Kes¨ an 2019 kirjevalmennusteht¨ avi¨ a
Ratkaisuja toivotaan elokuun loppuun menness¨a henkil¨okohtaisesti ojennettu- na, s¨ahk¨opostitse osoitteeseen
npalojar@abo.fi tai postitse osoitteeseen Neea Paloj¨arvi
Ratapihankatu 12 A 1 20100 Turku.
Matematiikkaolympialaisiin valitun joukkueen on tietenkin syyt¨a harjoitel- la mahdollisimman paljon ennen olympialaisia, esimerkiksi n¨aill¨a tai muilla teht¨avill¨a. Valmennuksessa jatkaville teht¨avien ratkominen katsotaan eduksi tu- levissa joukkuevalinnoissa.
Helpommatkin teht¨av¨at ovat vaikeampia kuin kouluteht¨av¨at, eik¨a ole ole- tettavaa ett¨a niit¨a pystyisi ratkomaan ilman vaivann¨ak¨o¨a. Sinnik¨as yritt¨aminen kannattaa. Vaikka teht¨av¨a¨a ei saisi valmiiksi asti tehty¨a, sit¨a pitk¨a¨an miettinyt oppii malliratkaisuista enemm¨an.
Joissakin seuraavissa teht¨aviss¨a saattaa olla apua primitiivisten juurten tun- temisesta. Niihin voi tutustua esimerkiksi Esa Vesalaisen kirjoittaman monisteen
”Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan”1 luvun 4 avulla.
Helpompia teht¨ avi¨ a
1. Positiivisten kokonaislukujen jonon kolme ensimm¨aist¨a termi¨a ovat 2018,121 ja 16. Seuraava termi saadaan aina laskemalla edellisen termin numeroiden sum- ma ja korottamalla saatu luku toiseen potenssiin. Mik¨a on jonon 2018.termi?
2. Onko olemassa positiivista kokonaislukuan, jolla on tasan 9 positiivista te- kij¨a¨a siten, ett¨a n¨am¨a tekij¨at voidaan asettaa 3×3-ruudukkoon siten, ett¨a jo- kaisen rivin, sarakkeen ja diagonaalin lukujen tulo on sama?
3. Er¨a¨an¨a vuonna ensimm¨ainen p¨aiv¨a tammikuuta ei ollut viikonloppuna, mut- ta viimeinen p¨aiv¨a joulukuuta oli. Koulu alkoi 15. p¨aiv¨a elokuuta. Mik¨a vii- konp¨aiv¨a t¨am¨a oli?
4. Juku teki matematiikkapiiriss¨a¨an seuraavan konjektuurin: jos kahden luvun xjay, joilla ei ole yhteisi¨a tekij¨oit¨a, tulo on jaollinen joillakin kokonaisluvuillaa jab, joilla ei ole yhteisi¨a tekij¨oit¨a, niin ainakin toinen luvuistaxjayon jaollinen joko luvulla atai b. P¨ateek¨o t¨am¨a konjektuuri?
5. Kuten kuvassa, nelikulmioABCD on neli¨o, piste F on sivulla BC ja piste Eneli¨onABCDsis¨all¨a. KolmioDEC on tasasivuinen ja onEB=EF. Kuinka
1https://matematiikkakilpailut.fi/kirjallisuus/laajalukuteoriamoniste.pdf
1
suuri kulma∠CEF on?
6. Selvit¨a kaikki vaihtoehdot: kuinka monta ter¨av¨a¨a kulmaa voi olla konveksissa monikulmiossa?
7.
(a) Olkoonnkokonaisluku. Osoita, ett¨a lukun3−non jaollinen kuudella.
(b) Etsi kaikki kokonaisluvutx, jotka toteuttavat kongruenssiyht¨al¨on 29x33≡ 27 (mod 11).
8. Ratkaise yht¨al¨ox2(2−x)2= 1 + 2(1−x)2.
9. Nelinumeroisella luvullaABCDon seuraava ominaisuus:
ABCD=A×BCD+ABC×D.
Mik¨a on luvunABCD pienin mahdollinen arvo?
10. Aliisa pelaa kolikoilla seuraavaa peli¨a laatikoita A ja B k¨aytt¨aen: Aluksi laatikossa A on n kolikkoa ja laatikko B on tyhj¨a. Yhdell¨a askeleella Aliisa voi siirt¨a¨a yhden kolikon laatikosta Alaatikkoon B tai poistaa laatikosta A k kolikkoa, miss¨a k on laatikossaB olevien kolikoiden lukum¨a¨ar¨a. Aliisa voittaa pelin, kun laatikko Aon tyhj¨a.
(a) Osoita, ett¨a jos laatikossaAon aluksi 6 kolikkoa, niin Aliisa pystyy voit- tamaan nelj¨all¨a askeleella.
(b) Aluksi laatikossaA on 2018 kolikkoa. Mik¨a on pienin m¨a¨ar¨a askelia, joka tarvitaan, jotta Aliisa voittaa pelin?
Vaikeampia teht¨ avi¨ a
1. OlkootMjaNkolmionABCsis¨apisteet, joille∠M AB=∠N ACja∠M BA=
∠N BC. Todista, ett¨a AM·AN
AB·AC +BM·BN
BA·BC +CM·CN CA·CB = 1.
2. OlkoonABCDneli¨o, jonka keskipiste onO. SivunADsuuntainen suoraO:n kautta leikkaa sivutABjaCD pisteiss¨aM jaN, ja er¨as sivunAB suuntainen suora leikkaa l¨avist¨aj¨anAC pisteess¨a P. Todista, ett¨a
OP4+ M N
2 4
=M P2·N P2.
2
3. Todista positiivisille luvuillea1,a2,a3jaa4 ep¨ayht¨al¨o 2≤ a1
a2+a3+ a2
a3+a4 + a3
a4+a1 + a4
a1+a2. 4. Olkoonp≥3 alkuluku. M¨a¨aritell¨a¨an
F(p) =
p−1 2
X
k=1
k120, f(p) =1 2 −
F(p) p
,
miss¨a{x}=x−[x] on luvunxmurto-osa. M¨a¨arit¨a f(p).
5. Etsi kaikki kaksinumeroiset kokonaisluvut n= 10a+b (a, b∈ {0,1, . . . ,9}, a6= 0), jotka jakavat luvunka−kb kaikilla kokonaisluvuillak.
6. Etsi kaikki reaaliset funktiotf(x), jotka on m¨a¨aritelty v¨alill¨a (−1,1) ja jotka ovat t¨all¨a v¨alill¨a jatkuvia sek¨a on voimassa
f(x+y) = f(x) +f(y)
1−f(x)f(y), (x, y, x+y∈(−1,1)).
7. Seitsem¨an oppilasta tekee matematiikan kokeen. Jokaisen teht¨av¨an suhteen l¨oytyi korkeintaan kolme oppilassta, joka ratkaisi teht¨av¨an. Jokaista oppilaspa- ria kohden l¨oytyy ainakin yksi teht¨av¨a, jonka kumpikin ratkaisi. M¨a¨arit¨a todis- tuksen kera, mik¨a on pienin mahdollinen m¨a¨ar¨a teht¨avi¨a kokeessa.
8. 5×5-ruudukon jokaisessa yksikk¨oruudussa on lamppu, joka on pois p¨a¨alt¨a.
Jos kosketamme lamppua, niin kyseinen lamppu ja kaikki sen viereisiss¨a ruu- duissa olevat lamput vaihtavat tilaansa. Kun on suoritetty tietty m¨a¨ar¨a lamppu- jen kosketuksia, niin tasan yksi lamppu on p¨a¨all¨a. Selvit¨a kaikki ruudut, joissa t¨am¨a lamppu voi olla.
Huomautus: vierekk¨aisen ruudut ovat niit¨a, joilla on yhteinen sivu.
9. Kaksi reaalilukujen sarjaax1, x2, . . .jay1, y2, . . .m¨a¨aritell¨a¨an seuraavasti:
x1=y1=√
3, xn+1=xn+p 1 +x2n ja
yn+1= yn
1 +p 1 +yn2 kaikillen≥1. Osoita, ett¨a 2< xnyn<3 kaikillen >1.
10. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvutk, joille seuraava ehto p¨atee: josF(x) on kokonaislukukertoiminen polynomi, joka toteuttaa ehdon
0≤F(c)≤k, kunc= 0,1, . . . , k+ 1, niinF(0) =F(1) =. . .=F(k+ 1).
3
