ARTIKKELIT
Antti Hautamäki
Raili Kaupin käsitekalkyylit
Hautamäki, Antti, Raili Kaupin käsitekalkyylit [Raili Kauppi's calculi of con- cepts]. Kirjastotiede ja informatiikka, 9 (4): 95-97, 1990.
Professor of philosophy Raili Kauppi has developed several intensional cal- culi of concepts with elegant mathematical structures. According to Kauppi conceptual structures are partial orders. In the article the basic definitions of Kauppi's systems are presented and potential applications are pointed out.
Adress: Sirkkalanmäki 34, SF-00760 Helsinki
Tausta
Raili Kauppi kehitti 1 9 5 0 - j a -60 -luvuilla for- m a a l i s e n t a v a n analysoida k ä s i t t e i d e n välisiä suhteita. H ä n e n filosofiassaan käsitteet ovat jo- tain sinänsä olevaista ja niiden suhteet ovat an- nettuja (käsiteplatonismi). K a u p p i o n n i s t u i e k s p l i k o i m a a n klassisen käsiteteorian perusi- deat keksimillään intensionaalisen logiikan jär- jestelmillä. N i i d e n v a r s i n a i n e n idea on lähteä
spesifioimaan intensionaalisia suhteita s u o r a a n m e n e m ä t t ä ekstensioiden kautta. Tuloksena on mielenkiintoisia m a t e m a a t t i s i a r a k e n t e i t a , jot- ka osoittavat, että klassinen käsiteteoria on tär- keä ja hyödyllinen t u t k i m u s a l u e (ks. H a u t a m ä - ki 1986). A j a n k o h t a i s i m p i a sovelluksia on se- m a n t t i s t e n v e r k k o j e n teoria ( H a u t a m ä k i , pai- nossa).
Teorian esittely (hieman mukaeltuna)
O l k o o n C k ä s i t e j o u k k o . Kaupin järjestelmien p e r u s k ä s i t e on t u n n u s m e r k k i s u h d e :
a > b = a sisältää b:n tunnusmerkkinään.
Esim. h e v o n e n > n i s ä k ä s .
> -relaation p e r u s o m i n a i s u u d e t ovat 1. a > a (refleksiivisyys)
2. jos a > b ja b > c niin a > c (transitiivisuus) ja 3. a = b jos ja vain jos a > b j a b > a (identtisyys).
N ä m ä o m i n a i s u u d e t t e k e v ä t r a k e n t e e s t a
< C , > > osittaisen järjestyksen (poset). T ä m ä tarkoittaa, että käsitejoukon C järjestysrelaatio
> toteuttaa ehdot 1.—3. Osittainen järjestys ei ole välttämättä yhtenäinen, eli saattaa olla kaksi käsitettä a ja b siten, että a ei ole b:n t u n n u s - m e r k k i eikä b a:n t u n n u s m e r k k i . Esimerkiksi käsitteet h e v o n e n ja n e l i k u l m a i n e n eivät ole toistensa t u n n u s m e r k k e j ä .
Relaation > avulla v o i d a a n määritellä usei- ta mielenkiintoisia klassisen logiikan p e r u s k ä - sitteitä, k u t e n ala ja intensio.
ala(a) = (x: x > a) intensio(a) = [x: a > xj.
Käsitteen a ala on siis niiden käsitteiden jouk- ko, j o i d e n t u n n u s m e r k k i n ä a itse o n . O n syytä k o r o s t a a t ä m ä n alan k ä s i t t e e n insionaalisuut- ta v e r r a t t u n a »tavanomaiseen» e k t e n s i o n käsit- t e e s e e n ; e k s t e n s i o on n i i d e n oloiden j o u k k o , joihin käsite s o v e l t u u . Kaupin a l a n käsite so-
v e l t u u paljon p a r e m m i n esim. kirjastotieteen tarpeisiin. Käsitteen a intensio on a:n t u n n u s - m e r k k i e n j o u k k o . Alojen ja t u n n u s m e r k k i e n s u h t e e n ilmaisee p e r i a a t e
jos a > b niin Alaja) on Ala(b):n osajoukko eli k ä s i t t e e n l a v e n t u e s s a sen ala k a s v a a .
Kauppi ei oleteta, että käsitejärjestelmä
< C , > > olisi hila. M u t t a olettamalla se hilak- si käsittely yksinkertaistuu. Silloin nimittäin on aina o l e m a s s a k ä s i t t e i d e n tulo ja summa:
x*y = zjos ja vain jos (t)(z > t < - > x > t & y > t ) x + y = z jos ja vain jos (t)(t > z < - > t > x & t > y).
96 Hautamäki: Raili Kaupin. Kirjastotiede ja informatiikka 9 (4) — 1990
x*y on x:n ja y:n suurin alaraja ja x + y on x:n ja y:n pienin yläraja. Merkintä (t) tarkoittaa
»kaikilla t pätee» (se on universaalikavanttori).
Käsitesumma x + y vastaa suunnilleen konjunk- tiota:
ruskea + hevonen = ruskea hevonen
ja käsitetulo x*y suunnilleen disjunktiota:
kissa*koira = kissa tai koira.
Lisää matemaattista eleganssia saadaan olet- tamalla käsitejärjestelmä täydelliseksi hilaksi, jossa jokaisella C:n osajoukolla on suurin ala- raja ja pienin yläraja. Erityisesti täydellisessä hilassa on pienin elementti Oja suurin element- ti 1. Intuitiivisesti, 0 on tautologinen käsite ja
1 on ristiriitainen käsite.
Oletetaan, että < C , > > on täydellinen hila.
Nyt voidaan määritellä helposti muita Kaupin esittämiä predikaatteja:
a ja b ovat yhteismitattomia jos a*b = 0 a ja b ovat yhteensopimattomia jos a + b = 1.
Yhteismitattomuus siis tarkoittaa, että a:lla ja b:llä ei ole yhteisiä tunnusmerkkejä (paitsi
0). Yhteensopimattomuus taas tarkoittaa, että ei ole käsitettä (paitsi 1), jonka tunnusmerkke- jä sekä a että b olisivat.
Negaatio on vaikea käsite. Kaupin ideana on, että käsitteen negaatio on kaikkien sen kanssa yhteensopimattomien käsitteiden suurin yhtei- nen tunnusmerkki. Ilmeistä on, että negaatio- ta ei hiloissa suinkaan aina ole. Jos -a on a:n negaatio, niin peruspiirtenä on ehto:
a + -a 1.
Kaupin antama negaation perusmääritelmä on
b = -a jos ja vain jos (x)(x > b < - > x ja a ovat yhteensopimattomia).
Sen sijaan ei ole selvää pitäisikö ehto a*-a = 0
myös hyväksyä. Kysymys on myös käsitteen mielekkyy salasta; viittaako esim. käsite »ei-he- vonen» kaikkiin eläimiin, jotka eivät ole hevo- sia vaiko kaikkiin käsitteisiin, jotka ovat yh- teensopimattomia käsitteen »hevonen» kanssa, kuten »nelikulmaisen» käsite. Jos negaatiolle asetetaan molemmat ehdot, niin kyseessä on ns. komplementti. Komplementit ovat aina ole- massa ns. komplementeilla varustetuissa hilois-
punamen hevonen
Kuva. Verkkoesitys käsite hiloista.
sa, esim. boolen algebroissa. Antamalla negaa- tiolle erilaisia ehtoja, saadaan klassisia tai ei- klassisia (esim. intuitionistisia) käsitelogiikkoja.
Sovelluksia
Klassinen käsiteteoria on kokemassa renesans- sia. Syynä on tavallisen formaalisen logiikan ekstensionaalisuus eli se, että predikaatit viit- taavat suoraan niihin olioihin, joista predikaa- tit ovat totta. Ekstensionaalinen logiikka ei siis suoraan tarjoa keinoa analysoida käsiteraken- teita. Käsitteet ovat keskeisiä tutkimuskohtei- ta kognitiivisessa psykologiassa, kognitiotie- teessä, tekoälyssä, tietokantatutkimuksessa, kielitieteessä ja informatiikassa (ks. Hautamä- ki 1988). Informatiikassa eräs perusongelma on juuri tiedon indeksointi, tietojen väliset yhtey- det ja luokittelu. Kaupin käsitekalkyylit ovat näyttäneet erään hedelmällisen suunnan tutkia abstraktisti käsitejärjestelmiä. Niiden kiinosta- vuutta lisää mahdollisuus implementoida ne tietojärjestelmiin.
Hyväksytty julkaistavaksi 16.11.1990.
Kirjastotiede ja informatiikka 9 (4) — 1990 Hautamäki: Raili Kaupin. . . 97
Kirjallisuutta
Hautamäki, Antti, Points of View and their Logical Analysis, Acta Philosophica Fennica 41, Helsinki
1986.
Hautamäki, Antti (toim.), Kognitiotiede, Gaudeamus, Helsinki 1988.
Hautamäki, Antti, Conceptual Space Approach to Se- mantic Networks, Computers & Mathematics with Applications (painossa).
Kauppi, Raili, Käsitteen sisällys ja ala, Ajatus 18, 1954, 5 5 - 8 3 .
Kauppi, Raili, Eräitä intensionaalisen logiikan prob- leemoja, Ajatus 19, 1956, 97—111.
Kauppi, Raili, Einfiihrung in die Theorie der Begriffs- system, Acta Universitatis Tamperensis, Ser. A Voi.
14, Tampere 1967.
