Äärelliset kunnat

Äärelliset kunnat

Välikoe 2, kevät 2011

Tehtävissä p on tarkasteltavan kunnan karakteristika.

1. Määrittele n:s syklotominen polynomi Φ_n annetun kunnan Fsuhteen.

(Kerro myös, milloin Φ_n on määritelty.)

MäärääΦ₁₈(x)kunnan F5 suhteen. Onko tämä jaoton renkaassaF5[x]?

2. Olkoon χ₁: Fq → C^∗, χ₁(x) = e^2πitr(x)p , missä tr on kunnan Fq abso- luuttinen jälki. Osoita, että jos a∈Fq, niin

χa: Fq →C^∗, χa(x) =χ1(ax)

on kunnanFq additiivinen karakteeri. Osoita lisäksi, ettäχ_a6=χ_b aina, kun a6=b.

3. Olkoon a ∈ Fq. Osoita, että trinomi f(x) = x^p −x−a on jaollinen renkaassa Fq[x], jos ja vain jos sillä on nollakohta kunnassaFq.

4. Osoita, että X

ψ∈Fcq^∗

G(ψ, χ) = (q−1)χ(1) aina, kun χ∈Fbq.

Laske myös summan P

χ∈cFq

G(ψ, χ) arvo, kunψ ∈Fcq^∗.