Äärelliset kunnat

Äärelliset kunnat

Välikoe 1, kevät 2011

1. Osoita, ettäf(x) =x³+ 4x−1∈F7[x]on jaoton. Olkoonαpolynomin f nollakohta. Laske

(α²+ 3α+ 2)(2α² −α+ 4)

kunnassa F7³ ja esitä tulos alkion α määräämässä polynomikannassa.

2. Olkoon B = {α₁, . . . , α_n} ⊆ Fqⁿ kanta kunnan Fq suhteen. Määrit- tele kannan B duaalikanta. Määrää normaalikannan {α, α², α⁴} ⊆ F8

duaalikanta, kun α³+α²+ 1 = 0.

3. Määrittele alkionα ∈Fqⁿ minimipolynomi kunnan Fq suhteen. Olkoon tämä polynomi m_α. Osoita seuraavat väitteet:

(a) m_α on yksikäsitteinen.

(b) Jos f ∈Fq[x] ja f(α) = 0, niin m_α |f.

4. OlkootF=Fq,K =Fqⁿ ja L=Fq^nm. Olkoon α∈Fq^nm. Todista, että Tr^L_F(α) = Tr^K_F Tr^L_K(α)

ja N^L_F(α) = N^K_F N^L_K(α) . 4.3.2011 M. Rinta aho