• Ei tuloksia

Trigonometriset funktiot

In document Visa Latvala ja Jari Taskinen (sivua 3-12)

Luku on osittain kertauksenomainen, joten esityksess¨a ei perustella kaikkea yksityiskohtai-sesti. Sini ja kosini m¨a¨aritell¨a¨an kirjallisuudessa usein potenssisarjaesitysten avulla (Ana-lyysi III). T¨ass¨a m¨a¨arittelyn l¨aht¨okohdaksi otetaan yksikk¨oympyr¨an keh¨an pisteet eli tason pisteet (x, y)R2, joille p¨atee

x2+y2 = 1.

Jokaista lukua (kulmaa) t > 0 (radiaaneina) vastaa yksik¨asitteinen keh¨apiste (x, y), x2 + y2 = 1, kuljettaessa pisteest¨a (1,0) vastap¨aiv¨a¨an pitkin yksikk¨oympyr¨an keh¨a¨a t:n pituinen matka. Toisaalta jokaista lukua (kulmaa) t < 0 (radiaania) vastaa yk-sik¨asitteinen keh¨apiste (x, y), x2 +y2 = 1, kuljettaessa pisteest¨a (1,0) my¨ot¨ap¨aiv¨a¨an pitkin yksikk¨oympyr¨an keh¨a¨a |t|:n pituinen matka. Lukua (kulmaa) 0 radiaania vastaa keh¨apiste (1,0).

Teht¨av¨a Hahmottele yksikk¨oympyr¨a¨an radiaanikulmat 4 , π3, 10 ja −14.

Funktiot sin :RRja cos : RRm¨a¨aritell¨a¨an radiaanikulmaa vastaavien keh¨apisteen koordinaattien avulla asettamalla

sint=y ja cost=x,

miss¨a (x, y) on kulmaant yksik¨asitteisesti liittyv¨a yksikk¨oympyr¨an keh¨apistet:n merkist¨a riippuen suunnistettuna.

Koska kulmia t jat+2π vastaa aina samat keh¨akulmat, sinill¨a ja kosinilla on jaksolli-suusominaisuudet

sint= sin(t+2π) ja cost = cos(t+2π) (1) kaikillat R ja n∈Z.

Kysymyksi¨a (a) Mik¨a on asteiden ja radiaanien v¨alinen yhteys kulmaa mitattaessa?

(b) Mik¨a on yo. sinin ja kosinin m¨a¨aritelm¨an yhteys suorakulmaisen kolmion kateetteihin ja hypotenuusaan?

Nyt voidaan todistaa seuraavat sinin ja kosinin avainominaisuudet, joista muut jatkossa tarvittavat ominaisuudet seuraavat:

Lause 5.1.1 Sinill¨a ja kosinilla on ominaisuudet (i)-(iv):

(i) sin 0 = 0 ja cos 0 = 1,

(ii) sin2x+ cos2x= 1 kaikillax∈R, (iii) Yhteenlaskukaavat

sin(x+y) = sinxcosy+ cosxsiny,

cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny, (2) p¨atev¨at kaikillax, y R,

(iv) limx→0 sinx x = 1.

Huomaa, ett¨a t¨ass¨a (ja yleens¨a jatkossa) x ja y ovat kulmia, eiv¨at keh¨apisteen koordi-naatteja.

Todistus.Ehdot (i) ovat m¨a¨aritelm¨an nojalla selvi¨a. My¨os ehto (ii) on ilmeinen, sill¨a tason piste (cosx,sinx) sijaitsee yksikk¨oympyr¨an keh¨all¨a ja siis

sin2x+ cos2x= 1.

Ehdot (iii) ja (iv) ovat verrattain hankalia todistaa esitetyn m¨a¨arittelyn pohjalta ja niiden todistukset sivuutetaan t¨ass¨a. Ehdon (iii) todistus l¨oytyy lukion oppikirjasta Merikoski, Niva, Oinas-Kukkonen: Akseli 2, 1984, ss. 84–84. Ehto (iv) on todistettu kurssikirjassa Thomas: Calculus, ss. 106–107. 2

Huomautus 5.1.2 Lauseen 5.1.1 kohdasta (ii) seuraa v¨alitt¨om¨asti, ett¨a

|sinx| ≤1 ja |cosx| ≤1

kaikilla x R. Huomaa my¨os, ett¨a jaksollisuudesta johtuen sinin ja kosinin kuvaajan kulku tulee olennaisesti hahmotettua, kun hahmotetaan kuvaaja v¨alill¨a [0,2π]. Tutkimalla yksikk¨oympyr¨an keh¨apisteen koordinaattien k¨aytt¨aytymist¨a n¨ahd¨a¨an esimerkiksi, ett¨a

sinπ2 = 1, sinπ = 0, sin2 =−1 ja cosπ2 = 0 = cos2 , cosπ =−1, sinx >0 kun 0< x < π ja sinx <0 kun π < x <2π,

cosx >0 kun 0< x < π2 tai 2 < x < 2π sek¨a cosx <0 kun π2 < x < 2 .

Teht¨av¨a Selvit¨a muistikolmioiden avulla kulmien sinπ4 ja cosπ6 tarkat arvot. Mit¨a tied¨at luvusta sin 1?

Sinin ja kosinin ominaisuuksia

Lause 5.1.3 Sini on pariton ja kosini on parillinen eli

sin(−x) =sinx ja cos(−x) = cosx kaikillax∈R.

Todistus. Jost∈[0,2π[, niin sin(−t) = sint, koska kulmiatja−tvastaavien keh¨apisteiden y-koordinaatit ovat toistensa vastalukuja. Jos t /∈ [0,2π[, niin valitaan n Z siten, ett¨a t+[0,2π[. Jaksollisuuden ja todistuksen alun nojalla

sin(−t) = sin(−t−n·2π) =sin(t+2π) = sint.

Vastaavasti, jost∈[0,2π[, niin cos(−t) = cost, koska kulmiatja−tvastaavien keh¨apisteiden x-koordinaatit ovat samat. Yleistys tilanteeseent /∈[0,2π[ suoritetaan jaksollisuuden avul-la kuten edell¨a. 2

Lauseen 5.1.1 yhteenlaskukaavoista saadaan erikoistapauksena seuraavat aputulokset:

Lause 5.1.4 Kaikilla x∈R p¨atee (a) sinx= cos(π2 −x),

Sinin m¨a¨aritelm¨ast¨a on ilmeist¨a, ett¨a |sinx| ≤ |x| kaikilla x R, joten kuristusperiaat-teesta seuraa, ett¨a limx→0sinx= 0 eli sini on jatkuva origossa. Koska

¯¯

Sinin ja kosinin derivaattatulokset seuraavat Lauseen 5.1.1 kohdista (iii) ja (iv):

Lause 5.1.6 Kaikilla x∈R p¨atee

Dsinx= cosx ja Dcosx=sinx.

Todistus. Olkoon h6= 0. Yhteenlaskukaavan mukaan sin(x+h)−sinx T¨all¨a lausekkeella on raja-arvon laskus¨a¨ant¨ojen, Lauseen 5.1.1 kohdan (iv) ja Esimerkin 5.1.5 nojalla raja-arvo cosx kun h 0. Toinen s¨a¨ant¨o todetaan vastaavasti (harjoitus-teht¨av¨a). 2

Trigonometrisi¨a funktioita sis¨alt¨avist¨a yht¨al¨oist¨a

Esimerkki 5.1.7 (a) Ratkaistaan yht¨al¨o sin 2x = sin(x+ π3). Kahden kulman sinit yh-tyv¨at t¨asm¨alleen silloin kun vastaavat keh¨apisteet ovat samat tai ne sijaitsevat symmet-risesti y-akselin suhteen. N¨ain ollen yht¨al¨o p¨atee jos ja vain jos

2x=x+ π

3 + 2πn, n Z, tai 2x=π−(x+π

3) + 2πn, n∈Z.

Siis

x= π

3 + 2πn, n Z, tai 3x= 2π

3 + 2πn, n∈Z.

J¨alkimm¨ainen ehto p¨atee jos ja vain jos x= 9 +23πn,n Z. Siis vastaus on x= π

3 + 2πn, n Z, tai x= 2π 9 +2

3πn, n Z.

(b) Ratkaistaan yht¨al¨o cos 2x= sinx. Kaavaa sinx= cos(π2−x) k¨aytt¨aen yht¨al¨o saadaan muotoon

cos 2x= cos(π 2 −x).

Kahden kulman kosinit yhtyv¨at t¨asm¨alleen silloin kun vastaavat keh¨apisteet ovat samat tai ne sijaitsevat symmetrisesti x-akselin suhteen. N¨ain ollen yht¨al¨o p¨atee jos ja vain jos

2x= π

2 −x+ 2πn, n Z, tai 2x=−(π

2 −x) + 2πn, n∈Z.

Siis

x= π 6 +2

3πn, n Z, tai x=−π

2 + 2πn, n∈Z.

Oikeanpuoleiset ratkaisut sis¨altyv¨at vasemmanpuoleisiin, joten ratkaisujoukko on x= π

6 +2

3πn, n Z.

Huomautus 5.1.8 Esimerkin 5.1.7 perusteluin p¨a¨atell¨a¨an yleisesti: Josf jag ovat mit¨a tahansa reaalifunktioita, yht¨al¨o

sinf(x) = sing(x) p¨atee jos ja vain jos

f(x) = g(x) + 2πn, n Z, tai f(x) = π−g(x) + 2πn, n∈Z.

Vastaavasti

cosf(x) = cosg(x) toteutuu jos ja vain jos

f(x) = g(x) + 2πn, n Z tai f(x) =−g(x) + 2πn, n∈Z.

M¨a¨aritelm¨a 5.1.9 Funktiot tangentti tan ja kotangentti cot m¨a¨aritell¨a¨an asettamalla tanx= sinx

cosx, x6= π

2 +πn, n Z, ja

cotx= cosx

sinx, x6=πn, n Z.

Sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoista saadaan nimitt¨aj¨an nollakohtien ulkopuolella tan(x+π) = sin(x+π)

cos(x+π) = sinxcosπ+ cosxsinπ

cosxcosπ−sinxsinπ = sinx

cosx = tanx.

N¨ain ollen tangentilla on jaksona π eli tangentin kuvaaja on muodoltaan samanlainen jokaisella v¨alill¨a ]π2 +πn,π2 +πn[,n Z. Annetulla v¨alill¨a ]π2+πn,π2 +πn[ tangentti on aidosti kasvavana injektio, ks. Huomautus 5.1.13. T¨am¨an vuoksi yht¨al¨on

tanf(x) = tang(x)

ratkaisujoukko onf(x) =g(x) +πn,n Z. Vastaavasti perustellaan se, ett¨a kotangentin jakso on π ja ett¨a yht¨al¨on

cotf(x) = cotg(x) ratkaisujoukko on f(x) = g(x) +πn, n∈Z.

Esimerkki 5.1.10 (a) Ratkaistaan yht¨al¨o

tanx= tan 2x.

Jotta tangentit ovat m¨a¨ariteltyj¨a, on oltava x6= π

2 +πn, n∈Z, ja x6= π 4 + π

2n, n∈Z. (3)

Ratkaisujoukoksi saadaan

x= 2x+πn, n∈Z, eli x=πn, n∈Z.

Huomaa, ett¨a t¨ass¨a tapauksessa m¨a¨arittelyehdot (3) eiv¨at rajaa pois ratkaisuja.

(b) Ratkaistaan yht¨al¨o tanx= cot(x−π). Jotta funktiot ovat m¨a¨ariteltyj¨a, on oltava x6= π

2 +πn, n Z, ja x6=πn, n Z. (4)

Esitt¨am¨all¨a funktiot sinin ja kosinin avulla saadaan sinx

cosx = cos(x−π) sin(x−π).

Ehtojen (4) voimassa ollessa edellinen yht¨al¨o on ekvivalentti yht¨al¨on

sinxsin(x−π)−cosxcos(x−π) = 0 ⇐⇒ cos(x+x−π) = 0 ⇐⇒ cos(2x−π) = 0

kanssa kosinin yhteenlaskukaavan nojalla. Yht¨al¨on cos(2x−π) = 0 ratkaisujoukoksi

Samalla idealla voidaan yleisesti ratkaista yht¨al¨o tyyppi¨a tanf(x) = cotg(x).

(c) Trigonometriset ep¨ayht¨al¨ot ratkaistaan siten, ett¨a ratkaistaan vastaava yht¨al¨o ja suo-ritetaan merkkitarkastelu nollakohtien ja mahdollisten ep¨ajatkuvuuskohtien molemmin puolin. Tarkastellaan ep¨ayht¨al¨o¨a

tanx <tan 2x.

Merkit¨a¨an f(x) = tanx−tan 2x. Kohdassa (a) todettiin, ett¨a funktion f nollakohdat ovat x= πn, n Z. Koska funktiolla f on jaksona π, riitt¨a¨a suorittaa merkkitarkastelu v¨alill¨a [0, π] ep¨ajatkuvuuskohtien π4, π2 ja 4 molemmin puolin. Laskemalla arvot

f(π6) = 23 todetaan, ett¨a ep¨ayht¨al¨onf(x)<0 ratkaisujoukko on

πn < x < π

4 +πn tai π

2 +πn < x < 3π 4 +πn.

Huomautus 5.1.11 Muotoa 00 olevat trigonometriset raja-arvot ratkeavat joko L’Hospitalin lauseen (versio I tai II) avulla tai k¨aytt¨aen raja-arvon laskus¨a¨ant¨oj¨a ja tunnettuja omi-naisuuksia. Esimerkiksi

Toisaalta L’Hospitalin lauseen II nojalla

x→0lim

Monet trigonometriset raja-arvot ratkeavat helposti L’Hospitalin lauseen avulla, mutta ovat ty¨ol¨ait¨a selvitt¨a¨a ilman sit¨a.

Erilaiset tangentin ja kotangentin laskus¨a¨ann¨ot johdetaan sinin ja kosinin laskus¨a¨ann¨oist¨a.

Tyydymme t¨ass¨a vain esitt¨am¨a¨an tangentin ja kotangentin derivoimiskaavat.

Lause 5.1.12 Nimitt¨aj¨an nollakohtien ulkopuolella p¨atee Dtanx= 1

cos2x = 1 + tan2x ja

Dcotx= 1

sin2x =−(1 + cot2x).

Todistus. Ensimm¨aiset v¨aitteet saadaan osam¨a¨ar¨an derivoimiskaavalla. J¨alkimm¨aisiss¨a k¨aytet¨a¨an kaavaa sin2x+ cos2x= 1. 2

Huomautus 5.1.13 (a) Olkoon n Z. Tangentti on v¨alill¨a ] π2 +πn,π2 +πn[ aidosti kasvavana injektio, sill¨aDtanx= 1 + tan2x >0 kunx∈]−π2 +πn,π2 +πn[ (Huomautus 4.3.2). Vastaavasti n¨ahd¨a¨an, ett¨a kotangentti on v¨alill¨a ]πn, π+πn[ aidosti v¨ahenev¨an¨a injektio.

(b) Tarkastellaan lyhyesti sit¨a, kuinka voidaan t¨asm¨allisesti perustella se, ett¨a tangentti on surjektio joukosta ]−π2,π2[ joukkoonR. Ideana on se, ett¨a sinin ja kosinin ominaisuuksia k¨aytt¨aen voidaan todistaa toispuoleiset raja-arvot

x→−limπ2+tanx=−∞, lim

x→π2tanx= +∞. (5)

N¨am¨a pid¨amme tunnettuna. Olkoon y R mielivaltainen. Valitaan m < 0 ja M > 0 siten, ett¨a y [m, M]. Raja-arvojen (5) m¨a¨aritelmist¨a seuraa, ett¨a on olemassaδ1>0 jaδ2>0, joille p¨atee implikaatiot

x∈]π 2,π

2 +δ1[⇒tanx < m ja x∈]π

2 δ2,π

2[⇒tanx > M.

Josx1∈]π2,π2+δ1[ jax2∈]π2δ2,π2[, niiny∈] tanx1,tanx2[. N¨ain ollen Bolzanon lauseen II nojalla on olemassax3∈]x1, x2[ siten, ett¨a tanx3=y.

Vastaavaan tapaan voidaan todistaa esimerkiksi se, ett¨a cot :]0, π[→Ron surjektio.

Trigonometristen funktioiden k¨a¨anteisfunktiot eli arkusfunktiot

Edell¨a esitellyt trigonometriset funktiot eiv¨at ole bijektioita joukossaR. Kuitenkin jokai-sella funktiolla on m¨a¨arittelyv¨alej¨a, joihin rajoitettuna funktio on bijektio. Esimerkiksi Dsinx = cosx > 0 kaikilla x ∈] π2,π2[, joten sini on aidosti kasvava v¨alill¨a [−π2,π2] (Lause 4.3.1). Koska sin(−π2) =−1 ja sin(π2) = 1 sek¨a sini on derivoituvana jatkuva, seu-raa Bolzanon lauseesta, ett¨a sini saa v¨alill¨a [−π2,π2] kaikki arvot joukosta [−1,1]. Koska

|sinx| ≤1 kaikilla x∈R, on todistettu, ett¨a sini on bijektio v¨alilt¨a [−π2,π2] v¨alille [−1,1].

Vastaavalla tavalla voidaan perustella, ett¨a kosini on bijektio v¨alilt¨a [0, π] v¨alille [−1,1].

M¨a¨aritelm¨a 5.1.14 Bijektion sin : [−π2,π2] [−1,1] k¨a¨anteisfunktiota sanotaan arkus-sinin p¨a¨ahaaraksi tai lyhyesti arkussiniksi ja sille k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a arc sin. Vastaa-vasti bijektion cos : [0, π] [−1,1] k¨a¨anteisfunktiota sanotaan arkuskosinin p¨a¨ahaaraksi tai lyhyesti arkuskosiniksi ja sille k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a arc cos.

Kysymys Mill¨a arvoilla x, y, u, v p¨atee

sin(arc sinx) = x, arc sin(siny) =y, cos(arc cosu) = u, arc cos(cosv) = v?

Esimerkki 5.1.15 (a) M¨a¨ar¨at¨a¨an arc sin(12) ja arc cos(−12). K¨a¨anteisfunktion m¨a¨aritelm¨an nojalla

arc sin( 1

2) =y ⇐⇒ siny= 1

2. Koska y∈[−π2,π2], on y= π4. Siis arc sin(12) = π4. Vastaavasti

arc cos(−1

2) =y ⇐⇒ cosy=1 2.

Koska y [0, π], on y = 23π. Siis arc cos(−12) = 23π. T¨ah¨an tapaan tietyt arkussinin ja arkuskosinin tarkat arvot voidaan p¨a¨atell¨a. Useimpien arvojen kohdalla on kuitenkin tyydytt¨av¨a taskulaskimen tai tietokoneen antamaan likiarvoon.

(b) Mit¨a on y:= cos(arc sinx), kun x∈[−1,1]? Neli¨osummakaavan mukaan sin2(arc sinx) + cos2(arc sinx) = 1,

Ottamalla yht¨al¨ost¨a (6) sinit puolittain ja k¨aytt¨am¨all¨a kaksinkertaisen sinin kaavaa saa-daan

sin(arc sinx) = sin(2arc cosx) = 2 sin(arc cosx) cos(arc cosx) = 2xsin(arc cosx).

Kohdan (b) nojalla p¨a¨adyt¨a¨an yht¨al¨o¨on x= 2x

1−x2 ⇐⇒ x(1−2

1−x2) = 0,

jonka ratkaisut ovat x = 0 tai 1−x2 = 14 eli x = 0 tai x = ±23. Koska alkuper¨aisen yht¨al¨on vasen puoli on v¨alill¨a [−π2,π2] ja oikea puoli v¨alill¨a [0,2π] ja sini ei ole injektio v¨alill¨a [−π2,2π], on tulos tarkistettava:

1) Kunx= 0, niin

Huomautuksessa 5.1.13 on pohjustettu seuraavaa m¨a¨aritelm¨a¨a:

M¨a¨aritelm¨a 5.1.16 Bijektion tan :] π2,π2[→ R k¨a¨anteisfunktiota sanotaan arkustan-gentin p¨a¨ahaaraksi tai lyhyestiarkustangentiksi ja sille k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a arc tan. Vas-taavasti bijektion cot :]0, π[→Rk¨a¨anteisfunktiota sanotaanarkuskotangentin p¨a¨ahaaraksi tai lyhyesti arkuskotangentiksi ja sille k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a arc cot.

Trigonometrisille funktioille l¨oytyy luonnollisesti muitakin (maksimissaan) π:n pituisia m¨a¨arittelyv¨alej¨a, joilla funktiot ovat bijektioita. Rajoitumme kuitenkin tarkastelemaan ainoastaan p¨a¨ahaaroja, koska muiden haarojen tarkastelu ei tuo olennaista lis¨aarvoa teo-riaan. Arkusfunktioiden derivoimista varten otetaan k¨aytt¨o¨on k¨a¨anteisfunktion derivoi-mista koskeva kaava, jonka todistus l¨oytyy kirjasta Myrberg: Differentiaali- ja integraali-laskenta, osa 1, ss. 116–117:

Lause 5.1.17 Oletetaan, ett¨a funktio f on derivoituva pisteen x0 ymp¨arist¨oss¨a B(x0, r) ja jokof0(x)>0 kaikillax∈B(x0, r) taif0(x0)<0 kaikillax∈B(x0, r). T¨all¨oin funktion f k¨a¨anteisfunktio f−1 on m¨a¨aritelty er¨a¨ass¨a pisteen f(x0) ymp¨arist¨oss¨a, k¨a¨anteisfunktio f−1 on derivoituva pisteess¨a f(x0) ja

Df−1(f(x0)) = 1

f0(x0). (7)

Huomautus Derivoimiskaava (7) on helppo johtaa yhdistetyn funktion derivoimiskaa-valla kirjoittamalla (f−1◦f)(x) = x, ks. Huomautus 4.1.13 (d).

Lauseen 5.1.17 ja trigonometristen funktioiden derivoimiskaavat yhdist¨am¨all¨a saadaan seuraavat arkusfunktioiden derivoimiskaavat:

Lause 5.1.18 (Arkusfunktioiden derivoimiskaavat)

(a) Darc sinx= 1

1−x2 kaikilla−1< x <1, (b) Darc cosx= 1

1−x2 kaikilla −1< x <1, (c) Darc tanx= 1

1 +x2 kaikilla x∈R, (d) Darc cotx= 1

1 +x2 kaikilla x∈R.

Todistus. Todistetaan malliksi kaavat (a) ja (c). Kohdan (a) toteamiseksi merkit¨a¨an f(u) = sinu, u∈[−π2,π2]. T¨all¨oinf0(u) = cosu >0, kun u∈]−π2,π2[. Olkoon x∈]−1,1[.

Lauseen 5.1.17 nojalla

Darc sinx=Darc sinf(f−1(x)) = 1

f0(f−1(x)) = 1

cos(arc sinx) = 1

1−x2, sill¨a arc sinx∈]− π2,π2[.

Kohdan (c) todistamiseksi merkit¨a¨an g(u) = tanu, u∈]−π2,π2[. M¨a¨arittelyv¨alill¨a g0(u) = 1 + tan2u >0, joten Lauseen 5.1.17 nojalla

Darc tanx=Darc sing(g−1(x)) = 1

g0(g−1(x)) = 1

1 + tan2(arc tanx) = 1 1 +x2. Kohdat (b) ja (d) voidaan todistaa vastaavaan tapaan. 2

Esimerkki 5.1.19 (a) Esimerkiksi Darc sin(x2) = 1

1−x4 ·2x= 2x

1−x4, |x|<1.

(b) Kotangentin m¨a¨arittelyjoukossa p¨atee Darc tan(cotx) = 1

1 + cot2x · − 1

sin2x = sin2x

sin2x+ cos2x · − 1

sin2x =−1.

N¨ain ollen v¨altt¨am¨att¨a

arc tan(cotx) = −x+C

jollekin vakiolle C R. Sijoittamalla esimerkiksix= π2 saadaan arc tan(cotπ

2) =−π

2 +C ⇐⇒ 0 = arc tan 0 =−π 2 +C.

Siis C = π2 ja olemme todistaneet kaavan

arc tan(cotx) = π 2 −x.

Huomautus 5.1.20 Koska

x→−limπ2+tanx=−∞ ja lim

x→π2tanx= +∞, niin

x→+∞lim arc tanx= π

2 ja lim

x→−∞arc tanx=−π 2. Vastaavasti

x→+∞lim arc cotx= 0 ja lim

x→−∞arc cotx=π.

In document Visa Latvala ja Jari Taskinen (sivua 3-12)