Metriset avaruudet Demo 12, kevät 2003
1. Laske lineaarikuvausten
A:=
1 0 2 0 3 1
−1 1 0
ja
B :=
0 0 1 0 3 1
−1 1 0
etäisyys metrisessä avaruudessa a) L(R3,R3), b) (R3×3, d2).
Opastus a)-kohtaan. Etäisyys oli määritelmän mukaan
max{ |(A−B)x|¯¯x∈R3,|x|= 1}.
Laske matriisi A−B. Ota mielivaltainen (pysty)vektori x = (x1, x2, x3)T ja laske
|(A−B)x|. Mieti, mikä on tämän suurin arvo, kun tiedetään, että|x|= 1.
2. Laske lineaarikuvausten
A:=
5 3 1 0 0 2 2 0 4 4 3 3 1 1 0 2
ja
B :=
5 2 1 0
−1 2 2 0 4 4 3 2 1 1 1 2
etäisyys avaruudessa L(R4,R4).
3. Suppeneeko kuvausjono(A(k))∞k=1
A(k) :=
1
1+k 1 0
−2 e−k2 0 0 1−
q
1 + 1k 3
avaruudessa L(R3,R3)? Jos suppenee, onko A:= lim
k→∞A(k) kääntyvä?
4. Olkoon(X, d) := (L(Rn), d) ja Ω⊂X,
Ω :={A∈L(Rn)|A on kääntyvä}.
Osoita, että Ωon avoin X:n osajoukko! (Lause 6.5) 5. Onko funktiof :R3 →R3,f = (f1, f2, f3), missä
f1(x, y, z) := e−y2,
f2(x, y, z) := x2+ cosπz, f3(x, y, z) := xyz,
Jakobin matriisi kääntyvä pisteessä (0,1,12)?
