2.2 Monotoniset jonot

(1)

© Harry Silfverberg, Teuvo Laurinolli, Timo Sankilampi ja Werner Söderström Osakeyhtiö 2007

61

2.2 Monotoniset jonot

241. a) Koska n = 1, 2, 3, ... , niin

1

n

a n n

= − ≥ 0. Lukujono (

a

_n) on siis alhaalta rajoitettu. Toisaalta

n − 1 < n, joten

1

n

a n n

= − < 1. Lukujono (

a

_n) on myös ylhäältä rajoitettu.

Vast. Rajoitettu

, sillä 0

≤

a

_n

< 1.

b) Koska n = 1, 2, 3, ... , niin n

2 a n

=

n

+ > 0. Lukujono (

a

_n) on siis alhaalta rajoitettu. Toisaalta n + 2 < n, joten

n

2 a n

=

n

+ < 1. Lukujono (

a

Vast. R

ajoitettu, sillä 0 < a

_n

< 1

.

c)

Tarkastellaan ensin itseisarvoa

a_n

=

( 1) ( ) 1

n n

− n

+

=

1 n

n+

. Koska n = 1, 2, 3, ... , niin n + 1 < n, joten

1 n

n+

< 1. Siis

a_n

< 1. Lukujono ( a

_n

) on sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä

−

1 < a

_n

< 1.

Vast. Rajoitettu, sillä

−

1 < a

_n

< 1.

242. a) Koska n = 1, 2, 3, ..., niin 2ⁿ⁺² ≥ 2^{1 2}⁺ > 1. Siis a_n n

= 2 ⁺n−1 2

2

> 0, joten lukujono (

a

_n

) on alhaalta rajoitettu.

Jakamalla saadaan

a_n n

=2 ⁺n−1 2

2

= ² 1 2

2ⁿ

− = 1 4

2ⁿ

− . Koska 1 2ⁿ

> 0 kaikilla n:n arvoilla, niin

a

n

=

4 ¹

2ⁿ

− < 4. Lukujono (

a

_n

) on ylhäältä rajoitettu.

Vast. Rajoitettu, sillä 0 < a

_n

< 4.

b) Jakamalla saadaan a n n

n

n = − +

+

2 5 1

2 1

2

2 =

2

2 2

2 1 5

2 1 2 1

n n

n + − n

+ + =

2

1 5

2 1

n

− n

+ . Koska kaikilla n:n arvoilla

2

5

2 1

n

n + > 0, niin

a

_n

=

2

1 5

2 1

n

− n

+ < 1. Lukujono (

a

_n

) on ylhäältä rajoitettu.

Kaikilla n:n arvoilla on

2

5

2 1

n n + <

2

5 2

n n

= 5 2n ≤ 5

2 eli

2

5

2 1

n n + < 5

2. Siis

a

n

=

2

1 5

2 1

n

− n

+ > 1 − 5

2 eli

a

_n

>

³

−2.

Lukujonon kaikkien termien eräs alaraja on m =

³

−2.

(2)

62 Vast. R

ajoitettu, sillä

³

−2 ≤

a

_n

< 1.

c)

Neliöjuurifunktio on arvoltaan ei-negatiivinen, joten

a n n = n

+2

> 0. Lukujono ( a

_n

) on alhaalta rajoitettu ja a

_n

> 0.

Toisaalta

n

<

n

+ 2, joten

a n n = n

+2

< 1. Lukujono ( a

_n

) on ylhäältä rajoitettu ja a

_n

< 1.

Vast. Rajoitettu, sillä 0 < a

_n

< 1.

243. a) Funktion f (x) = cos x arvojoukko on suljettu väli [−1, 1]. Siis

1 cos 1 2 n π

− ≤ ≤ ^.

Vast.

Rajoitettu, sillä

−

1

≤

a

_n ≤

1

b) Lukujonon (

a

_n

) termit ovat 1, 3, 1, 3, 1, ... . Vast. Rajoitettu, sillä 1

≤

a

_n ≤

3.

c) Lauseke 1 ( 1)+ − ⁿ saa arvot 0 ja 2 muuttujan n eri arvoilla.

Koska 1 ( 1)+ − ⁿ ≥ 0, niin jono on alhaalta rajoitettu, sillä a n n

= + −1 ( 1)n

≥ 0 n = 0

.

Koska

1 ( 1)+ − ⁿ ≤ 2, on jono myös ylhäältä rajoitettu, sillä a n n

= + −1 ( 1)n

≤ 2 n ≤ 2

1 = 2.

Vast. R

ajoitettu, sillä 0

≤

a

_n ≤

2.

244. a) Koska

a_n₊₁−a_n = 2( 1) 1 2 1 1

n n

+ − − −

+ = (2 1) ( 1)(2 1) ( 1)

n n n n

n n

+ − + −

+ = 1

( 1) n n+ > 0, niin a_n < a_n₊₁ kaikilla n:n arvoilla.

Vast.

Aidosti kasvava.

b) Koska

a_n₊₁−a_n = 3( 1) 3

( 1) 1 1

n n

+ −

+ + + =

3( 1)2 3 ( 2)

( 2)( 1)

n n n

n n

+ − +

+ + = 3

(n+2)(n+1) > 0,

(3)

63 niin a_n < a_n₊₁ kaikilla n:n arvoilla.

Vast.

Aidosti kasvava.

c) Lukujono (a_n) ei ole monotoninen. Esimerkiksi

₈ cos8

a = 8 ≈ −0,0182,

₉ cos 9

a = 9 ≈−0,101,

₁₀ cos10

a = 10 ≈ 0,540, missä a₈ > a₉ mutta a₉ < a₁₀.

Vast. Lukujono (a_n

) ei ole monotoninen.

245. a) Lukujono (a_n) on aidosti vähenevä, sillä

1

n n

a ₊ −a = 1 1 1 1

( ) ( )

1 ( 1) 1 1

n − n − n−n

+ + + +

= 2 1 1

1 2

n −n −n

+ +

= 2

( 1)( 2)

n n n

− + + < 0,

joten a_n > a_n₊₁ kaikilla n:n arvoilla.

b) Peräkkäisten termien erotus on

1

n n

a ₊ −a = (ln((n+ + −1) 1) ln(n+1))−(ln(n+ −1) ln )n = ln(n+ −2) 2ln(n+ +1) lnn

=

2

( 2)

ln ( 1) n n

n + +

=

2 2

ln 2

2 1

n n

+ + + .

Koska 0 <

2 2

2

2 1

n n

+

+ + < 1, niin

2 2

ln 2

2 1

n n

+

+ + < 0. Siis a_n₊₁−a_n < 0 eli a_n > a_n₊₁. Lukujono (a_n) on aidosti vähenevä.

246. Koska

a_n₊₁−a_n =

2( 1) 7 2 7

3( 1) 4 3 4

n n

+ − − −

+ + +

(4)

64

=

2 5 2 7

3 7 3 4

n n

− − −

+ +

=

29 (3 n

+

7)(3 n

+

4)

^{> 0,}

niin a_n < a_n₊₁ kaikilla n:n arvoilla. Lukujono (a_n) on aidosti kasvava.

Koska

2 7

3 4

n

a n n

= −

+ ^<

2 3 4

n n

+ ^<

2 3 n n

⁼

2 3

^, niin

a

_n <

2

3

. Lukujono on ylhäältä rajoitettu.

247. Lukujonon peräkkäisten termien suhde on

ⁿ ¹

n

a a

+ =

1 ( 1) 1

1 n n

n n

+ + +

+

=

( 1) 1

( 2)

n n

+ +

+

=

3 2

( 1)

( 2)

n n n

+

+ ⁼

3 2

3 3 1

4 4

n n n

+ + +

+ +

=

3 2

3 2 2

3 3 1

3 3 ( )

n n n

n n n n n

+ + +

+ + + + ^.

Koska

n

³+

3 n

²+

3 n

+

1

^<ⁿ³+³ⁿ²+³ⁿ+⁽ⁿ²+ⁿ⁾^{, niin} ⁿ ¹

n

a a

+ < 1 kaikilla n:n arvoilla. Siis

a

n >

a

_n₊₁, joten lukujono (

a

_n) on aidosti vähenevä.

Lukujono on alhaalta rajoitettu, sillä n

1 a n

=

n

+ ^{> 0.}

248. a) Paraabeli y = 12x−x² = (12x −x) aukeaa alaspäin ja huippu on kohdassa x = 0 12 2

+ = 6.

Lukujonon a_n=12n−n² suurin termi on a₆ = 12 6 6⋅ − ² = 36.

(5)

65 b) Funktio f (x) = 1+ +x 5x²−x³ on jatkuva ja derivoituva, kun x > 0. Derivaatan f ‘ (x) =

3x2 10x 1

− + + nollakohdat ovat x₁ = 10 112 6

− +

− ≈ −0,097 ja x₂ = 10 112 6

− −

− ≈ 3,43. x₁ ei toteuta ehtoa x > 0.

Kulkukaavion mukaan funktion f suurin arvo on f (x₂). Koska 3 < x₂ < 4 ja a₃ = 22, a₄ = 21, niin lukujonon (a_n) suurin termi on a₃ = 22.

ⁿ ¹

n

a a

+ =

1

( 1)!

( 1)

!

n

n n

+

+ + =

1

( 1)!

! ( 1)

n n

n n ⁺

+ +

=

1

( 1) ( 1)

n n

n ⁺

+

+ = ( 1)

n n

n n+

= ( )

1 n n

n+ . Koska n < n + 1, niin ⁿ ¹

n

a a

+ < 1 kaikilla n:n arvoilla. Siis

a

_n >

a

ⁿ ¹

n

a a

+ =

2

( 1) ( 1)!

! n

n n

n +

+ =

2 2

! ( 1)

( 1)!

n n

+ +

=

2 2

( 1) ( 1)

n

n n

+ + =

2

1 n

n +

(6)

66

=

2

1 1

n+n . Koska n ≥ 2, niin

2

1 1

n+n ≤ 1 1₂ 2+2 = 3

4 < 1. Siis ⁿ ¹ n

a a

+ < 1 eli

a

_n >

a

251. a) Eksponenttilauseke

2 0

1

>

= ⁿ

a

n , joten lukujono (

a

_n) on alhaalta rajoitettu.

Eksponenttifunktio y = 2^x on aidosti kasvava, joten

1

2ⁿ an= ≤

1

2 = 2. Lukujono (1

a

Vast. Rajoitettu, sillä 0 <

a

_n_≤ 2.

b) Eksponenttilauseke a_n =0 5, ⁿ > 0, joten lukujono (

a

_n) on alhaalta rajoitettu.

Eksponenttifunktio y = 0,5^x on aidosti vähenevä, joten a_n =0 5, ⁿ ≤ 0,5 = 0,5. Lukujono (¹

a

_n _≤ 0,5

252. a) Kun n = 1, 2, 3, ... , niin 1

n ∈ ]0, π [. Tällöin sin 1

n > 0. Lukujono (a_n) on alhaalta rajoitettu ja an > 0.

Funktio f (x) = x − sin x on jatkuva ja derivoituva, kun x ≥ 0. Koska derivaatta f ‘ (x) = 1 − cos x

≥ 0, niin funktio f on aidosti kasvava. Siis f (x) ≥ f (0) eli x − sin x ≥ 0. Sinifunktiolle on voimassa epäyhtälö sin x ≤ x, kun x ≥ 0. Näin ollen 1

sinn ≤ 1

n, joten n 1 sinn ≤ n1

n = 1. Lukujono (

a

_n) on ylhäältä rajoitettu ja

a

_n ≤ 1.

a

_n ≤ 1

b) Lukujonon jokainen termi on positiivinen, joten lukujono on alhaalta rajoitettu ja

a

_n > 0.

Koska peräkkäisten termien erotus a_n₊₁ − a_n =

2 1

1 2ⁿ 2ⁿ

n n

+ +

+ − =

2

1 2ⁿ

n

+

− ≥ 0,

niin a_n ≥ a_n₊₁. Lukujono on siten vähenevä, joten lukujonon suurin alkio on a₁ =

2

1 2 = 1

4. Vast. Rajoitettu, sillä 0 <

a

_n _≤ ¹

4.

(7)

67 253. a) a n

n n n = − −n

− 1

1 = 1 2 ( 1)

n n n

−

− . Koska n = 2, 3, 4, ... , niin 1 − 2n < 0 ja n(n − 1) > 0. Lukujono (a_n) on ylhäältä rajoitettu ja a_n< 0.

Peräkkäisten jonon termien erotus on a_n₊₁ − a_n = 1 2( 1)

( 1) n

n n

− +

+ − 1 2 ( 1)

n n n

−

= ( 1)( 1 2 ) ( 1)(1 2 )

( 1) ( 1)

n n n n

n n n

− − − − + −

+ −

= 2

( 1) ( 1)

n n+ n n−

= 2

(n+1)(n−1).

Koska a_n₊₁ − a_n > 0, niin a_n < a_n₊₁. Lukujono (a_n) on siten aidosti kasvava. Jonon pienin termi on a₂ = 1 4

2(2 1)

−

− = 3

−2. Jono on alhaalta rajoitettu ja 3

−2 ≤ an. Vast. Rajoitettu, sillä 3

−2 ≤

a

_n< 0 (n ≥ 2).

b) Laventamalla samannimisiksi saadaan a_n =

2 2

2 1 2 1

n n

n − n

+ − =

2 2

2

4 1

n n

−

− .

Koska

2 2

2

4 1

n n

−

− <

2 2

2 4

n n

− = 1

−2, on lukujono (a_n) ylhäältä rajoitettu ja a_n< 1

−2.

Funktio f (x) =

2 2

2

4 1

x x

−

− on jatkuva ja derivoituva, kun x ≥ 1. Koska derivaatta f ‘(x) =

2 2

4

(4 1)

x x − on positiivinen, niin funktio f on aidosti kasvava. Lukujonon pienin termi on a₁= 2

−3, joten (a_n) on alhaalta rajoitettu ja 2

−3 ≤ an. Vast. Rajoitettu, sillä 2

−3≤

a

_n< 1

−2. 254. a) Koska a_n ne

n

= ⁻² > 0, on lukujono (

a

_n) alhaalta rajoitettu.

Peräkkäisten termien erotus on

(8)

68 a_n₊₁−a_n =

1

2 2

( 1)

n n

n e ne

− + −

+ −

=

1

2 2 2

( 1)

n n

n+ e⁻ e⁻ −ne⁻

= 1 ²

( )

n n

n e e + − −

= (1 e n) 1 ²ⁿ

e e

− + − .

Koska 1− e ≈−0,649, niin arvosta n = 2 lähtien on (1− e n) +1< 0 eli a_n₊₁−a_n < 0. Lukujono (a_n) on siten aidosti vähenevä, kun n ≥ 2. Termeistä a₁ =

1

e⁻2 = 1

e ≈ 0,6065 ja a₂ = 2e⁻¹ = 2 e

≈ 0,7358 nähdään, että lukujonon suurin termi on a₂ = 2 e. Vast. Rajoitettu, sillä 0 <

a

_n _≤ ²

e.

b) Lukujono on alhaalta rajoitettu,sillä a_n =( )² ⁻ⁿ

3 > 0. Koska potenssin a_n =( )² ⁻ⁿ 3 = ³

( )2 ⁿ = 1,5ⁿkantaluku 1,5 > 1, niin potenssi saa mielivaltaisen suuria arvoja, kun n on riittävän suuri.

Lukujono ei ole siten ylhäältä rajoitettu.

Vast. Alhaalta rajoitettu, sillä

a

_n > 0,

a

_n ei ole ylhäältä rajoitettu.

255. Funktio f(x) =

2

2^x

x on jatkuva ja derivoituva, kun x ≥ 1. Derivaatta

f ‘ (x) =

2 2

2 2 2 ln 2

(2 )

x x

x

x⋅ −x ⋅

=

2 2ln 2 2^x x−x

saa arvon nolla, kun 2x−x²ln 2 = (2 ln 2)

x −x = 0 eli kun x = 0 tai x = 2 ln 2. Arvo x = 0 ei toteuta ehtoa x > 0.

Kulkukaavion mukaan funktion f suurin arvo

on f( 2

ln 2) ≈ 2,89. Funktio f on aidosti kasvava, kun 1 ≤ x ≤ 2

ln 2 ja aidosti vähenevä, kun x ≥ 2

ln 2. Laskemalla todetaan, että lukujonon

2 n 2n

a =n viisi suurinta lukua ovat a₂ = 1, ₃ 9

a =8, a₄ = 1, ₅ 25

a =32 ja ₆ 9 a =16.

(9)

69 256. Funktion f(x) =

4

2^x

x on jatkuva ja derivoituva, kun x ≥ 1. Derivaatta

f ‘ (x) =

3 4

2

4 2 2 ln 2

(2 )

x x

x

x ⋅ −x ⋅ =

3 4

2

4 ln 2

(2 )^x

x −x =

3(4 ln 2) 2^x x −x

saa arvon nolla, kun x³(4−xln 2) = 0 eli kun x = 0 tai x = 4

ln 2. Arvo x = 0 ei toteuta ehtoa x ≥ 0.

Kulkukaavion mukaan funktion f suurin arvo on f( 4

ln 2) ≈ f(5,77) ≈ 20,3. Koska ₅ 5⁴₅ 17 1932 2

a = = ja

4

6 6

6 1

204 2

a = = , niin lukujonon

4 n 2n

a =n suurin luku on ₆ 1 204 a = .

257. Funktion

f x ( )

= −

x x

²−

1, x

>

0

derivaatta

1

2 2

2

´( ) 1 1 ( 1) 2 1

2 1

f x x x x

x

= − − − ⋅ = −

− ^on negatiivinen, sillä välillä x > 0 on

2 2

1 1 1 0

1 x x x

x x x

− < − = − =

− . Täten funktio f ja lukujono (an)

= f(n), missä n = 1,2, 3… on vähenevä.

258. Koska a₁ = 1 on positiivinen, niin palautuskaavasta ₁ 1

n n

n

a a

+ = a

+ nähdään, että kaikki lukujonon (

a

_n) termit ovat positiivisia. Jakamalla termi

a

_n lukua 1 suuremmalla positiiviluvulla 1 +

a

_n saadaan arvio

a

_n >

1

n n

a

+

a

^eli

a

ⁿ >

a

_n₊₁. Lukujono (

a

_n) on siis vähenevä ja alhaalta rajoitettu,

a

_n

> 0.

Lukujono (

a

_n) suppenee. Jos jonon raja-arvo on

lim

_n

n

→∞

a

= a, niin myös

lim

_n ₁

n

a

₊

→∞ = a. Ottamalla raja-arvon palautuskaavasta saamme yhtälön

1 a a

= a

+ . Koska 1 + a > 0, on yhtälö määritelty kaikilla a:n arvoilla. Kertomalla yhtälö nimittäjällä 1 + a saamme yhtälön a+a²=a eli a² = 0. Siis a = 0.

Vast. Jonon raja-arvo on 0.

(10)

70 259. Likiarvojen perusteella näyttää siltä, että lukujono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu

1 < 1,25 < 1,375 < 1,4375 < 1,46875 < 1,484375 < 1,492188 < 1,496094 < 1,498047 < …

260. Valitsemalla lukujonot (an) ja (bn) sopivasti toteamme, että tulojono (anbn) voi olla monotoninen mutta sen ei tarvitse olla monotoninen. Esimerkiksi kasvavan jono (an) = 1,2,3,4,… ja vähenevän jonon (bn)

= 1, 1/2, 1/3, 1/4, … tulojono on vakiojono 1,1,1,1,… , mutta kasvavan jonon (an) = 1,2,3,4,… ja jonon (cn) = 1, 1/4, 1/9, 1/16, … tulojono 1, 1/2, 1/3, 1/4, … on vähenevä.