Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaisten tehtävät

10 Solmu 2/2018

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaisten tehtävät

Anne-Maria Ernvall-Hytönen Åbo Akademi

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset järjes- tettiin Firenzessä 9.–15.4.2018. Suomea edustivat Milja Krés, Veera Nurmela, Nerissa Shakespeare ja Essi Vil- honen. Varajohtajana oli Neea Palojärvi ja minä jouk- kueenjohtajana. Shakespeare ja Vilhonen saivat kun- niamaininnat. Tehtävät olivat jälleen taattuun EGMO- tyyliin haastavia.

Tehtävä 1. Olkoon ABC kolmio, jossa CA = CB ja ∠ACB = 120^◦, ja olkoon M janan AB keskipiste.

Olkoon piste P kolmion ABC ympäri piirretyllä ym- pyrällä, ja olkoon Q sellainen piste janalla CP, että QP = 2QC. PisteenP kautta kulkeva suora, joka on kohtisuorassa suoraa AB vasten, leikkaa suoran M Q yksikäsitteisessä pisteessäN.

Osoita, että on olemassa sellainen ympyrä, jolla pisteN on aina riippumatta pisteenP sijainnista.

Kommentti:Tämä on nätti klassisen geometrian teh- tävä, ja tämän ratkaisemalla Shakespeare ja Vilhonen hankkivat kunniamainintansa.

Tehtävä 2.Tarkastellaan joukkoa

A=

1 +1

k :k= 1,2,3, . . .

.

a) Osoita, että jokainen kokonaisluku x≥ 2 voidaan esittää joukonA yhden tai useamman alkion tulo- na, missä näiden alkioiden ei välttämättä tarvitse olla keskenään erisuuria.

b) Kun x≥2 kokonaisluku, olkoonf(x) pienin sellai- nen kokonaisluku, että xvoidaan kirjoittaa joukon Aalkioiden tulona niin, että tulontekijöiden määrä onf(x), ja tulontekijät eivät välttämättä ole keske- nään erisuuria.

Osoita, että on olemassa äärettömän monta koko- naislukuparia (x, y), joillax≥2,y≥2, ja

f(xy)< f(x) +f(y).

(Parit (x₁, y₁) ja (x₂, y₂) ovat erisuuria, jos ja vain josx₁6=x₂ taiy₁6=y₂.)

Kommentti: Suomen kilpailijat todellakin lukivat tehtävät huolella: alkuperäiseen suomennokseeni teh- tävästä oli yhteen paikkaan kokonaisluvun x paikalle eksynyt n. Sain tästä kysymyksen välittömästi kilpai- lun alettua. Tehtävän a)-kohta on todella helppo. Siitä oli jaossa yksi piste. Sen merkitys oli lähinnä toimia johdantona b)-kohtaan, joka ratkeaa siedettävällä vai- valla konstruktion avulla, eli konstruoimalla sopivia lu- kuja (joskin silloinkin tarpeellisten asioiden todistami- nen vaatii raakaa työtä). Yleisiä tuloksia funktion käy- töksestä ei kannata yrittää todistaa kilpailutilanteessa, sillä tämä kyseinen funktio on harvinaisen inhottava ja yhteistyökyvytön.

Tehtävä 3.Olkoot C₁, . . . , C_n EGMO:nnkilpailijaa.

Kilpailun jälkeen kilpailijat jonottavat ravintolan edes- sä seuraavien sääntöjen mukaisesti.

• Tuomaristo valitsee kilpailijoiden alkuperäisen jär- jestyksen.

Solmu 2/2018 11

• Kerran minuutissa tuomaristo valitsee kokonaislu- vuni, joka toteuttaa ehdon 1≤i≤n.

– Jos kilpailijanCiedessä on vähintäänikilpailijaa, kilpailijaCimaksaa yhden euron tuomaristolle ja siirtyy jonossa eteenpäinipaikkaa.

– Jos kilpailijanC_i edessä on vähemmän kuin ikil- pailijaa, ravintola aukeaa ja prosessi loppuu.

a) Osoita, että riippumatta siitä mitä päätöksiä tuo- maristo tekee, on prosessin ennen pitkää loputtava.

b) Määritä kaikilla luvun n arvoilla suurin mahdolli- nen määrä euroja, jonka tuomaristo voi kerätä va- litsemalla ovelasti alkuperäisen järjestyksen ja siir- rot.

Kommentti: Tämän tehtävän sanamuodosta keskus- teltiin pitkään. Ehkä hieman yksinkertaistaen oli ti- lanne se, että johtajat niistä maista, joissa korruptiota on huomattavasti, vastustivat sanamuotoa vedoten sii- hen, että tehtävä antaa epäilyttävän käsityksen kilpai- lusta. Esimerkiksi minä taas en rehellisesti sanottuna pystynyt ymmärtämään, miten yhdestä kilpailutehtä- västä vedettäisiin johtopäätöksiä kilpailun toiminnas- ta. Ajatus yleistyksistä tuntui absurdilta ja vielä ab- surdimmalta ajatus kilpailun tuomaristosta kartutta- massa kassaa jonotuttamalla kilpailijoita. Tehtävän sa- namuodolla oli kuitenkin etunsa: sillä, että tehtävässä kerättiin rahaa, saatiin tehtävään selkeä ja yksikäsit- teinen laskuri verrattuna siihen, että oltaisiin mitattu aikaa, jolloin joku kuitenkin olettaisi, että ensimmäi- nen kokonaisluku valittaisiin ajanhetkellä nolla, toisen mielestä ajanhetkellä yksi ja kolmas tulkitsisi tilanteen mahdollisesti ihan toisin.

Tehtävä 4.Domino on 1×2- tai 2×1-laatta.

Olkoonn≥3 kokonaisluku. Dominoita asetetaann×n- laudalle siten, että jokainen domino peittää täsmälleen kaksi laudan ruutua ja dominot eivät mene päällekkäin.

Rivin tai sarakkeen arvo on niiden dominoiden luku- määrä, jotka peittävät vähintään yhden kyseisen rivin tai sarakkeen ruuduista. Dominoiden asettelua kutsu- taan tasapainoiseksi, jos on olemassa k ≥1 niin, että jokaisen rivin ja jokaisen sarakkeen arvo onk.

Osoita, että kaikillan ≥3 on olemassa tasapainoinen asettelu ja määritä pienin mahdollinen määrä dominoi- ta, joka tarvitaan sellaiseen asetteluun.

Kommentti: Tästä tehtävästä olisi ollut siedettäväl- lä vaivalla jaossa reilu kasa pisteitä, mutta se ehkä vaatii hieman tuuriakin. Kaksinkertaisella laskemisel- la saa selville ehdottomat minimit, ja sen jälkeen voi konstruktioilla osoittaa, että nämä todellakin saavute- taan. Oikeita konstruktioita ei kuitenkaan ole ihan yk- sinkertaista saada aikaiseksi.

Tehtävä 5.Olkoon Γ kolmion ABC ympäri piirretty ympyrä. Ympyrä Ω sivuaa janaaABja lisäksi se sivuaa ympyrää Γ pisteessä, joka on janan AB samalla puo- lella kuin piste C. Kulman ∠BCA puolittaja leikkaa ympyrän Ω kahdessa eri pisteessäP jaQ.

Osoita, että∠ABP =∠QBC.

Kommentti:Tämä on hankala. Kaikki malliratkaisut käyttivät jotain perusgeometriaa syvällisempää tulos- ta.

Tehtävä 6.

a) Osoita, että kaikilla reaaliluvuillat, jotka toteutta- vat ehdon 0< t < ¹₂, on olemassa positiivinen koko- naisluku n, jolla on seuraava ominaisuus: kunS on mikä tahansa npositiivisen kokonaisluvun joukko, niin on olemassa kaksi keskenään eri suurta alkiota xjay, jotka kuuluvat joukkoonS ja lisäksi on ole- massa epänegatiivinenkokonaislukum (elim≥0), joilla

|x−my| ≤ty.

b) Onko kaikilla ehdon 0 < t < ¹₂ toteuttavilla reaa- liluvuillat olemassa ääretön positiivisten kokonais- lukujen joukko S, jolla ehto

|x−my|> ty

toteutuu kaikilla joukonS eri alkioistaxjaymuo- dostuvilla pareilla ja kaikillapositiivisillakokonais- luvuillam(eli m >0)?

Kommentti: Tämä oli hankala ja hankalaksi tarkoi- tettukin (kuten 6. tehtävät aina). Koordinointi meni todella vauhdikkaasti, kun tyypillisesti joukkueenjoh- tajat vain kävivät hakemassa koordinaattoreilta nollat paperiin ilman suurempaa keskustelua tai neuvottelua.