Henri Lotvonen
BALLISTISEN LÄPÄISYN SIMULOINTI MATERIAALIPISTEMENETELMÄLLÄ
Kandidaatintyö
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta
Tarkastaja: Timo Saksala
Elokuu 2021
TIIVISTELMÄ
Henri Lotvonen: Ballistisen läpäisyn simulointi materiaalipistemenetelmällä Tampereen yliopisto
Konetekniikan tutkinto-ohjelma Kandidaatintyö
Elokuu 2021
Ballistinen läpäisy on tärkeä tutkimuksen kohde varsinkin puolustussektorilla, jossa käytetään paljon eri materiaaleja projektiiliuhilta, kuten sirpaleilta ja luodeilta, suojautumiseksi. Suojamate- riaalin toimivuus tulee varmentaa testaamalla, mutta suojamateriaalin suunnittelussa on syytä käyttää myös laskentamenetelmiä, sillä testaustoiminta on kallista ja aikaa vievää. Lisäksi tes- taustoiminta vaatii turvatun laboratorioympäristön ja tarvittavat mittaustyökalut, kun taas simuloin- tiin riittää työkaluksi tietokone. Ballistinen simulointi kuitenkin vaatii osaavan tekijän ja oikeanlai- sen laskentatyökalun.
Tässä työssä tutustutaan materiaalipistemenetelmään ja metallien ballistiseen läpäisyyn.
Työssä käydään läpi materiaalipistemenetelmän toimintaperiaate ja menetelmässä käytössä ole- vat algoritmit. Materiaalipistemenetelmän aiemmat sovelluskohteet esitellään ja sen soveltuvuus ballistisen läpäisyn simulointiin selvitetään. Lisäksi työssä esitellään metalleille tyypilliset läpäisy- mekanismit, sekä käydään läpi dynaamisen analyysin perusteet ja dynaamisessa analyysissä huomioitavat materiaaliominaisuudet. Työn tavoite on selvittää, soveltuuko materiaalipistemene- telmä ballistisen läpäisyn simulointiin.
Materiaalipistemenetelmän soveltuvuutta ballistisen läpäisyn mallinnukseen arvioitiin suoritta- malla läpäisysimulaatioita vapaan lähdekoodin Uintah-ohjelmistolla. Simulaatiotuloksia verrattiin julkisissa lähteissä saatavilla oleviin koetuloksiin. Simulaatiotulokset vastasivat pääosin hyvin koetuloksia sekä projektiilien jäännösnopeuksien että läpäisymekanismien osalta. Lisäksi kaikki simulaatiot pysyivät stabiileina, eli yksikään simulaatio ei keskeytynyt ennenaikaisesti. Eroavai- suudet tulosten välillä johtuivat työssä käytetystä Johnson–Cook-vauriomallista, joka ei tulosten perusteella sovellu yleispäteväksi malliksi metallien läpäisyongelmissa. Tutkimuksen tulokset osoittavat, että materiaalipistemenetelmä on lupaava työkalu ballistisen läpäisyn simulointiin.
Avainsanat: materiaalipistemenetelmä, MPM, ballistinen läpäisy, Johnson–Cook, Uintah
Tämän julkaisun alkuperäisyys on tarkastettu Turnitin OriginalityCheck -ohjelmalla.
SISÄLLYSLUETTELO
1. JOHDANTO ... 1
2. METALLIN BALLISTINEN LÄPÄISY ... 3
2.1 Läpäisymekanismit ... 3
2.2 Dynaaminen analyysi ... 4
2.3 Jännitystila ja myötöehto ... 6
2.4 Materiaalipistemenetelmä ... 8
2.4.1 Menetelmän periaate ja aiemmat tutkimukset ... 8
2.4.2 Algoritmin kuvaus ... 9
2.4.3 Muotofunktiot ... 11
2.5 Materiaalimalli ... 12
2.5.1 Johnson–Cook-materiaalimalli ... 12
2.5.2 Johnson–Cook-vauriomalli ... 14
2.5.3 Jännitysaallon eteneminen materiaalissa ... 15
3. LÄPÄISYSIMULAATIOT ... 17
3.1 Laskentamallin geometria ja materiaalitiedot ... 17
3.2 Laskentamallin verifiointi ja asetukset ... 19
3.2.1 Laskentaverkon ja materiaalipisteiden tiheys ... 20
3.2.2 Aika-askeleen suuruus ... 22
3.3 Koetulosten simulointi ... 23
3.3.1 Tulokset 1,59 mm paksulle levylle ... 23
3.3.2 Tulokset 3,18 mm paksulle levylle ... 26
3.3.3 Tulokset 6,35 mm levylle ... 29
3.3.4 Tulokset sylinteriprojektiilia käyttäen ... 32
4.TULOSTEN ANALYSOINTI ... 35
5. YHTEENVETO ... 37
LÄHTEET ... 38
LIITE A: TAULUKOIDUT TULOKSET
LYHENTEET JA MERKINNÄT
CFD engl. computational fluid dynamics, virtauslaskenta CFL Courant–Friedrichs–Lewy-kerroin
FAA engl. Federal Aviation Administration
FEM engl. finite element method, elementtimenetelmä MPM engl. material point method, materiaalipistemenetelmä
SPH engl. smoothed particle hydrodynamics, eräs simulointimenetelmä
𝐴 staattinen myötölujuus (Johnson–Cook) 𝐵 muokkauslujittumisen kerroin (Johnson–Cook) 𝐶 venymänopeuslujittumisen kerroin (Johnson–Cook)
𝐶 lineaarinen vaimennuskerroin
𝐶 kvadraattinen vaimennuskerroin
𝑐 jännitysaallon nopeus
𝑐 ominaislämpökapasiteetti
𝐷 kertynyt vaurio
𝐷 , 𝐷 , … Johnson–Cook-vaurioparametrit
𝐸 kimmomoduuli
𝑒 energia massayksikköä kohden
ℎ elementin sivun pituus
𝑘 lämpötilavaikutuksen eksponentti (Johnson–Cook)
𝑚 massa
𝑛 muokkauslujittumisen eksponentti (Johnson–Cook)
𝑝 hydrostaattinen paine
𝑆 elementtiverkon muotofunktio
𝑠 , 𝑠 , 𝑠 Mie–Grüneisen-mallin dimensiottomat parametrit
𝑇 lämpötila
𝑉 tilavuus
𝑣 nopeus
𝑥 sijainti
𝛤 Grüneisen-parametri
∆𝑡 aika-askel
𝜀 venymä
𝜀 murtovenymä
𝜀̅ efektiivinen plastinen venymä
𝜀̇ venymänopeus
𝜇 tilavuuden muutosta kuvaava suure
𝜌 tiheys
𝜎 normaalijännitys
𝜎 von Misesin vertailujännitys
𝜎∗ jännitystilan kolmiaksiaalisuus
𝜏 leikkausjännitys
𝜑 materiaalipisteen ominaisfunktio
𝜒 Quinney–Taylor-parametri
{𝑎} kiihtyvyysvektori
{𝑓} voimavektori
{𝑢} nopeusvektori
{𝑣} siirtymävektori
[𝐶] vaimennusmatriisi
𝐹 vaimennusmatriisi
[𝐼] identiteettimatriisi
[𝐾] jäykkyysmatriisi
[𝑀] massamatriisi
1. JOHDANTO
Ballistiikka on tieteenala, joka jaetaan tyypillisesti kolmeen eri osa-alueeseen: sisäballis- tiikkaan, ulkoballistiikkaan ja terminaaliballistiikkaan. Sisäballistiikka koskee projektiilin laukaisemista ja sen etenemistä aseen piipussa, kun taas ulkoballistiikka tutkii projektiilin lentorataa aseen ulkopuolella. Terminaaliballistiikka tutkii projektiilin ja kohteen välistä vuorovaikutusta. [1, s. 19] Terminaaliballistiikka on tärkeä tutkimuksen ja kehityksen kohde varsinkin puolustussektorilla, sillä yleispätevää suojausmenetelmää kaikkia erilai- sia projektiiliuhkia vastaan ei ole olemassa. Suojamateriaaleina käytetään rakenneteräk- siä, panssariteräksiä, kevytmetalleja, kankaita, tekstiileitä, kuitulujitetuttuja komposiitteja sekä keraameja. Yhdistelemällä näitä materiaaleja kerroksittain voidaan koota tehok- kaita suojia erilaisia projektiileja vastaan. Projektiiliuhalta suojautumiseksi tarvittava bal- listinen suojaus riippuu projektiilin ominaisuuksista ja käytettävissä olevasta tila- ja mas- sabudjetista. Lisäksi käyttökohteen olosuhteet voivat aiheuttaa ylimääräisiä vaatimuksia suojamateriaalille. Esimerkiksi osa komposiittimateriaaleista on palonarkoja, ja tällaisia materiaaleja on syytä välttää, jos suojauskohteessa on mahdollinen tulipalovaara. Bal- listisen suojauksen kohteita ovat muun muassa ihmiset, erilaiset ajoneuvot, sotalaivat sekä helikopterit.
Ballistisen suojan suunnittelussa tarvitaan sekä koetoimintaa että laskentamenetelmiä.
Koetoiminta on kallista ja aikaa vievää. Kokeen järjestely vaatii osaavaa henkilökuntaa ja turvatun laboratorioympäristön mittauslaitteistoineen. Lisäksi kokeita pitää suorittaa paljon mahdollisen hajonnan ja epätarkkuuksien vaikutuksen vähentämiseksi. Numeeri- nen simulointi sen sijaan ei vaadi erillistä laboratoriota, sillä pelkkä tietokone riittää tulos- ten aikaansaamiseksi. Tietokone suorittaa laskentaa väsymättä vuorokauden ympäri, kun taas koetoiminta edistyy vain henkilöstön työaikana. Lisäksi simuloinnilla on mah- dollista saada yksityiskohtaisempaa tietoa ballistisesta läpäisystä, kuten esimerkiksi ma- teriaalien lämpötilojen ja jännitystilojen muutokset iskun ja läpäisyn aikana. Tämä yksi- tyiskohtaisempi tieto voi mahdollistaa myös uusien yksinkertaisempien analyyttisten las- kentamenetelmien kehittämisen.
Ballistinen läpäisy on hyvin nopea dynaaminen ilmiö ja sen mallintaminen vaatii dynaa- misen analyysin. Suuret muodonmuutokset ja materiaalin hajoaminen vaativat sopivat materiaali- ja vauriomallit. Lisäksi suuret nopeudet aiheuttavat jännitysaallon etenemisen
materiaalissa, mikä tulee ottaa huomioon sopivalla tilanyhtälöllä. Tässä työssä perehdy- tään ballistisen läpäisyn simulointiin ja sille oleellisiin laskentamalleihin. Työssä käyte- tään läpäisyn simulointiin materiaalipistemenetelmää (MPM, engl. material point met- hod), joka on suhteellisen uusi laskentamenetelmä ja soveltuu erityisesti suurien muo- donmuutosten mallintamiseen. MPM yhdistää elementtimenetelmän (FEM, engl. finite element method) ja virtauslaskennan (CFD, engl. computational fluid dynamics) parhaat puolet mahdollisimman stabiilin analyysimenetelmän aikaansaamiseksi. Työssä suorite- taan läpäisysimulaatioita ja niiden tuloksia verrataan kokeellisesti saatuihin tuloksiin.
Tarkoituksena on selvittää, miten hyvin MPM soveltuu ballistisen läpäisyn simulointiin.
Työssä käytetty ohjelmisto on vapaan lähdekoodin Uintah [2].
Työ on rajattu aiheen laajuuden vuoksi metallimateriaalien läpäisyyn. Toisessa luvussa tutustutaan metalleille tyypillisiin läpäisymekanismeihin, dynaamisen analyysin perustei- siin, MPM:n teoriaan sekä metalleille tyypillisesti käytettyyn materiaalimalliin nopeissa dynaamisissa ilmiöissä. Kolmannessa luvussa esitellään simulaatiomalli ja sillä suorite- tut laskennat. Neljännessä luvussa analysoidaan saatuja tuloksia. Viidennessä luvussa on yhteenveto työn toteutuksesta ja tuloksista.
2. METALLIN BALLISTINEN LÄPÄISY
Tässä luvussa käydään läpi metallin ballistisen läpäisyn simuloinnin teoriatausta. Ensin esitellään metalleille tyypilliset läpäisymekanismit sekä dynaamisen analyysin perusteet ja materiaalin jännitystila. Nämä ovat oleelliset lähtötiedot, jotta lukija kykenee ymmärtä- mään, miten materiaalipistemenetelmä toimii ja mitä materiaalimallilla kuvataan.
Erilaisia olemassa olevia laskenta-algoritmeja on useita, mutta tässä työssä keskitytään Uintah-ohjelmiston käyttämiin algoritmeihin ja laskentamalleihin. Muut laskenta-algorit- mit jätetään pääosin huomiotta, vaikka ne olisikin muiden tutkimusten mukaan osoitettu Uintahissa käytössä olevia algoritmeja paremmiksi.
2.1 Läpäisymekanismit
Läpäisymekanismi riippuu pääosin kohdelevyn materiaaliominaisuuksista, paksuudesta sekä projektiilin muodosta. Sitkeille metalleille tyypilliset läpäisymekanismit on esitetty kuvassa 1. Nämä mekanismit ovat aukon laajeneminen (engl. ductile hole growth), tul- pan leikkautuminen (engl. shear plugging) ja terälehti-ilmiö (engl. petalling). Myös sirpa- loituminen ja murtuminen ovat mahdollisia läpäisymekanismeja, mutta niitä ilmenee tyy- pillisesti vain hyvin korkean lujuuden omaavilla panssariteräksillä, jotka ovat samalla hy- vin hauraita materiaaleja. Lisäksi todellinen läpäisymekanismi voi olla näiden eri meka- nismien yhdistelmä.
Kuva 1: Sitkeille metalleille tyypilliset läpäisymekanismit.
Aukon laajeneminen on läpäisymekanismina silloin, kun projektiili on teräväkärkinen ja kohdelevy on riittävän paksu. Tällöin projektiili läpäisee levyn työntäen levyn materiaalia poispäin radiaalisuunnassa. Kohdelevystä ei poistu lainkaan materiaalia. Tämän vuoksi
sekä sisäänmeno- että ulostuloaukon kohdalle syntyy pieni kohouma. Aukon laajenemi- nen on kaikista läpäisymekanismeista se, jossa kohdelevy absorboi eniten energiaa pro- jektiililta. [1, s. 24–25]
Tulpan leikkautumisessa projektiili työntää materiaalia eteenpäin akselinsa suuntaisesti.
Kohdelevyn materiaali puristuu jonkin verran kasaan, kunnes materiaali menettää kan- tokykynsä leikkauskuormituksen johdosta. Tällöin levystä irtoaa tulppa (engl. plug), joka saa iskumaisen kuormituksen takia suuren lähtönopeuden ja muuttuu myös itse projek- tiiliksi. Tulppa on tyypillisesti ohuempi kuin alkuperäinen kohdelevyn paksuus materiaalin kokoonpuristumisen vuoksi. Tulpan leikkautuminen on tyypillinen tylppäkärkisten projek- tiilien läpäisyongelmissa. [1, s. 26–27]
Terälehti-ilmiö on läpäisymekanismina pääosin silloin, kun projektiili on terävä ja kohde- levy on riittävän ohut. Tällöin levyn materiaali murtuu radiaalisuunnassa ja projektiili työn- tyy levyn läpi muodostaen samalla kukan terälehtiä muodostavan kuvion. Ohuella levyllä on alhainen taivutusvastus, jolloin levyyn tyypillisesti syntyy myös merkittävä taipuma.
Terälehti-ilmiö on tyypillinen myös lyhyellä etäisyydellä tapahtuvassa räjähdyksessä. [3]
2.2 Dynaaminen analyysi
Rakenteen jännitystila ratkaistaan sekä staattisessa että dynaamisessa analyysissä lii- keyhtälön avulla. Liikeyhtälö voidaan ilmaista muodossa
[𝑀]{𝑎}
{ inertia}
+ [𝐶]{𝑣}
{ damp}
+ [𝐾]{𝑢}
{ int}
= { 𝑓ext}
(1) missä [𝑀] on massamatriisi, [𝐶] on vaimennusmatriisi, [𝐾] on jäykkyysmatriisi, {𝑎} on kiihtyvyysvektori, {𝑣} on nopeusvektori, {𝑢} on siirtymävektori, {𝑓inertia} on hitausvoima- vektori, 𝑓damp on vaimennusvoimavektori, {𝑓int} on sisäisten voimien vektori ja {𝑓ext} on rakenteeseen vaikuttavien ulkoisten voimien vektori. Staattista analyysiä voidaan käyttää silloin, kun ulkoinen kuormitus on vakio ja hitausvoima on merkityksetön. Staat- tisessa analyysissä ei tarvita massamatriisia eikä vaimennusmatriisia. Jäykkyysmatriisi kootaan laskennan aluksi ja lineaarisessa analyysissä se pysyy muuttumattomana koko laskennan ajan. Epälineaarisessa analyysissä jäykkyysmatriisi voi muuttua analyysin ai- kana, kun rakenteen muoto muuttuu merkittävästi ulkoisten voimien vaikutuksesta. [4, s.
407]
Dynaamisessa analyysissä tarvitaan aina massamatriisi. Vaimennusmatriisia voidaan käyttää tarvittaessa, mutta sen käyttö ei ole pakollista. Dynaamista analyysiä tulee käyt- tää silloin, kun ulkoinen kuormitus muuttuu ajan funktiona ja kun hitausvoima on merkit- tävä. Toistuvan ja pitkäaikaisen kuormituksen tapauksessa ratkaisu perustuu tyypillisesti
rakenteen ominaismuotoihin, jolloin kyseessä on lineaarinen värähtelyanalyysi. Kun ra- kenteeseen kohdistuva kuormitus vaikuttaa vain hetkellisesti, on ratkaisumenetelmänä tyypillisesti käytettävä aikaintegrointia. Aikaintegroinnissa liikeyhtälö ratkaistaan erillisillä ajanhetkillä ∆𝑡, 2∆𝑡, 3∆𝑡, … , 𝑛∆𝑡 ja niin edelleen. Lineaarisessa aikaintegroinnissa liikeyh- tälössä esiintyvä sisäisten voimien vektori lasketaan jäykkyysmatriisia käyttäen, mutta epälineaarisessa aikaintegroinnissa sisäiset voimat ratkaistaan materiaalin jännitystilan avulla. Aikaintegrointimenetelmät voidaan jakaa kahteen ryhmään: eksplisiittisiin ja im- plisiittisiin aikaintegrointimenetelmiin. [4, s. 407]
Eksplisiittisessä aikaintegroinnissa askelletaan ajassa eteenpäin ottaen hyvin pieniä aika-askelia ja käyttäen hyväksi ainoastaan aiemmilta aika-askeleilta saatuja tietoja. Jo- kaisella aika-askeleella liikeyhtälöstä ratkaistaan kiihtyvyydet hetkellä 𝑡, joita käyttäen saadaan laskettua aikaintegrointimenetelmällä nopeudet ja siirtymät hetkellä 𝑡 + ∆𝑡. Eks- plisiittisessä aikaintegroinnissa käytetään yleensä diagonaali-massamatriisia, joka mah- dollistaa hyvin nopean liikeyhtälön ratkaisun jokaisella aika-askeleella, sillä diagonaali- matriisin käänteismatriisi saadaan suoraan ottamalla matriisin jokaisesta alkiosta kään- teisluku. Toisaalta taas aika-askeleen koko on rajoitettu hyvin pieneksi, jotta laskenta pysyisi stabiilina eikä keskeytyisi numeeriseen virheeseen. Aika-askeleen pituus on ra- joitettu niin, että sen pitää olla pienempi kuin aika, joka jännitysaallolla kestää edetä ma- teriaalissa elementtiverkon pienimmän elementin läpi. Elastiselle materiaalille jännity- saallon nopeus 𝑐 lasketaan yksiulotteiselle tapaukselle käyttäen materiaalin kimmomo- duulia 𝐸 ja tiheyttä 𝜌 seuraavan kaavan mukaan:
𝑐 = 𝐸 𝜌⁄ . (2)
Mitä pienempi aika-askel laskennassa on käytössä, sitä suurempi on aika-askelten luku- määrä. Tämä ei kuitenkaan ole merkittävä ongelma, mikäli tutkittava ilmiö tapahtuu hyvin pienellä aikavälillä, jolloin aika-askelten lukumäärä ja laskennan kesto ei kasva liian suu- reksi. Esimerkki tällaisesta pienen aikavälin ilmiöstä on ballistinen läpäisy, joka tyypilli- sesti kestää alle millisekunnin. [4, s. 408–413]
Implisiittisessä aikaintegroinnissa tehdään valistunut arvaus rakenteen tilasta tulevalla ajanhetkellä 𝑡 + ∆𝑡. Sen jälkeen tätä arvausta iteroidaan, kunnes liikeyhtälö tällä tulevalla ajanhetkellä toteutuu tietyllä tarkkuudella. Tämän iteroinnin vuoksi implisiittisen ai- kaintegroinnin yksi aika-askel on huomattavasti työläämpi kuin eksplisiittisessä ai- kaintegroinnissa, mutta toisaalta aika-askeleen koolle ei tyypillisesti ole rajoituksia las- kennan stabiiliuden kannalta. Tosin liian suuret aika-askeleet voivat silti vaikuttaa las-
kentatulosten tarkkuuteen. Implisiittinen aikaintegrointi soveltuu hyvin pitkäkestoisem- pien dynaamisten kuormitusten vasteiden laskentaan, kuten esimerkiksi maanjäristyk- sen aiheuttamiin kuormituksiin. [4, s. 407–408]
Ballistisen läpäisyn simuloinnissa on syytä käyttää eksplisiittistä aikaintegrointia. Erilaisia integrointialgoritmeja on lukuisia. Uintahissa on käytössä Eulerin integrointimenetelmä (engl. forward Euler method), jolla voidaan laskea nopeudet ja siirtymät kiihtyvyyden avulla seuraavasti:
{𝑣} = {𝑣} + ∆𝑡 ∙ {𝑎}
{𝑢} = {𝑢} + ∆𝑡 ∙ {𝑣} (3)
missä ∆𝑡 on aika-askeleen pituus ja alaindeksi 𝑛 viittaa aika-askeleen järjestyslukuun.
Aika-askeleen pituus lasketaan Uintahissa seuraavan kaavan mukaan:
∆𝑡 = CFL∙ ℎmin
𝑐 + |𝑣| (4)
missä CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) on käyttäjän antama vakio, ℎmin on elementtiver- kon pienimmän elementin sivun pituus ja 𝑣 on paikallinen materiaalipisteen nopeus. Uin- tah laskee äänennopeuden 𝑐 uudestaan analyysin aikana jokaisella aika-askeleella ma- teriaalin jännitystilan muuttuessa. [5, s. 169–170] CFL:n arvo valitaan väliltä 0 < CFL≤1, ja se on tarpeellinen varsinkin monissa kontakteja sisältävissä simulaatioissa, sillä kon- taktialgoritmi voi vaatia hyvin pienen aika-askeleen pysyäkseen stabiilina.
2.3 Jännitystila ja myötöehto
Kuva 2 esittää mielivaltaisesti valitun pisteen jännityselementtiä ja sen jännityskom- ponentteja. Jännityskomponentti 𝜎 on normaalijännitys, 𝜏 on leikkausjännitys ja alain- deksit 𝑥, 𝑦, 𝑧 viittaavat koordinaattiakseleihin. Leikkausjännitykset ovat pareittain yhtä suuret, joten saadaan yhteydet 𝜏 = 𝜏 , 𝜏 = 𝜏 ja 𝜏 = 𝜏 . Tämän johdosta pis- teen jännitysmatriisi voidaan kirjoittaa
[𝜎] =
𝜎 𝜏 𝜏
𝜏 𝜎 𝜏
𝜏 𝜏 𝜎 (5)
Jännitysmatriisi voidaan jakaa kahden osan summaksi seuraavasti:
[𝜎] =
𝜎 𝜏 𝜏
𝜏 𝜎 𝜏
𝜏 𝜏 𝜎 =
𝑝 0 0
0 𝑝 0
0 0 𝑝
[ P]
+
𝜎 − 𝑝 𝜏 𝜏
𝜏 𝜎 − 𝑝 𝜏
𝜏 𝜏 𝜎 − 𝑝
[ D]
(6)
missä matriisi [𝜎P] esittää jännitystilan hydrostaattista osuutta ja matriisi [𝜎D] esittää jän- nitystilan deviaattoriosuutta. Muuttuja 𝑝 on hydrostaattinen paine, joka lasketaan seu- raavasti:
𝑝 =1
3 𝜎 + 𝜎 + 𝜎 (7)
Jännitystilan hydrostaattinen osuus aiheuttaa tilavuuden muutosta, kun taas deviaattori- osuus aiheuttaa muodon vääristymistä. [6, s. 51]
Kuva 2: Jännityselementti ja jännityskomponentit.
Metallimateriaalit kokevat pysyviä eli plastisia muodonmuutoksia, kun jännitystila ylittää tietyn kriittisen pisteen. Tämä kriittinen piste on materiaalin myötöraja, joka monilla ra- kenneteräksillä on suuruusluokaltaan 235–355 MPa. Materiaalin jännitystilaa ei sellaise- naan pysty vertaamaan yksittäiseen myötörajan arvoon. Jännitystilan komponenteista pitää muodostaa skalaarisuure, jota voidaan verrata myötörajan arvoon. Tätä skalaari- suuretta kutsutaan vertailujännitykseksi. Metalleille yleensä käytetään von Misesin ver- tailujännitystä 𝜎 , joka voidaan kirjoittaa
𝜎 = 1
2 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + (𝜎 − 𝜎 ) + 6 𝜏 + 𝜏 + 𝜏 (8) Metallimateriaali käyttäytyy siis elastisesti, kunnes von Misesin vertailujännitys ylittää materiaalin myötörajan. Tämän jälkeen materiaaliin tulee pysyviä muodonmuutoksia ja sen käyttäytymisen kuvaamiseksi tarvitaan epälineaarinen materiaalimalli. [6, s. 231–
232]
2.4 Materiaalipistemenetelmä
2.4.1 Menetelmän periaate ja aiemmat tutkimukset
Guilkeyn et al. [5] mukaan ensimmäisenä materiaalipistemenetelmän esittelivät Sulsky et al. [7, 8], kun he halusivat kehittää numeerisesti stabiilin menetelmän läpäisyn, iskun ja suuria rotaatioita sisältävien ongelmien mallintamiseksi. Ensimmäisen kerran termi materiaalipistemenetelmä esiintyi kuitenkin vasta myöhemmin vuonna 1996 Sulskyn ja Schreyerin tutkimuksessa [9], jossa he kuvasivat menetelmän käytön pyörähdyssym- metriselle mallille. MPM on yhdistelmä Lagrange- ja Euler-kuvauksista, joiden periaatteet on esitetty kuvassa 3. Lagrange-kuvauksessa materiaali kuvataan säännöllisellä tai epä- säännöllisellä elementtiverkolla, joka deformoituu materiaalin mukana. Lagrange-ku- vauksessa elementtien naapurielementit eivät voi vaihtua simulaation aikana. Tähän pe- rustuu perinteinen elementtimenetelmä. Euler-kuvauksessa säännöllinen elementti- verkko pysyy muuttumattomana ja materiaali virtaa verkon läpi. Tämä menetelmä on käytössä virtauslaskennassa.
Kuva 3: Lagrange- ja Euler-kuvauksien periaatteet.
MPM:ssä laskenta-alue kuvataan säännöllisellä elementtiverkolla ja tarkasteltava mate- riaali mallinnetaan verkon sisällä olevilla materiaalipisteillä. Elementtiverkko deformoituu materiaalipisteiden mukana, mutta jokaisen aika-askeleen lopussa elementtiverkko pa- lautetaan takaisin alkuperäiseen tilaansa. Näin vältetään ongelma, joka voi vaivata ele- menttimenetelmää suurten muodonmuutosten mallinnuksessa, kun elementit pääsevät deformoitumaan liiaksi ja laskenta hajoaa tai muuttuu vähintäänkin epätarkaksi. Muita
MPM:n etuja perinteisempään elementtimenetelmään verrattuna ovat vaikeiden geo- metrioiden mallintamisen helppous ja säännöllisen elementtiverkon mahdollistamat yk- sinkertaiset ja tehokkaat kontaktialgoritmit. MPM:n huonoja puolia ovat elementtimene- telmää raskaampi, hitaampi ja epätarkempi laskenta. Lisäksi myös MPM on ollut varsin- kin menetelmän alkuaikoina altis laskennan ennenaikaiselle keskeytymiselle suurten muodonmuutosten simuloinnissa, mutta uudet kehittyneemmät muotofunktiot ovat vä- hentäneet tätä ongelmaa. [5]
Myös ballistista iskua ja läpäisyä on jo aiemmin simuloitu MPM:llä. Ionescu et al. [25]
käyttivät Uintahia mallintaakseen pehmytkudoksen vaurioitumista luotiläpäisyn aikana.
He implementoivat Uintahiin anisotrooppisen materiaalimallin ja käyttivät venymäperus- teista vauriokriteeriä pehmytkudokselle. Heidän laskentatulosten oikeellisuudesta ei kui- tenkaan ole tarkkaa tietoa, sillä vertailut kokeellisiin tuloksiin olivat vähäiset. Ma et al.
[26] kehittivät oman MPM-ohjelman ja vertailivat sitä käyttäen MPN:n ja SPH:n (engl.
smoothed particle hydrodynamics) suorituskykyä erittäin nopeissa iskumaisissa ongel- missa. He totesivat MPM:n olevan tehokas ja lupaava menetelmä kyseisten ilmiöiden mallintamiseen.
2.4.2 Algoritmin kuvaus
Jotta ymmärrettäisiin miten materiaalipisteiden ja elementtiverkon välinen yhteys MPM:ssä toimii, on syytä tarkastella yhden aika-askeleen aikana tapahtuvaa laskentaa.
Wallstedt ja Guilkey [27] vertailivat kolmen eri menetelmän tehokkuutta ja tarkkuutta. He kutsuivat näitä menetelmiä nimillä update stress first (USF), update stress last (USL) ja central difference (CD). He osoittivat, että USL ja CD ovat hyvin samankaltaisia mene- telmiä ja että kumpikin näistä on huomattavasti parempi kuin USF. USL on Uintahissa käytössä oleva menetelmä ja sen vaiheet kerrotaan tässä luvussa [5].
MPM:ssä materiaalipisteet liikkuvat laskentaverkon läpi, ja laskentaverkko palautetaan jokaisen aika-askeleen lopuksi alkuperäiseen tilaansa. Tämän vuoksi materiaalipisteiden tiedot täytyy aina aika-askeleen alussa interpoloida verkon solmupisteille ja se tehdään seuraavasti:
𝑚 = 𝑆̅ 𝑚 , {𝑣 } = 𝑆̅ 𝑚 𝑣
𝑚 ,
{ 𝑓ext} = 𝑆̅ 𝑓ext , 𝑓int = ∇𝑆̅ 𝜎 𝑉
(9)
missä alaindeksit 𝑝 ja 𝑖 viittaavat yksittäiseen materiaalipisteeseen ja verkon solmupis- teeseen, 𝑆̅ on muotofunktion arvo solmupisteelle 𝑖 materiaalipisteen 𝑝 kohdalla, 𝑉 on
materiaalipisteen tilavuus ja ∇ on gradienttioperaattori. Solmupisteiden massat 𝑚 vas- taavat diagonaalisen massamatriisin lävistäjää. Muotofunktioita käsitellään tarkemmin luvussa 2.4.3. [5]
Kun materiaalipisteiden tiedot on interpoloitu solmupisteille kaavalla (9), ratkaistaan seu- raavaksi kiihtyvyydet ja nopeudet laskentaverkon solmupisteissä:
{𝑎 } = [𝑀 ] { 𝑓ext} − 𝑓int {𝑣 } = {𝑣 } + ∆𝑡 ∙ {𝑎 }
(10)
Tämän jälkeen lasketaan materiaalipisteiden nopeusgradientit seuraavasti:
∇ 𝑣 = ∇𝑆̅ {𝑣 } (11)
Nopeusgradienttia käyttäen saadaan selville materiaalipisteen inkrementaalinen defor- maatiogradientti d 𝐹 seuraavalla kaavalla:
d 𝐹 = [𝐼] + ∇ 𝑣 ∆𝑡 (12)
missä [𝐼] on identiteettimatriisi. Inkrementaalisen deformaatiogradientin avulla päivite- tään materiaalipisteen tilavuus ja deformaatiogradientti seuraavasti:
𝑉 =Det d 𝐹 𝑉 , 𝐹 = d 𝐹 ∙ 𝐹 (13)
Nimensä mukaisesti deformaatiogradientti kuvaa materiaalin deformaation muutosta ja se tarvitaan materiaalipisteen jännitystilan laskemiseksi. [5]
Aika-askeleen lopuksi materiaalipisteiden nopeudet ja siirtymät päivitetään seuraavasti:
𝑣 = 𝑣 + ∇𝑆̅ {𝑎 } ∆t
𝑢 = 𝑢 + ∇𝑆̅ {𝑣 } ∆t
(14)
Tämä algoritmin kuvaus ei sisällä kaikkia mahdollisesti tarvittavia toimenpiteitä, kuten esimerkiksi kinemaattisten reunaehtojen ja kontaktien huomiointia. Tämä on kuitenkin kattava yleiskuvaus algoritmin toiminnasta. [5] Steffenin mukaan [28] MPM:ssä on mah- dollista päivittää myös laskentaverkon solmupisteiden siirtymät ja jättää verkon palaut- taminen alkutilaan suorittamatta. Tällöin algoritmi toimii käytännössä samoin kuin ele- menttimenetelmä ja se voi tällöin olla altis verkon vääristymille suurilla muodonmuutok- silla. Kuitenkin ainakin yksi MPM:n hyvistä ominaispiirteistä säilyy, eli monimutkaisten geometrioiden helpompi mallinnus.
2.4.3 Muotofunktiot
Materiaalipisteiden ja laskentaverkon solmupisteiden välinen tiedonsiirto käsitellään muotofunktioiden avulla. Bardenhagenin ja Koberin mukaan [29] muotofunktion arvo sol- mupisteelle 𝑖 materiaalipisteen 𝑝 kohdalla lasketaan seuraavasti:
𝑆̅ = 1
𝑉 𝜑 ({𝑥}) ∙ 𝑆
Ω ∩Ω
({𝑥})∙d{𝑥} (15)
missä 𝜑 on materiaalipisteiden ominaisfunktio, 𝑆 on elementtiverkon muotofunktio ja {𝑥} on koordinaattipisteiden vektori. Muotofunktion gradientin arvo saadaan vastaavasti:
∇𝑆̅ = 1
𝑉 𝜑 ({𝑥}) ∙ ∇𝑆
Ω ∩Ω
({𝑥})∙d{𝑥} (16)
MPM:ssä elementtiverkon muotofunktioksi valitaan paloittain lineaarinen funktio, joka voidaan yksiulotteiselle tapaukselle kirjoittaa
𝑆 (𝑥) =
0 1 + (𝑥 − 𝑥 )/ℎ 1 − (𝑥 − 𝑥 )/ℎ
0
𝑥 − 𝑥 ≤ −ℎ
−ℎ < 𝑥 − 𝑥 ≤ 0 0 < 𝑥 − 𝑥 ≤ ℎ
ℎ < 𝑥 − 𝑥
(17)
missä ℎ on elementin sivun pituus ja 𝑥 on solmupisteen sijainti. Kolmiulotteiselle tapauk- selle elementtiverkon muotofunktio saadaan kertomalla kolmen eri suunnan yksiulottei- set muotofunktiot keskenään.
Bardenhagenin ja Koberin mukaan [29] eri interpolointimenetelmiin päädytään, kun vaih- detaan materiaalipisteen ominaisfunktiota 𝜑 . Alkuperäisessä MPM-interpoloinnissa käytetään ominaisfunktiona Diracin deltafunktiota. Tällöin muotofunktio 𝑆̅ on paloittain lineaarinen ja muotofunktion gradientti ∇𝑆̅ on paloittain vakioarvoinen. Alkuperäisen MPM-interpoloinnin muotofunktio ja sen gradientti on esitetty kuvassa 4. Kuten kuvasta nähdään, muotofunktion gradientissa on epäjatkuvuuskohtia. Tämä aiheuttaa lasken- taan epästabiiliutta ja epätarkkuutta silloin, kun materiaalipiste siirtyy laskentaverkon ele- mentin sisältä toisen elementin alueelle. Välttyäkseen tältä epätarkkuudelta, Bardenha- gen ja Kober kehittivät GIMP-menetelmän (generalized interpolation material point met- hod). GIMP-menetelmässä materiaalipisteen ominaisfunktio 𝜑 muodostetaan Hea- visiden funktion avulla. Tällöin muotofunktion gradienttiin ei tule epäjatkuvuuskohtia, ku- ten kuvasta 4 voidaan nähdä. Bardenhagenin ja Koberin mukaan GIMP-menetelmä suo- riutuu laskennasta selkeästi paremmin kuin alkuperäinen MPM-interpolointi, ja heidän mukaansa alkuperäistä MPM-interpolointia tulisikin käyttää ainoastaan pienten defor- maatioiden ongelmissa, joissa materiaalipisteet eivät ylitä elementtien välisiä rajoja.
Kuva 4: MPM-interpoloinnissa ja GIMP-menetelmässä käytettävät muotofunktiot ja niiden gradientit perustuen lähteeseen [5].
Sadeghirad et al. [30] esittivät CPDI-menetelmän (convected particle domain interpola- tion), joka on heidän mukaansa tarkempi kuin GIMP-menetelmä erittäin suurten veny- mien ja rotaatioiden ongelmissa. GIMP-menetelmässä materiaalipisteen muoto pide- tään koko analyysin ajan suorakulmaisena särmiönä, mutta CPDI-menetelmässä mate- riaalipisteen sallitaan muuttuvan suuntaissärmiöksi ja käyttöön otetaan uudenlaiset muo- tofunktiot. Materiaalipisteen muodonmuutos suuntaissärmiöksi saadaan selville defor- maatiogradientin perusteella. Sadeghirad et al. validoivat menetelmänsä vertaamalla sillä saatuja tuloksia GIMP:llä saatuihin tuloksiin muun muassa mallintamalla radiaali- sesti laajenevan kehän, suurten vetomuodonmuutosten kohteena olevan sauvan sekä ulokepalkin suurten siirtymien värähtelyä. Kaikissa validointitapauksissa CPDI antoi vä- hintäänkin yhtä tarkkoja tuloksia kuin GIMP, ja monessa tapauksessa CPDI oli huomat- tavasti tarkempi. Kaikki validointiongelmat olivat kaksiulotteisia tapauksia, mutta Sa- deghirad et al. mukaan tulokset ovat helposti laajennettavissa kolmiulotteisiin tapauksiin.
2.5 Materiaalimalli
2.5.1 Johnson–Cook-materiaalimalli
Johnson–Cook-materiaalimalli [31, katso 1, s. 500] kuvaa materiaalin epälineaarista käyttäytymistä suurien venymänopeuksien ja plastisten muodonmuutosten aikana.
Johnson–Cook-malli laskee materiaalin myötörajan 𝜎 seuraavasti:
𝜎 = 𝐴 + 𝐵𝜀̅ 1 + 𝐶 ln 𝜀̅̇
𝜀̇ 1 − 𝑇 − 𝑇ref
𝑇melt− 𝑇ref (18)
missä 𝐴, 𝐵, 𝑛, 𝐶 ja 𝑘 ovat kokeellisesti määritettyjä Johnson–Cook-materiaaliparamet- reja. Referenssivenymänopeus 𝜀̇ ja referenssilämpötila 𝑇ref valitaan koejärjestelyissä käytettyjen mittausolosuhteiden mukaisesti. Loput mallin parametrit ovat materiaalin su- lamislämpötila 𝑇melt, efektiivinen plastinen venymä 𝜀̅ ja plastinen venymänopeus 𝜀̅̇ . Efektiivinen plastinen venymä on vertailujännityksen tapainen materiaalipisteen veny- mätilaa vastaava skalaariarvo, ja plastinen venymänopeus on tämän skalaariarvon kas- vunopeus. Johnson–Cook-mallissa on kolme päätermiä, jotka kuvaavat materiaalin muokkauslujittumista, venymänopeuslujittumista sekä lujuuden menetystä lämpötilan noustessa. Nämä kolme termiä kerrotaan keskenään, jolloin saadaan mallin mukaan selville niiden yhteisvaikutus materiaalin lujuuteen.
Yllä kuvattu malli ei vielä itsessään mallinna lämpötilan muutosta materiaalissa. Ballis- tista läpäisyä käsitellään tyypillisesti adiabaattisena ilmiönä, sillä ilmiön kestoaika on niin lyhyt, ettei lämpöenergia ehdi siirtyä pois korkean lämpötilan alueelta. Lämpötilan nousu
∆𝑇 on adiabaattisen prosessin mukaisesti peräisin mekaanisesta työstä ja se voidaan laskea seuraavasti:
∆𝑇 = 𝜒𝜎 ∙ ∆𝜀̅
𝜌 ∙ 𝑐 (19)
missä 𝑐 on materiaalin ominaislämpökapasiteetti ja 𝜒 on Quinney-Taylor parametri, joka kertoo, kuinka suuri osuus plastisesta muodonmuutosenergiasta muuttuu lämmöksi. [1, s. 501]
Alkuperäiset Johnson–Cook-materiaaliparametrit usealle eri metallille [31, katso 1, s.
500] määritettiin käyttäen kolmea eri koemenetelmää jokaiselle materiaalille:
Vääntötestit eri venymänopeuksilla kvasistaattisesta nopeudesta 400 s-1 veny- mänopeuteen asti.
Hopkinson Split Bar -kokeet eri lämpötiloissa.
Kvasistaattiset vetokokeet.
Klepaczko et al. [32] kritisoivat Johnson–Cook-materiaalimallia toteamalla sen pahim- maksi puutteeksi muokkauslujittumista, venymänopeutta ja lämpötilan vaikutusta kuvaa- vien termien yksinkertaisen keskenään kertomisen. Tämä ei heidän mukaansa vastaa näiden mekanismien todellista riippuvuutta toisistaan. Lisäksi heidän mukaansa vakio- arvon käyttö venymälujittumisen eksponenttiparametrille 𝑛 ei vastaa kokeellisia tuloksia.
Myöskään alkuperäinen venymänopeuden huomioon ottava termi ei heidän mukaansa riitä kuvaamaan realistisesti venymänopeuden vaikutusta suurella venymänopeusskaa- lalla useimmilla metalleilla. Malli on kuitenkin yhä laajalti käytössä nopeiden ilmiöiden
simuloinnissa, sillä se tuottaa pääosin luotettavia tuloksia, jotka vastaavat hyvin kokeel- lisia mittauksia. Se myös ottaa huomioon metallimateriaaleille ominaiset nopeiden ilmi- öiden muodonmuutosmekanismit, kuten myötölujittumisen, materiaalin lujittumisen kor- keilla venymänopeuksilla, sekä materiaalin lujuuden laskun lämpötilan noustessa. Li- säksi mallissa käytettäviä materiaaliparametreja on saatavilla useille eri materiaaleille julkisissa lähteissä, ja malli on useissa läpäisylaskentaan kykenevissä simulointiohjel- mistoissa, kuten myös Uintahissa, valmiiksi käytettävissä. [1, s. 504]
2.5.2 Johnson–Cook-vauriomalli
Ballistisen läpäisyn simulointi vaatii vauriomallin, joka mallintaa materiaalin kantokyvyn menettämisen. Ilman vauriomallia läpäisyä ei tapahtuisi, vaan materiaali ainoastaan de- formoituisi ja myötölujittuisi, kunnes se on absorboinut projektiilin koko liike-energian.
Johnson ja Cook [33] kehittivät materiaalimalliaan vastaavan vauriomallin, joka määrittää kriittisen murtovenymän 𝜀 (engl. failure strain) jännitystilan kolmiaksiaalisuuden, veny- mänopeuden ja lämpötilan funktiona seuraavasti:
𝜀 = [𝐷 + 𝐷 exp(𝐷 𝜎∗)] 1 + 𝐷 ln 𝜀̅̇
𝜀̇ 1 − 𝐷 𝑇 − 𝑇ref
𝑇melt− 𝑇ref (20) missä 𝐷 , 𝐷 , 𝐷 , 𝐷 ja 𝐷 ovat kokeellisesti määritettyjä parametreja. Parametri 𝜎∗ on jännitystilan kolmiaksiaalisuus, joka lasketaan hydrostaattisen paineen ja vertailujänni- tyksen suhdelukuna 𝜎∗= 𝑝 𝜎⁄ . Materiaalin kokema vaurio 𝐷 lasketaan seuraavasti:
𝐷 = ∆𝜀̅
𝜀 (21)
Materiaali menettää kantokykynsä kun 𝐷 = 1. Vauriomalli siis laskee laskentaverkon jo- kaisen materiaalipisteen osalta ilmiön aikana kertyneet plastiset venymät eri aika-aske- leilta yhteen. Kun tämä yhteenlaskettu plastinen venymä ylittää kaavalla (20) lasketun hajoamisvenymän, materiaalipiste merkitään ”hajonneeksi” ja se menettää kantoky- kynsä.
Teng ja Wierzbicki [34] ja Wierzbicki et al. [35] vertailivat erilaisia metallien vauriomalleja.
Tutkimuksissa todettiin Johnson–Cook-vauriomallin ongelmaksi se, että mallin mukaan metallin murtovenymä laskee monotonisesti jännitystilan kolmiaksiaalisuuden funktiona.
Tämä ei kuitenkaan tyypillisesti pidä paikkaansa, kuten Bao ja Wierzbicki [36] osoittivat tutkiessaan 2024-T351 alumiinin murtumaa kokeellisesti. Kuva 5 esittää vertailun näiden kokeellisten tulosten ja Johnson–Cook-mallin välillä. Kun 𝜎∗ < 0, on kappale puristuk- sissa, kun taas 𝜎∗> 0 arvoilla kappale on vetokuormituksessa. Jännitystilan kolmiaksi-
aalisuuden arvo 𝜎∗= 0 kuvastaa puhdasta leikkausjännitystilaa. Kuten kuvasta näh- dään, Johnson–Cook-vauriomalli kykenee ennustamaan murtovenymän arvon tarkasti vain tietyllä jännitystilan kolmiaksiaalisuuden tarkasteluvälillä. Mikäli Johnson–Cook- mallilla halutaan tarkkoja tuloksia, täytyy käyttää eri arvoja materiaaliparametreille, jos kuormitus muuttuu esimerkiksi vetojännitystilasta enemmän leikkausjännitystilan suun- taan. Tämä tarkoittaa sitä, että simulaatiota suorittavan henkilön tulee etukäteen tietää, millainen jännitystila materiaalissa tulee olemaan. Lisäksi jännitystilan ja rakenteeseen kohdistuvan ulkoisen kuormituksen tulee pysyä simulaation aikana suhteellisen saman- kaltaisena, jotta simulaatio antaisi todellisuutta vastaavia tuloksia.
Kuva 5: Mittausdata ja Johnson–Cook-vauriomallin ennustama murtovenymä 2024- T351 alumiinille. Käyrä ”Mittausdata” on peräisin Baon ja Wierzbickin [36] tutkimuksesta,
”Johnson–Cook 1” on peräisin Wierzbicki et al. [35] tutkimuksesta ja ”Johnson–Cook 2”
on määritetty alkuperäisiä Johnson–Cook-materiaaliparametreja [33] käyttäen Wierz- bicki et al. [35] mukaan.
Johnson–Cook-vauriomallia parempi malli voisi olla esimerkiksi Bain ja Wierzbickin [37]
malli, joka heidän tutkimuksensa mukaan vastaa hyvin kokeellisia tuloksia metalleilla.
Tässä työssä käytettiin kuitenkin kaikesta huolimatta Johnson–Cook-vauriomallia, sillä se on ainut vauriomalli, joka on valmiiksi implementoituna Uintahissa.
2.5.3 Jännitysaallon eteneminen materiaalissa
Kun projektiili osuu kohdelevyyn, syntyy materiaalissa nopeasti etenevä jännitysaalto.
Riippuen projektiilin iskukuormituksen suuruudesta, jännitysaalto voi olla joko elastinen,
plastinen tai shokkiaalto. Elastisen jännitysaallon nopeus lasketaan kaavan (2) mukai- sesti ja esimerkiksi alumiinilla se on yli 5000 m/s. Jännitysaalto siis etenee tyypillisesti nopeammin kuin projektiili. Korkean paineen omaavan shokkiaallon merkitys korostuu vasta kun projektiilin iskunopeus on yli 1200 m/s. [1, s. 20–21]
Jännitysaallon pituus on pienempi kuin tyypillisen elementtiverkon elementtikoko ja siksi sen tarkka mallintaminen on hankalaa. Jännitysaallon epäjatkuvuuden tasoittamiseksi numeerisissa simulaatioissa käytetään keinotekoista viskositeettia 𝑞 (engl. artificial bulk viscosity), joka voidaan laskea seuraavalla kaavalla:
𝑞 = 𝜌 𝐶 ∙ |𝑐 ∙ ℎ ∙ 𝜀̇ | + 𝐶 ∙ ℎ ∙ 𝜀̇ , kun 𝜀̇ < 0
0, kun 𝜀̇ ≥ 0 (22)
missä 𝐶 on lineaarinen vaimennuskerroin, 𝐶 on kvadraattinen vaimennuskerroin, ℎ on elementin ominaispituus, joka saadaan laskemalla keskiarvo elementin eri sivujen pituuksista, ja 𝜀̇ on venymänopeusmatriisin jälki, eli matriisin päälävistäjän alkioiden summa. Kuten kaavasta huomataan, keinotekoinen viskositeetti on käytössä vain silloin, kun materiaaliin vaikuttaa puristuskuormitus. [18]
Jännitysaallon aiheuttaman hydrostaattisen paineen ja partikkelin tilavuuden välinen riip- puvuus lasketaan tilanyhtälöllä. Kun materiaali on puristuneena kasaan, niin paine saa- daan Mie–Grüneisen-tilanyhtälöllä seuraavasti:
𝑝 =
𝜌 𝑐 𝜇(1 − 𝛤 𝜇 2⁄ )
(1 − 𝑠 𝜇 − 𝑠 𝜇 − 𝑠 𝜇 ) + 𝜌 𝛤 𝑒, kun 𝜇 ≥ 0 𝜌 𝑐 𝜇 + 𝜌 𝛤 𝑒, kun 𝜇 < 0
(23)
missä alaindeksi 0 viittaa materiaalin alkuperäiseen tilaan, 𝜇 on suure, joka kuvaa tila- vuuden muutosta kaavan 𝜇 = 1 − 𝜌 𝜌⁄ mukaisesti, 𝛤 on dimensioton Grüneisen-para- metri, 𝑒 on energia massayksikköä kohti ja 𝑠 , 𝑠 , 𝑠 ovat dimensiottomia vakioita. [5]
3. LÄPÄISYSIMULAATIOT
Tässä luvussa esitellään tehdyt läpäisysimulaatiot ja niiden tulosten vertailu koetuloksiin.
Koetulokset ovat peräisin FAA:n (engl. Federal Aviation Administration) tutkimuksista [38, 39], joissa eri paksuisia alumiini- ja komposiittilevyjä ammuttiin pallo- ja sylinteripro- jektiileilla. Kokeissa mitattiin projektiilien jäännösnopeudet ja tarkasteltiin kohdelevyihin syntyneitä vaurioita. Lisäksi jokaiselle levynpaksuudelle määritettiin käytettyä projektiilia vastaava ballistinen rajanopeus, jota pienemmillä nopeuksilla projektiilit eivät enää lä- päisseet levyä. Aiemmin Buyuk et al. [40] ovat simuloineet samoja läpäisykokeita ele- menttimenetelmää käyttäen.
MPM-simulaatiot suoritettiin yhdellä pöytätietokoneella, jossa oli keskusmuistia 23,5 gi- gatavua ja jonka prosessori oli Intel®CoreTM i7-3770 CPU @ 3,40 GHz x 8. Työssä käy- tetyn Uintah-simulaatio-ohjelman versionumero oli 1.5. Ohjelmasta oli myös uudempi versio saatavilla, mutta eri versionumeroiden käyttöoppaiden perusteella MPM-simulaa- tiokykyyn ei ollut saatavilla merkittäviä muutoksia, joten ohjelmiston päivittämistä ei ko- ettu tarpeelliseksi.
3.1 Laskentamallin geometria ja materiaalitiedot
Läpäisykokeissa [38, 39] käytetyt alumiinilevyt kiinnitettiin pulteilla teräskehikkoon niin, että kehikon sisään jäi 254 mm x 254 mm kokoinen levykenttä. Kokeissa käytettiin kol- mea eri levynpaksuutta: 1,59 mm, 3,18 mm ja 6,35 mm. Käytetty projektiili näille kolmelle eri levynpaksuudelle oli halkaisijaltaan 12.7 mm:n suuruinen AISI 52100 teräspallo [38].
Lisäksi käytössä oli halkaisijaltaan samansuuruinen sylinteriprojektiili 1,59 mm paksulle levylle [39]. Kaikissa läpäisykokeissa projektiili ammuttiin levykentän keskipistettä kohti.
Tämän vuoksi simulaatioissa käytettiin neljännessymmetriaa, eli vain neljäsosa todelli- sesta geometriasta mallinnettiin laskennan nopeuttamiseksi. Kohdelevy kiinnitettiin si- mulaatioissa jäykästi paikoilleen ulkoreunoiltaan. Simulaatiomalli on esitetty kuvassa 6.
Vielä enemmän laskenta-aikaa voisi säästää hyödyntämällä pyörähdyssymmetriaa.
Tämä voisi kuitenkin johtaa virheellisiin tuloksiin, sillä kaikki ballistisen läpäisyn vaurio- mekanismit, kuten esimerkiksi terälehti-ilmiö, eivät ole pyörähdyssymmetrisiä.
Kuva 6: Neljännessymmetriaa hyödyntävä simulaatiomalli.
Alumiinilevyille ja teräsprojektiilille käytetyt materiaaliominaisuudet on esitetty taulu- koissa 1 ja 2. Alumiinilevylle käytettiin simulaatioissa Johnson–Cook-materiaalimallia, kun taas teräsprojektiileille käytettiin elastista materiaalimallia, sillä kokeellisissa tulok- sissa ei havaittu pysyviä muodonmuutoksia projektiileilla. Simulaatioissa käytetyt John- son–Cook-vaurioparametrit on esitetty taulukossa 3. Keinotekoiselle viskositeetille ja Mie–Grüneisen-tilanyhtälölle käytetyt parametrit on esitetty taulukossa 4.
Taulukko 1: Alumiinilevyjen materiaaliominaisuudet [41, 42].
Parametri Merkintä Yksikkö Lukuarvo
Tiheys 𝜌 (kg/m3) 2770
Kimmomoduuli 𝐸 (MPa) 73084
Poissonin vakio 𝜈 (-) 0,33
Staattinen myötölujuus 𝐴 (MPa) 369
Muokkauslujittumisen kerroin 𝐵 (MPa) 684
Muokkauslujittumisen eksponentti 𝑛 (-) 0,73
Venymänopeuden kerroin 𝐶 (-) 0,0083
Referenssivenymänopeus 𝜀̇ (1/s) 1,0
Lämpötilavaikutuksen eksponentti 𝑘 (-) 1,7
Referenssilämpötila 𝑇ref (K) 294
Sulamislämpötila 𝑇melt (K) 775
Ominaislämpökapasiteetti 𝑐 (J/(kg*K)) 875
Quinney-Taylor parametri 𝜒 (-) 1,0
Taulukko 2: Teräsprojektiilien materiaaliominaisuudet [38].
Parametri Merkintä Yksikkö Lukuarvo
Tiheys 𝜌 (kg/m3) 7833
Kimmomoduuli 𝐸 (MPa) 207000
Poissonin vakio 𝜈 (-) 0,3
Myötölujuus 𝜎 (MPa) 2000
Murtolujuus 𝜎 (MPa) 2200
Taulukko 3: Johnson–Cook-vaurioparametrit eri levynpaksuuksille.
Parametri Levyn paksuus alle 6,35 mm [43] Levyn paksuus tasan 6,35 mm [44]
𝐷 0,112 0,31
𝐷 0,123 0,045
𝐷 -1,5 -1,7
𝐷 0,007 0,005
𝐷 0 0
Taulukko 4: Keinotekoiselle viskositeetille ja Mie–Grüneisen-tilanyhtälölle käytetyt parametrit. [18]
3.2 Laskentamallin verifiointi ja asetukset
Ennen lopullisia simulaatioita on syytä varmentaa laskentamallin toimivuus sekä sen herkkyys laskentaverkon tiheydelle ja aika-askeleen pituudelle. Tiheämpi elementti- verkko antaa tarkempia tuloksia, mutta myös laskenta-aika kasvaa huomattavasti. Jos säännöllisen kolmiulotteisen elementtiverkon elementtikoon puolittaa, niin elementtien lukumäärä kasvaa 8-kertaiseksi. Lisäksi eksplisiittisessä aikaintegroinnissa vaadittu sta- biili aika-askel puolittuu. Tällöin laskenta-aika kasvaa karkeasti arvioituna 16-kertaiseksi.
Parametri Yksikkö Lukuarvo
𝐶 - 0,2
𝐶 - 2,0
𝑐 (m/s) 5328
𝛤 - 1,99
𝑠 - 1,339
𝑠 - 0
𝑠 - 0
Tämän vuoksi tasapaino tulosten tarkkuuden ja laskennan tehokkuuden välillä tulee var- mistaa etukäteen.
Laskentamallin verifiointia varten valittiin taulukon 5 mukaiset projektiilin iskunopeudet.
Nämä nopeudet valittiin niin, että ne ovat 30 % suuremmat kuin koetuloksista [38] saadut ballistiset rajanopeudet. Näin varmistetaan, että projektiili läpäisee levyn simulaatiossa ja laskentamallin herkkyys laskentaverkon tiheydelle voidaan todentaa projektiilin jään- nösnopeuden perusteella.
Taulukko 5: Laskentamallin verifiointisimulaatiot.
Levyn paksuus (mm) Iskunopeus (m/s)
1,59 154,9
3,18 284,1
6,35 525,8
Muotofunktioiden kuvaamiseksi valittiin CPDI-menetelmä, sillä simulaatioissa odotettiin syntyvän suuria muodonmuutoksia ja rotaatioita. Projektiilin iskualueen läheisyydessä jokainen elementti sisälsi 2x2x2 materiaalipistettä. Kauempana iskualueesta mallissa käytettiin 1x1x1 tiheyttä materiaalipisteille laskenta-ajan vähentämiseksi. Materiaali-pis- teiden eroosioalgoritmiksi valittiin ZeroStress, joka asettaa vaurioituneiden materiaalipis- teiden jännitystilan nollaksi, mutta pitää materiaalipisteet mukana laskennassa niiden massojen osalta. Kontaktialgoritmiksi valittiin Bardenhagenin et al. kehittämä kontakti- malli [13], joka on Uintahissa nimeltään friction. Kitkan vaikutus oletettiin pieneksi, joten kitkakertoimeksi asetettiin 0,005. Aika-askeleen kokoon vaikuttavalle CFL-vakiolle ase- tettiin alustavasti arvoksi 0,4.
3.2.1 Laskentaverkon ja materiaalipisteiden tiheys
Alustavat simulaatiot eri verkkotiheyksillä on esitetty taulukossa 6. Käytetty elementti- verkko oli säännöllinen, eli elementtiverkon jokainen elementti oli samankokoinen. Kun tarkastellaan jäännösnopeuksia 3,18 mm ja 6,35 mm paksuilla levyillä, niin voidaan huo- mata, että jäännösnopeus ei muutu merkittävästi, kun elementtikokoa pienennetään 0,52917 mm:stä 0,39688 mm:n. Kuitenkin 1,59 mm paksulla levyllä jäännösnopeuden muutos näiden elementtikokojen välillä on vielä merkittävä. Tämän vuoksi elementti- kooksi valittiin kaikilla levynpaksuuksilla 0,39688 mm, jonka oletettiin olevan riittävän ti- heä verkko myös 1,59 mm paksulle levylle. Verkon tihentäminen vielä pienemmäksi ei ollut järkevää, sillä pahimmillaan laskenta-aika oli 20 tuntia 0,39688 mm kokoisilla ele- menteillä. Valittu elementtiverkko on esitetty tummennettuna taulukossa 6.
Taulukko 6: Elementtiverkon tiheyden vaikutus.
Levyn pak- suus (mm)
Elementtien lukumäärä le- vyn paksuu-
den suun- nassa
Elementtikoko (mm)
Materiaalipisteiden kokonaismäärä
mallissa
Jäännösnopeus (m/s)
1,59
2 0,79375 67280 85
3 0,52917 227035 92
4 0,39688 538384 98
3,18
3 1,05833 55018 151
4 0,79375 130246 166
5 0,63500 254382 167
6 0,52917 439606 183
7 0,45357 698279 185
8 0,39688 1042424 187
6,35
4 1,58750 32087 220
6 1,05833 108197 300
8 0,79375 294418 345
10 0,63500 500538 360
12 0,52917 864748 365
16 0,39688 2032920 370
Alustavat simulaatiot eri materiaalipistemäärillä on esitetty taulukossa 7. Taulukossa lis- tattu materiaalipisteiden lukumäärä per elementti on voimassa vain projektiilin iskualu- een läheisyydessä ja kauempana iskualueesta mallissa käytettiin 1x1x1 tiheyttä. Kuten tuloksista voidaan nähdä, materiaalipisteiden lukumäärällä on simulaation tarkkuuteen pienempi merkitys kuin elementin koolla. Tämän vuoksi simulaatioita varten valittiin is- kualueen läheisyydessä materiaalipisteiden lukumääräksi 2x2x2 per elementti. Valittu elementtiverkko ja materiaalipisteiden lukumäärä on esitetty tummennettuna taulukossa 7.
Taulukko 7: Materiaalipisteiden tiheyden vaikutus.
Levyn paksuus
(mm)
Elementtien lukumäärä levyn pak-
suuden suunnassa
Materiaalipisteiden lukumäärä per ele-
mentti
Materiaalipisteiden kokonaismäärä
mallissa
Jäännösnopeus (m/s)
1,59
2 2x2x2 67280 85
4x4x4 90812 82
3 2x2x2 227035 92
4x4x4 301348 91
4 2x2x2 538384 98
3,18
4 2x2x2 130246 166
4x4x4 177310 171
6 2x2x2 439606 183
4x4x4 588232 182
8 2x2x2 1042424 187
6,35
8 2x2x2 294418 345
4x4x4 350306 350
12 2x2x2 864748 365
4x4x4 1162000 360
16 2x2x2 2032920 370
3.2.2 Aika-askeleen suuruus
Aika-askeleen vaikutusta projektiilin jäännösnopeuteen tutkittiin ainostaan 3,18 mm pak- sulla levyllä ja tulokset on esitetty taulukossa 8. Liian suurella CFL:n arvolla simulaatio joko keskeytyi tai antoi epärealistisia tuloksia. Jäännösnopeus ei muuttunut merkittä- västi, kun CFL:n arvo oli välillä 0,2...0,6. Laskenta-aika kuitenkin muuttuu merkittävästi, sillä CFL:n arvon puolittaminen tuplaa laskenta-ajan.
Kaikissa simulaatioissa käytettäväksi CFL:n arvoksi valittiin tulosten perusteella 0,4.
Myös CFL:n arvo 0,6 antoi hyviä tuloksia tällä yhdellä levynpaksuuden ja projektiilin is- kunopeuden yhdistelmällä. Pienempi arvo kuitenkin valittiin, sillä haluttiin varmistua, että laskenta pysyy stabiilina kaikilla eri levynpaksuuksilla ja kaikilla iskunopeuksilla.
Taulukko 8: Aika-askeleen vaikutus jäännösnopeuteen 3,18 mm paksulla levyllä.
CFL Jäännösnopeus (m/s)
0,9 Simulaatio keskeytyi
0,8 Simulaatio keskeytyi
0,7 Tulokset epärealistisia
0,6 184
0,4 187
0,2 193
3.3 Koetulosten simulointi
3.3.1 Tulokset 1,59 mm paksulle levylle
Tulokset kokeellisista mittauksista 1,59 mm paksulle alumiinilevylle [38] olivat tiivistet- tynä seuraavanlaiset:
Ballistinen rajanopeus oli koetulosten mukaan noin 119 m/s.
Yleisin läpäisymekanismi oli terälehti-ilmiö yhdistettynä tulpan irtoamiseen.
Kun projektiilin iskunopeus oli alle 91,3 m/s, levyyn syntyi huomattavia paikallisia muodonmuutoksia iskukohdan alueelle, mutta levystä ei irronnut tulppaa.
Kun projektiilin iskunopeus oli välillä 91,3–119 m/s, niin levyyn syntyi terälehtiku- vio ja siitä irtosi tulppa, mutta projektiili ei läpäissyt levyä.
Levystä irronneen tulpan halkaisija kasvoi, kun iskunopeutta lisättiin.
Levyyn muodostunut terälehtikuvio palautui osittain heti projektiilin läpäistyä le- vyn. Tämän johdosta levyyn jäänyt reikä oli halkaisijaltaan pienempi kuin projek- tiilin halkaisija.
Jäännösnopeudet koetuloksista ja nyt suoritetuista simulaatioista on esitetty kuvassa 7.
Samat tulokset löytyvät taulukoituna liitteestä A, taulukosta 11. Kuten kuvasta nähdään, simulaatiotulokset vastasivat erinomaisesti koetuloksia. Simulaatioiden ennustama bal- listinen rajanopeus oli 120–125 m/s.
Kuva 7: Projektiilin jäännösnopeus eri iskunopeuksilla 1.59 mm levylle. Kokeelliset tulokset ovat peräisin tutkimuksesta [38].
Simulaatioiden ennustama läpäisymekanismi vastasi hyvin koetuloksia. Kuva 8 esittää läpäisyä 270 m/s iskunopeudella. Läpäisy tapahtuu terälehti-ilmiön mukaisesti ja levystä irtoaa tulppa. Taulukossa 9 on vertailtu kokeissa mitattua tulpan halkaisijaa simulaatiotu- loksiin eri iskunopeuksilla. Simulaatiotulokset ennustavat hyvin tulpan halkaisijan kasvun iskunopeuden lisääntyessä, mutta tulpan halkaisija poikkeaa koetuloksista. Tämä voi johtua valitusta eroosioalgoritmista, joka käsittelee hajonneita materiaalipisteitä vapaina irrallisina partikkeleina. Kuten kuvasta 8 nähdään, tulpan ympärillä on suuri määrä irral- lisia materiaalipisteitä. Simulaatiotulokset vastasivat hyvin koetuloksia myös alhaisella iskunopeudella, kuten kuvasta 9 nähdään.
Taulukko 9: Levystä irtoavan tulpan halkaisija eri iskunopeuksilla.
Koetulokset [38] Simulaatiotulokset
Projektiilin iskuno-
peus (m/s) Tulpan halkaisija
(mm) Projektiilin iskuno-
peus (m/s) Tulpan halkaisija (mm)
118,9 7,1 120 3,4
188,6 8,6 190 4,0
270,8 9,9 270 6,0
Kuva 8: Läpäisy 270 m/s iskunopeudella. Punaisella värillä merkityillä materiaalipisteillä on plastinen venymä yli 0,5.
Kuva 9: Kohdelevyn käyttäytyminen 110 m/s iskunopeudella. Pieni tulppa irtoaa levystä, mutta projektiili ei läpäise levyä.
3.3.2 Tulokset 3,18 mm paksulle levylle
Tulokset kokeellisista mittauksista 3,18 mm paksulle alumiinilevylle [38] olivat tiivistet- tynä seuraavanlaiset:
Ballistinen rajanopeus oli koetulosten mukaan noin 219 m/s.
Yleisin läpäisymekanismi oli tulpan leikkautuminen, mutta myös vähäinen määrä terälehti-ilmiötä havaittiin.
Kun projektiilin iskunopeus oli reilusti alle ballistisen rajanopeuden, tapahtui vain vähäistä levyn taipumista.
Kun projektiilin iskunopeus lähestyi ballistista rajanopeutta, alkoi esiintyä sekä terälehti-ilmiötä että tulpan leikkautumista. Merkittävän kokoinen tulppa irtosi, vaikka projektiili ei läpäissytkään levyä.
Kun iskunopeus oli yli ballistisen rajanopeuden, oli merkittävin läpäisymekanismi tulpan leikkautuminen.
Levystä irronneen tulpan halkaisija oli lähes vakio riippumatta iskunopeudesta.
Jäännösnopeudet koetuloksista ja nyt suoritetuista simulaatioista on esitetty kuvassa 10.
Samat tulokset löytyvät taulukoituna liitteestä A, taulukosta 12. Kuten kuvasta nähdään, simulaatiotulokset vastasivat hyvin koetuloksia, vaikkakin simulaatiot hieman aliarvioivat levyn vahvuuden. Simulaatioiden ennustama ballistinen rajanopeus oli 205–210 m/s.
Kuva 10: Projektiilin jäännösnopeus eri iskunopeuksilla. Kokeelliset tulokset ovat peräisin tutkimuksesta [38].
Simulaatioiden ennustama läpäisymekanismi vastasi hyvin koetuloksia. Kuvassa 11 on esitetty läpäisy 350 m/s iskunopeudella. Läpäisy tapahtui pääosin tulpan leikkautumi- sella. Kuva 12 esittää iskua alhaisella nopeudella, jolla läpäisyä ei tapahdu. Myös alhai- sella nopeudella simulaatiotulokset vastasivat hyvin koetuloksia.
Taulukossa 10 on vertailtu kokeissa mitattua tulpan halkaisijaa simulaatiotuloksiin eri is- kunopeuksilla. Koetuloksissa tulpan halkaisija pysyi lähes vakiona iskunopeudesta riip- pumatta, mutta simulaatioiden mukaan tulpan halkaisija pienenee iskunopeuden lisään- tyessä. Kuvassa 13 on esitetty levystä irtoavan tulpan lähtönopeus eri iskunopeuksilla.
Kuten kuvasta havaitaan, simulaatiotulokset poikkeavat koetuloksista.
Taulukko 10: Levystä irtoavan tulpan halkaisija eri iskunopeuksilla.
Koetulokset [38] Simulaatiotulokset
Projektiilin iskuno- peus (m/s)
Tulpan halkaisija (mm)
Projektiilin iskuno- peus (m/s)
Tulpan halkaisija (mm)
220,7 9,9 220 8,0
262,4 10,4 260 7,0
348,1 10,4 350 6,0
Kuva 11: Läpäisy 350 m/s iskunopeudella. Punaisella värillä merkityillä materiaalipisteillä on plastinen venymä yli 0,5.
Kuva 12: Kohdelevyn käyttäytyminen 160 m/s iskunopeudella. Tulppa irtoaa levystä, mutta projektiili ei läpäise levyä.
Kuva 13: Tulpan lähtönopeus eri iskunopeuksilla. Kokeelliset tulokset ovat peräisin tutkimuksesta [38].
3.3.3 Tulokset 6,35 mm levylle
Tulokset kokeellisista mittauksista 6,35 mm paksulle alumiinilevylle [38] olivat tiivistet- tynä seuraavanlaiset:
Ballistinen rajanopeus oli koetulosten mukaan noin 404 m/s.
Merkittävin läpäisymekanismi oli tulpan leikkautuminen. Lisäksi levyn sirpaloitu- mista ja sulamista havaittiin.
Kun projektiilin iskunopeus oli reilusti alle ballistisen rajanopeuden, levyyn syntyi painauma projektiilin iskukohtaan.
Tulpan leikkautumista alkoi esiintyä, kun iskunopus ylitti 314 m/s.
Kun iskunopeus oli yli ballistisen rajanopeuden, oli merkittävin läpäisymekanismi tulpan leikkautuminen. Useimmissa kokeissa ei ollut yksittäistä levystä irronnutta tulppaa, vaan irronneita palasia oli useita sirpaleita.
Levystä irronneen tulpan halkaisija oli lähes vakio riippumatta iskunopeudesta.
Aluksi simulaatiot antoivat yli 20 % suurempia jäännösnopeuksia kuin mitä kokeissa oli mitattu. Tämä oli epäilyttävää, sillä käytetyt Johnson–Cook-vaurioparametrit oli valittu leikkausjännitystilaa vastaaviksi. Vaurioparametrit 6,35 mm paksulle levylle oli alun perin määritetty elementtimenetelmällä käyttäen elementtikokoa 0.7056 mm [44], kun taas ohuempien levyjen vaurioparametrit oli määritetty käyttäen elementtikokoa 0,3175 mm [43]. Kun MPM-verkon kokoa kasvatettiin samassa suhteessa, niin simulaatiotulokset alkoivat korreloida kokeellisten tulosten kanssa. Tämän vuoksi tässä luvussa esitetyissä simulaatioissa on käytetty elementtikokona 0,9071 mm aiemmin ohuemmille levyille käy- tetyn 0,39688 mm sijaan. Tämän takia jokaisen materiaalipisteen tilavuus on suurempi kuin aiemmissa luvuissa esitetyissä simulaatioissa.
Jäännösnopeudet koetuloksista ja nyt suoritetuista simulaatioista on esitetty kuvassa 14.
Samat tulokset löytyvät taulukoituna liitteestä A, taulukosta 13. Kuten kuvasta nähdään, simulaatiotulokset vastasivat hyvin koetuloksia, vaikkakin simulaatiot hieman aliarvioivat levyn vahvuuden. Simulaatioiden ennustama ballistinen rajanopeus oli 380–390 m/s.
Simulaatioiden ennustama vauriomekanismi vastasi hyvin koetuloksia. Kuvasta 15 näh- dään, kuinka alumiinilevyn lämpötila nousee läpäisyn aikana yli sulamislämpötilan. Ku- vassa näkyy myös sinisiä materiaalipisteitä, joiden lämpötila on nolla. Tämä johtuu vali- tusta Uintahin eroosioalgoritmista, joka asettaa hajonneiden materiaalipisteiden jännityk- sen ja lämpötilan nollaksi. Nämä materiaalipisteet vaikuttavat simulaatiossa enää aino-
astaan massansa osalta. Kuvassa 16 on esitetty sama läpäisysimulaatio hetkeä myö- hemmin, kun projektiili on kokonaan läpäissyt kohdelevyn. Kuten kuvasta nähdään, le- vyn taipuma on hyvin pieni ja läpäisy tapahtuu tulpan leikkautumisen ja sirpaloitumisen yhdistelmällä.
Kuvassa 17 on esitetty projektiilin ja kohdelevyn vuorovaikutus iskunopeudella 380 m/s.
Tällä nopeudella levystä irtoaa tulppa, mutta projektiili ei läpäise levyä. Projektiili ei myös- kään kimpoa takaisin, vaan se jää jumiin levyyn syntyneeseen reikään. Vastaava tilanne havaittiin kokeellisissa mittauksissa iskunopeudella 404,5 m/s.
Kuva 18 esittää vertailun tulpan lähtönopeudelle simulaatiotulosten ja kokeellisten tulos- ten välillä. Simulaatiotulokset vastasivat melko hyvin kokeellisia tuloksia. Läpäisyko- keissa ei mitattu syntyneiden tulppien halkaisijoita tälle levynpaksuudelle. Tämän vuoksi vertailua simulaatiotuloksiin ei kyetty tekemään.
Kuva 14: Projektiilin jäännösnopeus eri iskunopeuksilla. Kokeelliset tulokset ovat peräisin tutkimuksesta [38].
Kuva 15: Alumiinin sulaminen 570 m/s iskunopeudella. Punaisella värjätyillä materi- aalipisteillä lämpötila ylittää materiaalin sulamislämpötilan. Projektiili on piilotettu tästä kuvasta selkeyden vuoksi.
Kuva 16: Läpäisy 570 m/s iskunopeudella. Punaisella värillä merkityillä materiaalipis- teillä on plastinen venymä yli 1,0.
Kuva 17: Kohdelevyn käyttäytyminen 380 m/s iskunopeudella. Tulppa irtoaa levystä, mutta projektiili ei läpäise levyä vaan jää levyyn kiinni.
Kuva 18: Tulpan lähtönopeus eri iskunopeuksilla. Kokeelliset tulokset ovat peräisin tutkimuksesta [38].
3.3.4 Tulokset sylinteriprojektiilia käyttäen
Tulokset kokeellisista mittauksista 1,59 mm paksulle alumiinilevylle sylinteriprojektiilia käyttäen [39] olivat tiivistettynä seuraavanlaiset:
Ballistinen rajanopeus oli koetulosten mukaan noin 76 m/s.
Merkittävin läpäisymekanismi oli tulpan leikkautuminen.
Levystä leikkautuvan tulpan halkaisija kasvoi iskunopeuden kasvaessa.
Tulppien halkaisijat olivat sylinteriprojektiilia käytettäessä suuremmat kuin pallo- projektiililla.
Levyyn jäänyt reikä oli pienempi kuin projektiilin halkaisija.
Koetuloksissa oli havaittavissa epätarkkuuksia johtuen sylinteriprojektiilin heilu- misesta, jolloin projektiili ei aina iskeytynyt täysin samalla orientaatiolla kohdele- vyyn. Vastaavaa ongelmaa ei synny pallomaisella projektiililla.
Jäännösnopeudet koetuloksista ja simulaatioista on esitetty kuvassa 19. Samat tulokset löytyvät taulukoituna liitteestä A, taulukosta 14. Simulaatiotulokset vastasivat huonosti kokeellisia tuloksia jäännösnopeuden osalta. Tämä johtuu siitä, että käytetyt Johnson–
Cook-vaurioparametrit olivat samat kuin palloprojektiililla, vaikka materiaalin jännitystila ja vauriomekanismi olivat erilaiset. Läpäisymekanismin osalta simulaatiotulokset kuiten- kin vastasivat hyvin koetuloksia, kuten kuvista 20 ja 21 voidaan nähdä. Simulaatiot en- nustavat tulpan halkaisijan kasvun iskunopeuden kasvaessa, mikä havaittiin myös ko- keellisissa mittauksissa.
Kuva 19: Projektiilin jäännösnopeus eri iskunopeuksilla. Kokeelliset tulokset ovat peräisin tutkimuksesta [39].
Kuva 20: Läpäisy 81 m/s iskunopeudella.
Kuva 21: Läpäisy 165 m/s iskunopeudella.
