Paperiradan analysointi korrelaatio- ja spektrianalyysillä

DIPLOMITYÖ

Rautiainen, Harri

Paperiradan analysointi korrelaatio- ja spektri- analyysillä.

&¿L

U

;

Olli Lokki

Annettu 13-11.1968

JiJL, a

i

Jätettävä tarkastettavaksi viimeistään 13-9*19&9- Diplomityön suoritusohjeet annettu.

Seminaariesitelmä pidetty

Jätetty tarkastettavaksi Tarkastettu Arvosana

Teknillisen korkeakoulun Sähköteknilliooi. osaston

käsikirjasto I O 1 c J ы и ^

4—67/27

ALKULAUSE:

Työn kestäessä olen saanut neuvoja ja opastusta työn valvojalta, prof. Olli Lokilta ja lis. Olavi Lehtikoskelta A. Ahlström Oy:stä.

Neuvoja ja käytännöllistä apua olen saanut myös DI Osmo Kyttäläl- tä TKK:n Paperiteknologian laboratoriosta.

Yllä mainituille kuin myös muille asianosaisille pyydän saada lau­

sua tässä yhteydessä parhaat kiitokseni.

Helsinki 24.04.1969

Lainkaanentie 20 Helsinki 67 puh. 747 155

SISÄLLYSLUETTELO:

sivu

ALKULAUSE A1

SISÄLLYSLUETTELO A2

LIITELUETTELO A4

LYHENNYS LUE TTELO A 6

1. JOHDANTO *

2. TEOREETTINEN OSA 2

2.1. Stokastisten prosessien luokittelu 2 2.2. Stationäärinen stokastinen prosessi 3 2.3. Ergodinen stokastinen prosessi 4

2.4» Korrelaatiofunktiot 5

2.5. Tehospektritiheysfunktiot 9

2.6. Spektrien sovellutuksia 10

2.7. Spektrianalyysin laskentamenetelmiä 12 2.8. Jatkuvan prosessin digitalisoiminen 13 2.9. Korrelaatiofunktion estimoiminen 17

2.10. Spektrin estimoiminen 18

2.11. Lineaarisen trendin korjaaminen 22

3. KOKEELLINEN OSA 25

3.1. Alustava tutkimus 25

3.2. Koesuunnitelma ja mittausten järjestely 26

3.3*

3.4» Mittaukset 33

3.5. Mittaustulosten rekisteröiminen 34

3.6. Havaintojen korjaaminen 35

3.7. Korrelaatiofunktioiden ja spektrien laskeminen 36

3.8. Spektrien tarkkuudesta 37

3.9. Spektreistä havaitut jaksollisuudet 38

4. TYÖSTÄ SAATUJA KOKEMUKSIA 42

4.1. Koejärjestely 42

4.2. Kokeellisen havaintomateriaalin keräämis- ja 43 analysointimenetelmistä

4.3. Spektrianalyysin parametrien valinta 47

4.4. Mittaustulosten suodatus 50

4.5. Jatkuvatoiminen spektrianalyysi prosessitieto- 51 koneella

4.6. Nopea Fourier-muunnos 53

5¿ YHTEENVETO 56

KIRJALLISUUSLUETTELO 58

LIITELUETTELO :

Liite 1

Alustavan tutkimuksen tuloksia

Liite 2

Koesuunnitelma

Liite 3

Paperikoneen periaatteellinen kaavio ja

Liite 4

Peruspainomittauksen lohkokaavio

Liite 5

Paksuusmittauksen lohkokaavio

Liite 6

Paksuusmittauksen periaate ja mittapää

Liite 7

Tietojenkeruujärjestelmän lohkokaavio

Liite 8

Korjaamattomia aikasarjoja

mittauskohteet

Liite 9

Havaintojen korjausohjelma

Liite 10

Korrelaatiofunktio- ja spektrilaskentaohjelman peri­

aatteellinen kulkukaavio

Liite 11

Tasoittamattornia korrelogrammeja ja spektrejä

Liite 12

Tasoitettuja korrelogrammeja ja spektrejä

Liite 13

Ristikorrelogrammeja ja -spektrejä

Liite 14

Paperikoneen mahdollisia mitattavia suureita

Liite 15

Havaintomateriaalin käsittelyn systeemikaavio

LYHENNYSLUETTELO:

f min

m

n P» r t, t^

u, X, V, у

spektrin painotuskertoimia taajuuksia

spektrin alarajataajuus Nyquist-taajuus

kokonaisluku; ekvivalenttia ten vapaus­

asteiden määrä

keskiarvo; korrelaatiofunktion katkaisu- kohta (max. lag number)

havaintojen lukumäärä kokonaislukuja

aika

stokastisia prosesseja

В

I

D E G

ekvivalenttinen kaistanleveys painofunktio

odotusarvo-operaattori siirtofunktio

cn>U)\U)

W >

N P RXX

XX

Sxy

s (j V» ) , S(lxr) S (j ur)

T

Tm Tn T ' n Ts

havaintojen määrä, kokonaisluku teho

x(t): n autokorrelaatiotunktio

- " - " : n estimaatti x(t); n ja y(t): n ristikorrelaatiofunktio

- " - - 11 - " ; n estimaatti x(t): n autotehospektri tiheys

x(t): n autospektrin "raaka" estimaatti - " - - " - tasoitettu estimaatti x(t): n ja y(t): n ristitehospektritiheys spektri yleensä

spektrin kömpieksiskonjugaatti diskreettitaajuuskaistäinen spektri nopeaan Fourier-muunnokseen liittyviä spektrejä

aika; aikavakio

korrelaatiofunktion ajallinen pituus näytesarjan kokonaispituus

- " - tehollinen pituus

spektrianalyysin laskenta-aika tieto­

koneella

°<m’ ¿<n u* V

katkaisun häviökerroin

u(t): hen ja v(t): hen sisältyvän line­

aarisen trendin keskim. kulmakerroin

Í

/\ r

Л у

б' r

Ur , Ur ur

N

suhteellinen hajonta kerroin

tietokoneen kertolaskuaika tietokoneen yhteenlaskuaika

keskihajonta aikasiirto kulmataajuuksia Nyquist-kulmataajuus

aiipäästösuodattimen уlärajakulmataajuus

1. JOHDANTO:

Tämä diplomityö sai alkunsa A. Ahlström Oy:n kemiallisen puun­

jalostuksen tutkimus- ja kehitysosastolla virinneestä halusta tutkia paperirataa ja ylipäänsä paperinvalmistusprosessia sto­

kastisena ilmiönä mm. seuraavia kohtia silmällä pitäen.

1. Optimaalisen näytteenoton järjestely 2. Ennustaminen

5. Häiriölähteen tunnistaminen eri "ulostulo- suureiden vaihtelun keskinäisestä riippuvuu­

desta

Työn alkutavoitteenä oli kohdan J. tutkiminen korrelaatio- ja spektrianalyysin avulla.

Tämä osoittautui kuitenkin erittäin vaikeaksi tehtäväksi suo­

rittamatta samanaikaisia mittauksia mahdollisista "sisäänmeno- muuttujista" (3. osa). Tästä syystä tehtävää on laajennettu myös kohdan 1. alueelle (4. osa). Tehtävän suorittamiseen tarvittavaa teoriaa on esitetty 2. osassa.

2. TEOREETTINEN OSA :

2.1. Stokastisten prosessien luokittelu

Yksityistä aikasarjaa eli satunnaisilmiöistä mitattujen havain­

toarvojen jonoa kutsutaan näytefunktioksi.

Jos mittausaika on äärellinen (kuten käytännössä aina on), kutsutaan sitä seuraavassa näytesarjaksi.

Kaikkien mahdollisten satunnaisilmiön tuottamien näytefunkti- oiden joukkoa kutsutaan stokastiseksi prosessiksi.

Näytesarjaa voidaan siis pitää eräänä stokastisen prosessin fysikaalisena reaalisäätiönä.

Stokastinen prosessi voidaan jakaa alaryhmiin kuvan 1 kaavion mukaisesti.

Ц\Л(л& r i n en

kuva 1

2.2. Stationäärinen stokastinen prosessi

Kun fysikaalista ilmiötä käsitellään stokastisena prosessina, voidaan ilmiön ominaisuuksia hypoteettisesti kuvata minä ajanhetkenä tahansa laskemalla keskiarvo yli näytefunktioiden.

Tarkastellaan kuvan 2 mukaista näytefunktioiden kokoelmaa.

tl + T

tl + T

tl + T

kuva 2

Stokastisen prosessin [x(t)j keskiarvo (l. momentti) ajan­

hetkenä t^ on

mx (t^ r lim £ S xk (tl) K=1

N~*Oo

CD

ja autokorrelaatiofunktio (yhteismomentti), joka edustaa korre­

laatiota kahden ajanhetken t^ ja t^ + T välillä N

Rxx ('vh + T) = lim N 2 xk (tV xk (ti + T) (2) N-»=° k=l

joissa summeeraus edellyttää, että näytefunktiot ovat kooltaan yhteensopivia.

Yleisessä tapauksessa m ( t. ) ja R ( t, , t, +

T)

X «L XX JL JL -L

funktioita, jolloin stokastinen prosessi x(t) on ei-stationää- rinen.

Siinä erikoistapauksessa, että (t^) = mx = vakio ja R ( t, , t. +X ) = R (T ) eli eivät muutu ajan mukana, s to-

3C3C J- x XX

kastinen prosessi x(t) on(heikosti) s tationäärinen.

Vahva statiohäärisyys edellyttää korkeamman kertaluokan moment­

tien aikainvarianttisuutta.

2.3. Ergodinen stokastinen prosessi:

Stationäärisen stokastisen prosessin ominaisuuksia voidaan tut­

kia laskemalla aikakeskiarvoja tietyssä näytefunktiossa.

Tarkastellaan esimerkiksi kuvan 2 stokastisen prosessin k:nnetta näytefunktiota. Sen keskiarvo on

T

mx ( k ) = lim ^ Í x^. (t) dt

ф—>Oo

J

0

(?)

ja autokorrelaatiofunktiо

T 1

Rxx (r’k) - lim T xk(t) xk(t + T) dt (4)

T 0

Jos m (k) = m = vakio ja R ( tT,k) = R (T) eli ne ovat

X X XX XX

näytefunktiosta riippumattomia, sanotaan prosessia ergodisek- si. Ergodinen prosessi on tärkeä stationäärisen prosessin alaryhmä, koska stokastisen prosessin ominaisuudet voidaan tällöin määrätä yhdestä ainoasta näytesarjasta.

2.4. Korrelaatiofunktiot:

Autokorrelaatiotunktion käsite tuli jo esille edellisessä luvussa yhtälössä (4)• Sillä on seuraavia ominaisuuksia:

Suure Rxx (T) on aina reaaliarvoinen parillinen funktio ja saavuttaa maksiminsa, kun V= 0 eli yhtälömuodossa:

(5)

(6)

E {^} - Rxx (0)

Erilaisia autokorrelogrammeja on esitetty kuvassa 3*

Rx(t) sini aalto

Rx(t) W

kuva 3

Kahden stokastisen prosessin x(t) ja y(t) ristikorrelaatio- funktio määritellään seuraavasti:

R (t ) = lim ^

xy T

T ->Oo T

^ x( t) y ( t + t ) dt

0

(9)

Autokorrelaatiofunktio saadaan siis kaavasta (9) erikoista­

pauksena y=x. Ristikorrelaatiofunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia;

R (Г) — R (-Г) (10)

xy УХ

R m 2

R (0) R (0) (11)

xy ^XX УУ

R m h fR (0) + R (0)

(12)

xy u XX У У

Kun R xy arvolla.

(Г) = 0, eivät x(t) ja Jos x(t) ja y(t) ovat mia, on R (t) =

xy m m kaikilla

x y

y(t) korreloi tällä T:n tilastollisesti riippumatto-

T:n arvoilla.

Autokorrelaatiofunktio ilmaisee stokastisen prosessin kahden eri ajankohtana mitatun arvon riippuvuuden toisistansa.

Ristikorrelaatiofunktiota käytetään, paitsi kahden eri prosessin keskinäisen riippuvuuden tutkimiseen, myös aikaviiveiden ja siirtymisinä tko jen määrittämiseen sekä signaalin ilmaisemiseen kohinasta.

Ristikorrelaatiofunktion muodostumismenetelmä ja tyypillinen ristikorrelogrammi on esitetty kuvissa 4 ja 5»

*(0

kuva 4

Rxy(.T)

kuva 5

2.5» Tehospektritiheysfunktiot:

Kahden stokastisen prosessin x(t) ja y(t) ris titehospektri- tiheys voidaan määritellä ristikorrelaatiofunktion R (V ) Fourier-muunnoksena

OQ

s (ju,) - J R (T) e dV (13)

■*чУ А<У

Ristispektri tiheydellä on seuraavia ominaisuuksia:

a) S ( j uv) on kömpieksiarvöinen funktio kaikilla kulma- xy

taajuuksilla uj

h) S (jur) - S (-j ur) = S * ( j ur) , kaikilla ujjn ( 14) y yx 4 0 ' xy 4 0 ' xy w

arvoilla

Autotehospektritiheys saadaan (1$):sta sijoittamalla y=x eli

5 (j I/O

XX

CO

- j>v~

e d f (15)

Autospektritiheydellä on seuraavia ominaisuuksia:

a) (j tv ) on reaalinen ja positiivinen kaikilla kulma- taajuuksilla

h) Sxx ( j vv) = Sxx (-jur) ( -V Ur (16)

Kun tunnetaan tehospektritiheys, saadaan vastaava korrelaatio- funktio Fourier-käänteismuunnoksen avulla, esim.

Exy

( 'T ) =

f j

j Sxy (jlA,) e dT 1

2ÍT

— PO

(17)

Näinollen riittää, että ainoastaan toinen funktioista tunne­

taan; toinen saadaan tästä lineaarisella operaatiolla.

Tästä syystä seuraavassa nimitys spektrianalyysi sisältää yleen­

sä myös korrelaatiofunktion laskemisen.

Tehospektritiheysfunktiosta käytetään jäljempänä lyhyyden vuoksi nimitystä spektri.

2.6. Spektrien sovellutuksia :

Fysikaalisen suuren spektrin, mittaamisella pyritään kartoitta­

maan sen tehon taajuusjakautumaa, joka puolestaan antaa tärkeää tietoa tarkasteltavan systeemin karakteristikoi den välisistä suhteista.

Tarkastellaan esimerkiksi kuvan 6 mukaista systeemiä, jonka siir­

tofunktio olkoon G (j uv). Sisäänmenevän stationäärisen satunnais­

signaalin x(t) autospektri on Sxx ( jur). Ulostulevan satunnais­

signaalin y(t) autospektri on tällöin

I 2

Syy(j'^) = G(j^)i Sxx(j^) (18)

x(t) G (jor) y(t) >

kuva 6

Mikäli Sxx( J W) ja jUr) perusteella määrätä ainoastaan Vaiheen määräämiseksi tarvitaan spektriä. Tällöin

tunnetaan, voidaan yhtälön (18) G( j ur): n itseisarvo,

signaalien x(t) ja y(t) risti-

eli

SYV(juy) = G(jLV-) S ( j t«y) xy

Sxv( jvxr) G(jur) = -22L--- -

Sxx^

(19)

(

)

Samoin kuin ristikorrelaatiolla voidaan ristispektrimittauksilla määrätä myös aikaviiveitä.

Monia spektri-informaation sovellutuksia esiintyy lineaarisessa optimiiennustamisessa ja suodatuksessa. Näissä probleemoissa on välttämätöntä määrätä sopivan kriteerin mukainen optimaalinen

lineaarinen suodatin, joka siirtää ja ennustaa halutun hyöty- signaalin ja hylkää ei-halutun kohinan.

Optimisuodatin määräytyy erilaisten sisäänmenosignaalien ja -kohinan sekä ulostulosignaalien ja -kohinan välisten auto- ja ristispektrien avulla.

2.7» Spektrianalyysin laskentamenetelmiä

Satunnaisprosessin korrelaatiofunktion ja spektrin määräämiseen voidaan käyttää sekä analogisia että digitaalisia menetelmiä.

Spektritiheyden määrääminen analogiamittauksilla tapahtuu siten, että jatkuva prosessisignaali suodatetaan kapeakaistaisella kaistanpäästösuodattimellä.

Signaalin teho suodattimen ulostulonavoissa mitataan.

Signaalin x(t) teho^J? kaistalla лиг= Ur^-uj^ on verrannollinen integraaliin

J

Ur,

Jos suodattimen keskikulmataajuus on ja sen kaistanleveys Дw;

- on mitattu teho vakiota vaille =

/ S ( Vv ) d ^ = S ( vv )^u.

Jos mitataan keskitehoa P pitemmän ajanjakson kuluessa, saadaan siis P ^S ( U7q) , eli spektri tiheys ao. kulmataajuudella on saatu määrätyksi.

Käytännön vaikeutena analogiamenetelmässä on sellaisen kapea­

kaistaisen suodattimen konstruoiminen, jonka keskitaajuutta voidaan varioida laajalla alueella.

Menetelmä on myös aikaavievä, koska mittaus toistetaan useilla eri taajuuksilla ja mittausaika kullakin taajuudella on samaa suuruusluokkaa kuin matalimman tutkittavan taajuuden jaksonaika.

Tällöin tulee prosessimittauksissa vaikeuksia stätionäärisyys- vaatimuksen täyttämisessä.

Edellä mainittuja vaikeuksia voidaan poistaa rekisteröimällä signaali mittausnauhuri11a ja käsittelemällä se sen jälkeen analogialaskimella.

Digitaaliset laskentamenetelmät edellyttävät, että näytesarja saadaan diskreettien mittausarvojen jonona. Nämä saadaan prosessista käytännöllisimmin automaattisella tietojenkeruu- laitteella (data-loggerilla).

Myös digitaalimenetelmässä esiintyy suodatusprobleemoja, mutta ne ovat yleensä luonteeltaan matemaattisia ja esiintyvät

tulosten käsittelyvaiheessa.

Erikoisesti paperinvalmistusprosessia analysoitaessa puolustaa digitaalitekniikka paikkaansa, koska kiinnostavat taajuudet ovat niin pieniä (yleensä <'<'1 Hz), että analogianauhoituksessa jouduttaisiin turvautumaan taajuusmodulaatioon.

2.8. Jatkuvan prosessin digitalisoiminen

Seuraavassa tarkastellaan näytesarjaa x(t), jonka pituus on T^, t é [o, T "j. Olkoon se peräisin jatkuvasta stokastisesta

prosessista, jolla on jatkuva spektri ja jonka spektritiheys- funktio on S (Ur) . Jotta S (ur);aa voitaisiin estimoida digi­

taalisin menetelmin, on jatkuva näyte mitattava At:n pituisin aikavälein, jolloin saadaan diskreetti jono mittauksia

(

) (

)

On selvää, että tällainen mittaustapa hävittää tietyn määrän informaatiota prosessista. Shannonin näytelauseen mukaan

/3, s. 44 / ei ole mahdollista saada suoraa tietoa taajuuksis­

ta, jotka ovat suurempia kuin = l/2 At. Tätä kutsutaan Ny qui st-taa j uudeksi ja Lv^ = <fT / A t on vastaava Nyquist-kul- mataajuus.

1 ^» 2 n

missa

xk = x (k • Д t)

A

kuva 7

Kuvassa 7 on esitetty kaksi siniaaltoa, joista toisen taajuus on 4-kertainen toiseen nähden. Ne kulkevat At : n välein sa­

mojen pisteiden kautta, joten tällä tavalla suoritetuista mit­

tauksista ei voida sanoa kummasta siniaallosta ne ovat peräisin.

Yleisesti voidaan osoittaa, että jos S ( Ur) on todellista pro­

sessia vastaava sрекtritiheysfunktio, niin mittausten perusteel­

la saatu estimoitu spektri tiheys S (ur) on

00 2 TT k 2 fr k

S (ur) = <2j

Г

Em. ilmiötä kutsutaan nimellä "aliasing" 1. samaistuminen.

Jos halutaan selvittää 5 (ur):n käyttäytyminen välillä

[o, ur S (ur ) : n perusteella, tulee mittaukset järjestää siten, että S ( ur) on ainakin approksima tiivis es ti = 0, kun urvU7Kl*

Tarkastellaan kolmea erityistä kulmataajuntta:

LV'1 kulmataajuus, jolla mittauslaitteen taajuusvaste on pudonnut (1....2) io\ iin maksimiarvostaan.

v>- 2 ; kulmataa juus , jota suuremmille kulmataa juuksille jää noin (I....2) °!o x(t):n kokonaistehosta.

ur

5 kulmataajuus, jota suurempia kulmataajuuksia koh­

taan ei tutkimuksessa tunneta erityistä mielen­

kiintoa.

Ideaalitapauksessa voitaisiin At:n valinta perustaa yhtälöön (лг, =11/At, jolloin mukaan ei tulisi tutkimuksen kannalta

3 '

vähemmän mielenkiintoisia tapauksia. Jos kuitenkin

ja S ( U7 ) suuri, kun niin syntyy aliasing-ilmiöstä

johtuvia sekoittumisvirheitä. Jos \>y 2 tunnetaan jonkinlaisella tarkkuudella, voidaan nämä välttää perustamalla At:n valinta iv^een ( jos v-y2 > ).

Jos ur g XX,joudutaan tällöin ottamaan näytteitä paljon pienemmin aikavälein kuin muuten olisi tarpeellista.

Tämä voidaan välttää suodattamalla aikasarja ennen rekisteröi­

mistä siten, että c<y^:a suuremmilla taajuuksilla ei esiinny paljon tehoa.

Koska suodatus ei aina ole mahdollista, suosittelee Jenkins /5/ tapauksissa, joissa Uy^ tunnetaan melko tarkkaan, että At valitaan seuraavasti

+ Ur

)

A t

eli (24)

Tällöin vältetään myös aliasing. Koska Lk-^ ^ » niin kaikki kulmataajuudet välillä

ilmestyvät "aiiasing"-sрекtrin välille [ur. 1 ,

2 ^2 2^3

]>

kiintoiset taajuudet välillä|o , koskemattomiksi.

2.9. Korrelaatiofunktion estimoiminen:

Jatkuvista stationäärisistä prosesseista x(t) ja y(t)

mitattujen diskreettien havaintojen » k = 1,2...,n perusteella saadaan korrelaatiofunktioille estimaatit

A

R (r A t) xy

n-r

k^L

xk yk+r

(25)

A 1 <n

R (г л t) = ---

У

k=l

yk xk+r

(

)

joissa r = 0,1,2,....,m, monesko Дt:n suuruinen aikasiirto on kyseessä , ja m on korrelaatiofunktiota laskettaessa suo­

ritettavien aikasiirtojen korkein arvo (maximum lag number).

Prosessin x(t) aut©korrelaatiofunktiolle saadaan kaavasta (25) tai (26) estimaatti asettamalla y=x

A.

RXX (r a t) =

n-r n-r

2:

Kaavat (25),(26),(27) antavat korrelaatiofunktiolle ns. harhat' toman estimaatin. Mikäli jakajassa n-r korvataan n:llä saadaan harhainen estimaatti. Harha ei ole kuitenkaan kovin suuri, mikäli n on suuri ja m « n .

4

2.10. Spektrin estimoiminen

Kaavan (27) perusteella saadaan stokastisen prosessin x(t) spektrille estimaatti, jos todellinen spektri on määritelty kulmataajuuksilla [o , ^*„1

^ ш -jr Ur At

Sxx = At ¿2' Rxx (r e

г = -m Л

(28)

Tällöin on kysymys ns. "raa1asta" estimaatista, jota täytyy tasoittaa seuraavasta syystä.

Mikäli prosessi x(t) ei ole suoranaista sinivärähtelyä, auto- korrelaatiofunktion estimaatti lähenee nollaa suurilla aika­

siirron r A t arvoilla. Johtuen siitä, että se on laskettu äärellisestä havaintosarjasta, se ei voi pysyvästi saavuttaa arvoa 0. Kun todellisuudessa ääretön sarja katkaistaan koh­

dasta г = m (28), voidaan katkaisun vaikutuksesta spektriin syntyvää hajontaa vähentää kertomalla vastaava korrelaatioesti- maatti painofunktiolla D(r), joka pakottaa korrelaatiofunktion nollaan, kun r = m. Näin modifioidut korrelaatioestimaatit D(r) Rxx (г Л t) poikkeavat huomattavasti todellisista korre­

laatiofunktioista, mutta niiden numeerinen Fourier-muunnos antaa hyvän estimaatin todelliselle spektrille.

Painofunktio on efektiivisin ja vääristää vähiten spektriä, jos se on ideaalisen alipäästösuodattimen kaltainen.

Käytännössä voidaan hyvinkin yksinkertaisilla D(r): n lausekkeil­

la päästä lähelle ideaalista suodatusta (kuva 8).

4

Kirjallisuudessa on esitetty erilaisia muotoja painofunktioille, mm. seuraava /4» s. 502 /, jossa

D (r)

COS ---1Tr г < m

r > m

(29)

Kun valitaan kertoimet a^ = a.^ = O.5 , kutsutaan paino tus mene­

telmää nimellä "banning" (indeksi 2 kuvassa 8).

Kertoimien valinta a1 = 0.54, a2 = О.46 kantaa nimeä "hamming"

(indeksi 3 kuvassa 8, jossa on esitetty painofunktioiden muoto sekä aika- että taajuustasona).

SPECTRAL WINDOWS LAG WINDOWS

О 0.4

г/Tm

2% OF PEAK CHANGE IN

VERTICAL SCALE

2% OF PEAK

0.25 2.00

kuva 8

Koska, kuten luvussa 2.8. todettiin, Nyquist-taa juutta -Г N suuremmista taajuuksista ei voida saada tietoa, voidaan ^хх( j uz) laskea m + 1:llä kulmataajuusarvolla

k t^N Tr k

Ur = --- = k =

m m At

rajoittamatta laskettavissa olevaa taajuusaluetta.

Kaava (28) saa tällöin painofunktiota D(r) käytettäessä muodon:

Л

Sk - ¿.t

m-1

D(0)R (0) + 'l 5*‘ D(r) R (г 4 t)cos (

XX c— XX m

r=l

к л ~i

(-1) D (m) Rxx (m Д t) 1 (50)

Sarjan viimeinen termi tulee mukaan ainoastaan silloin, kun painofunktion arvo katkaisukohdassa (r=m) on nollasta eroava (esim. "hamming" , kuva 9)•

Sijoittamalla ($0):een (29) voidaan todeta, että raa1 at spektrit tasoittuvat seuraavasti:

Л S

Л/

al S0 + a2 si

A ^ Sk-1 + Skrhl

Sk “ al Sk + a2 2 ,m-l (51)

Л

S a-, S + a0 S lm ¿ m-1

Spektrien tasoitus voidaan suorittaa myös painofunktioi den Fourier- muunnosten konvoluutiolla taajuustasossa ( / 1 / , s. 292).

Ristispektrin estimaatti voidaan jakaa reaali- ja imaginääri osiin

Sxy - Pxy (lj) + j Scy (w) (32)

joiden lausekkeet ovat 1, s. 299 ^/

P (tv) = Д t xyv

m-1 -1

A + 2 T A cos (r w a. t) + A cos(muo^t) \(33)

o <m-i r m J

r=l л

m-1

Qxy( IV ) = At £ 2 Br sin (r waÍ ) + Bm sin(murA^) j ( 34 ) r=l

A ja В määritellään ristikorrelaatiofunktioiden avulla seuraa- г г

vasti:

A ■ 2

[Rxy

+ V(rüt Ü

Br ■ \ ^{[ V (rAÍ} ) ‘ Exy(rAt)l

(35)

(36)

Jos ristispektrit lasketaan kulmataajuuksilla k v/3- к

k* = k= 0,1,2.... .

saadaan estimaateiksi

Pk = At [ Ao + 2 <2 Ar 003 ( *Чг--- )+ (_1) A™l(57)

r=l

m-1 TT гк Q, = 2 At В sin ( --- )

k г 4 m '

r= 1

jotka voidaan tasoittaa kaavojen ( 3l) mukaisesti,

2.11. Lineaarisen trendin korjaaminen:

Edellä oleva analyysi edellyttää, että prosessit x(t) ja y(t) ovat stationäärisiä ja että niiden keskiarvot = 0.

Jos keskiarvo ei ole nolla, spektrissä esiintyy huomattava piikki (teoreettisesti äärettömän korkea) nollataajuudella, mikä ai­

heuttaa säröä muilla taajuuksilla. Tästä syystä alkuperäisistä havaintoarvoista on vähennettävä näytesarjan keskiarvo.

Toinen korjaus tarvitaan vähentämään havaintosarjoihin mahdolli­

sesti liittyvän hitaasti muuttuvan trendin vaikutusta.

Olkoon alkuperäinen havaintosarja u(t) seuraava:

n

u(t) = u + o<u* (t - j ) + x(t) 0 < t < T

n (38) missä u merkitsee u(t): n keskiarvoa välillä jjl, Tn ^ ,

parametri ^on u(t):hen sisältyvän trendin keskimääräinen kulmakerroin ja x(t) on korjattu havaintosarja, jonka keskiarvo on = 0 ja keskimääräinen kulmakerroin on = 0 .

Aikaisemmassa esityksessä on oletettu, että o(^= 0 .

Integroimalla u(t) välillä £o, T^ / 3^ja vähentämällä se inte­

graalista T^ / 3 i T^ , voidaan ratkaista seuraavasti :

9

T

— 1

"V " Tn e 2Tn

3 3

Jos tarkastellaan Tn - n Д t, saa (3

1

n

j" u( t) dt -

2Tn/3

Tn/3

j

uk I к — nJ missä

lu P Д t(n-p)

n

<2 uk -

2

к = n-p к = 1

(40)

г

missa p = on suurin kokonaisluku î n/).

Sijoittamalla x(t) kaavasta (38) autokorrelaatiofunktioesti- maattiin (27), se saa muodon

n-r

Л .1 2 1 _ 7

R*x (r A ^ «Л. "k

Vr

(41)

missä

ДГ . n2 (At)2[l - 2 ( |) - 2 ( |)] r-o.l....

m (42)

2 2

Huomautettakoon, että jos m « n, suure ^ n ( ^ t) , V t.

Kaavojen (28) tai (29) perusteella laskettu autospektri vastaa korjattua prosessia x(t), jonka autokorrelaatiofunktio on (41).

V

ttf>

Tarkasteltaessa näytesarjaparia u(t) ja v(t) , voidaan ne esittää muodossa

T

u(t) = u + (t - — ) + x(t)

0 s t - T (43) Tn

v(t) = v + «Г v (t - — ) + у ( t)

missä x(t) ja y(t) ovat korjattuja ergodisia prosesseja, joiden keskiarvo on = 0 ja keskimääräinen kulmakerroin on = 0 .

Ristikorrelaatiofunktion estimaatiksi saadaan tällöin

n-r

xy

(r 4t) - ¿7 Vk« - ™

(ЧЧ)

k=l

missä O'* on sama kuin kaavassa (42) . r

Edellä esitettyä menetelmää käyttäen voidaan korjata ainoas­

taan lineaarisen trendin vaikutusta. Mahdollinen jäljellejäävä epälineaarinen trendi lisää prosessin varianssia pienillä taajuuksilla, jolloin spektrissä erottelukyky pienenee.

i

3. KOKEELLINEN OSA

Tähän työhön liittyvät prosessikokeet suoritettiin A. Ahlström Oy:n Warkauden Tehtailla.

Tutkimuksen kohteeksi otettiin sanomalehtipaperikone PK 2 (ra­

dan nopeus n. 400 m/min), koska tälle oli asennettu paperin na­

painen ja kosteuden on-line-mittaukseen tarkoitettu laitteisto (Müller-Barhieri).

3.1. Alustava tutkimus

Orientoivana kokeena suoritettiin heinä-elokuun vaihteessa I968 havaintomateriaalin keruu manuaalisesti piirturin paperilta (liite l). Tutkittavina suureina olivat konesuuntainen m^-painon poikkeama ja kosteus, joista otettiin 606 näytettä, näytteenotto- välin ollessa At = 3 s ja näytesarjan pituuden siis

T = n A t t 30 min. Kummastakin näytesarjasta laskettiin Valtion n

Tietokonekeskuksen Elliott 503 B:llä keskiarvo, hajonta ja näyte- sarjojen välinen korrelaatiokerroin sekä autokorrelaatio!unktio ja amplitudin taajuusjakautuma (harmoninen analyysi).

Kuvassa 9 on esitetty saatu kosteuden autokorrelogrammi ,

kuva 9 i

Harmoninen analyysi sen sijaan antoi joukon täysin satunnaisia piikkejä, joista ei voitu sanoa mitään varmaa amplitudin taajuus- jakautumasta. Tämä on ymmärrettävää, koska harmoninen analyysi edellyttää, että näytesarjan pituus on yhtä suuri kuin prosessin suurin jaksonaika eli sama näytesarja toistuu n Л t:n pituisin välein. Spektrianalyysi ei sen sijaan edellytä näin tarkkaa jak­

sollisuuksien tuntemista etukäteen, joten se soveltuu paremmin stokastisten prosessien analysointiin.

Л

5.2. Koesuunnitelma ja mittausten järjestely

Alustavan tutkimuksen antamien suuntaviivojen mukaan suoritettiin varsinaiset mittaukset 16.9 ~ 28.9.1968 välisenä aikana.

Koska tarkoituksena ei ollut tutkia laadunvaihtoon liittyviä

ilmiöitä, valittiin mittansajankohta siten, että koneella ajettiin koko ajan samaa laatua (m^-paino = 45 g/m2).

Ennen mittausten suorittamista laadittu koesuunnitelma on esi­

tetty liitteessä 2. Siinä mainittujen suureiden lisäksi mitattiin samanaikaisesti kosteuden ja m^-painon poikkeaman (seuraavassa m^-paino) kanssa perälaatikon kokonaispainetta ja kuivaushöyryn määrää.

On-line-mitattujen suureiden esiintymispaikat prosessissa on esi­

tetty liitteen 5 paperikonetta kuvaavassa kaaviossa.

Perälaatikon paine ja höyrymäärä mitattiin pneumaattisilla antu­

reilla, joista saatu signaali muutettiin elektropneumaattisella muuttajalla jännitesignaaliksi, joka johdettiin data-loggeriin.

Signaalin tasajännitetaso oli noin 8 V.

Kosteus ja m2-paino (l. peruspaino) mitattiin Müller-Barbierin mittauslaitteistolla, jonka mittausperiaatetta on esitetty seu­

raavassa luvussa.

i

Mül1er-Barbierin mittausanturi sijoitettiin radan poikkisuunnassa mittauksissa, joissa leikattiin näyteraina vastaavasta kohdasta laboratori tutkimuksia varten, siten, että trim-häviö (30 cm ko.

tilauksessa) voitiin sijoittaa siihen kuvan 10 mukaisesti.

Tällöin jouduttiin tuhoamaan ainoastaan yksi valmis paperirulla haluttaessa tutkia vaihteluita radan keskikohdassa.

Ko. rulla ei kuitenkaan mennyt kokonaan hukkaan, vaan suurin osa siitä meni hylkynä takaisin kiertoon.

kuva 10

Paperiradan peruspainon ja paksuuden off-line-mittauksiin käy­

tettiin Profilograph-Calitel-laitetta, jonka toimintaa on tar­

kemmin selitetty seuraavassa luvussa.

Sileysmittaus suoritettiin yhdestä rainasta radan ylä puolelta Sheffield-mittauslaitteella. Sileys on edellämainituista ainoa suure, jonka mittaus tapahtuu "käsityönä". Niinpä 1200:n mit­

tauksen teko alkujärjestelyineen vaatikin kaksi miestyöpäivää.

3.3. Mittauslaitteet

3.3.1» Profilograph-Calitel

Valmistajat:

EAS - Electronic Automation System, Inc., New York EAC - Electronic Associates of Canada, Ontario

Paperirainan nopeus: Hidas (n. 60 cm/min) Nopea (n.6OO cm/min)

A. Peruspainon mittaussysteemi (Profilograph)

Mittauksen periaate :

Profilograph1in toiminta perustuu siihen periaatteeseen, että y3 -säteilyabsorptio on absorboivan aineen massan funktio.

Primäärinen mittaussysteemi koostuu radioaktiivisesta /i> -säteily- lähteistä, joka sijaitsee kiinteällä etäisyydellä materiaalin toisesta puolesta. Ilmaisin tuottaa signaalin, joka on verran­

nollinen vastaanotetun säteilyn määrään, ja joka sen vuoksi läh­

teen ja ilmaisimen välisessä mitta-aukossa olevan absorboivan materiaalin massan käänteisfunktio.

Koska mittaus tapahtuu aina vakiopinta-alan läpi, edustaa tämä signaali peruspainoa.

Mittaussysteemin lohkokaavio on liitteessä 4»

Mittausalue: $0... 600 g/m2

Tarkkuus : ±1 % mitatusta peruspainosta tai 40.4 g/m2

Radioaktiivinen lähde:

Krypton 85-isotooppi Säteilyvoimakkuus J>0 mc Puoliintumisaika 10 v.

В. Paksuuden mittaussysteemi (Calitel)

Mittauksen periaate :

Calitel1 in toiminta perustuu siihen, että kelan impedanssi on kelan reluktanssin funktio, joka puolestaan on magneettipii­

rissä olevan ei-magneettiaen materiaalin koon funktio.

Primäärinen mittaussysteemi koostuu kahdesta osasta (liite 5)

(1) Ilmaisinkela, joka on käämitty magneettista ainetta olevan E-sydämen keskimm. haaralle. Kela on sijoitettu ilmaisin- kenkään, joka on kosketuksessa näyterainan yläpinnan kanssa (2) Magneettista ainetta oleva referenssilevy, joka on koske­

tuksessa näyterainan alapinnan kanssa ja täydentää magneetti- piirin E-sydämen avoimien napojen yli.

Näytteen paksuuden muutokset aiheuttavat muutoksia ilmavälin koossa magneettipiirissä ja siten myös ilmaisinkelan impedanssis­

sa. Nämä muutokset impedanssissa ilmaistaan ja tulkitaan paksuu­

den muutoksiksi (liite 6).

Mittausalue :

О.О25... О.75 mm Tarkkuus

il ”Jo mitatusta paksuudesta tai 0.005 mm

3.3.2. Müller-BarMeri :

Valmistaja: Müller-BarMeri Ltd, Sveitsi

A. Kosteusmittaus:

Anturi toimii kapasitiiviselia periaatteella I5 kHz:n taajuu­

della. Mittaussignaali suodatetaan, vahvistetaan ja sovitetaan epälineaariseen vahvistinsysteemiin kulloinkin kyseeseen tulevan paperikarakteristikan mukaan.

Karakteristikan muoto on esitetty kuvassa 11.

paperin

H^O-pitoisuus paperi­

karakteris tilkka

sillan ulostulo- jännite

h2o- osoitus vahvistin-

karakteri stiikka

kuva 11

Ohut paperi, jonka i^O - pitoisuus on sama kuin paksumman, aikaan­

saa pienemmän ulostulojännitteen mittaussiltaan.

Tämä korjataan laskupotentiometrin avulla, jonka ulosottoihin on kytketty rinnan ns. viritysyksikkö. Tätä potentiometria liiku-

tetaan m -painon ohjearvon asetusyksiköstä.2

B. Peruspainopoikkeaman mittaus

Paperin peruspainopoikkeama muodostuu mittaussillassa ja saadaan aikaan kaksoisionisaatiokammion ja kahden radioaktiivisen sätei­

lijän (Krypton 85) avulla.

Paperi vaikuttaa sillan toiseen osaan, kun taas toisessa osassa simuloidaan peruspainon asetusarvoa aseteltavan rumpuhimmentimen avulla. Läpäissyt säteily aiheuttaa ionisaatiokammiossa säteily- määrään verrannollisen virran. Kummankin ionisaatiokammion vir­

tojen erotus kuvaa peruspainopoikkeamaa. Jos tämä virta on = 0, mitattu peruspaino vastaa täsmälleen asetettua ohjearvoa.

C. Tarkkuus

Enso-Gutzeit Oy:n Kaukopään Tehtailla suoritetun tutkimuksen mukaan on vastaavalla laitteella päästy seuraaviin tarkkuuk­

siin /12/ :

kosteus - О.3 Í° - yksikköä

peruspainopoikkeama - O.5 Í° - yksikköä ohjearvosta

3.4. Mittaukset

Mittauksia suoritettiin 20 kappaletta allaolevan taulukon mukai­

sesti. Off-line-mittauksissa on näyteväli redusoitu radan no­

peutta vastaavaksi. On-line-mittauksien kesto oli n. 45 min, joi loin päästiin 2000 kpl: n havaintomäärään.

ON -LINE OFF- LINE _СО

ticd -p -p

•H cd cd

В CO 1—1

i CO rH

cO CD Й cd CO *H

•O cd <u ti CO cO ti ti ti

U :cd ,hd Й :cd •H cd 'ti ti 0) CD Й

cd ti •H •H Й rH •H •o cO ti A -P •H

CO :cd cd o cd :c0 о 1 rH o Й ti O ti a

CO :cd CO Й CO A :cd й ra ti :cd -p CO ti cd "a1

ti В •H •H ti a •H Й со o _> ti cO •H rH

cd :cd a cO CD ti !>з cd й >> 0) •H X ¿i й CO -P > cd РЧ -P :cd Й сч га (D -p -p cd cO M -p •H 1 CO ti ^Ki 1 л: гН CO >> > •H •rH 'ti 1

•H :cd rH CM O CD :ocm СО •Н cd :cd cd cd o cO H

s РЧ <3 a ^{P4 гЙ} а ^СО > ti ,ti A Й H

1 21.9 8.39 ^{X X X} 1.1 24ОО 90 °¡o _399.7

2 11 11.17 ^{X X X} tl 23ОО 67 i° _399.4

3 II 12.04 ^{X X X} II 1600 50 1° _399.4

4 II 19.48 ^{X X X} II 23ОО 35 1°

1°

399.0

6 22.9 10.58 X X X II 23_{ОО 35} 394.0

7 II 11.46 ^{X X X} II 24_{ОО 15} 1° _394.4

9 23.9 9.45 ^{X X X} tl 1600 90 C/o 394.0

10 11 1З.27 ^{X X X II} 23ОО 67 lo _394.4

11 II I5.O5 ^{X X X II I}4OO 50 °/o 1°

394.3

12 24.9 9.23 ^{X X X II I}5_{OO 35} 396.0

15 25.9 9.З9 ^{X X X X II 2100} 50 ^°/°

t

З92.О

16 II 10.49 ^{X X X X} II 1600 50 З92.О

17 11 15.38 ^{X X X X} II 23ОО 50 1° З92.О

21 ^{X X} 1 0.0271 1800

22 ^{X X} 7 0.0288 800

23 ^{X X X} 6 0.0157 ¹²⁰⁰

24 ^{X X} 6 0.0288 800

25 ^{X X 6 О.ОО}79 800

26 ^{X X} 2 0.0285 1600

27 ^{X X} 4 0.0286 1600

Lisäksi suoritettiin on-line-mittauksia näytevälin ollessa 20 s ja mittausajan 8... 12 h.

3.5» Mittaustulosten rekisteröiminen:

Mittaustulosten rekisteröimiseen käytettiin NOKIA : n tietojen- keruujärjestelmää (data-loggeria) PP 6404 ja siihen liitettyä reikänauhanlävistintä, joten tulokset saatiin suoraan tietokone- käsittelyyn sopivassa muodossa. Ainoastaan sileysmittauksen tulokset jouduttiin lävistyttämään käsin (TKK:n laskentakeskuk­

sessa) .

Tietojenkeruujärjestelmän lohkokaavio on esitetty liitteessä 7. Siihen on merkitty tässä työssä mitattujen signaalien kulku antureilta nauhanlävistimelle.

PP 6404 : n teknillisistä tiedoista mainittakoon:

Laitteeseen kuuluu digitaalivolttimittari, jonka

- mittausnopeus on 20 mittausta sekunnissa (10 mittausta, kun käytetään nauhanlävistintä)

- integrointiaika 20 ms, joten verkkotaajuisten häiriöiden ei pitäisi aiheuttaa virheitä mittaustuloksiin.

- pienin mittausalue -99 • 99 mV . , . +99• 99 mV, joten erotus­

kyky on 10 y¿V.

- tarkkuus O.O5 i°, koko laitteen vähintään 0.1 $ täydestä näyttämästä.

sisäänmenoimpedanssi 10 М-Л. 100 mV : n alueella

Tietojenkeruulaitteesta saatujen kokemusten perusteella voidaan todeta, että herkin kohta häiriöille on reikänauhanlävistin, jos­

kaan se ei tässä työssä aiheuttanut suurempia hankaluuksia. Lävis­

timen mekaanisten osien säännölliseen huoltoon tulisi kuitenkin kiinnittää huomiota.

3.6. Havaintojen korjaaminen

Tietojenkeruujärjestelmän lävistämällä nauhalla sijaitsevat kussakin mittaussarjassa mitattuja suureita edustavat jännite- lukemat peräkkäin mittaushetkeä vastaavan kelloajan jälkeen.

Nämä nauhat käsiteltiin Valtion Tietokonekeskuksen Elliott 503:11a ohjelmalla, joka kirjoitti kunkin suureen omaksi loh­

kokseen magneettinauhalle. Tietoja käsiteltiin bitti-muodossa, joten ohjelma oli konekielinen. Uuden mittauskierroksen tunnis­

tamiseen käytettiin kelloaikaa edeltävää lävistystä.

Magneettinauhalla olevat tiedot piirrettiin Elliott 505:n ympä­

ri st ölai t teenä olevalla piirturilla. Saaduista käyristä todet­

tiin mitatuissa jännitteissä ilmenneet virheellisyydet.

Nämä johtuivat lähinnä radan katkoista ja puutteellisuuksista -mittarin anturin "talliinajoajan" säädeitävyydessä.

Lisäksi voitiin todeta keskiarvon siirtyminen, lineaarisen tren­

din olemassaolo yms. Näyte piirretyistä käyristä on liitteessä 8. Käyrässä 1 perän paine 2' on havaittavissa keskiarvon siirtyminen.

O ...

Käyrissä 1 kosteus 51 ja 1 m -paino 51 näkyvät kuopat johtuvat sii­

tä, että -mittarin anturi automaattisesti määräajoin siirtyi radalta sen vieressä olevaan "puhdistautumispaikkaan".

Käyristä saadun informaation mukaan poistettiin aikasarjoista nelinkertaista hajontaa suuremmat piikit ja korvattiin ne edel­

lisellä havainnolla. Mikäli pitkäaikaisempi häiriö esiintyi aivan aikasarjan alussa tai lopussa, lyhennettiin aikasarjaa tältä osin. Luvussa 5*5« mainitut 20 s : n on-1ine-mittaukset sisälsivät niin paljon häiriöitä, ettei niitä kannattanut pitem­

mälle analysoida. Muut havainnot sen sijaan kirjoitettiin kor­

jattuina magneettinauhalle, joka tämän jälkeen muodosti varsi­

naisessa laskennassa tarvittavan "tietopankin".

Havaintojen korjaamiseen käytetyn Algol-ohjelman listaus on liitteessä 9«

3.7» Korrelaatiofunktioiden ja spektrien laskeminen

Laskuihin käytetty ohjelma on laadittu osassa 2 esitettyjen kaavojen perusteella. Ohjelma sinänsä on laaja ja siinä on käytetty konekielisiä proseduureja, joten sen listausta ei ole kokonaisuudessaan liitteenä, vaan ohjelman periaatteellinen kulkukaavio on esitetty liitteessä 10.

Ohjelma on taltioitu magneettinauhalle valmiiksi käännettynä.

Sen kaksi ensimmäistä lohkoa sisältää autokorrelaatiofunktion ja -spektrin laskemisen. Kolmea seuraavaa lohkoa käytetään ris- tikorrelaation ja -spektrin määräämiseen. Havainnot voidaan lu­

kea joko käsinlävistetyltä paperinauhalta, data-loggerin paperi- nauhalta tai magneettinauhalta. Laskennan lopputulokset tuloste­

taan sekä rivikirjoittime11a että piirturilla. Ennen kunkin spek trin laskemista tarvittavat tiedot annettiin parametrinauhalla.

Ohjelma suorittaa haluttaessa myös lineaarisen trendin poiston luvussa 2.11. esitetyllä tavalla. Lisäksi voidaan saatuja havain toarvoja tasoittaa.

Kun alkuperäiset havainnot oli korjattu edellisessä luvussa mai­

nitulla tavalla, laskettiin niistä korrelaatiofunktioita ja spektrejä. Saaduista käyristä (näytteitä liitteinä llj voitiin havaita spektreissä satunnaisvaihtelua ja kapeita piikkejä, jotka eivät luotettavasti kuvaa tehon jakautumista ao. taajuus­

kaistalle. Tästä syystä laskettiin autokorrelaatiofunktiot ja autospektrit järjestelmällisesti uudestaan käyttäen lineaarisen trendin poistoa ja tasoitusta (liite 12).

Tietokoneaikaa mittausten käsittelyyn käytetty kaikkiaan 16 tuntia.

3.8. Spektrien tarkkuudesta:

Havaittujen jaksollisuuksien luotettavuutta arvosteltaessa on käytetty spektriestimaattien tarkkuuskriteerinä viitteestä /6/

peräisin olevaa kaavaa.

200

90 n/m- 5/6 d В (44)

missä d^Q = on se väli (mitattuna desibeleissä) lasketun spek- triestimaatin ympärillä, jossa 90 c/°: n todennäköisyydellä voi­

daan sanoa todellisen spektrin arvon sijaitsevan sekä n = havaintojen lukumäärä ja

m = korrelaatiofunktion katkaisukohta (maximum lag number) .

Kaava (44) pätee kuitenkin vain jokseenkin vaakasuoralle spektri käyrälle. Jos tässä esiintyy ainoastaan yhden tai kahden arvon indikoima maksimi, on epävarmuus hyvin suuri.

Voidaankin todeta, että mitä leveämpi piikki, sitä suurempi luotettavuus, sillä tällöin piikki peittää enemmän spektri- käyrän alle jäävästä alueesta, joka edustaa prosessin varianssia

N

3.9. Spektreistä havaitut jaksollisuudet

3.9.I. On-line-mittaukset

Perälaatikon paine

Mitattu jännitevaihtelu oli luonteeltaan lähinnä valkoista ko­

hinaa , jossa on hyvin huomattava tasatehokomponentti.

Tämä johtuu siitä, että käytetyssä mittauslaitteistossa (pneu­

maattinen lähetin ja elektropneumaattinen muuttaja) vaihtelu superponoitui huomattavan tasajännitetason päälle, jolloin mit­

tauksen erotustarkkuus huononi merkittävästi.

Kaikissa perän paineessa suoritetuissa 12 mittauksessa esiintyy spektrissä kuitenkin taajuudella 0.23,.... . O.29 Hz huippu, joka muodostaa n. 10 fo kokonaisvarianssista.

Havaittu jaksollisuus (vast. T = 3•5... 4«2 s) on erittäin luotettava, koska se jakautuu laajalle taajuuskaistalle ja erot tuu desibeliasteikolla merkitsevästi ympäristöstään.

Mainittu jaksollisuus johtunee PK 2 : n perälaatikon pinnankorkeu den säätöön käytettävän elohopeuimurin hitaudesta.

Tämä aiheuttaa säätöjärjestelmään eräänlaisen "hysteresis"- ilmiön, jolloin säätäjä ei ehdi seurata pinnankorkeuden vaihte­

luita tarpeeksi nopeasti.

Laadunvaihdon jälkeen (50 g/m2) 26.9.1968 siirtyi yllämainittu huippu taajuuksille O.I4... O.25 Hz.

Neliömetripaino:

Suoritettujen havaintojen korjaamisen ja lineaarisen trendin poiston jälkeen esiintyi spektreissä huippuja seuraavilla taajuuksilla

0.00-5.... 0.010 Hz (T = 100 . ,. 200s)

0.14 Hz (T = 7 s )

Ensinmainittuun taajuusalueeseen voidaan suhtautua tietyin va­

rauksin, mutta 0.14 Hz : n huippua voidaan pitää luotettavana, koska sen korkeus logaritmisessa spektrissä on useissa tapauk­

sissa yli 5 dB .

Kosteus :

Kosteudessa on havaittavissa samat jaksollisuudet kuin m -pai­2 nossakin. Muutenkin oli havaittavissa, että kosteus korreloi erittäin hyvin m -painon kanssa. Lasketuissa ristispektreissä 2 (liite 13 ) saatiin korrelaatiokertoimeksi 0.8, mikä on erittäin merkitsevä huomioonottaen suuren näytemäärän.

Höyrymäärä:

Ei löytynyt jaksollisuuksia johtuen ilmeisesti lähettimen epä- herkkyydestä. Samasta syystä eivät myöskään lasketut risti- spektrit siirtofunktion höyrymäärä - kosteus selvittämiseksi antaneet toivottua tulosta.

3.9.2. Off-line-mittankset

Profilograph-Calitel-laitteella suoritetut mittaukset antoivat spektrianalyysin kannalta "hyviä" tuloksia.

Erikoisesti paperin paksuudesta saatiin esille selviä jaksolli­

suuksia. Tämä johtunee siitä, että data-loggeriin tuotu jännite saatiin potentiometripiirturista, jolloin signaalin nollataso pystyttiin käsin poistamaan. Tällöin signaali-kohina-suhde tu­

li spektrianalyysin kannalta erittäin edulliseksi.

Paksuus

Kaikissa a.o. taajuusalueeseen kohdistuneissa mittauksissa oli havaittavissa seuraavat jaksot

3.5... 3.9 HZ 5.1... 5.3 Hz 7.3... 7.5 Hz

Lisäksi esiintyi yksittäisissä mittauksissa jaksoja, jotka edus­

tavat huomattavaa osaa kokonaisvarianssista mm. 2.6 Hz ja 4•3 Hz.

Edellä olevia jaksoja voidaan pitää paperin kiilloitukseen käy­

tettävien kalantereiden aiheuttamina. Niinpä I-kalanterissa on kaksi telaa, joiden halkaisijat (d = 401 mm ja d = 393 mm) vastaavat kehänopeutta 5*2 Hz ja 5*3 Hz, jos radan nopeus I-ka­

lenterilla on 395*5 m/min (vastaa koeolosuhteissa vallinnutta tilannetta).

m -paino2

Suoritetuissa 7 mittaussarjassa, joissa mittausväliä vaihdettiin, oli neljässä havaittavissa jaksollisuutta taajuusalueella

14... 15 Hz. Tämän osuus vaihtelun kokonaisvarianssista on kuitenkin parhaimmillaan vain prosentin luokkaa. Yleensä vari­

anssi oli keskittynyt pienille taajuuksille, joiden tarkempaa analysoimista varten olisi mittausväliä pidennettävä tai paperin ajonopeutta Profilograph1illa hidastettava.

Sileys

Myös sileydestä oli pääosa (50 io) vaihteluista keskittynyt tar­

kastelin! kannalta pienille taajuuksille.

Havaittavissa oli kuitenkin seuraavia taajuuksia:

4.1 Hz , 5.7 Hz , 12.1 Hz , 20 Hz

Sileysmittauksen vaivalloisuuden takia ei havaittujen jaksojen luotettavuutta voida osoittaa koetoistolla, mutta koska spektri- käyrä on ylläolevien taajuuksien ympäristössä on lähes taajuus- akselin suuntainen eli kysymys on valkoisesta kohinasta, voidaan luotettavuutta tarkastella (44): n mukaan desiheliasteikolta.

Tällöin voidaan ainakin 12.1 Hz;n taajuutta pitää 9° °/°'. s ti luotettavana.

Ylläolevien taajuuksien osuus kokonaisvarianssista on prosentin suuruusluokkaa.

4. TYÖSTÄ SAATUJA KOKEMUKSIA :

Spektrianalyysin käyttöä paperiradan dynaamisen mallin muodos­

tamiseen ei Suomessa tiettävästi ole sovellettu kovinkaan suu­

ressa mittakaavassa ennen tätä työtä, mutta tähän työhön liit­

tyvien prosessikokeiden jälkeen on niitä suoritettu muissakin paperitehtaissa / 11 / . Tästä syystä ei allekirjoittaneella ollut tarkkaa tietoa siitä, miltä taajuusalueilta jaksollisia vaihteluita saattaisi löytää. Tätä taustaa vasten ajatellen ei liene ihme, ettei tutkimus täyttänyt kaikkia sille asetettu­

ja toiveita. Näin ollen on katsottava, että tämä työ jää esi­

tutkimuksen asemaan. Se on kuitenkin antanut kokemusta teolli­

suusprosessin spektrianalyysiin liittyvissä käytännön seikoissa.

4.1. Koejärjestely:

Prosessin mallin muodostamisessa olennainen osa on tehdaskoe, jossa prosessista hankitaan tietoa mittausten avulla.

Tämän merkittävyyttä ei voi yliarvioida, koska tällöin mallin kehittämistä varten saatua informaatiota ei voi lisätä koetu­

losten käsittelyn aikana.

Edullisinta kokeen suorittamisen kannalta olisi, jos prosessia voitaisiin vapaasti muutella kokeen kestäessä ennalta tehdyn koesuunnitelman mukaisesti. Yleensä kuitenkin laitteiston rik­

koutumis vaara tai prosessiin liittyvät taloudellisuusnäkökohdat, kuten paperinvalmistusprosessissa, estävät prosessin vapaan häirinnän. Tällöin tulevat spektrianalyysin edut esille, koska se perustuu prosessissa olevaan pohjakohinaan, eikä näin ollen tarvitse ulkoista häiriötä. Spektrianalyysi soveltuu tosin myös tapaukseen, jolloin prosessia häiritään suunnitelmallisesti.

Spektrianalyysin onnistumiselle on tärkeää, että prosessi mah­

dollisimman hyvin täyttää osassa 2 esitetyt stationäärisyyden ja ergodisuuden vaatimukset. Tämän vuoksi on syytä pitää käyt­

töhenkilökunta ajan tasalla, ettei se varsinkaan lyhytaikaisen kokeen kestäessä muuta käsinohjaukselia prosessin tilaa, ellei tämä ole aivan välttämätöntä.

Ongelmallisimpia spektrianalyysin kannalta ovat prosessin sää­

täjät, ellei niitä tarkastella osana tutkittavaa prosessia.

Esimerkkinä tästä ovat tässä työssä mitatut perän paineen vaih­

telut, joissa ainoa löydetty jaksollisuus aivan ilmeisesti joh­

tui pinnankorkeuden säätäjän puutteellisesta toiminnasta.

4,2. Kokeellisen havaintomateriaalin keräämis- ja analysointi­

menetelmistä

4.2.1. Prosessin matemaattisen mallin muodostaminen

Teollisuusprosessin säätöä ja valvontaa voidaan pitää jatkuvana päätöksentekona, jossa on otettava huomioon tuotteen laatuun ja prosessin kannattavuuteen vaikuttavat osatekijät.

Näiden välinen riippuvuus on usein jo sinänsä monimutkainen ja lisäksi on otettava huomioon erilaisten häiriötekijöiden vai­

kutus.

Prosessin matemaattisen mallin kehittämiseen voidaan käyttää joko analyyttistä tai statistista menetelmää.

Analyyttinen menetelmä perustuu yleisten fysikaalisten lakien soveltamiseen ja sitä voidaan käyttää kirjoituspöydän ääressä.

Usein prosessiyhtälöitä ei kuitenkaan tunneta ja joudutaan joko osittain tai kokonaan turvautumaan

Statistiseen menetelmään, jossa kerätään systemaattisesti pro­

sessia koskevia tietoja. Saatu havaintomateriaali analysoidaan sen jälkeen tilastollisin menetelmin eri tekijöiden riippuvuus­

suhteen selvittämiseksi.

4.2.2. Havaintomateriaalin keruu

Lähdettäessä suorittamaan havaintomateriaalin keruuta prosessis­

ta "teollisessa mittakaavassa" on syytä selvittää seuraavat seikat:

1. Prosessin yksityiskohtainen virtauskaavio, josta käy selville kaikki mahdolliset prosessimuuttujat.

2. Mitä muuttujia mitataan ja kuinka usein.

3. Mittauksien suorittaminen on-line-mittauksina ja / tai la­

boratoriomittakaavassa (off-line).

4. Mittaustulosten taltioiminen.

5. Mittaushenkilökunnan työnjako: valvonta- ja vastuukysymyk­

set.

Alustavissa prosessikokeissa ei ole syytä a priori rajoittaa mi­

tattavien suureiden lukumäärää. Jos kuitenkin halutaan suorittaa on-1ine-mittauksia, on tämä merkityksellinen rajoittava tekijä.

Esimerkiksi paperikoneesta voidaan helposti löytää lähes sata mi­

tattavaa suuretta (liite 14). Tässä työssä valittiin lähinnä ne, jotka olivat helposti mitattavissa on-line, koska off-line-mit- taukset vaativat usein erittäin paljon työtä (vrt. sileysmittaus).

Paperira taa tutkittaessa kiintoisia laatukarakteristikoita ovat usein paperin m -paino ja kosteus.o

Näiden mittaamiseen on-line käytetään A-mittaria (m^-paino) ja kapasitiivistä kosteusmittaria. Esim. yi -mittarin aikavakio on kuitenkin luokkaa 2....3 s, jolloin keskinopeilla paperi­

koneilla (v ie 500 m/min) se mittaa liukuvaa keskiarvoa parin kymmenen metrin matkalta. Haluttaessa tutkia radan lyhyempi- jaksoisia m^-painon vaihteluita on rullasta leikattava raina, joka tutkitaan laboratoriokäyttöön tarkoitetulla -mittarilla (Arcas, Profilograph ; nopeudet 1.... 10 m/min)

Mittaustulokset tulisi taltioida siten, että ne mahdollisimman helposti soveltuvat tietokoneella analysoitaviksi. Parhaiten tämä tapahtuu data-loggerilla ja siihen liitetyllä reikänauhan- tai -kortinlävistäjällä. Jos "käsinmitattavia" havaintoja on paljon, ne on syytä lävistää nauhalle / kortille kokeen suoritus­

paikalla, jolloin lävistysvirheiden kontrollointi on helpompaa.

Kokeen onnistumisen kannalta on suotavaa laatia kirjalliset toi­

mintasuunnitelmat, mittausaikataulut ja valvontaorganisaatio- kaava, jotta mittauksia suorittava henkilökunta tietäisi

"mitä, missä ja milloin".

4.2.3. Havaintomateriaalin käsittely

Ennen kuin saatua havaintomateriaalia kannattaa ruveta analy­

soimaan, on syytä poistaa materiaalista mittauslaitteistosta, mittaajista tai prosessin häiriötiloista, jotka eivät ole tut' kimuksen kannalta kiinnostavia, johtuvat virheellisyydet.

Tämä voidaan usein suorittaa tietokoneella suoritettavan ana­

lyysin yhteydessä.

Tällöin voidaan käyttää hylkäämisrajoina esimerkiksi tiettyjä keskihajonnan monikertoja.

Jos havaintomateriaali voidaan olettaa normaalisti jakautuneeksi saadaan taulukosta 2 todennäköisyys sille, että poistetuksi tu­

lee alkuperäiseen jakautumaan kuuluvia havaintoja.

hylkäämisrajät riskiprosentti

-2 5 1°

±3 0.3 1°

-4 n. 0.01 56

+-5 n. 10'5 56

taulukko 2

Aikasarja-analyyseissä, joissa pyritään kartoittamaan prosessin jaksollisia vaihteluja, on poistetun havainnon tilalle sijoitet­

tava esim. viereisistä havainnoista ekstra- tai interpoloimalla saatu arvo.

Ensimmäisenä tehtävänä havaintomateriaalin tilastollisessa ana­

lysoinnissa on selvittää, löytyykö prosessista vaihteluja, jotka saattaisivat aiheutua tarkastelun kohteena olevista tekijöistä.

Tähän voidaan käyttää varianssi- tai spektrianalyysiä.

Jälkimmäinen soveltuu erityisesti jaksollisten vaihtelujen ana­

lysointiin ja prosessin dynaamisen mallin etsimiseen.

Spektrianalyysiä varten tarvittavan havaintomateriaalin käsit­

telyn systeemikaavio on esitetty liitteessä I5.