja suhteellisen venymän ε arvot saadaan selvitettyä hihnan valmistajalta. Testilaitteiston X- ja Y-akselin suurin sallittu voima ja sitä vastaava suhteellinen venymä on esitetty liitteessä A. Yhtälöstä (3.10) voidaan hy- vin havaita, että hihnakäytön jousivakioiden K11, K12, K21 ja K22 arvot muuttuvat kelkan paikan muuttuessa, koska tällöin yhtälössä (3.10) esiintyvä hihnan alkupi- tuus l0 muuttuu. Selvitetään seuraavaksi jousivakioiden lausekkeet, kun hihnan eri osien alkupituudet ovat l1, l2 ja l3.

Kuva 3.3. Kappaleen pituuden muutos δ ja alkupituus l0, kun kappaletta venytetään vaakasuoralla voimalla F.

K₁₁x₁=F

⋅ 1

l₁x₁ , (3.11)

K₁₂x₁=F

⋅ 1

l₂−x₁ , (3.12)

K₂₁x₂=F

⋅ 1

l₁x₂ , (3.13)

K₂₂x₂=F

⋅ 1

l₂−x₂ , (3.14)

K₁₃=K₂₃=F

⋅1

l₃ . (3.15)

Johteita yhdistävän väliakselin jousivakio KS voidaan laskea sylinterimäisen kap- paleen jousivakion laskuyhtälön mukaisesti

K_S=G⋅I_P

L_S , (3.16)

jossa G on käytettävän materiaalin liukukerroin, LS on väliakselin pituus ja IP on onton sylinterimäisen kappaleen vääntöjäyhyys, joka voidaan laskea

I_P=

2r_o⁴−r_i⁴ , (3.17)

jossa ro on onton sylinterin ulompi säde ja ri sisempi säde.

Käyttämällä yhtälöitä (3.16) ja (3.17), saadaan X-akselin johteita yhdistävän akse- lin jousivakioksi 2600 Nm ja Y-akselin johteita yhdistävän akselin jousivakioksi 4351 Nm.

3.3 Kitkailmiöt hihnakäytöissä

Hihnakäytöissä esiintyy eri pintojen liikkuessa toisiaan vastaan liikettä vastustavia kitkavoimia. Kitkavoima johtuu liikkuvien pintojen epäideaalisuuksista, kuten karheudesta ja epätasaisuudesta. Kitkavoiman suuruuteen voi vaikuttaa myös ym- päristötekijät, kuten paine, lämpötila tai staattiset sähkövaraukset. Hihnakäyttöjä tutkittaessa joudutaan lisäksi tekemisiin kahden eri tyyppisen kitkan kanssa, pyö- rimiskitkan ja lineaariliikkeen liukumiskitkan.

Pyörimiskitkaa ilmenee pyörimisliikkeen seurauksena hihnakäytön hihnapyörissä, sekä vetävän moottorin akselilla. Pyörimiskitka mallinnetaan lähes poikkeuksetta nopeuteen verrannollisena vaimennuksena.

Lineaariliikkeen liukukitkaa sen sijaan esiintyy hammashihakäytöissä kelkan liik- keestä johtuen ja kitkavoima on karkeasti jaettavissa lepo- ja liikekitkaan. Lepo- kitkan arvo on useimmissa sovelluksissa suurempi kuin liikekitka liikkeen alku- hetkellä. Yksinkertaisuuden vuoksi liikekitka esitetään usein olevan suoraan ver- rannollinen kappaleen liikenopeuteen.

Kohteissa joissa kitkavoimasta on haittaa, sitä pyritään minimoimaan erilaisin kei- noin. Yleisin kitkan pienentämismenetelmä lienee kontaktipintojen voiteleminen, jotta kontakti pääsee syntymään mahdollisimman vähällä vastuksella. Kitkavoi- mista on usein myös hyötyä. Esimerkiksi hihnakäytön tapauksessa jarrutettaessa kitka auttaa moottoria, jolloin moottorilta ei vaadita niin paljoa jarruttavaa vääntö- momenttia, mikä edelleen rajoittaa taajuusmuuttajassa välipiirin tasajännitteen nousua. Toisaalta välipiirin jännitteen nousu voidaan hallita joko jarrukatkojalla ja jarruvastuksella tai käyttämällä taajuusmuuttajan syötössä verkkovaihtosuuntaa- jaa. Joka tapauksessa jarruttava kitka pienentää moottorin termistä rasitusta.

3.3.1 Kitkamallit

Kitkavoimien kuvaamiseksi ja mallintamiseksi on olemassa useita eri kitkamalle- ja, joista eräitä on esitetty tässä kappaleessa. Kuvassa 2.3 on esitetty neljä eri kit- kamallia. (Li 1999)

Lepokitka Fs määritellään kappaleeseen kohdistuvan voiman F ja maksimi lepo- voiman Fmax mukaan seuraavasti

. (3.18)

Kuva 3.4. Eri kitkamalleja. Vasemmalla ylhäällä Coulombinen kitka, oikealla ylhäällä Coulombi- nen- ja liikekitka, vasemmalla alhaalla lepo-, Coulombinen- ja liikekitka, sekä viimeisenä oikealla alhaalla Stribeckin efekti, jossa lepo- ja liikekitkan välillä on eksponentiaalinen yhteys.

0 0

v [ m / s ] - Fc

Fc

0 0

v [ m / s ] - Fc

Fc

0 0

v [ m / s ] - Fc

- Fs Fc Fs

0 0

v [ m / s ] - Fc

- Fs Fc Fs





≥

=

<

= =

max max

max

s , jos 0 ja

ja 0 jos ,

F F v

F

F F v

F F

Lepokitka siis estää kappaleen liikkeen aina, kun kappaleeseen kohdistuva voima on lepokitkan maksimiarvoa pienempi, ja saa nollasta poikkeavan arvon vain nol- lanopeudella.

Coulombinen kitka Fc määritellään kosketuspintojen välisen normaalivoiman N ja kitkakertoimen µ avulla.

F_c=⋅N⋅sgnv , (3.19)

jossa v on kappaleen liikenopeus. Coulombinen kitka saa siis kappaleen liikesuun- nasta riippuvan vakioarvon.

Viskoosikitka eli liikekitka Fv on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen lii- kekitkakertoimen kv välityksellä

F_v=k_v⋅v . (3.20)

Kuvassa 3.4 viimeisenä esitetty Stribeckin efekti voidaan mallintaa yhtälön (3.21) mukaisesti. Kitkamalli sisältää eksponenttitermin, jonka mukaisesti kitkavoima muuttuu lepokitkasta, nopeudelle verrannolliseksi liikekitkaksi

F_STR=F_cF_s−⋅N⋅e⁻





v , (3.21)

jossa vs on Stribeckin nopeus ja δ on vakio, joka voi saada laajalti eri arvoja. Eräs yleinen arvo muuttujalle δ on 1, jolloin mallista käytetään Tustinin mallin nimeä.

3.3.2 Kitkamallien määrittäminen koelaitteelle

Määritellään koelaitteen X- ja Y-akseleille kokonaisliikevastusvoimat. Lepotilan liikevastusvoiman arvo määritellään vetämällä kappaletta jousivaa’alla kunnes kappale nytkähtää liikkeelle. Tämä voiman raja-arvo on lepokitka Fs.

Lepotilan kitkavoiman arvoja mitattiin kuvan 3.5 mukaisesti neljästä eri kohtaa johdetta. Kitkavoimaa mitattaessa kelkkaa vedettiin jousivaa'alla molempiin suun- tiin kymmenen mittauksen verran, jolloin saatiin kustakin kohdasta 20 mittauksen arvoa.

Tämän jälkeen määritettiin liikekitka ajamalla kumpaakin liikeakselia muutamalla eri vakionopeuden arvolla ja tarkkailemalla niitä vastaavia moottorin vääntömo- mentin arvoja. Vääntömomentista TE voidaan edelleen laskea hihnaa vetävä voima F, kun tiedetään käytettävän hihnapyörän säde R,

T_E=F⋅R⇒F=T_E

R . (3.22)

Kuvassa 3.6 on esitetty sekä X- että Y-akselille muodostettu kitkamalli, jossa le- potilan kitkan arvona on käytetty jousivaa'an avulla tehtyjen mittausten keskiar- voa.

Kuva 3.5. Lepokitkan mittausjärjestely.

Paikka 1 Paikka 2 Paikka 3 Paikka 4

Vetävä hihnapyörä

Kuvaan on merkitty mustilla tähdillä X-akselin kitkavoiman mittauspisteet ja har- mailla tähdillä Y-akselin kitkavoiman mittauspisteet. Lisäksi kuvaan on merkitty katkoviivoin molemmille liikeakseleille sovitetut Coulombisen ja viskoosikitkan mallit. Kuvassa molempien liikeakseleiden kitkavoimat on esitetty suurimpaan sallittuun kuormitusvoimaan suhteutettuina arvoina.

Kuten kuvasta havaitaan, hihnakäytöissä kitka käyttäytyy tyypillisesti siten, että lepokitkan arvo ei olekaan suurempi kuin liikekitka alussa, jolloin Stribeckin efekti ei kuvaa hihnakäytön kitkan käyttäytymistä kovin hyvin. Näin ollen varsin- kin säädössä päädytään käyttämään yksinkertaisempaa lepo- ja liikekitkan mallia, koska se kuvaa kitkan käyttäytymistä paremmin. On kuitenkin muistettava pitää kitkamallin arvot todellista mitattua kitkaa pienempinä koko käyttöalueella, jottei tehdä säädössä ylikompensointia. Näin ollen kuvaan katkoviivoin merkittyjä mal-

Kuva 3.6. Kitkamittausten perusteella muodostetut mallit hihnakäytön X- ja Y-akseleille.

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 0 . 2 5 - 0 . 2 - 0 . 1 5 - 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5

N o p e u s v [ m / s ]

Kitkavoima [p.u]

X - a k s e l i n k i t k a Y - a k s e l i n k i t k a

leja käytetään jatkossa säädössä. Sen sijaan hihnakäytön simulointimallissa voi- daan käyttää ehyillä viivoilla merkittyjä kitkamalleja.

Kitkamallin määrittämiseen voitaisiin myös soveltaa taajuusmuuttajan ominai- suuksiin liitettävää identifiointiajoa, jossa aluksi mitattaisiin systeemin lepokitka lähtien kasvattamaan pienin askelin käytettävää vääntömomenttia, kunnes mitatta- va akseli nytkähtää liikkeelle. Tämän jälkeen liikekitka voitaisiin määrittää muu- tamalla eri nopeuden arvolla, minkä jälkeen säädössä käytettävä kuvan 3.6 kaltai- nen kitkamalli olisi valmis muodostettavaksi.

3.4 Tilamallin muodostus

Kuten yhtälöistä (3.1) – (3.6) havaitaan, kokonaissysteemin kertaluku on kaksi- toista, minkä lisäksi systeemi on vahvasti epälineaarinen johtuen hammashihnan dynamiikasta. Työn tavoitteena on kuitenkin pystyä säätämään järjestelmää li- neaarisen säätöteorian menetelmin, jolloin on perusteltua yksinkertaistaa ja linea- risoida epälineaarinen systeemimalli. Tätä yksinkertaistettua mallia käytetään sää- dön suunnittelussa ja tilaestimaattorin mallina.

3.4.1 Linearisoitu malli

Oletetaan aluksi, että systeemin johteita yhdistävä akseli on jäykkä, jolloin X- ja Y-akseleita voidaan kuvata yhden johteen jousi-massa-järjestelmänä. Tällöin sys- teemiyhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon

J_TOT⋅¨₁=T_E−R⋅[K₁x⋅R⋅₁−x−K₃⋅R⋅₂−R⋅₁] , (3.23) 2⋅JP⋅¨₂=R⋅[K2x⋅x−R⋅₂−K3⋅R⋅₂−R⋅₁] , (3.24) M⋅¨xf_f=K₁x⋅R⋅₁−x−K₂⋅x−R⋅₂ . (3.25)

Asetetaan X-akselin paikan nollapiste johteen puoliväliin ja linearisoidaan systee- mi nollapisteeseen, mikä tarkoittaa sitä, että paikasta x riippuvat jousivakiot K1(x) ja K2(x) saavat nyt nollapisteeseen sidotut vakioarvot. Jousivakioita laskettaessa tulee myös muistaa ajatella kaikki yksinkertaistetun systeemin jousivakiot kaksi kertaa jäykemmiksi, koska nyt yhden johteen voidaan ajatella kuljettavan kahden rinnakkaisen johteen kuorman.

Tällöin systeemiä kuvaavat yhtälöt voidaan saattaa muotoon

J_TOT⋅¨₁=T_E−R²⋅K₁K₃⋅₁R²⋅K₃⋅₂R⋅K₁⋅x , (3.26) 2⋅J_P⋅¨₂=−R²⋅K₂K₃⋅₂R²⋅K₃⋅₁R⋅K₂⋅x , (3.27) M⋅¨xf_f=K₁⋅R⋅₁K₂⋅R⋅₂−K₁K₂⋅x . (3.28)

Termi JTOT kuvaa systeemin vetävässä päässä vaikuttavien hitausmassojen sum- maa ja voidaan esittää

J_TOT=2⋅J_PJ_M2⋅J₀J_H⋅l , (3.29)

jossa J0 on johteen valmistajan ilmoittama johteelle ominainen ylimääräinen pyö- rivien osien hitausmassa ja termi J_H⋅l on työskentelyalueen pituudesta l riip- puva hitausmassa, jolloin sen voidaan ajatella kuvaavan käytettävän hammashih- nan ominaista hitausmassaa. Vakioiden J0 ja JH lukuarvot löytyvät kullekin liike- akselille liitteestä A.

Linearisoidun systeemin periaatekuva on esitetty kuvassa 3.7.

Muodostetaan linearisoidusta yhtälöryhmästä (3.26) - (3.28) systeemiä kuvaavan tilamallin matriisit, kun tilavektori on muotoa

x=

[

]

Kun systeemi oletetaan kitkattomaksi ja differentiaaliyhtälöryhmästä (3.26) - (3.28) muodostetaan perinteinen tilayhtälöesitys (Friedland 1986), saadaan tilaesi- tyksen systeemimatriiseiksi A ja B

Kuva 3.7. Linearisoidun systeemin periaatekuva. Akselin paikan nollapiste on asetettu johteen kes- kipisteeseen, minkä seurauksena paikan suhteen muuttuvat jousivakiot K1 ja K2 saavat nollapistee- seen sidotun vakioarvon.

M K₁

R R

J_M T_E

θ2

l₂

l₃ K₃

K₂

0 x

l₁ θ1

J_P J_P

A=

[

]

B=

[

]

Olkoon systeemin lähtösuure kelkan paikka x, jolloin tilaesityksen lähdön määrää- vä matriisi C saa arvon

C=[0 0 0 0 1 0] . (3.32)

Matriiseissa A ja B käytettävät malliparametrit X-akselille löytyvät liitteestä A.

Tutkitaan linearisoidun systeemin ominaisarvoja Matlabin damp-funktion avulla, jolloin tulokseksi saadaan taulukon 3.1 mukaiset parametrit.

Ominaiskulmataajuuksista voidaan havaita, että toisella systeemin napapareista on erittäin korkea ominaiskulmataajuus. Koska vapaan pään hitausmassa on selvästi pienempi kuin vetävän pään, voidaan korkeataajuisen napaparin olettaa kuvaavan vapaan pään dynamiikkaa. Kun muistetaan, että matalataajuiset navat ratkaisevat systeemin käyttäytymisen, voidaan vapaan puolen dynamiikka unohtaa ja näin ol- len alentaa systeemin kertalukua vielä kahdella.

3.4.2 Yksinkertaistettu systeemimalli

Lähdetään yksinkertaistamaan systeemiä ajattelemalla, että myös hihnapyörien pyörimisliike olisi lineaarista, jolloin systeemi voidaan redusoida kuvan 3.8 mu- kaiseksi kolmen massan ja kolmen jousen lineaariseksi järjestelmäksi.

Taulukko 3.1. Linearisoidun systeemin ominaisarvot, sekä niitä vastaavat vaimennusvakion ja ominaiskulmataajuuden arvot.

Ominaisarvo Vaimennusvakio Ominaiskulmataajuus [rad/s]

0 - -

-0,49 1 0,49

−4,96⋅10⁻²±4,37⋅10²⋅j 1,14⋅10⁻⁴ 437

−2,87⋅10⁻⁴±4,20⋅10³⋅j 6,85⋅10⁻⁸ 4200

Kuva 3.8. Kolmesta massasta ja kolmesta jousesta syntyvä lineaariseen koordinaatistoon redusoitu systeemimalli

R M

2J_P

K₁

x 0 θ1

R 0

θ2

R 0 TE/R

J_TOT

2 R²

K2

K₃

Kun vapaan pään hihnapyörän dynamiikka jätetään huomiotta, saadaan systeemin kertalukua pienennettyä ja systeemi muuttuu kuvan 3.9 mukaiseksi kahdesta mas- sasta ja kolmesta jousesta koostuvaksi järjestelmäksi. (Hace 2004)

Systeemissä vaikuttavat kolme jousta voidaan kuvata yhdellä ekvivalenttisella jousella, jonka jousivakioksi saadaan (Kelly 1996)

K_ekv=K₁ 1 1 K₂ 1

K₃

=K₁ K₂⋅K₃

K₂K₃ . (3.33)

Nyt voidaan esittää systeemiä kuvaavat lineaariset differentiaaliyhtälöt (3.26) - (3.28) yksinkertaistetussa muodossa (Hace 2004)

J_TOT⋅¨=T_E−R²⋅K_ekv⋅R⋅K_ekv⋅x , (3.34) M⋅¨xf_f=K_ekv⋅R⋅−K_ekv⋅x . (3.35)

Muodostetaan yksinkertaistetusta yhtälöistä (3.34) ja (3.35) systeemiä kuvaavan tilamallin matriisit, kun tilavektori on muotoa

Kuva 3.9. Kahdesta massasta ja kolmesta jousesta syntyvä lineaariseen koordinaatistoon redusoitu systeemimalli. JTOT vastaa vetävässä päässä esiintyvien hitausmomenttien summaa.

0 0

R M J_TOT

2

K₁

K₂ K₃

T_E/R

θ

R x

x=

[

]

Käsitellään kitkatonta systeemiä perinteisen tilayhtälöesityksen mukaisesti (Fried- land 1986), jolloin tilayhtälön systeemimatriiseiksi A ja B saadaan

A=

[

]

^[

^]

Systeemistä mitattavana lähtösuureena pidetään jälleen kelkan paikkaa x, jolloin lähdön määräävä matriisi C saa muodon.

C=[0 0 1 0] . (3.38)

Ratkaistaan vertailun vuoksi, myös yksinkertaistetun systeemin ominaisarvot, ominaiskulmataajuudet ja vaimennusvakion arvot Matlabin damp-funktion avul- la. Tulokset ovat esitetty taulukossa 3.2.

Taulukko 3.2. Linearisoidun ja yksinkertaistetun systeemin ominaisarvot, sekä niitä vastaavat vai- mennusvakion ja ominaiskulmataajuuden arvot.

Ominaisarvo Vaimennusvakio Ominaiskulmataajuus [rad/s]

0 - -

-0,491 1 0,491

−4,95⋅10⁻²±4,37⋅10²⋅j 1,13⋅10⁻⁴ 437

Kun verrataan taulukoissa 3.1 ja 3.2 esitettyjä systeemien ominaisarvoja ja omi- naiskulmataajuuksia, havaitaan että käyttämällä ekvivalenttia jousivakion arvoa ja yksinkertaistettua neljännen kertaluvun lineaarista systeemimallia, saadaan kuvat- tua systeemiä riittävän tarkasti.

Esitetään vielä sekä linearisoidun että yksinkertaistetun systeemin taajuusvasteen vahvistuskäyrä kuvassa 3.10.

Kuvasta havaitaan, että yksinkertaistettu malli vastaa lineaarista mallia tarkasti korkealla taajuudella esiintyvään toiseen resonanssipiikkiin asti, joten voidaan ar- vioida, että yksinkertaistettu tilamalli on riittävän tarkka laadukkaan tilasäädön to- teutukseen.

Kuva 3.10. Linearisoidun systeemin ja yksinkertaistetun systeemin taajuusvasteiden vahvistuskäyrät.

1 0⁰ 1 0¹ 1 0² 1 0³

- 3 5 0 - 3 0 0 - 2 5 0 - 2 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 5 0

X - a k s e l i n t a a j u u s [ H z ]

Vahvistus [dB]

L i n e a r i s o i d u n s y s t e e m i n t a a j u u s v a s t e Y k s i n k e r t a i s t e t u n s y s t e e m i n t a a j u u s v a s t e

3.4.3 Resonanssitaajuuden analyyttinen ratkaisu

Määritetään systeemille resonanssitaajuus edellä muodostetun yksinkertaisen sys- teemimatriisin A (3.37) avulla. Määrittämällä matriisin ominaisarvot, saadaan sys- teemin navat, joista voidaan edelleen määrittää napoja vastaava resonanssitaajuu- den yhtälö. Ominaisarvot saadaan ratkaistua yhtälöstä

detI−A=0 , (3.39)

jossa λ vastaa systeemin ominaisarvoja.

det

[

]

josta ominaisarvoyhtälöksi saadaan neljännen asteen yhtälö

²⋅M⋅J_TOT⋅²K_ekv⋅J_TOTM⋅R²⋅K_ekv=0 . (3.41) Tämän yhtälön ratkaisuina saadaan systeemin ominaisarvot, jotka vastaavat avoi- men piirin napoja.

_1,2=s_1,2=0 ,

_3,4=s_3,4=±



^

^

^

Systeemin navat voidaan ratkaista s-tasossa, kun tiedetään että Laplace-muuttuja s määritellään

s=j⋅_n , (3.43) jossa ωn vastaa värähtelevän napaparin ominaiskulmataajuutta, jonka avulla voi- daan selvittää systeemin resonanssitaajuus Hertzeinä.

f_n= 1

2



Sijoittamalla yhtälöön liitteessä A esitetyt nollapisteeseen linearisoidun X-akselin parametrit, saadaan resonanssitaajuudeksi 70 Hz, joka on taajuusvaste kuvan 3.10 ensimmäinen resonanssitaajuus.

Yhtälöstä (3.44) voidaan havaita, että resonanssitaajuus on riippuvainen kelkan paikasta, koska siihen vaikuttaa kelkan paikan mukaan muuttuva ekvivalenttinen jousivakio Kekv. Selvitetään ekvivalenttisen jousivakion paikkariippuvuus, kun jousivakioilla K1(x), K2(x) ja K3 käytetään kappaleessa 3.2 esitettyjä yhtälöitä

K₁x=F

⋅ 1

l₁x , (3.45)

K₂x=F

⋅ 1

l₂−x , (3.46)

K₃=F

⋅1

l₃ . (3.47)

Tällöin paikan suhteen muuttuva ekvivalenttinen jousivakio voidaan ratkaista yh- tälöstä (3.33).

K_ekvx=K₁x K₂x⋅K₃ K₂xK₃=F

⋅





Muodostetaan jousivakioiden K1, K2, K3 ja Kekv kuvaajat X-akselin kelkan paikan funktiona ja esitetään tulos kuvassa 3.11.

Kuten kuvasta voidaan havaita, jousivakio K1 saa suurimman arvonsa kelkan ol- lessa lähellä vetävää moottoria. Jousivakio K2 saa suurimman arvonsa kelkan ol- lessa lähellä vapaan pään hihnapyörää. Ekvivalenttisen jousivakion käyttäytymi- seen selvästi suurimman vaikutuksen tekee jousivakio K1, mikä voidaan nähdä myös yhtälöstä (3.48). Kuitenkin mitä enemmän liikutaan moottorista pois päin, sitä enemmän ekvivalenttinen jousivakio poikkeaa jousivakiosta K1.

Selvitetään seuraavaksi matalamman resonanssitaajuuden fres1 paikkariippuvuus, kun yhtälössä (3.44) ekvivalenttisen jousivakion paikalla käytetään edellisessä ku- vassa esitettyä paikan suhteen muuttuvaan jousivakiota. Tulos on esitetty kuvassa 3.12, jossa esitetään lisäksi Matlab ohjelmalla numeerisesti linearisoidusta systee-

Kuva 3.11. X-akselin jousivakioiden käyttäytyminen kelkan paikan funktiona

- 0 . 80 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8

2 4 6 8 1 0 1 2

K e l k a n p a i k k a [ m ] Jousivakio 10 6 [N/m]

J o u s i v a k i o K 1 J o u s i v a k i o K

2 J o u s i v a k i o K

3

E k v i v a l e n t t i n e n j o u s i v a k i o K e k v