Pythagoraan kolmio

Määritelmä 3.4.1. Pythagoraan kolmio on suorakulmainen kolmio, jonka

sivut ovat kokonaislukujen mittaisetja toteuttavat Pythagoraan lauseen.

Pythagoraan kolmion sivut ovat Pythagoraan kolmikko, sillä sivut ovat

kokonaisluvut. Pythagoraan kolmioihinsisältyy kiinnostavaominaisuus.

kokonaisluku.

Todistus. Merkitään kolmion sisään piirretyn ympyrän sädettä

r

^, ^kolmion

hypotenuusaa

z

^ja^kateetteja

x

^ja

y

^.^Kolmionpinta-alaksi saadaanyhtälöstä (1.2)

A = xy

2 .

^(3.3)

Kuvasta24nähdään,ettäPythagoraankolmiovoidaanjakaakolmeen

kolmi-oon, joiden jokaisen korkeus on ympyrän säde

r

^ja ^kunkin ^kanta ^on ^ison

kolmion yksi sivu

x

y

^tai

z

Kuva 24: Pythagoraan kolmio.

Nyt siiskolmionala voidaan merkitä yhtälöllä

A = xr 2 + yr

2 + zr

2 = r(x + y + z)

2 .

^(3.4)

Pythagoraanlauseenmukaan

x ² +y ² = z ²

^.^Lauseen^3.2.7^mukaan^edellisen

yhtälön primitiivisetkolmikotsaadaanyhtälöillä

x = 2st, y = s ² − t ² ja z = s ² + t ² ,

mutta kunhalutaan kaikki ratkaisut, otetaanedellisten monikerrat:

x = 2kst, y = k(s ² − t ² ) ja z = k(s ² + t ² ),

joissa

k

s

^ja

t

^ovat positiivisiakokonaislukuja. Merkitsemällä yhtälöt (3.3)

Sijoittamalla

x

^:n,

y

^:n^ja

z

^:n ^lausekkeet ^yhtälöön, ^saadaan

r = 2kst · k(s ² − t ² )

2kst + k(s ² − t ² ) + k(s ² + t ² ) ,

mistä sieventämällä saadaansäteelle yhtälö

r = kt(s − t).

Koska

k, s, t ∈ Z

^, ⁿⁱⁱⁿ ^niiden ^tulo ^on ^myös kokonaisluku eli säteen arvo on

kokonaisluku. [4℄

Lauseesta3.2.7seuraamyösPythagoraankolmioitakoskevia

ominaisuuk-sia.

Seuraus 3.4.3. Pythagoraankolmion kateettien pituuksientuloon jaollinen

luvulla

12

Todistus. Pythagoraan kolmion kateetit ovat

x = 2st

^ja

y = s ² − t ²

^. ^Koska

luku

x

^tai

y

^on^jaollinen^luvulla

3

^(Lemma^3.2.8)^ja^luku

x

^on^jaollinen

luvul-la

4

^Lemman ^3.2.10 ^mukaan, ⁿⁱⁱⁿ Aritmetiikan peruslauseen 3.1.13 nojalla

niiden tulo onjaollinen

12

^:lla.

Seuraus 3.4.4. Pythagoraan kolmion kaikkien sivujen pituuksien tulo on

jaollinen

60

^:lla.

Todistus. Pythagoraankolmiossasivutvoidaanilmoittaamuodossa

x = 2st

y = s ² −t ²

^ja

z = s ² +t ²

^.^Lemman^3.2.8^mukaan

x

^on^jaollinen^luvulla

3

Lem-ma 3.2.10puolestaan kertoo,että

x

^tai

y

^on ^jaollinen

4

^:llä^ja ^Lemman ^3.2.9

mukaisestijoku sivuista on jaollinen luvulla

5

^. ^Näistä ^saadaan vastaukseksi,

että tulo on jaollinen luvulla

60

Seurauksessa 3.4.4 onkuusi erilaistavaihtoehtoa:

3 | x

^ja

4 | x

^ja

5 | x

^, esimerkiksi kolmio, jonka sivut ovat

60

11

^ja

61

Lemma 3.4.5. Pythagoraan kolmion pinta-ala

A = ^x ₂ ^· ^y

^on kokonaisluku.

Todistus.

1 ^◦

^JosPythagoraankolmionsivutovatprimitiiviset,Lemman3.2.3 mukaantoinenkantasivuista

x

^tai

y

^on^parillinen^ja^toinen^on^pariton.^Koska

kolmion pinta-ala saadaan yhtälöllä (1.2), niin parillinen kateetti voidaan

jakaaluvulla

2

^ja pinta-alaksisaadaan kahden kokonaisluvun tulo.

2 ^◦

^Jos ^taas ^sivut ^ovat ei-primitiiviset,ne onjoko kerrottu parillisella tai parittomallakokonaisluvulla. Josmolemmatkateetitovat parilliset,voidaan

jakaakumpi lukutahansa

2

^:lla.^Jos^taas ^sivut^ovat^jonkin^parittoman ^luvun

monikerrat, toinenkateettion siltiparillinenja se voidaan jakaa kahdella.

Joten kohdista

1 ^◦

^ja

2 ^◦

^seuraa, ^että ^pinta-ala ^onkokonaisluku.

On olemassa sellaisia Pythagoraan kolmioita, joilla on sama pinta-ala,

vaikkaniilläonerimittaisetsivut. Samoinlöytyy kolmioita,joiden piiritovat

yhtä pitkät. Näitä löytyy helpommin kaikenlaisten kolmioiden parista kuin

niiden, joiden pituudet ovatprimitiiviset.Taulukkoon4 onkoottu tällaisten

primitiivisten kolmioiden tietoja. Pythagoraan kolmioita, joilla on yhtä

su-uri pinta-ala, on tutkinut moni matemaatikko,kuten esimerkiksi Diofantos,

Pierre de Fermatsekä Lewis Carroll.

Vaikka Pythagoraan kolmion sivut ja pinta-ala ovat kokonaisluvut ja

samoin on myös sisään piirretyn ympyrän säteen laita, niin kolmiossa on

sellaisia osia, jotka eivätole kokonaislukuja. Kolmion kulmat nimittäinovat

irrationaaliset, ilmoitettiinpa ne asteina tai sitten radiaaneina. Esimerkiksi

sivujenpituudet piiri pinta-ala

Pythagoraankolmiossa

(3, 4, 5)

^kulmat^ovat^asteina

(36, 86989... ^◦ ; 53, 13010... ^◦ ; 90 ^◦ )

^ja radiaaneina

(0, 64350...; 0, 92729...; 0, 78539...)

^. Likimääräiset arvot näillekuitenkinvoidaanilmoittaa,esimerkiksiasteenkymmenesosan

tarkku-udella kulmat ovat

36, 9 ^◦

53, 1 ^◦

^ja

90 ^◦

^. ^[2℄

Jos Pythagoraan kolmion kulma on

α

^astetta ^ja

|α − 20| < ₁₀₀ ¹

^, ⁿⁱⁱⁿ

sanotaan kolmion olevan

20

^astetta ^yhden ^sadasosan tarkkuudella. Olkoon

β

^jokin Pythagoraan kolmion kulma siten, että

0 ^◦ < β < 90 ^◦

^, ^ja

e

^jokin

reaaliluku, jolle

0 < e < 1

e < β

^ja

e < 90 − β

^. ^Arvioidaan ^yleisesti ^ottaen

kulmaa

β

^sen^tangentin^taikotangentinavulla.Merkitääntällöinseuraavasti:

X = tan(β − e) + sec(β − e),

Lause 3.4.6. Olkoot

u

^ja

v

positiivisetkokonaisluvut. Tällöin

(1 ^◦ ) X < ^u _v <

Y

^, ^jos^ja ^vain^jos^kolmio

(2uv, u ² −v ² , u ² +v ² )

^eli^sivua

u ² − v ²

^vastaan^oleva

kulma on suunnilleen

β

^astetta

e

^:n tarkkuudella

(| arctan( ^u ² ₂ ⁻ _uv ^v ² ) − β| < e)

(2 ^◦ ) X ^′ < ^u _v < Y ^′

^, ^jos ^ja ^vain ^jos ^kolmio

(2uv, u ² − v ² , u ² + v ² )

^eli

sivua

2uv

^vastaan ^oleva ^kulma ^on suunnilleen

β

^astetta

e

^:n tarkkuudella

(| arctan( _u ² 2 −v ^uv ² ) − β| < e)

Laskemallayhteen yhtälöt (1) ja (2), saadaan

X − 1 X < u

v − v

u < Y − 1 Y

johon sijoittamalla

X

^:n^ja

Y

^:n lausekkeet, saadaanepäyhtälöt

(tan(β − e) + sec(β − e)) −

mikä voidaan laskea yhteen, jolloinsaadaan

A − 1

A = 2 tan(a),

joten yhtälöistä

(3)

^ja

(4)

^saadaan

2 tan(β − e) < ^u ² _uv ^−v ² < 2 tan(β + e).

^(3.5)

Jakamalla epäyhtälöt puolittainluvulla

2

^päästään ^yhtälöön

tan(β − e) < ^u ² ₂ ^−v _uv ² < tan(β + e),

jossakeskelläolevassalausekkeessajaetaanprimitiivisenpythagoraankolmikon

kaksilyhempääsivuakeskenään.Ottamallaarkustangentityhtälöistäja

siir-tämällä

β

^-kulma ^yhtälön ^keskelle, ^saadaan

−e < arctan

joten saatiin todistettua ensimmäinen yhtälötoiseen suuntaan. Vielä

todis-tetaanoikealtavasemmalle.Olkoon

z = ^u _v

^. ^Koska^oletettu^epäyhtälö^voidaan

kirjoittaa muodossa (3.5), niin jakamalla keskimmäinen lauseke kahteen

os-aan saadaan

2 tan(β − e) < ^u _uv ² − _uv ^v ² < 2 tan(β + e),

mikä vastaa epäyhtälöä

2 tan(β − e) < ^u _v − _u ^v < 2 tan(β + e).

Huomataan, että epäyhtälön keskellä on luvun ja sen käänteisluvun erotus,

joten epäyhtälösaadaanmuotoon

2 tan(β − e) < z − ¹ _z < 2 tan(β + e),

jolloin epäyhtälö voidaan jakaa kahteen osaan ja tarkastella niitä erikseen.

Kun

2 tan(β −e) < z − ¹ _z

^,ⁿⁱⁱⁿsiirtämälläkaikensamallepuolellejakertomalla luvulla

z > 0

^,^päästään ^toisen^asteen epäyhtälöön:

2 tan(β − e) − z + 1

z < 0 || · z > 0

−z ² + 2 tan(β − e)z + 1 < 0.

z = −2 tan(β − e) ± p

Ottamallaneliöjuurestatekijä

4

^ulos^jakäyttämällähyväksioletusta

tan ² θ = sec ² θ − 1

^, ^josta ^saadaan, ^että

tan ² θ + 1 = sec ² θ

^, ^saadaan

z

^:lle ^lauseke

Tapauksen

(2 ^◦ )

todistaminen meneevastaavasti.[2℄

Esimerkki 3.4.7. Tarkastellaan kolmiota, jonka sivut ovat

20

21

^ja

29

Kolmio on primitiivinen Pythagoraan kolmio, sillä sen sivut ovat muotoa

20 = 2 · 5 · 2

21 = 5 ² − 2 ²

^ja

29 = 5 ² + 2 ²

^eli

u = 5

^ja

v = 2

= 43, 6028 ^◦

^on^puolestaan

kymme-nesosan tarkkuudella

43, 6 ^◦

^, ^sillä

X ^′ = cot(α + e) + csc(α + e) = cot(43, 6 +

0, 1) + csc(43, 6 + 0, 1) = 2, 4938

Y ^′ = cot(α − e) + csc(α − e) = cot(43, 6 −

0, 1) + csc(43, 6 − 0, 1) = 2, 5065

^, ^joten

X ^′ < u/v = 2, 5 < Y ^′

Ajatuksena olitarkastella tässä työssä sekä primitiivisiäettä ei-primitiivisiä

kolmikoita, mutta en juurikaan käsitellyt ei-primitiivisiäkolmikoita. Lisäksi

olen kolmikoiden muodostamisessa käyttänyt vain yhdenlaista kolmikoiden

muodostamistapaaelikolmikoita,jotkaovatmuotoa

(2st, s ² − t ² , s ² +t ² )

^.^Jos

tätätyötälähtisinlaajentamaan,voisintutkiamuidenmuodostamissääntöjen

ominaisuuksia sekä kolmikoita, jotka eivät ole primitiivisiä, vaikkakin niitä

on paljon.

Ennen kuin Fermat muodosti Pythagoraan yhtälön 2.1.1, oli löydetty

erilaisia muodostamistapoja Pythagoraan kolmikoille, esimerkiksi

Pythago-raan,PlatonjaEuklideensäännöt,joillalöydettiinerilaisiakolmikoita,mutta

kaikkiakolmikoitaniilläeikuitenkaanlöytynyt[10,19-20℄.Näissäsäännöissä

oli hankaluutena lisäksi toisaaltaniidenerilaisuusja toisaaltasamanlaisuus,

joten sääntöjen laskukaavatsaattoivatmennä helpostisekaisin.

Toisaalta olen tässä työssä päässyt todistamaan Pythagoraan lausetta

erilaisillatavoillajaolenhuomannut,mitenpaljonniitäonkaikkiaan.Vaikka

lähteissä, joita olen käyttänyt on erilaisia todistustapoja, niitä löytyy myös

muualta. Haastavinta todistuksissa oli päästä sisälle todistuksen ytimeen,

jos sitä ei ollut suorasanaisesti kerrottu, mutta toisaalta sain käyttää myös

yksinkertaisia todistuksia, kuten kiertojen avulla todistamista, jossa näkee

melkein suoraankuvien avullakuinka todistus etenee.

Etsiessänilähdemateriaaliatyöhöniyllätyinkunhuomasin,ettäItä-Suomen

yliopistossaeiolejuurikaantehty opinnäytteitä,jotkakäsittelisivät

Pythago-raanlausettataiPythagoraankolmikoita.Tuntuukoaiheliianvanhanaikaiselta

vaiovatkomuutaiheetvaanmielenkiintoisempia?Omastamielestäni

Pythago-raan lause ei ole vanhanaikainen, sillä uusia erilaisia todistuksia löydetään

myös nykyaikana, esimerkiksi Zimban löytämä todistus on vain muutaman

vuoden vanha. Aiheei puolestaan oletylsä,sillä Pythagoraan lause on yksi

tunnetuimmistamatematiikankaavoistajasillevoiollakäyttöäarkielämässä.

[1℄ Azel, A. D. Fermat'n teoreema. WSOY, Helsinki.1997

[2℄ Anglin, W. S. Using Pythagorean Triangles to Approximate Angles.

MAA, Vol. 95(1988),Nro. 6,ss. 540-541

[3℄ Bogomolny, A. Pythagorean Theorem and its many proofs. 2012

http://www.ut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml [luettu 3.7.2012℄

[4℄ Burton, D. M. Elementary Number Theory. MGraw-Hill, New York.

2011

[5℄ Caldwell, C. K. Proof of Fermat's Little Theorem. 1994

http://primes.utm.edu/notes/proofs/FermatsLittleTheorem.html

[luettu 30.5.2012℄

[6℄ Dunham, W. The Mathematial Universe: An Alphabetial Journey

Through the Great Proofs, Problems, and Personalities. Wiley, New

York, ss.89-101. 1994

[7℄ Enylopædia Britannia. Thãbit ibn Qurrah. EnylopædiaBritannia

Online AademiEdition.Enylopædia Britannia In., 2012.

[8℄ Korhonen, H. Matematiikan historian henkilöhahmoja.

MFKA-kustannus, Orimattila/Lahti.1995

[9℄ Koshy, T. Elementary Number Theory with Appliations. Aademi

Press, Amsterdam, ss.579-629.2007

[10℄ Loomis, E. S. The Pythagorean Proposition: Its Demonstrations

Dna-lyzed and Classied and Bibliography of Soures for Data of the Four

Kinds of "Proofs". NCTM, Washington, D. C. 1972

[11℄ Loomis,E. S.Another Proof of the Pythagorean Theorem. MAA, Vol.8

(1901), Nro.11, ss.233

[12℄ Mathelebration. The Theorem of Pythagoras. Ei päiväystä.

http://www.mathelebration.om/pythogorean_triples.html

[luet-tu 5.10.2012℄

ASA, SAS, Hypotenuse Leg and Other Theore. Ei päiväystä.

http://www.mathwarehouse.om/geometry/ongruent_triangles/

[luettu 3.8.2012℄

[14℄ Zimba,J.On thePossibility of TrigonometriProofsof thePythagorean

Theorem. Forum Geometriorum,Nro. 9(2009), ss. 275-278

In document Pythagoraan lause ja Pythagoraan kolmikot (sivua 36-46)

r

z

x

y

A = xy

2 .

r

x

y

z

A = xr 2 + yr

2 + zr

2 = r(x + y + z)

2 .

x 2 +y 2 = z 2

x = 2st, y = s 2 − t 2 ja z = s 2 + t 2 ,

x = 2kst, y = k(s 2 − t 2 ) ja z = k(s 2 + t 2 ),

k

s

t

x

y

z

r = 2kst · k(s 2 − t 2 )

2kst + k(s 2 − t 2 ) + k(s 2 + t 2 ) ,

r = kt(s − t).

k, s, t ∈ Z

12

x = 2st

y = s 2 − t 2

x

y

3

x

4

12

60

x = 2st

y = s 2 −t 2

z = s 2 +t 2

x

3

x

y

4

5

60

3 | x

4 | x

5 | x

60

11

61

A = x 2 · y

1 ◦

x

y

2

2 ◦

2

1 ◦

2 ◦

(3, 4, 5)

(36, 86989... ◦ ; 53, 13010... ◦ ; 90 ◦ )

(0, 64350...; 0, 92729...; 0, 78539...)

36, 9 ◦

53, 1 ◦

90 ◦

α

|α − 20| < 100 1

20

β

0 ◦ < β < 90 ◦

e

0 < e < 1

e < β

e < 90 − β

β

X = tan(β − e) + sec(β − e),

x ² +y ² = z ²

x = 2st, y = s ² − t ² ja z = s ² + t ² ,

x = 2kst, y = k(s ² − t ² ) ja z = k(s ² + t ² ),

r = 2kst · k(s ² − t ² )

2kst + k(s ² − t ² ) + k(s ² + t ² ) ,

y = s ² − t ²

y = s ² −t ²

z = s ² +t ²

A = ^x ₂ ^· ^y

1 ^◦

2 ^◦

1 ^◦

2 ^◦

(36, 86989... ^◦ ; 53, 13010... ^◦ ; 90 ^◦ )

36, 9 ^◦

53, 1 ^◦

90 ^◦

|α − 20| < ₁₀₀ ¹

0 ^◦ < β < 90 ^◦

(1 ^◦ ) X < ^u _v <

(2uv, u ² −v ² , u ² +v ² )

u ² − v ²

(| arctan( ^u ² ₂ ⁻ _uv ^v ² ) − β| < e)

(2 ^◦ ) X ^′ < ^u _v < Y ^′

(2uv, u ² − v ² , u ² + v ² )

(| arctan( _u ² 2 −v ^uv ² ) − β| < e)

2 tan(β − e) < ^u ² _uv ^−v ² < 2 tan(β + e).

tan(β − e) < ^u ² ₂ ^−v _uv ² < tan(β + e),

z = ^u _v

2 tan(β − e) < ^u _uv ² − _uv ^v ² < 2 tan(β + e),

2 tan(β − e) < ^u _v − _u ^v < 2 tan(β + e).

2 tan(β − e) < z − ¹ _z < 2 tan(β + e),

2 tan(β −e) < z − ¹ _z

−z ² + 2 tan(β − e)z + 1 < 0.

tan ² θ = sec ² θ − 1

tan ² θ + 1 = sec ² θ

(2 ^◦ )

21 = 5 ² − 2 ²

29 = 5 ² + 2 ²

= 43, 6028 ^◦

43, 6 ^◦

X ^′ = cot(α + e) + csc(α + e) = cot(43, 6 +

Y ^′ = cot(α − e) + csc(α − e) = cot(43, 6 −

X ^′ < u/v = 2, 5 < Y ^′

(2st, s ² − t ² , s ² +t ² )