Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Hanna Halinen

Matematiikan pro gradu

Jyv¨askyl¨an yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kes¨a 2014

i

Tiivistelm¨a: Hanna Halinen, Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin (engl.An Introduction to Fractional Derivatives and Their Applications), matematii- kan pro gradu -tutkielma, 46 s., Jyv¨askyl¨an yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kes¨a 2014.

Fraktaaliderivaatta on derivaatta, jonka kertaluku on reaali- tai kompleksiluku.

Fraktaaliderivaatta voidaan m¨a¨aritell¨a usealla eri tavalla, mutta mik¨a¨an m¨a¨aritelm¨a ei ole selke¨asti muita parempi. Koska fraktaaliderivaatan ominaisuudet riippuvat vali- tusta m¨a¨aritelm¨ast¨a, ominaisuuksia ei voida suoraan yleist¨a¨a kaikille fraktaaliderivaa- toille. T¨am¨an tutkielman tarkoitus on antaa lukijalle perustiedot reaalilukukertaisista fraktaaliderivaatoista ja niiden m¨a¨aritelm¨asidonnaisista ominaisuuksista.

Tutkielmassa esitell¨a¨an kolme yleisimmin viitattua m¨a¨aritelm¨a¨a: Gr¨unwald-Letni- kov, Riemann-Liouville ja Caputo. Gr¨unwald-Letnikovin m¨a¨aritelm¨a yleist¨a¨a klassi- sen derivaatan m¨a¨aritelm¨an suoraan reaali- ja kompleksiluvuille, mink¨a vuoksi se on helpoiten ymm¨arrett¨aviss¨a analyysin perustietojen pohjalta. Riemann-Liouvillen m¨a¨aritelm¨a yhdist¨a¨a fraktaaliderivaatan ja fraktaali-integraalin k¨asitteet. Caputon fraktaaliderivaatta on taas kehitetty sovellusten n¨ak¨okulmasta.

Vaikka fraktaaliderivaatan ominaisuudet riippuvat valitusta m¨a¨aritelm¨ast¨a, joita- kin ominaisuuksia voidaan yleist¨a¨a. Ensiksi, fraktaaliderivaatta on yht¨apit¨av¨a klassi- sen derivaatan kanssa, kun sen kertaluku on kokonaisluku. Toiseksi, fraktaalinen diffe- rintegraalioperaattori (engl. fractional differintegral operator) on lineaarinen. M¨a¨ari- telm¨ast¨a riippuvia ominaisuuksia ovat esimerkiksi Riemann-Liouvillen fraktaali-inte- graalien vaihdannaisuus sek¨a Riemann-Liouvillen / Caputon fraktaaliderivaatan ad- ditiivisuus klassisen derivaatan kanssa. Riemann-Liouvillen ja Caputon m¨a¨aritelmien v¨alill¨a on kuitenkin se ero, ett¨a additiivisuus p¨atee toiselle p¨ainvastaisessa j¨arjestyk- sess¨a. Siten fraktaaliderivaatat eiv¨at kommutoi. Riemann-Liouvillen differintegraalio- peraattorin t¨arke¨a ominaisuus on my¨os se, ett¨a derivointioperaattori on samaa kerta- lukua olevan integrointioperaattorin vasen k¨a¨anteisoperaatio.

M¨a¨aritett¨aess¨a funktioiden fraktaaliderivaatan lausekkeita Riemann-Liouvillen ja Gr¨unwald-Letnikovin m¨a¨aritelm¨at antavat samat tulokset. Caputon m¨a¨aritelm¨a ei kuitenkaan ole yht¨apit¨av¨a edellisten m¨a¨aritelmien kanssa muulloin kuin erikoista- pauksissa. Merkitt¨avin ero n¨aiden m¨a¨aritelmien v¨alill¨a on, ett¨a vakion Gr¨unwald- Letnikovin ja Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatat eiv¨at ole nollia, kun taas Capu- ton fraktaaliderivaatta on nolla.

Fraktaaliderivaatan sovelluksia ovat erilaiset fraktaalidifferentiaaliyht¨al¨ot. Frak- taalidifferentiaaliyht¨al¨o saadaan, kun klassisen differentiaaliyht¨al¨on derivaatta korva- taan fraktaaliderivaatalla. Alkuarvoteht¨aviss¨a Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaa- tan k¨aytt¨o on kuitenkin ongelmallista, sill¨a se tuottaa alkuehdoiksi reaalilukukertai- sia derivaattoja, joille ei ole keksitty fysikaalista tulkintaa. Caputon fraktaaliderivaat- taa k¨aytett¨aess¨a vastaavaa ongelmaa ei ole. Fraktaalidifferentiaaliyht¨al¨ot ovat nyky-

¨a¨an t¨arke¨a tutkimuskohde muun muassa fysiikassa. T¨ass¨a tutkielmassa esitell¨a¨an yksi esimerkki fysiikan sovelluksesta: fraktaaliv¨ar¨ahtelij¨an differentiaaliyht¨al¨o. Numeerisin menetelmin on havaittu, ett¨a fraktaaliv¨ar¨ahtelij¨all¨a on sis¨ainen vaimenemismekanis- mi, joten se ei voi muodostaa lainkaan eristetty¨a systeemi¨a. Toistaiseksi on kuitenkin ep¨aselv¨a¨a, mist¨a fraktaaliv¨ar¨ahtelij¨an sis¨ainen vaimenemismekanismi johtuu.

Sis¨ alt¨ o

Johdanto 1

Luku 1. Esitiedot 5

1.1. Gammafunktio 5

1.2. Ep¨at¨aydellinen gammafunktio 8

1.3. Betafunktio 9

1.4. Mittag-Leffler-funktio 9

1.5. Laplace-muunnos 10

Luku 2. Fraktaaliderivaatat ja -integraalit 13

2.1. Derivointi- ja integrointioperaattori 13

2.2. Gr¨unwald-Letnikovin m¨a¨aritelm¨a 19

2.3. Riemann-Liouvillen m¨a¨aritelm¨a 20

2.4. Caputon m¨a¨aritelm¨a 21

Luku 3. Fraktaaliderivaatan ja -integraalin ominaisuuksia 23

3.1. Derivointioperaattorin lineaarisuus 23

3.2. Fraktaaliderivaatan ja klassisen derivaatan v¨alisi¨a tarkasteluja 24 3.3. Riemann-Liouvillen differintegraalioperaattorin additiivisuus 26

3.4. Eri m¨a¨aritelmien vertailua 28

Luku 4. Esimerkkej¨a fraktaaliderivaatoista 31

4.1. Vakiofunktio 31

4.2. Polynomifunktio 32

4.3. Eksponenttifunktio 35

Luku 5. Fraktaaliderivaatan sovelluksia 37

5.1. Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatan Laplace-muunnos 37

5.2. Caputon fraktaaliderivaatan Laplace-muunnos 39

5.3. Alkuarvoteht¨av¨a Riemann-Liouvillen mukaan 39

5.4. Alkuarvoteht¨av¨a Caputon mukaan 42

5.5. Fraktaalinen v¨ar¨ahtelij¨a Caputon mukaan 43

L¨ahdeluettelo 45

iii

Johdanto

Differentiaalioperaattorit d/dx, d²/dx², . . . , dⁿ/dxⁿ ovat matematiikan opiskeli- joille tuttuja merkint¨oj¨a. Osa opiskelijoista on saattanut pohtia, voiko derivaatan kertaluku n olla muukin kuin luonnollinen luku, kuten esimerkiksi ¹₂ tai √

2. Vas- taus t¨ah¨an kysymykseen on: kyll¨a voi. Derivaatasta, jonka kertaluku on reaali- tai kompleksiluku, k¨aytet¨a¨an nimityst¨a fraktaaliderivaatta. Vastaavaa operaattoria kut- sutaan differintegraalioperaattoriksi (engl. differintegral operator). T¨ass¨a tutkielmas- sa syvennyt¨a¨an pelk¨ast¨a¨an reaalilukukertaisiin fraktaaliderivaattoihin.

Ensimm¨aiset maininnat fraktaaliderivaatasta ajoittuvat 1600-luvun loppupuolelle, kun vuonna 1695 Marquis de L’Hˆopital esitti Gottfried Wilhelm Leibnizille operaat- toriadⁿ/dxⁿ koskevan kysymyksen: ”What ifn = ¹₂?”T¨ah¨an Leibniz vastasi: ”Thus it follows thatd¹²x will be equal tox√

dx:x, an apparent paradox, from which one day useful consequences will be drawn.”

1700-luvulla fraktaaliderivaatat j¨aiv¨at muiden matematiikan tutkimuskohteiden varjoon, mutta uteliaisuus aihetta kohtaan s¨ailyi. Vuonna 1730 L. Euler esitti funk- tionf(x) =x^m fraktaaliderivaatan m¨a¨aritelm¨an hy¨odynt¨aen gammafunktiota, mutta h¨an ei esitt¨anyt konkreettisia esimerkkej¨a. Vuonna 1772 J. L. Lagrange sivusi aihetta ep¨asuorasti osoittaessaan kokonaislukukertaisille derivaatoille tutun derivointis¨a¨an- n¨on:

d^m dx^m

dⁿ

dxⁿy = d^m+n dx^m+ny.

Vasta vuonna 1812 S. F. Lacroix osoitti, ett¨a funktion f(x) = x kertaluvun ¹₂ frak- taaliderivaatta on

d¹²

dx¹²x= 2√

√x π .

T¨am¨an j¨alkeen kiinnostus fraktaaliderivaattoja kohtaan kasvoi huomattavasti. Mui- den muassa J. B. J. Fourier (1822), N. H. Abel (1823) ja J. Liouville (1835) esittiv¨at omat m¨a¨aritelm¨ans¨a fraktaaliderivaatalle. Vuonna 1847 G. F. B. Riemann m¨a¨aritteli fraktaali-integraalin eli reaalilukukertaisen integraalin k¨asitteen. Liouvillen fraktaali- derivaatan ja Riemannin fraktaali-integraalin m¨a¨aritelmien pohjalta syntyi yksi suo- situimmista fraktaaliderivaatan m¨a¨aritelmist¨a: Riemann-Liouvillen m¨a¨aritelm¨a. Toi- nen historiallisesti merkitt¨av¨a m¨a¨aritelm¨a on Gr¨unwald-Letnikovin m¨a¨aritelm¨a. [1, s. 1–15], [2]

1

1900-luvulla fraktaaliderivaattoja ja -integraaleja eli differintegraaleja (engl. dif- ferintegrals) k¨asittelevien julkaisujen m¨a¨ar¨a jatkoi kasvuaan. Differintegraalien teo- ria kehittyi merkitt¨av¨asti ja niiden sovellukset - fraktaalidifferentiaaliyht¨al¨ot - alkoi- vat kiinnostaa eri alojen tutkijoita. Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatan k¨aytt¨o al- kuarvoteht¨aviss¨a johti kuitenkin teorian ja k¨ayt¨ann¨on v¨aliseen ristiriitaan. Riemann- Liouvillen fraktaaliderivaatan haitta nimitt¨ain on, ett¨a se tuottaa alkuehdoiksi reaa- lilukukertaisia derivaattoja, joille ei ole vastaavaa fysikaalista tulkintaa, kuten ensim- m¨aisen ja toisen kertaluvun derivaatoille (vrt. f⁰(0) alkunopeus ja f⁰⁰(0) alkukiihty- vyys). M. Caputo pyrki ratkaisemaan kyseisen ristiriidan, mink¨a tuloksena h¨an esitti oman m¨a¨aritelm¨ans¨a fraktaaliderivaatalle vuonna 1967. [5, s. 78–79]

Nyky¨a¨an fraktaaliderivaatat ovat t¨arke¨a ty¨ov¨aline matematiikan, fysiikan, kemian, biologian, tekniikan ja taloustieteen tutkimuksessa. Korvaamalla klassisen differenti- aaliyht¨al¨on derivaatta fraktaaliderivaatalla saadaan tarkempia malleja luonnonilmi¨oil- le. Fraktaalidifferentiaaliyht¨al¨ot ovat osoittautuneet hy¨odyllisiksi esimerkiksi komplek- sisten systeemien analysoinnissa. Erityisesti fysiikassa fraktaalidifferentiaaliyht¨al¨ot ovat olleet valtavan kiinnostuksen kohteena. Muun muassa mekaniikan, s¨ahk¨omag- netismin, kvanttimekaniikan ja kentt¨ateorian sovelluksista on julkaistu useita artik- keleita. [23]

T¨am¨an tutkielman tarkoitus on antaa lukijalle perustiedot fraktaaliderivaatoista ja niiden ominaisuuksista. Sis¨all¨on omaksumisen helpottamiseksi lukijalta edellyte- t¨a¨an differentiaali- ja integraalilaskennan perusteiden tuntemusta sek¨a kiinnostusta matematiikkaa kohtaan. Tutkielman ensimm¨aisess¨a luvussa esitell¨a¨an fraktaalidiffe- rentiaalilaskennalle tyypilliset erikoisfunktiot, joita ei v¨altt¨am¨att¨a ole tullut vastaan matematiikan perus- ja aineopinnoissa. Luvussa 1 on pyritty tiiviiseen ja pelkistettyyn esitystapaan, joten varsinaisen aiheen kannalta ep¨aoleelliset todistukset on sivuutettu.

Luvussa 2 tutkielman aihetta l¨ahestyt¨a¨an perinteisen analyysin n¨ak¨okulmasta.

Aluksi selvitet¨a¨an, miten klassiset derivointi- ja integrointioperaattorit voidaan esitt¨a¨a yhdell¨a symbolilla. Seuraavissa aliluvuissa esitell¨a¨an kolme kirjallisuudessa useimmin esiintyv¨a¨a fraktaaliderivaatan m¨a¨aritelm¨a¨a: Gr¨unwald-Letnikovin, Riemann-Liouvillen ja Caputon m¨a¨aritelm¨a. N¨aist¨a kaksi ensiksi mainittua ovat suoria yleistyksi¨a klassisen differentiaali- ja integraalilaskennan tuloksista. Caputon m¨a¨aritelm¨a on taas kehitetty sovellusten n¨ak¨okulmasta. M¨a¨aritelmien ymm¨art¨amist¨a tuetaan useilla konkreettisilla esimerkeill¨a.

Luvussa 3 todistetaan differintegraalien keskeisimpi¨a ominaisuuksia. Tullaan huo- maamaan, ett¨a fraktaaliderivaatan k¨aytt¨aytyminen riippuu valitusta m¨a¨aritelm¨as- t¨a. T¨ast¨a syyst¨a ominaisuudet todistetaan erikseen Gr¨unwald-Letnikovin, Riemann- Liouvillen ja/tai Caputon m¨a¨aritelmille. Luvussa 4 johdetaan derivointikaavat poly- nomifunktiolle ja sen erikoistapaukselle (vakiofunktiolle) sek¨a eksponenttifunktiolle.

Luvussa 4 havainnollistetaan my¨os esimerkein, miten fraktaaliderivaatan lauseke riip- puu valitusta tarkasteluv¨alist¨a.

Tutkielman viimeinen luku k¨asittelee fraktaalidifferentiaaliyht¨al¨oit¨a. Aluksi johde- taan Riemann-Liouvillen ja Caputon fraktaaliderivaatan Laplace-muunnokset, min- k¨a j¨alkeen niit¨a hy¨odynnet¨a¨an alkuarvoteht¨avien ratkaisemiseen. T¨all¨oin selvi¨a¨a, mi- k¨a Caputon fraktaaliderivaatan etu on Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaattaan ver- rattuna. Viimeisess¨a aliluvussa ratkaistaan fraktaaliv¨ar¨ahtelij¨an differentiaaliyht¨al¨o

JOHDANTO 3

k¨aytt¨aen Caputon fraktaaliderivaatan Laplace-muunnosta. Tullaan huomaamaan, et- t¨a yksinkertaisissakin sovelluksissa riitt¨a¨a viel¨a avoimia kysymyksi¨a.

Tutkielman p¨a¨al¨ahtein¨a on k¨aytetty teoksia I. Podlubny Fractional Differential Equations, Keith B. Oldham & Jerome Spanier The Fractional Calculus ja Anatoly A. Kilbas, Hari M. Shrivastava, Juan J. TrujilloTheory and Applications of Fractional Differential Equations. Kaikki tutkielmassa k¨aytetyt l¨ahteet on mainittu l¨ahdeluette- lossa.

LUKU 1

Esitiedot

T¨ass¨a luvussa m¨a¨aritell¨a¨an tutkielmassa k¨aytett¨av¨at erikoisfunktiot: gammafunk- tio, ep¨at¨aydellinen gammafunktio, betafunktio ja Mittag-Leffler-funktio. Lis¨aksi esi- tell¨a¨an erikoisfunktioiden t¨arkeimm¨at ominaisuudet, joita tarvitaan tutkielman muis- sa luvuissa. Aliluvussa 1.5 perehdyt¨a¨an funktion Laplace-muunnokseen, jota sovelle- taan my¨ohemmin fraktaalidifferentiaaliyht¨al¨oiden ratkaisemiseen. Luvun 1 p¨a¨al¨ahtei- n¨a on k¨aytetty teoksia [1, s. 16–22], [3, s. 613–630], [5, s. 6–7, 16–18, 103–104] ja [10, s. 251–259, 279–281].

1.1. Gammafunktio

Luonnollisen luvunn ∈Nkertoma m¨a¨aritell¨a¨an rekursiivisesti asettamalla 1! = 1 ja n! =n(n−1)!. Gammafunktio Γ on kertoman yleistys reaali- ja kompleksiluvuille.

Se m¨a¨aritell¨a¨an reaaliosaltaan positiivisille kompleksiluvuille seuraavasti:

M¨a¨aritelm¨a 1.1. Gammafunktio Γ m¨a¨aritell¨a¨an ep¨aoleellisena integraalina Γ(z) =

Z ∞ 0

e^−tt^z−1dt, z ∈C, Re(z)>0.

Kyseinen integraali suppenee, kun Re(z) > 0, mik¨a on todistettu teoksessa [3, s. 613–614].

Tutkitaan seuraavaksi, miten gammafunktion m¨a¨aritelm¨a voidaan laajentaa re- aaliosaltaan negatiivisille kompleksiluvuille. T¨at¨a varten sovelletaan m¨a¨aritelm¨a¨a 1.1 funktioon Γ(z+ 1). Osittaisintegroimalla saadaan

Γ(z+ 1) = Z ∞

0

e^−tt^zdt

= lim

c→∞

−t^ze^−t

t=c t=0

+z

Z ∞ 0

e^−tt^z−1dt

=zΓ(z), josta edelleen seuraa, ett¨a

(1.1) Γ(z) = Γ(z+ 1)

z .

Tarkastellaan yht¨al¨on (1.1) oikeaa puolta, kun −1< Re(z)<0. Havaitaan, ett¨a (1) Γ(z+ 1) on analyyttinen yhdensuuntaisvy¨oss¨a−1< Re(z)<0, koska z+ 1

kuuluu oikeaan puolitasoon,

(2) 1/z on analyyttinen yhdensuuntaisvy¨oss¨a −1< Re(z)<0, (3) analyyttisten funktioiden tulo on analyyttinen.

5

Gammafunktio Γ(z) on siten analyyttinen, kun −1 < Re(z) < 0. Valitsemalla yh- t¨al¨o (1.1) gammafunktion m¨a¨aritelm¨aksi, kun Re(z) >−1, z 6= 0, saadaan gamma- funktion m¨a¨aritelm¨a laajennettua kompleksiluvuille z, joilleRe(z)> −2, z 6= 0,−1.

Edelleen, valitsemalla yht¨al¨o (1.1) gammafunktion m¨a¨aritelm¨aksi, kun Re(z) >−2, z 6= 0,−1, saadaan m¨a¨aritelm¨a laajennettua kompleksiluvuille z, joille Re(z) >−3, z 6= 0,−1,−2. N¨ain jatkamalla gammafunktiolle saadaan seuraava analyyttinen laa- jennus [4, s. 7]:

Lause 1.2. Gammafunktiolle Γ :C− {0,−1,−2, . . .} →C on voimassa Γ(z) = Γ(z+ 1)

z .

Gammafunktion Γ(x), x∈R, kuvaaja on esitetty kuvassa 1.1.

Kuva 1.1. Gammafunktion Γ(x) kuvaaja, kun x∈R (vrt. [17, s. 8]).

Seuraavassa lauseessa luetellaan gammafunktion t¨arkeimm¨at ominaisuudet, joita sovelletaan luvuissa 2, 3 ja 4.

Lause 1.3. Gammafunktiolle on voimassa (i) Γ(1) = 1,

(ii) Γ(¹₂) = √ π,

(iii) Γ(z+n) = z(z+ 1). . .(z+n−1)Γ(z), n = 1,2, . . ., (iv) Γ(n+ 1) =n!, n∈N.

Todistus. (Vertaa [3, s. 616–619]).

(i) Γ(1) =R∞

0 e^−tdt = 1.

1.1. GAMMAFUNKTIO 7

(ii) M¨a¨aritelm¨an mukaan Γ(¹₂) = R∞

0 e^−tt⁻¹² dt, joten k¨aytt¨am¨all¨a muuttujan- vaihtoat=x² saadaan

Γ(1 2) = 2

Z ∞ 0

e^−x2dx=√ π.

(iii) Soveltamalla lausetta 1.2 n kertaa saadaan

Γ(z+n) = (z+n−1)Γ(z+n−1) = (z+n−1)(z+n−2)Γ(z+n−2)

=· · ·= (z+n−1)(z+n−2). . .(z+ 1)zΓ(z).

(iv) Sijoittamalla z = 1 kohdan (iii) lausekkeeseen saadaan Γ(1 +n) =n(n−1). . .2·1·Γ(1) =n!.

Esimerkki 1.4. Lauseen 1.2 ansiosta voidaan laskea gammafunktion arvoja, kun

−1< Re(z)<0. Esimerkiksi, Γ(−1

2) = Γ(¹₂)

−¹₂ =−2√ π.

Vastaavasti, lauseen 1.3 kohdan (iii) yht¨al¨o voidaan kirjoittaa muotoon

Γ(z) = Γ(z+n)

(z+n−1)(z+n−2). . .(z+ 1)z,

jonka avulla voidaan laskea Γ-funktion arvoja, kun−n < Re(z)<−n+1. Esimerkiksi, Γ(−5

2) = Γ(¹₂)

−⁵₂(−³₂)(−¹₂) =− 8 15

√π.

Luvussa 2 perehdyt¨a¨an fraktaaliderivaattojen m¨a¨aritelmiin, mink¨a vuoksi bino- mikertoimien m¨a¨aritelm¨a laajennetaan kompleksiluvuille z, w∈C− {0,−1,−2, . . .}:

(1.2)

z w

= Γ(z+ 1)

Γ(w+ 1)Γ(z−w+ 1).

Binomikertoimien avulla voidaan edelleen johtaa yksinkertaisempia lausekkeita gam- mafunktioiden osam¨a¨arille. Luvussa 2 k¨asitelt¨avi¨a fraktaaliderivaattojen m¨a¨aritelmi¨a ja esimerkkilaskuja varten tarvitaan seuraavia muuntokaavoja:

(1.3) Γ(m−α)

Γ(−α)Γ(m+ 1) =

m−α−1 m

= (−1)^m α

m

, α∈R+, m ∈N,

(1.4)

N−1

X

m=0

Γ(m−α)

Γ(−α)Γ(m+ 1) = Γ(N −α)

Γ(1−α)Γ(N), α∈R+, N ∈N,

(1.5)

N−1

X

m=0

Γ(m−α)

Γ(−α)Γ(m) = −αΓ(N −α)

Γ(2−α)Γ(N −1), α ∈R+, N ∈N.

Fraktaaliderivaattojen ominaisuuksien todistamista varten tarvitaan lis¨aksi asymp- toottinen laajennus:

(1.6) lim

m→∞

m^c+α+1Γ(m−α) Γ(m+ 1)

= lim

m→∞

m^c+αΓ(m−α) Γ(m)

=







∞, c >0

1, c= 0

0, c <0.

Muuntokaavojen ja asymptoottisen laajennuksen taustoihin ei perehdyt¨a t¨ass¨a tut- kielmassa. Lis¨atietoa l¨oytyy esimerkiksi teoksesta [1, s. 19–20].

1.2. Ep¨at¨aydellinen gammafunktio

Edellisess¨a aliluvussa gammafunktio Γ m¨a¨ariteltiin ep¨aoleellisena integraalina:

lauseketta t^z−1e^−t integroidaan nollasta ¨a¨arett¨om¨a¨an. T¨all¨oin gammafunktiota sa- notaan t¨aydelliseksi gammafunktioksi. Kun integraalin yl¨araja muutetaan vakioksi c ∈ R, saadaan m¨a¨ar¨atty integraali, jota sanotaan alemmaksi ep¨at¨aydelliseksi gam- mafunktioksi.

M¨a¨aritelm¨a 1.5. Alempi ep¨at¨aydellinen gammafunktio, γ :C×R→C, m¨a¨ari- tell¨a¨an m¨a¨ar¨attyn¨a integraalina

γ(z, c) = Z c

0

t^z−1e^−tdt, t∈R,

joka suppenee, kun Re(z)>0.

Huomautus 1.6. Seuraava yht¨al¨o p¨atee, kun Re(z)>0 jac∈R+:

c→∞lim γ(z, c) = Z ∞

0

t^z−1e^−tdt = Γ(z).

Huomautus 1.7. Ylempi ep¨at¨aydellinen gammafunktio Γ :C×R→Cm¨a¨aritel- l¨a¨an ep¨aoleellisena integraalina

Γ(z, c) = Z ∞

c

t^z−1e^−tdt, t∈R, Re(z)>0.

T¨all¨oin t¨aydellinen gammafunktio on Γ(z) = Γ(z,0).

Alemmalle ep¨at¨aydelliselle gammafunktiolle voidaan johtaa seuraava sarjakehitel- m¨a eksponenttifunktion sarjakehitelm¨an ja gammafunktion ominaisuuksien avulla [6]:

(1.7) γ(z, c) =c^ze^−cΓ(z)

∞

X

k=0

c^k Γ(z+k+ 1).

Sarjakehitelm¨a¨a (1.7) tarvitaan luvussa 4 m¨a¨aritett¨aess¨a Mittag-Leffler-funktion lausek- keita.

1.4. MITTAG-LEFFLER-FUNKTIO 9

1.3. Betafunktio

Betafunktio B on gammafunktion kaltainen ja se m¨a¨aritell¨a¨an seuraavasti:

M¨a¨aritelm¨a 1.8. Betafunktio B :R+×R+ →R+ on m¨a¨ar¨atty integraali B(z, w) =

Z 1 0

t^z−1(1−t)^w−1dt.

Fraktaaliderivaattojen ominaisuuksien todistuksissa (kts. luku 3) tarvitaan seu- raavaa betafunktion ominaisuutta:

Lause 1.9. Olkoon z, w ∈R+. T¨all¨oin

B(z, w) = Γ(z)Γ(w) Γ(z+w). Todistus. (Vertaa [7].) M¨a¨aritelm¨an 1.1 mukaan

Γ(z)Γ(w) = Z ∞

0

e^−tt^z−1dt Z ∞

0

e^−ss^w−1ds= Z ∞

0

Z ∞ 0

e^−(t+s)t^z−1s^w−1dt ds.

K¨aytet¨a¨an muuttujanvaihtoat=xyjas=x(1−y), jolloint+s=x. Koska 0< t <∞ ja 0< s <∞, on 0< x <∞ ja 0< y <1. Muunnoksen Jacobin determinantti on

∂(t, s)

∂(x, y)

=

∂(xy)

∂x

∂(xy)

∂y

∂(x(1−y))

∂x

∂(x(1−y))

∂y

=

y x

1−y −x

=| −xy−x(1−y)|=| −x|=x, sill¨ax >0. T¨all¨oin dt ds=

∂(t,s)

∂(x,y)

dx dy =x dx dy ja siten saadaan Γ(z)Γ(w) =

Z 1 0

Z ∞ 0

e^−xx^z−1y^z−1x^w−1(1−y)^w−1x dx dy

= Z ∞

0

e^−xx^z+w−1dx Z 1

0

y^z−1(1−y)^w−1dy

= Γ(z+w)B(z, w),

mist¨a v¨aite seuraa.

1.4. Mittag-Leffler-funktio

Mittag-Leffler-funktio on eksponenttifunktion yleistys kompleksiluvuille.

M¨a¨aritelm¨a 1.10. Yleistetty Mittag-Leffler-funktio E :C→C on sarjakehitel- m¨a

E_a,b(z) =

∞

X

k=0

z^k

Γ(ka+b), a, b∈R+.

Mittag-Leffler-funktiota tarvitaan luvussa 4 eksponenttifunktion fraktaaliderivaa- tan lausekkeen m¨a¨aritt¨amiseen sek¨a luvussa 5 fraktaalidifferentiaaliyht¨al¨oiden ratkai- semiseen.

Huomautus 1.11. Mittag-Leffler-funktion m¨a¨aritelm¨ast¨a seuraa, ett¨a E_1,1(z) =

∞

X

k=0

z^k Γ(k+ 1) =

∞

X

k=0

z^k k! =e^z.

Luvussa 5 tarvitaan lis¨aksi seuraavaa Mittag-Leffler-funktion ominaisuutta:

Lause 1.12. Olkoon z ∈C, a, b∈R. T¨all¨oin Ea,b(z) = 1

Γ(b) +zEa,a+b(z).

Todistus. (Vertaa [8, s. 82].) E_a,b(z) =

∞

X

k=0

z^k Γ(ka+b) =

∞

X

k=−1

z^k+1

Γ(ka+a+b) = 1

Γ(b)+zE_a,a+b(z).

Taulukossa 1 on esitetty muutaman Mittag-Leffler-funktion alkeisfunktioesitykset, joita k¨aytet¨a¨an lukujen 4 ja 5 esimerkeiss¨a. Alkeisfunktioesityksiss¨a esiintyv¨a erf on Gaussin virhefunktio ja erfc on sen komplementti. Virhefunktio erf : R → R m¨a¨ari- tell¨a¨an integraalina

erf(x) = 2

√π Z x

0

e^−t2dt.

Virhefunktion komplementti erfc :R→Rm¨a¨aritell¨a¨an erfc(x) = 1−erf(x).

Virhefunktioiden syv¨allisempi tarkastelu sivuutetaan. Lis¨atietoa l¨oytyy esimerkiksi l¨ahteist¨a [11] ja [12].

Taulukko 1. Mittag-Leffler-funktioiden alkeisfunktioesityksi¨a. [20]

E¹

2,1(−x) =e^x2erfc(x) E_1,1(x) = e^x

E_1,³

2(x) =e^xerf(

√x)

√x , x >0 E_2,1(−x²) = cos(x)

1.5. Laplace-muunnos

Jotta tietylle funktiolle voidaan m¨a¨aritt¨a¨a Laplace-muunnos, funktion t¨aytyy olla eksponentiaalista kertalukua jollakin vakiolla. T¨at¨a varten tarvitaan seuraava m¨a¨ari- telm¨a:

M¨a¨aritelm¨a 1.13. Funktio f : [0,∞) −→ R on eksponentiaalista kertalukua va- kiolla K, jos on olemassa vakiot K, M, t₀ ∈R+ siten, ett¨a

|f(t)| ≤M e^Kt aina, kunt ≥t₀ ≥0.

1.5. LAPLACE-MUUNNOS 11

Eksponentiaalinen kertaluku takaa sen, ett¨a funktiof(t) ei kasva eksponenttifunk- tiota e^Kt nopeammin, kun t −→ ∞. T¨all¨oin funktion Laplace-muunnos on olemassa, sill¨a seuraava integraali suppenee:

M¨a¨aritelm¨a 1.14. Olkoon funktio f : [0,∞)→ Reksponentiaalista kertalukua vakiollaK ja paloittain jatkuva ja olkoonS ={s∈C:Re(s)> K}. T¨all¨oin funktion f Laplace-muunnos on funktio F :S →C,

F(s) = L(f(t)) = Z ∞

0

e^−stf(t)dt= lim

R→∞

Z R 0

e^−stf(t)dt, t >0.

Huomautus 1.15. Yleisesti funktion Laplace-muunnosta merkit¨a¨an isolla kirjai- mella ja alkuper¨aist¨a funktiota pienell¨a kirjaimella.

Esimerkki 1.16. (Vrt. [10, s. 252]) Olkoon f(t) = e^at, t≥ 0 ja a∈ R. M¨a¨aritel- m¨an 1.14 mukaan funktionf Laplace-muunnos on

L(e^at) = Z ∞

0

e^−ste^atdt= Z ∞

0

e^−(s−a)tdt= lim

R→∞

− 1

s−ae^−(s−a)t t=R

t=0

= 1

s−a, kun s−a >0.

Laplace-muunnosta k¨aytet¨a¨an luvussa 5 fraktaalidifferentiaaliyht¨al¨oiden ratkaise- miseen. Jotta differentiaaliyht¨al¨o voidaan ratkaista, tarvitaan k¨a¨anteinen operaatio, joka muuntaa Laplace-muunnetun funktion takaisin alkuper¨aiseksi funktioksi.

M¨a¨aritelm¨a 1.17. Olkoon funktio f : [0,∞)−→ Reksponentiaalista kertalukua vakiolla K ja paloittain jatkuva ja olkoon F(s) = L(f(t)). T¨all¨oin funktio f(t) on funktion F(s) k¨a¨anteinen Laplace-muunnos, jota merkit¨a¨an

L⁻¹(F(s)) =f(t).

Esimerkki 1.18. Esimerkiksi funktion F(s) = _s−a¹ , a ∈ R, k¨a¨anteinen Laplace- muunnos on f(t) =e^at, t≥0.

Huomautus 1.19. Sarjateorian avulla voidaan osoittaa (kts. [9, s. 6]), ett¨a L⁻¹

s^α−β s^α+λ

=t^β−1Eα,β(−λt^α),

miss¨a α, β > 0, λ ∈ R ja s^α > |λ|. Kyseist¨a k¨a¨anteismuunnosta tarvitaan luvussa 5 Riemann-Liouvillen ja Caputon fraktaaliderivaattojen Laplace-muunnosten m¨a¨arit- t¨amiseen.

Laplace-muunnoksen yksi t¨arkeimpi¨a ominaisuuksia on lineaarisuus:

Lause 1.20. Olkoot funktioilla f(t) ja g(t) Laplace-muunnokset F(s) ja G(s).

T¨all¨oin

L(αf(t) +βg(t)) =αL(f(t)) +βL(g(t)) =αF(s) +βG(s), miss¨a α, β ∈C ovat vakioita.

Todistus. Seuraa suoraan Laplace-muunnoksen m¨a¨aritelm¨ast¨a ja integraalin li-

neaarisuudesta (kts. [10, s. 252]).

Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatan Laplace-muunnosta varten tarvitaan kon- voluution Laplace-muunnoksen kaava. M¨a¨aritell¨a¨an seuraavaksi, mit¨a konvoluutio tar- koittaa.

M¨a¨aritelm¨a 1.21. Olkoot funktiot f : [0,∞)−→ R ja g : [0,∞)−→R eksponen- tiaalista kertalukua vakiollaK ja paloittain jatkuvia. Funktioiden konvoluutio (f∗g) m¨a¨aritell¨a¨an integraalina

(f∗g)(t) = Z t

0

f(τ)g(t−τ)dτ.

Lause 1.22. (Konvoluutiolause) Olkoot funktiot f : [0,∞)−→R ja g : [0,∞)−→R eksponentiaalista kertalukua vakiollaKja paloittain jatkuvia, ja olkoot niiden Laplace- muunnokset F(s) ja G(s). T¨all¨oin jokaisella s ∈C, Re(s)> K, on

L[(f ∗g)(t)] =F(s)G(s), t >0.

Todistus. Todistuksessa tarvitaan Laplace-muunnoksen translaatiolausetta, jo- ten todistus sivuutetaan. Konvoluutiolause on todistettu teoksessa [10, s. 280–281].

Fraktaaliderivaattojen Laplace-muunnoksia varten tarvitaan derivaatan Laplace- muunnoksen kaava.

Lause 1.23. Olkoot funktiot f^(k) : [0,∞) → R, k = 0,1, . . . , n−1, jatkuvia ja olkoon funktio f⁽ⁿ⁾ : [0,∞)→ R paloittain jatkuva, ja olkoot kaikki edelliset funktiot eksponentiaalista kertalukua vakiolla K. T¨all¨oin jokaisella s∈C, Re(s)> K p¨atee:

L(f⁽ⁿ⁾(t)) =sⁿF(s)−sⁿ⁻¹f(0)−sⁿ⁻²f⁰(0)−· · ·−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0) =sⁿF(s)−

n−1

X

k=0

s^kf^(n−k−1)(0).

Todistus. Todistus on suoraviivainen induktiotodistus, jossa sovelletaan Laplace- muunnoksen m¨a¨aritelm¨a¨a 1.14 ja osittaisintegrointia. Lause on todistettu l¨ahtees-

s¨a [10, s. 258–259].

LUKU 2

Fraktaaliderivaatat ja -integraalit

T¨ass¨a luvussa tutkielman aihetta l¨ahestyt¨a¨an perinteisen analyysin n¨ak¨okulmas- ta. Aliluvun 2.1 tarkoitus on havainnollistaa, miten derivointi- ja integrointioperaatiot saadaan esitetty¨a yhdell¨a symbolilla. Seuraavissa aliluvuissa esitet¨a¨an kolme erilaista fraktaaliderivaatan m¨a¨aritelm¨a¨a: Gr¨unwald-Letnikovin, Riemann-Liouvillen ja Capu- ton m¨a¨aritelm¨a. Lis¨aksi m¨a¨aritelmi¨a sovelletaan yksinkertaiseen polynomifunktioon f(x) = x. Luku 2 perustuu p¨a¨aasiassa l¨ahteisiin [5, s. 43–48, 62–63, 79], [13], [15, s. 69–70, 90–92] ja [19, s. 7–8, 11].

2.1. Derivointi- ja integrointioperaattori

Tarkastellaan funktiota f : [a, b] → R, joka on n kertaa jatkuvasti derivoituva v¨alill¨a [a, x], a < x < b. Johdetaan funktion f kertaluvun n derivaatalle yleinen lauseke.

Funktionfensimm¨aisen kertaluvun derivaatta m¨a¨aritell¨a¨an erotusosam¨a¨ar¨an raja- arvona

D¹f(x) = lim

h→0

f(x)−f(x−h)

h .

Soveltamalla derivaatan m¨a¨aritelm¨a¨a funktioon D¹f(x) saadaan funktion f toisen kertaluvun derivaataksi

D²f(x) = lim

h1→0

D¹f(x)−D¹f(x−h1) h₁

= lim

h1→0

1 h1

lim

h2→0

f(x)−f(x−h₂) h2

− lim

h2→0

f(x−h₁)−f(x−h₁−h₂) h2

.

Olettaen, ett¨a h=h₁ =h₂, saadaan D²f(x) = lim

h→0

1

h² (f(x)−2f(x−h) +f(x−2h)).

Kahden raja-arvon yhdist¨amisen syv¨allisempi tarkastelu sivuutetaan. Tarkempi pe- rustelu on esitetty l¨ahteess¨a [19, s. 8].

Soveltamalla vastaavaa p¨a¨attely¨a funktioon D²f(x) saadaan funktion f kolman- nen kertaluvun derivaataksi

D³f(x) = lim

h⁰→0

D²f(x)−D²f(x−h⁰) h⁰

= lim

h⁰→0

1 h⁰

h→0lim

f(x)−2f(x−h) +f(x−2h) h²

− lim

h→0

f(x−h⁰)−2f(x−h⁰−h) +f(x−h⁰−2h) h²

.

13

Olettaen, ett¨a h=h⁰, saadaan D³f(x) = lim

h→0

f(x)−3f(x−h) + 3f(x−2h)−f(x−3h)

h³ .

Induktioperiaatteella voidaan edelleen osoittaa (kts. [19, s. 7]), ett¨a funktion f ker- taluvun n derivaatta on

(2.1) Dⁿf(x) = lim

h→0h⁻ⁿ

n

X

m=0

(−1)^m n

m

f(x−mh), miss¨a

n m

= n(n−1). . .(n−m+ 1)

m! = n!

m!(n−m)!

on binomikerroin ja m, n∈N.

Seuraavaksi tutkitaan operaattorin Dⁿ merkityst¨a positiivisilla ja negatiivisilla kokonaisluvuilla sek¨a luvulla 0. T¨at¨a varten otetaan k¨aytt¨o¨on merkint¨a

(2.2) f_h^(p)(x) = 1

h^p

n

X

m=0

(−1)^m p

m

f(x−mh), miss¨a p on mielivaltainen kokonaisluku jan ∈N, kuten edell¨a.

Tutkitaan ensin positiivisia kokonaislukujap. Selv¨asti, jos p=n, niin

(2.3) lim

h→0f_h^(p)(x) = f^(p)(x) = d^p

dx^pf(x) =D^pf(x).

Yht¨al¨o (2.3) p¨atee my¨os silloin, kunp < n, sill¨a t¨all¨oin binomikertoimen m¨a¨aritelm¨an mukaan kertoimet _m^p

ovat nollia, kun m > p.

Kun p= 0, niin

(2.4) lim

h→0f_h⁽⁰⁾(x) =f(x) = D⁰f(x).

Tutkitaan seuraavaksi negatiivisia kokonaislukuja −p (p > 0). Laajennetaan bi- nomikertoimen m¨a¨aritelm¨a negatiivisille kokonaisluvuille seuraavasti:

−p m

= −p(−p−1). . .(−p−m+ 1)

m! = (−1)^mp(p+ 1). . .(p+m−1)

m! = (−1)^mhp

m i

,

miss¨a

hp m

i

= p(p+ 1). . .(p+m−1)

m! .

Nyt lauseke (2.2) saadaan muotoon

(2.5) f_h^(−p)(x) = h^p

n

X

m=0

hp m

i

f(x−mh).

Kun kokonaislukun on kiinnitetty, lausekef_h^(−p)(x) l¨ahestyy triviaalisti raja-arvoa 0, kun h −→ 0. T¨ast¨a syyst¨a on oletettava, ett¨a n −→ ∞, kun h −→ 0. Koska oletuksen mukaan funktio f on jatkuva v¨alill¨a [a, x], valitaan h = ^x−a_n . K¨aytet¨a¨an jatkossa seuraavaa merkint¨a¨a:

(2.6) lim

nh=x−ah→0

f_h^(−p)(x).

2.1. DERIVOINTI- JA INTEGROINTIOPERAATTORI 15

Tutkitaan, onko raja-arvoa (2.6) olemassa ja jos on, saadaanko sille informatiivisempi merkint¨a. Tarkastellaan ensin tapausta p= 1. T¨all¨oin kaavan (2.5) mukaan

(2.7) f_h⁽⁻¹⁾(x) =h

n

X

m=0

f(x−mh).

Hy¨odynt¨aen tietoa, ett¨a h= ^x−a_n , lauseke (2.7) voidaan esitt¨a¨a muodossa (2.8) f_h⁽⁻¹⁾(x) = hf(x) +h

n

X

m=1

f(x−mh) = x−a

n f(x) +

n

X

m=1

x−a

n f(x−mx−a n ).

Tarkastellaan lausekkeen (2.8) j¨alkimm¨aist¨a osaa. Summassa onn termi¨a, jotka ovat muotoa ^x−a_n f(x−m^x−a_n ). Nyt ^x−a_n on osav¨alin pituus jaf(x−m^x−a_n ) on funktion arvo osav¨alin toisessa p¨a¨atepisteess¨a, joten summa voidaan tulkita Riemannin summaksi.

Kun jakoa tihennet¨a¨an (eli n−→ ∞), Riemannin summa l¨ahestyy raja-arvoa, joka on m¨a¨ar¨atty integraali. T¨all¨oin

h→0lim

nh=x−a

f_h⁽⁻¹⁾(x) = lim

n→∞

"

x−a

n f(x) +

n

X

m=1

x−a

n f(x−mx−a n )

#

= 0 + Z x

a

f(t)dt= Z x

a

f(t)dt.

Tarkastellaan sitten tapausta p= 2. T¨all¨oin 2

m

= 2·3. . .(2 +m−1)

m! =m+ 1,

jolloin kaavojen (2.5) ja (2.7) mukaan on f_h⁽⁻²⁾(x) =h²

n

X

m=0

(m+ 1)f(x−mh) =h²

n

X

m=0

mf(x−mh) +h²

n

X

m=0

f(x−mh)

=h

n

X

m=0

mhf(x−mh) +hf_h⁽⁻¹⁾(x) =h

n

X

m=1

mhf(x−mh) +hf_h⁽⁻¹⁾(x)

= x−a n

n

X

m=1

mx−a n f

x−mx−a n

+ x−a

n f_h⁽⁻¹⁾(x)

=

n

X

m=1

x−a

n c_mf(x−c_m) + x−a

n f_h⁽⁻¹⁾(x), miss¨a c_m =mx−a n .

Tarkastellaan yll¨a olevan lausekkeen summaa. Summassa on n termi¨a, jotka ovat muotoa ^x−a_n c_mf(x−c_m). Kunn −→ ∞, niin silloin

c₁ = x−a

n −→0 ja c_n =nx−a

n −→x−a,

joten funktion tarkasteluv¨ali on [0, x−a]. Koska ^x−a_n on v¨alin jako jac_m =m^x−a_n ovat v¨alin jakopisteit¨a, summa voidaan tulkita funktion sf(x−s) Riemannin summaksi.

Kun jakoa tihennet¨a¨an, saadaan raja-arvoksi

h→0lim

nh=x−a

f_h⁽⁻²⁾(x) = lim

n→∞

" _n X

m=1

x−a

n c_mf(x−c_m) + x−a

n f_h⁽⁻¹⁾(x)

#

= Z x−a

0

sf(x−s)ds+ 0 = Z x−a

0

sf(x−s)ds.

K¨aytt¨am¨all¨a muuttujanvaihtoa t = x−s, jolloin s = x−t ja ds = −dt, saadaan integroimisrajoiksi

(x−s)|_s=0 =x ja (x−s)|_s=x−a=a.

T¨all¨oin

h→0lim

nh=x−a

f_h⁽⁻²⁾(x) = − Z a

x

(x−t)f(t)dt= Z x

a

(x−t)f(t)dt.

Vastaavat esitykset tapauksessa p= 3 ovat 3

m

= 3·4. . .(3 +m−1)

m! = (m+ 1)(m+ 2) 1·2 , f_h⁽⁻³⁾(x) = h³

1·2

n

X

m=0

(m+ 1)(m+ 2)f(x−mh) = h³ 2

n

X

m=0

(m²+ 3m+ 2)f(x−mh)

= h³ 2

" _n X

m=0

m²f(x−mh) + 3

n

X

m=0

mf(x−mh) + 2

n

X

m=0

f(x−mh)

#

= h 2

n

X

m=0

(mh)²f(x−mh) + 3h² 2

n

X

m=0

mhf(x−mh) +h³

n

X

m=0

f(x−mh)

= h 2

n

X

m=0

(mh)²f(x−mh) + 3h

2 f_h⁽⁻²⁾(x) +h²f_h⁽⁻¹⁾(x)

= h 2

n

X

m=1

(mh)²f(x−mh) + 3h

2 f_h⁽⁻²⁾(x) +h²f_h⁽⁻¹⁾(x).

Kun yll¨a olevan lausekkeen ensimm¨aiseen osaan sovelletaan vastaavaa p¨a¨attely¨a kuin tapauksessa p= 2, summa voidaan tulkita funktion s²f(x−s) Riemannin summaksi.

T¨all¨oin raja-arvoksi saadaan

h→0lim

nh=x−a

f_h⁽⁻³⁾(x) = lim

nh=x−ah→0

"

h 2

n

X

m=1

(mh)²f(x−mh) + 3h

2 f_h⁽⁻²⁾(x) +h²f_h⁽⁻¹⁾(x)

#

= 1 2

Z x−a 0

s²f(x−s)ds+ 0 + 0 = 1 2

Z x−a 0

s²f(x−s)ds.

K¨aytt¨am¨all¨a muuttujanvaihtoa t=x−s, kuten edell¨a, saadaan raja-arvoksi

h→0lim

nh=x−a

f_h⁽⁻³⁾(x) = 1 2

Z x a

(x−t)²f(t)dt.

2.1. DERIVOINTI- JA INTEGROINTIOPERAATTORI 17

Induktiolla voidaan osoittaa (kts. [5, s. 46–47]), ett¨a yleisesti p¨atee (2.9)

h→0lim

nh=x−a

f_h^(−p)(x) = lim

h→0 nh=x−a

h^p

n

X

m=0

h p m i

f(x−mh) = 1 (p−1)!

Z x a

(x−t)^p−1f(t)dt.

N¨aytet¨a¨an seuraavaksi, ett¨a kaava (2.9) on p-kertainen integraali. T¨at¨a varten otetaan k¨aytt¨o¨on seuraava merkint¨a:

h→0lim

nh=x−a

f_h^(−p)(x) = aD^−p_x f(x),

miss¨aD^−p on integrointioperaattori jaajaxovat integroimisv¨alin p¨a¨atepisteet. Leib- nizin s¨a¨ann¨on [19, s. 11] nojalla

d

dx ^aD^−p_x f(x)

= 1

(p−1)!

d dx

Z x a

(x−t)^p−1f(t)dt

= 1

(p−1)!

Z x a

∂

∂x(x−t)^p−1f(t)dt+ 1 (p−1)!

(x−t)^p−1f(t)

t=x

d dxx

− 1 (p−1)!

(x−t)^p−1f(t)

t=a

d dxa

= 1

(p−1)!

Z x a

(p−1)(x−t)^p−2f(t)dt+ 0−0

= 1

(p−2)!

Z x a

(x−t)^p−2f(t)dt

=_aD^−p+1_x f(x).

Toisaalta, merkint¨a_aD^−p_x f(x) voidaan kirjoittaa muotoon

aD^−p_x f(x) = _aD^−p_x f(x)−_aD^−p_a f(a)

| {z }

=0

,

joka analyysin peruslauseen mukaan on

aD^−p_x f(x) = Z x

a

d

ds^aD_s^−pf(s)ds.

T¨all¨oin edell¨a lasketun nojalla saadaan

(2.10) _aD_x^−pf(x) =

Z x a

aD^−p+1_s f(s) ds.

Vastaavasti Leibnizin s¨a¨ann¨on nojalla saadaan d

dx ^aD^−p+1_x f(x)

= 1

(p−2)!

d dx

Z x a

(x−t)^p−2f(t)dt

= 1

(p−2)!

Z x a

∂

∂x(x−t)^p−2f(t)dt+ 1 (p−2)!

(x−t)^p−2f(t)

t=x

d dxx

− 1 (p−2)!

(x−t)^p−2f(t)

t=a

d dxa

= 1

(p−2)!

Z x a

(p−2)(x−t)^p−3f(t)dt+ 0−0

= 1

(p−3)!

Z x a

(x−t)^p−3f(t)dt

=_aD^−p+2_x f(x).

Soveltamalla vastaavaa p¨a¨attely¨a yht¨al¨o¨on (2.10) saadaan

aD^−p_x f(x) = Z x

a



_aD^−p+1_s f(s)−_aD^−p+1_a f(a)

| {z }

=0



 ds

= Z x

a

Z s a

d

du^aD^−p+1_u f(u)du

ds

= Z x

a

Z s a

aD^−p+2_u f(u)du

ds

= Z x

a

ds Z s

a

aD^−p+2_u f(u)du.

N¨ain jatkamalla saadaan lopulta (2.11) _aD^−p_x f(x) =

Z x a

dσ₁ Z σ1

a

dσ₂. . . Z σp−1

a

| {z }

pkpl

f(σ_p)dσ_p.

Kaavojen (2.3), (2.4) ja (2.11) perusteella derivointi- ja integrointioperaatiot ovat siis lausekkeen (2.2) raja-arvoja kokonaisluvun p eri arvoilla. T¨aten derivointi- ja integrointioperaatiot voidaan esitt¨a¨a yhteisell¨a symbolilla

(2.12) aD_x^pf(x) = lim

nh=x−ah→0

f_h^(p)(x) = lim

nh=x−ah→0

1 h^p

n

X

m=0

(−1)^m p

m

f(x−mh).

Yhteenvetona symbolille _aD_x^p saadaan:

(2.13) _aD_x^p =







d^p

dx^p, p∈Z+

1, p= 0

Rx

a dσ₁Rσ1

a dσ₂. . .Rσ−p−1

a dσ−p p∈Z⁻.

2.2. GR ¨UNWALD-LETNIKOVIN M ¨A ¨ARITELM ¨A 19

2.2. Gr¨unwald-Letnikovin m¨a¨aritelm¨a

Gr¨unwald-Letnikovin fraktaaliderivaatan m¨a¨aritelm¨a perustuu aliluvussa 2.1 esi- tettyyn analyyttiseen l¨ahestymistapaan. Fraktaaliderivaatan lauseke saadaan, kun kaavan (2.12) kokonaislukupkorvataan reaaliluvulla α,α >0, ja binomikerroin yleis- tet¨a¨an reaaliluvuille kaavan (1.2) mukaan. [13]

M¨a¨aritelm¨a 2.1. Olkoon funktiof : [a, b]−→RN kertaa jatkuvasti derivoituva, a < x < b, α ∈ R+ ja N = b^x−a_h c¹. T¨all¨oin funktion f kertaluvun α Gr¨unwald- Letnikovin fraktaaliderivaatta on

GL

a D^α_xf(x) = lim

h→0h^−α

b^x−a

h c

X

m=0

(−1)^m Γ(α+ 1)

m!Γ(α−m+ 1)f(x−mh), tai yht¨apit¨av¨asti

GL

a D^α_xf(x) = lim

N→∞

x−a N

^{−α N} X

m=0

(−1)^m Γ(α+ 1) m!Γ(α−m+ 1)f

x−m

x−a N

.

M¨a¨aritelm¨an 2.1 sarja suppenee itseisesti ja tasaisesti jokaisella α >0 ja jokaiselle rajoitetulle funktiolle f(x), joten raja-arvo on olemassa [14]. Teoksessa [5, s. 49–50]

on osoitettu, ett¨a sarja suppenee my¨os silloin, kunα <0. T¨aten Gr¨unwald-Letnikovin fraktaaliderivaatalle saadaan vaihtoehtoinen m¨a¨aritelm¨a, joka yhdist¨a¨a derivointi- ja integrointioperaatiot:

M¨a¨aritelm¨a 2.2. Olkoon funktiof : [a, b]−→RN kertaa jatkuvasti derivoituva, a < x < b,α∈RjaN =b^x−a_h c. T¨all¨oin funktionf kertaluvunαGr¨unwald-Letnikovin differintegraali on

GL

a D_x^αf(x) = lim

N→∞

x−a N

−α N−1

X

m=0

Γ(m−α) Γ(−α)Γ(m+ 1)f

N x−mx+ma N

.

Esimerkki 2.3. Olkoon f(x) = x, a = 0 ja α = ¹₂. Gr¨unwald-Letnikovin m¨a¨ari- telm¨an 2.2 mukaan

GL

0 D

1

x2x= lim

N→∞

N x

¹₂ ^N−1 X

m=0

Γ(m− ¹₂) Γ(−¹₂)Γ(m+ 1)

N x−mx N

=x¹² lim

N→∞

N−1

X

m=0

N¹² Γ(m− ¹₂) Γ(−¹₂)Γ(m+ 1)

1− m

N

=x¹²

"

N→∞lim N¹²

N−1

X

m=0

Γ(m−¹₂) Γ(−¹₂)Γ(m+ 1)

!

− lim

N→∞ N⁻¹²

N−1

X

m=0

mΓ(m− ¹₂) Γ(−¹₂)Γ(m+ 1)

!#

.

1Merkint¨a N =b^x−a_h ctarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka on pienempi tai yht¨a suuri kuin

x−a h .

Soveltamalla osasummiin muuntokaavoja (1.4) ja (1.5) saadaan

GL

0 D

1

x2x=x¹²

N→∞lim

N¹² Γ(N − ¹₂) Γ(¹₂)Γ(N)

− lim

N→∞

N⁻¹² −¹₂Γ(N − ¹₂) Γ(³₂)Γ(N −1)

=x¹² 1

Γ(¹₂) lim

N→∞

N¹²Γ(N − ¹₂) Γ(N)

+

1 2

Γ(³₂) lim

N→∞

N⁻¹²Γ(N− ¹₂) Γ(N −1)

.

Soveltamalla raja-arvoihin kaavaa (1.6) saadaan derivaatan lausekkeeksi

GL

0 D

1

x2x=x¹² 1

√π ·1 +

1 2 1 2

√π ·1

= 2√

√x π .

2.3. Riemann-Liouvillen m¨a¨aritelm¨a

Ennen Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatan m¨a¨aritelm¨a¨a, tarvitaan Riemann- Liouvillen fraktaali-integraalin m¨a¨aritelm¨a. Fraktaali-integraali saadaan korvaamalla kaavan (2.9) kokonaisluku preaaliluvulla α, α >0.

M¨a¨aritelm¨a 2.4. Olkoon funktio f : [a, b]→− R jatkuva, a < x < b ja α ∈ R+. T¨all¨oin funktion f kertaluvun α Riemann-Liouvillen fraktaali-integraali on

RL

a D^−α_x f(x) = 1 Γ(α)

Z x a

f(t)dt (x−t)^1−α.

Riemann-Liouvillen kertaluvunαfraktaaliderivaatta saadaan derivoimalla (1−α)- kertaista fraktaali-integraalia, kun 0< α <1. [15, s. 69–70]

M¨a¨aritelm¨a 2.5. Olkoon funktiof : [a, b]−→Rjatkuva,a < x < bja 0< α <1.

T¨all¨oin funktion f kertaluvun α Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatta on

RL

a D^α_xf(x) = d dx

RL

a D_x^−(1−α)f(x)

= 1

Γ(1−α) d dx

Z x a

f(t)dt (x−t)^α.

Yleisesti, kun funktio f onn kertaa jatkuvasti derivoituva, Riemann-Liouvillen frak- taaliderivaatta on

RL

a D^α_xf(x) = dⁿ dxⁿ

RL

a D_x^−(n−α)f(x)

= 1

Γ(n−α) dⁿ dxⁿ

Z x a

f(t)dt (x−t)^α−n+1, miss¨a 0 ≤n−1< α < n, n∈N.

Esimerkki 2.6. Olkoon f(x) =x, a = 0 ja α = ¹₂. Riemann-Liouvillen m¨a¨aritel- m¨an mukaan

RL

0 D

1

x2x= 1 Γ(¹₂)

d dx

Z x 0

t dt (x−t)¹².

K¨aytt¨am¨all¨a muuttujanvaihtoa y = x−t, jolloin t = x−y ja dt = −dy, saadaan integroimisrajoiksi

(x−t)|_t=0 =x ja (x−t)|_t=x = 0.

2.4. CAPUTON M ¨A ¨ARITELM ¨A 21

T¨all¨oin

RL

0 D

1

x2x= 1 Γ(¹₂)

d dx

Z 0 x

−(x−y)dy y¹² = 1

Γ(¹₂) d dx

Z x 0

(x−y)dy y¹²

= 1

Γ(¹₂) d dx

2xy¹² − 2 3y³²

y=x

y=0

= 1

Γ(¹₂) d dx

2x³² − 2 3x³²

= 1

Γ(¹₂) d dx

4 3x³²

= 1

√π 4 3· 3

2x¹²

= 2√

√x π .

Vertaamalla esimerkkien 2.3 ja 2.6 tuloksia, havaitaan, ett¨a Gr¨unwald-Letnikovin ja Riemann-Liouvillen m¨a¨aritelm¨at antavat saman tuloksen funktiolle f(x) =x. Voi- daan osoittaa, ett¨a Gr¨unwald-Letnikovin ja Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatat ovat samat kaikilla funktioilla (kts. lause 3.14).

Esimerkki 2.7. Lasketaan funktion f(x) =x, fraktaaliderivaatta, kun α = ³₂ ja a= 0. Nyt n = 2, jolloin Riemann-Liouvillen m¨a¨aritelm¨an mukaan on

RL

0 D

3

x2x= 1 Γ(¹₂)

d² dx²

Z x 0

t dt (x−t)¹². Hy¨odynt¨am¨all¨a esimerkin 2.6 integraalin tulosta saadaan

RL

0 D

3

x2x= 1 Γ(¹₂)

d dx

d dx

Z x 0

t dt (x−t)¹²

!

= 1

Γ(¹₂) d dx 2√

x

= 1

√πx.

Tulos on h¨amment¨av¨a. Klassisen differentiaalilaskennan perusteella voisi nimitt¨ain olettaa, ett¨a kertaluvun ³₂ fraktaaliderivaatta olisi nolla, sill¨a f⁰(x) on vakio ja nyt α = ³₂>1. Luvussa 4 osoitetaan, ett¨a vakion Riemann-Liouvillen fraktaaliderivaatta ei kuitenkaan ole nolla.

Esimerkki 2.8. Tutkitaan edelleen funktiota f(x) =x, mutta valitaan tarkaste- luv¨alin alarajaksi a = 1. Hy¨odynt¨aen esimerkin 2.6 v¨alivaiheita saadaan funktion f kertaluvun α= ¹₂ fraktaaliderivaataksi

RL

1 D

1

x2x= 1 Γ(¹₂)

d dx

2xy¹² −2 3y³²

y=x

y=1

= 1

Γ(¹₂) d dx

2x³² − 2 3x³² −

2x−2 3

= 1

Γ(¹₂) d dx

4

3x³² −2x+2 3

= 1

√π 4

3· 3

2x¹² −2

= 2√ x−2

√π .

Verrattaessa saatua tulosta esimerkin 2.6 tulokseen havaitaan, ett¨a fraktaaliderivaa- tan arvo riippuu tarkasteluv¨alin alarajasta.

2.4. Caputon m¨a¨aritelm¨a

Caputon m¨a¨aritelm¨a perustuu Riemann-Liouvillen m¨a¨aritelm¨an tavoin iteroitui- hin integraaleihin. [15, s. 90–92]

M¨a¨aritelm¨a 2.9. Olkoon funktio f : [a, b]−→R n kertaa jatkuvasti derivoituva ja a < x < b. T¨all¨oin funktionf kertaluvun α Caputon fraktaaliderivaatta on

C

aD^α_xf(x) = 1 Γ(n−α)

Z x a

f⁽ⁿ⁾(t)dt (x−t)^α+1−n, miss¨a 0 ≤n−1< α < n, α∈R+, n∈N.

Esimerkki 2.10. Olkoon f(x) = x, a = 0 ja α = ¹₂. Nyt n = 1, joten Caputon m¨a¨aritelm¨an mukaan on

C 0D

1

x2x= 1 Γ(¹₂)

Z x 0

1

(x−t)¹² dt = 1

√π

h−2(x−t)¹²it=x t=0

= 1

√π 0 + 2√ x

= 2√

√x π . My¨os Caputon m¨a¨aritelm¨all¨a saadaan sama tulos kuin esimerkeiss¨a 2.3 ja 2.6.

Yleisesti Riemann-Liouvillen ja Caputon fraktaaliderivaatat eiv¨at kuitenkaan ole yh- t¨apit¨av¨at (kts. lause 3.15). Nyt esimerkkien 2.6 ja 2.10 tulokset ovat samat, sill¨a vaadittu ehto f(a) =f⁰(a) =· · ·=f⁽ⁿ⁻¹⁾(a) = 0 toteutuu (kts. huomautus 3.16).

Esimerkki 2.11. Lasketaan funktion f(x) =x fraktaaliderivaatta, kun α= ³₂ ja a= 0. Nyt n = 2 ja f⁽²⁾(x) = 0, joten Caputon m¨a¨aritelm¨an mukaan on

C 0D

3

x2x= 1 Γ(¹₂)

Z x 0

0

(x−t)¹² dt = 0.

Nyt tapauksessaα= ³₂ >1 saadaan fraktaaliderivaataksi nolla, toisin kuin Riemann- Liouvillen m¨a¨aritelm¨all¨a (vrt. esimerkki 2.7).

Esimerkki 2.12. Lasketaan funktionf(x) = x³ fraktaaliderivaatta, kunα= ⁵₂ ja a= 1. Nyt n = 3 ja f⁽³⁾(x) = 6, joten m¨a¨aritelm¨an mukaan on

C 1D

5

x2x³ = 1 Γ(⁵₂)

Z x 1

6

(x−t)¹² dt = 6 Γ(⁵₂)

h

−2(x−t)¹² it=x

t=1 = 6

Γ(⁵₂) 0 + 2√ x−1

= 12√ x−1 Γ(⁵₂) .

Termin Γ(⁵₂) arvo saadaan soveltamalla lauseen 1.3 kohtaa (iii) arvolla n = 2. Frak- taaliderivaatan sievennetty esitys on siten

C 1D

5

x2x³ = 12√ x−1

3

2 ·¹₂Γ(¹₂) = 16√ x−1

√π .