11. Kaksi uhkapelaajaa heittää vuorotellen noppaa. Molemmat asettavat pottiin panokseksi 1000 €. Potin voittaa pelaaja, joka saa ensiksi kuutosen. Laske pelin aloittajan nettovoiton odotusarvo.
K = ”6” E = ”ei 6” P(K) =1/6 P(E) = 5/6 Aloittaja voittaa: K, EEK, EEEEK, ….
Näiden todennäköisyydet:
),...
6 ( 1 6 )
( 5 6 ), ( 1 6 )
( 5 6 ,
1
2
4
...
6 ) ( 1 6 )
( 5 6 )
( 1 6 )
( 5 6
) 1 voittaa aloittaja
(
2
4
P
Geometrinen sarja, a = 1/6, q = (5/6)2
11 6 6 )
( 5 1
6 1
2
11 5 11
1 6 ) voita ei
aloittaja
(
P
Nettovoitto, - 1000, 1000
(€) 91 )
1000 11 (
1000 5 11
) 6
( X
E
Anne: Katso MAA13,
vastaava esimerkki s. 165
12. Osoita, että luku n4 – 1 on jaollinen luvulla 8 aina, kun n on pariton kokonaisluku.
n = 2k + 1, k Z
n4 – 1 = (n2 + 1)(n2 – 1)
= ((2k + 1)2 + 1)((2k + 1)2 – 1)
= (4k2 + 4k + 1 + 1)(4k2 + 4k + 1 – 1) = (4k2 + 4k + 2)(4k2 + 4k)
= 2(2k2 + 2k + 1) 4(k2 + k) = 8(2k2 + 2k + 1)(k2 + k)
Koska tekijänä 8, niin n4 – 1 on aina jaollinen luvulla 8.
Anne: Parillinen luku 2k, Pariton 2k + 1 tai 2k – 1 Huomaa: Taas summan ja erotuksen tulon käyttöä
13. Osoita, että funktiolla f(x) = x5 + 2x3 + x + 6 + sinx on käänteisfunktio. Laske
) 6 ( )' ( f
1f ’(x) = 5x4 + 6x2 + 1 + cosx
Koska cosx 0, niin f’ > 0 kaikkialla, jolloin f on aidosti kasvava, joten funtiolla käänteisfunktio
f(0) = 05 + 2 03 + 0 + 6 + sin0 = 6
2 1 0
cos 1
1 )
0 ( ' ) 1
6 ( )'
(
1
f f
Anne: Vertaa meidän MAA13:n koe
Kirjan (MAA13) esimerkki2ab, s. 86 ja ollaan tehty aiheiseen liittyviä tehtäviäkin
