4 Tutkimuksia Fedin määrällisen keventämisen vaikutuksista Yhdysvalloissa 29
5.2 Stationaarisuus -käsite, yksikköjuuritestit ja yhteisintegraatio
Gambacortan ym. (2012) mukaisesti tutkimuksessa tarkastellaan myös rahoitusmarkkinoiden odotetun volatiliteetin eli riskin vaikutuksia muihin muuttujiin käyttämällä proxy-muuttujana CBOE: n (Chicago Board of Options Exchange) VIX-indeksiä. Heidän mukaansa VIX: n avulla voidaan tutkia esimerkiksi markkinoiden kuohunnan ja Fedin rahapolitiikan välistä yhteyttä:
he esittivät, että Fedin rahapolitiikan shokit voivat olla osittain endogeeninen reaktio kuohuntaan, jolloin VIX: n pois jättäminen voisi vääristää tuloksia.
Toisaalta, tutkimus antaa tietoa VIX-indeksin reaktioista muiden muuttujien muutoksiin. VIX on Robert E. Whaleyn vuonna 1993 kehittämä indeksi, joka kuvastaa odotettua tulevaa markkinoiden volatiliteettia seuraavan 30 kalenteripäivän aikana perustuen S&P 500 osakemarkkinaindeksi-optioiden hintoihin. (Whaley 2009) VIX: iä on kutsuttu myös "sijoittajien pelkokertoimeksi", johon Whaleyn (2009) perusteella olennainen syy on S&P 500-indeksioptioiden markkinoita dominoiva sijoituspositioiden suojaajien toiminta. Sijoittajat ostavat osakeindeksin put-optioita, kun he odottavat osakemarkkinoiden laskevan. Kyseessä on siten eräällä tapaa sijoittajien odottama vakuutustarpeen mittari. Finanssikriisin alkuvaiheessa VIX-indeksi kohosi huomattavasti saavuttaen yli neljän keskihajonnan verran keskimääräistä suurempia päivittäisten havaintojen kalenterikuukausittaisia keskiarvoja.
5.2 Stationaarisuus -käsite, yksikköjuuritestit ja yhteisintegraatio
Ennen varsinaista analyysia on tärkeää selvittää tutkimuksessa käytettävien yksittäisten aikasarjojen ominaisuuksia. Yksikköjuuritestien avulla voidaan tutkia, onko aikasarjan havainnot generoiva prosessi stationaarinen, vai noudattaako se esimerkiksi taloudellisissa aikasarjoissa usein esiintyvää stokastista eli satunnaista trendiä. Stationaaristen muuttujien käyttäminen
VAR: ssa mahdollistaa muun muassa tarkemman tilastollisen päättelyn, F -jakaumien käytön Granger-kausaalisuus-testeissä sekä konvergoituvat impulssivasteet. (Enders 2010, 396-397) Lisäksi käyttämällä vain stationaarisia muuttujia voidaan välttää näennäinen regressio (spurious regression). (Brooks 2008)
Tutkimuskirjallisuudessa yleensä kiinnostuksen kohteena olevaa heikkoa stationaarisuutta eli kovarianssistationaarisuutta voidaan kuvata kysymyksillä:
onko aikasarjan keskitaso ja varianssi vakioita, ja onko aikasarjalla tarkasteluperiodista riippumaton autokovarianssirakenne? Mikäli aikasarja on stationaarinen, vastaus kysymyksiin on "kyllä". Stationaarisen aikasarjan havainnot generoivaa prosessia kuvaavan (differenssi)yhtälön karakteristiset juuret ovat yksikköympyrän sisäpuolella. Estimoidun differenssiyhtälön analyyttisen ratkaisun implikoima aikaura konvergoituu stationaarisen aikasarjan tapauksessa shokin jälkeen takaisin pitkän aikavälin tasapainoon, eli aikasarja säilyttää kovarianssistationaarisuuden edellyttämät ominaisuudet.
Alla on esitetty Endersin (2010, 54) mukaan kovarianssistationaarisuuden määritelmä matemaattisin merkinnöin.
𝐸(𝑦𝑡) = 𝐸(𝑦𝑡−𝑠) = μ (3)
𝐸[(𝑦𝑡− 𝜇)2] = 𝐸[(𝑦𝑡−𝑠 − 𝜇)2] = 𝜎𝑦2 (4) 𝐸[(𝑦𝑡− 𝜇)(𝑦𝑡−𝑠− 𝜇)] = 𝐸[(𝑦𝑡−𝑗− 𝜇)(𝑦𝑡−𝑗−𝑠− 𝜇)] = 𝛾𝑠 (5) kaikilla t ja t–s, jossa s on viiveiden lukumäärä. Yhtälöissä 𝑦𝑡 sisältää aikasarjan havainnot, μ on aikasarjan havaintojen keskiarvo yli ajan, 𝜎𝑦2 on havaintojen varianssi ja 𝛾𝑠 on havaintojen kovarianssi. μ, 𝜎𝑦2 ja 𝛾𝑠 ovat vakioita.
Tässä tutkimuksessa aikasarjojen stationaarisuutta tutkitaan kolmen eri testin avulla: laajennettu Dickey-Fuller-testi (Augmented Dickey-Fuller, ADF), Phillips-Perron-testi (PP) ja Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin-testi (KPSS).
Kahden ensimmäisen testin nollahypoteesina on yksikköjuuri eli havaitun aikasarjan epästationaarisuus. KPSS-testin nollahypoteesina on stationaarisuus.
Laajennettu Dickey-Fuller-testiyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavalla tavalla, kun 𝑦𝑡: 𝑡ä kuvaavan p: nnen asteen autoregressiivisen prosessin yhtälöä käsitellään sopivasti: (Enders 2010, 215)
∆𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝛾𝑦𝑡−1 + ∑𝑝𝑖=2𝛽𝑖∆𝑦𝑡−𝑖+1+ 𝜀𝑡 (6) missä γ = −(1 − ∑𝑝𝑖=1𝑎𝑖) ja 𝛽𝑖 = − ∑𝑝𝑗=1𝑎𝑗 .
Kiinnostuksen kohteena on γ: mikäli γ=0 (nollahypoteesi), yhtälöllä on ainakin yksi yksikköympyrällä oleva karakteristinen juuri, mikä on riittävä epästationaarisuuden edellytys. (Enders 2010, 30)
Phillips-Perron-testi on samankaltainen kuin yhtälössä (6) esitetyn ADF-testin perustana oleva Dickey-Fuller-testi, mutta sen testitulos on
autokorrelaatio-robusti testissä käytettävän Newey-West heteroskedastisuus- ja autokorrelaatio-konsistentin kovarianssimatriisin estimaattorin vuoksi.23 Testin nollahypoteesina on yksikköjuuri eli epästationaarisuus. (StataCorp. 2013;
Phillips & Perron 1988 ) KPSS-testistä on saatavilla tarkemmat tiedot Kwiatkowskin ym. (1990) työpaperista.
TAULUKKO 2 Yksikköjuuritestien tulokset testisuureina. Testisuureiden merkitsevyystasot: 1%=***; 5%=**; 10%=*. ADF-, Phillips-Perron- ja KPSS-testien viiveet on määritetty Eviews-ohjelman oletusasetuksilla. ( Spectral estimation method: <Barnett-kernel> ; Bandwith: Automatic Selection <Newey West bandwith>). ADF-testissä viivästettyjen muuttujien lukumäärä perustuu Bayesin informaatiokriteeriin. Keskenään ristiriitaiset tulokset on merkitty huutomerkein.
Taulukossa 2 on esitetty yksikköjuuritestien tulokset tasomuotoisten muuttujien ja differensoitujen muuttujien osalta. 10 vuoden korkoa ja VIX-indeksiä lukuun ottamatta differenssit ovat logaritmisia differenssejä.
Logaritmiset differenssit on kerrottu luvulla 100, eli muuttujien arvot ovat prosentuaalisen muutoksen approksimaatioita. On huomattava, että approksimaatio on sitä tarkempi, mitä pienemmästä muutoksesta on kysymys.
Kuten mainittua, muuttujat ovat stationaarisia, mikäli ADF- ja Phillips-Perron-testitulokset ovat tilastollisesti merkitseviä ja KPSS-testitulos ei ole tilastollisesti merkitsevä.
Aikasarjat ovat tasomuodossa testien mukaan epästationaarisia lukuun ottamatta VIX-indeksiä, jonka kohdalla testit antavat varteenotettavia viitteitä stationaarisuudesta. VIX on kuitenkin differensoitu kuten muutkin muuttujat.
Taulukon alaosassa on esitetty differensoiduille muuttujille tehdyt yksikköjuuritestit. Muuttujista inflaatio, osakemarkkinatuotot sekä VIX: n ja korkotason muutokset ovat selvästi stationaarisia. Fedin arvopapereiden muutoksen kohdalla nollahypoteesi yksikköjuuresta hylätään 10 %:n merkitsevyystasolla ADF- ja Phillips-Perron-testien perusteella.
Teollisuustuotantoindeksin muutos on epästationaarinen ADF-testin perusteella.
Yksikköjuuritestit eivät tuottaneet täysin yksimielisiä tulkintoja käytettävien muuttujien stationaarisuudesta. Tästä syystä differensoitujen muuttujien muodostaman VAR-mallin stabiilisuutta on tarpeen tutkia lisää.
Stabiilisuuden edellytys on, että estimoitujen differenssiyhtälöiden kaikki karakteristiset juuret ovat yksikköympyrän sisäpuolella. Stabiilisuutta voidaan tutkia esimerkiksi käyttämällä Johansenin menetelmää eli Dickey-Fuller-yksikköjuuritestin yleistystä usealle muuttujalle. Dickey-Fuller-testin yleistys voidaan kirjoittaa yhtälön 7 tapaan: (Enders 2010, 390-391)
∆𝒙𝑡= 𝝅𝒙𝑡−1+ ∑𝑝−1𝑖=1 𝝅𝑖∆𝒙𝑡−1+ 𝜺𝑡 (7) jossa 𝝅 = −(𝑰 − ∑𝒑𝑖=1𝑨𝒊) ja 𝝅𝑖 = − ∑𝑝𝑗=𝑖+1𝑨𝑗. X on endogeenisista muuttujista koostuva 6 × 1 vektori, A on muuttujien parametriestimaattien 6 × 6 matriisi, I on 6 × 6 identiteettimatriisi ja ε on virhetermien 6 × 1 vektori.
Prosessi on stationaarinen, mikäli matriisin π aste eli nollasta poikkeavien karakterististen juurten määrä on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä.
Taulukossa 3 on esitetty usealle muuttujalle yleistetyn yksikköjuuritestin tulokset differensoiduille muuttujille perustuen lambda trace -testisuureeseen.
Taulukkoa luetaan riveittäin. Nollahypoteesi kullakin rivillä on, että matriisin 𝜋 nollasta poikkeavien karakterististen juurten lukumäärä r on yhtä kuin luku kyseisellä rivillä ensimmäisessä sarakkeessa. Vastahypoteesi on, että nollasta poikkeavia karakteristisia juuria on ainakin yksi kappale enemmän. Trace-testisuuretta verrataan kriittiseen arvoon, ja nollahypoteesi hylätään mikäli testisuure ylittää kriittisen arvon. Mikäli kriittinen arvo ylittyy, siirrytään taulukossa tarkastelemaan aina seuraavan alemman rivin tuloksia. Tässä yhteydessä kiinnostuksen kohteena on vain alimman rivin testisuureen
tilastollinen merkitsevyys. Tähdellä merkityt suureet ovat pienelle havaintoaineistolle korjattuja. Stabiilisuuden kannalta toivottu tulos olisi ollut, että taulukon alimmalla rivillä trace-testisuure olisi ollut suurempi kuin kriittinen arvo. Tulosten perusteella muuttujien muodostama vektoriprosessi ei siten ole vedenpitävästi stabiili, mutta luultavasti hyvin lähellä stabiilia.
Jatkoanalyysi suoritetaan siten kertaalleen differensoiduilla aikasarjoilla, sillä kahdesti differensointi mutkistaisi tulosten tulkittavuutta.
TAULUKKO 3 Lambda trace -testin tulokset yhden kerran differensoiduille muuttujille.
Viiveitä testissä oli kaksi luvun 5.5 tulosten mukaisesti.
r Ominaisarvo Trace Trace* Kriittinen arvo (5%) P-arvo P-arvo*
0 0.653 274.056 253.026 117.451 <0.001 <0.001 1 0.505 175.617 164.170 88.554 <0.001 <0.001 2 0.368 110.250 104.971 63.659 <0.001 <0.001 3 0.297 67.541 64.628 42.77 <0.001 <0.001
4 0.231 34.758 33.575 25.731 0.002 0.004
5 0.105 10.348 9.957 12.448 0.114 0.131
Koska tutkimuksessa käytettävät muuttujat ovat yksikköjuuritarkastelun perusteella todennäköisesti I(1)-muuttujia, on mahdollista että muuttujien välillä on tasomuotoisena yksi tai useampi yhteisintegraatiorelaatio. Mikäli yhteisintegroituneita vektoreita olisi, VAR-malli ilman virheenkorjaustermiä olisi virheellinen spesifikaatio. (Enders 2010) Tässä tutkimuksessa on kuitenkin käytetty VAR-mallia, jossa on vain differensoituja muuttujia eli virheenkorjausmallia ei ole estimoitu. Liitteessä 3 on esitetty asiasta kiinnostuneelle lukijalle alkuperäisten tasomuuttujien yhteisintegraatiotestien tuloksia.