Metsän heijastusmallin inversio on huonosti määrätty inversio-ongelma [2] jonka rat-kaiseminen edellyttää ennalta tunnetun tiedon käyttöä. Kirjallisuudessa esitetyissä heijastusmallin inversiomenetelmissä ennalta tunnettua tietoa on käytetty pääasias-sa joko käyttämällä hyvin yksinkertaista prioria opääasias-sana Tihonovin regularisointia [70] tai käyttämällä prioritietoa implisiittisesti esimerkiksi hermoverkkojen koulu-tusjoukon muodostamisessa tai hakutaulukon (look-up table, LUT) rakentamisessa.
MCMC-menetelmää ja Metropolis-Hastings algoritmia on aiemmin käytetty metsän heijastusmallin inversioon artikkelissa [75]. Kyseisessä artikkelissa priorina käytettiin rajoitettua tasajakaumaa.
Tihonovin regularisointiin perustuvassa lähestymistavassa priorina on usein käytetty joko jotain hyvin yksinkertaista Gaussista prioria ja/tai rajoitteita ratkaisuavaruudelle (esim. [50, 23, 9]). Yleensä mallin muut parametrit kiinnitetään. Tätä kautta
lehtialain-deksille saadaan MAP-estimaatti käytettyjen priorien ja mallin tapauksessa. Mallin muiden muuttujien epävarmuuksia ei huomioida. MAP-estimaatin hajonnalle voidaan periaatteessa laskea approksimaatio, mutta epälineaarisesta mallista ja muuttujien rajoitteista johtuen tämä ei ole erityisen toimiva lähestymistapa arvioida estimaatin luotettavuutta.
Prioritiedon implisiittinen käyttö hermoverkon koulutusaineiston valinnassa tai LUT:n rakentamisessa ei ole Bayesilaisen inversion näkökulmasta erityisen helposti tulkittavis-sa. LUT:n tapauksessa heijastusmallin avulla luodaan suuri joukko erilaisia simuloituja metsiköitä, joiden simuloidut heijastuskertoimet taulukoidaan [29, 9]. Heijastusmallin inversio tehdään etsimällä taulukosta mittauksia parhaiten vastaavat simulaatiot ja estimaatiksi otetaan esimerkiksi näiden simulaatioiden syöttöparametrien mediaani.
Prioritieto huomioidaan nyt poistamalla taulukosta simulaatiot, joiden syöttöparamet-rit ovat ennakkotiedon valossa epärealistiset. LUT:n antama estimaatti vastaa tällöin karkeasti ottaen posteriorin mediaania. Hakutaulukon käytön suurimpana etuna on sen nopeus.
Yllä kuvatun LUT-pohjaisen menetelmän ja tässä työssä esitetyn Bayesilaisen mene-telmän käsitteellinen ero on siinä missä järjestyksessä prioritiedon ja datan käyttö tehdään. Käyttämällä LUT:ia prioritiheydestä muodostetaan näytteitä ilman havain-tojen minkään asteista huomioimista. Tämän työn menetelmässä muodostettavat näytteet puolestaan määräytyvät samanaikaisesti sekä priorista, että havainnoista.
Muuttujien määrän kasvaessa LUT:n käyttö muuttuu vaikeammaksi, koska paramet-riavaruutta on vaikeampi näytteistää etukäteen riittävän tiheästi ilman että hakutau-lukon koko kasvaa käyttökelvottomiin mittoihin. MCMC-menetelmässä muuttujien määrän lisääminen ei vaikeita tilannetta yhtä paljon, koska havaintojen huomiointi pienentää näytteistettävää aluetta. Tässä työssä esitetty inversiomenetelmä on varsin suoraviivaisesti muutettavissa LUT-muotoon muodostamalla hakutaulukko priorista otetuista näytteistä. Vertaamalla tätä kautta saatuja estimaatteja tämän työn tuloksiin saataisiin todennäköisesti hyödyllistä tietoa LUT menetelmän yleisestä toimivuudesta.
Hyperspektraalidataa on käytetty kirjallisuudessa melko vähän. Olemassa olevat menetelmät eivät myöskään käytä hyperspektraalisen datan tärkeintä ominaisuutta eli aallonpituuskanavien tiheyttä hyödyksi. Toisaalta esimerkiksi kasvillisuusindeksien
määritteleminen hyperspektraalisessa tapauksessa on vaikeampaa, koska data sisältää suuren määrän aallonpituuskanavia. Tässä tutkielmassa esitetty menetelmä käyttää hyödyksi hyperspektraalisen datan aallonpituuskanavien keskinäistä korrelaatiota ja spektrikäyrän sileyttä. Menetelmä pystyy osoitetusti käyttämään koko mitattua dataa ilman, enemmän tai vähemmän mielivaltaista, käytettävien kanavien valintaa.
Aallonpituusriippuvien muuttujien ρg ja ωL dimensio pidetään kuitenkin kurissa esittämällä hyperspektridatan sisältämä informaatio, spektrikäyrä, uudella tavalla palapolynomin avulla.
Tässä työssä esitettiin Bayesilainen inversiomenetelmä fysikaaliselle heijastusmallille kohteena erityisesti pohjoisen pallonpuoliskon havumetsät. Menetelmä käyttää hy-perspektridataa uudella tavalla. Estimoitavista muuttujista ennelta tunnettua tietoa käytetään tämän tutkielman menetelmässä korostetummin kuin kirjallisuudessa. Tu-levaisuudessa menetelmä tulee validoida oikealla mittausdatalla. Mallinnusvirheiden tutkiminen ja käsittely olisi erittäin tärkeää. Oleellista olisi myös tutkia parantaako hyperspektridatan käyttö lehtialaindeksin estimointia perinteiseen multispektridataan nähden.
Kirjallisuutta
[1] M. Abramowitz and I. A. Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications, New York, 10th edition, 1972.
[2] F. Baret and S. Buis. Estimating canopy characteristics from remote sensing observations: Review of methods and associated problems. In S. Liang, editor, Advances in Land Remote Sensing, pages 173–201. Springer, 2008.
[3] R. A. Betts. Offset of the potential carbon sink from boreal forestation by decreases in surface albedo. Nature, 408(6809):187–190, 2000.
[4] R. E. Caflisch. Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods. Acta numerica, 1998:1–49, 1998.
[5] A. K. Cajander. Metsätyyppiteoria. Acta Forestalia Fennica, 29(2):1–84, 1926.
[6] S. Chandrasekhar. Radiative transfer. Courier Dover Publications, 1960.
[7] J. M. Chen and T. A. Black. Defining leaf-area index for non-flat leaves. Plant, Cell and Environment, 15:421–429, 1992.
[8] J. M. Chen and J. Cihlar. Retrieving leaf area index of boreal conifer forests using landsat TM images. Remote Sensing of Environment, 55(2):153–162, 1996.
[9] B. Combal, F. Baret, M. Weiss, A. Trubuil, D. Mace, A. Pragnere, R. Myneni, Y. Knyazikhin, and L Wang. Retrieval of canopy biophysical variables from bidirectional reflectance: Using prior information to solve the ill-posed inverse problem. Remote sensing of environment, 84(1):1–15, 2002.
[10] D. L. Donoho, I. M. Johnstone, J. C. Hoch, and A. S. Stern. Maximum entropy and the nearly black object. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 54(1):41–81, 1992.
[11] H. Fang and S. Liang. Retrieving leaf area index with a neural network method:
simulation and validation. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 41(9):2052–2062, 2003.
[12] H. Fang, S. Liang, and A. Kuusk. Retrieving leaf area index using a genetic algorithm with a canopy radiative transfer model. Remote Sensing of Environment, 85(3):257–270, 2003.
[13] M. A. Folkman, J. Pearlman, L. B. Liao, and P. J. Jarecke. EO-1/Hyperion hyperspectral imager design, development, characterization, and calibration. In Second International Asia-Pacific Symposium on Remote Sensing of the Atmosp-here, Environment, and Space, pages 40–51. International Society for Optics and Photonics, 2001.
[14] B. A. Frigyik, A. Kapila, and M. R. Gupta. Introduction to the Dirichlet Distri-bution and Related Processes. University of Washington, Department of Electrical Engineering, 2010.
[15] F. Fritsch and R. Carlson. Monotone piecewise cubic interpolation. SIAM Journal on Numerical Analysis, 17(2):238–246, 1980.
[16] C. J. Geyer. Practical Markov chain Monte Carlo. Statistical Science, 7(4):473–
483, 1992.
[17] A. F. H. Goetz, G. Vane, J. E. Solomon, and B. N. Rock. Imaging spectrometry for earth remote sensing. Science, 228(4704):1147–1153, 1985.
[18] P. Gong, R. Pu, G. S. Biging, and M. R. Larrieu. Estimation of forest leaf area index using vegetation indices derived from Hyperion hyperspectral data. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 41(6):1355–1362, 2003.
[19] L. A. Goodman. On the exact variance of products. Journal of the American Statistical Association, 55(292):708–713, 1960.
[20] S. T. Gower and J. M. Norman. Rapid estimation of leaf area index in conifer and broad-leaf plantations. Ecology, 72(5):1896–1900, 1991.
[21] W. K. Hastings. Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications. Biometrika, 57(1):97–109, 1970.
[22] J. Heiskanen, M. Rautiainen, L. Korhonen, M. Mõttus, and P. Stenberg. Retrieval of boreal forest LAI using a forest reflectance model and empirical regressions.
International Journal of Applied Earth Observation and Geoinformation, 13:595–
606, 2011.
[23] J. Huang, Y. Zeng, A. Kuusk, B. Wu, L. Dong, K. Mao, and J. Chen. Inverting a forest canopy reflectance model to retrieve the overstorey and understorey leaf area index for forest stands. International Journal of Remote Sensing, 32(22):7591–7611, 2011.
[24] I. Jonckheere, S. Fleck, K. Nackaerts, B. Muys, P. Coppin, M. Weiss, and F. Baret.
Review of methods for in situ leaf area index determination: Part I. Theories, sensors and hemispherical photography. Agricultural and Forest Meteorology, 121(1–2):19–35, 2004.
[25] J. P. Kaipio, V. Kolehmainen, E. Somersalo, and M. Vauhkonen. Statistical inversion and Monte Carlo sampling methods in electrical impedance tomography.
Inverse problems, 16(5):1487–1522, 2000.
[26] J. P. Kaipio and E. Somersalo. Statistical and Computational Inverse Problems.
Springer, New York, 2005.
[27] J. P. Kaipio and E. Somersalo. Statistical inverse problems: Discretization, model reduction and inverse crimes. Journal of Computational and Applied Mathematics, 198(2):493 – 504, 2007.
[28] M. Kalacska, G.A. Sánchez-Azofeifa, T. Caelli, B. Rivard, and B. Boerlage.
Estimating leaf area index from satellite imagery using Bayesian networks. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 43(8):1866–1873, 2005.
[29] Y. Knyazikhin, J. Glassy, J. L. Privette, Y. Tian, A. Lotsch, and et al. MODIS leaf area index (LAI) and fraction of photosynthetically active radiation absorbed by vegetation (FPAR) product (MOD15) algorithm theoretical basis document, 1999.
[30] Y. Knyazikhin, J. Kranigk, R. B. Myneni, O. Panfyorov, and G. Gravenhorst.
Influence of small-scale structure on radiative transfer and photosynthesis in vegetation canopies. J. Geophys. Res., 103(D6):6133–6144, 1998.
[31] Y. Knyazikhin, J. V. Martonchik, R. B. Myneni, D. J. Diner, and S. W. Running.
Synergistic algorithm for estimating vegetation canopy leaf area index and fraction of absorbed photosynthetically active radiation from MODIS and MISR data. J.
Geophys. Res., 103(D24):32257–32276, 1998.
[32] V. Kolehmainen, T. Tarvainen, S. R. Arridge, and J. P. Kaipio. Marginalization of uninteresting distributed parameters in inverse problems – application to diffuse optical tomography. International Journal for Uncertainty Quantification, 1(1):1–17, 2011.
[33] A. Kuusk and T. Nilson. A directional multispectral forest reflectance model.
Remote Sensing of Environment, 72:244–252, 2000.
[34] A. R. G. Lang, R. E. McMurtrie, and M. L. Benson. Validity of surface area indices of Pinus radiata estimated from transmittance of the sun’s beam. Agricultural and Forest Meteorology, 57:157–170, 1991.
[35] M. Lassas and S. Siltanen. Can one use total variation prior for edge-preserving Bayesian inversion? Inverse Problems, 20(5):1537–1563, 2004.
[36] X. Li and A. H. Strahler. Geometric-optical modeling of a conifer forest canopy.
IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing,, 5:705–721, 1985.
[37] X. Li and A. H. Strahler. Geometric-optical bidirectional reflectance modeling of a conifer forest canopy. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 6:906–919, 1986.
[38] P. Lukeš, P. Stenberg, M. Rautiainen, M. Mõttus, and K. M. Vanhatalo. Optical properties of leaves and needles for boreal tree species in Europe. Remote Sensing Letters, 4(7):667–676, 2013.
[39] M. Mõttus and P. Stenberg. A simple parameterization of canopy reflectance using photon recollision probability. Remote Sensing of Environment, 112:1545–1551, 2008.
[40] T. Manninen and P. Stenberg. Simulation of the effect of snow covered forest floor on the total forest albedo. Agricultural and Forest Meteorology, 149:303–319, 2009.
[41] N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E. Teller.
Equations of state calculations by fast computing machine. J. Chem. Phys., 21(6):1087–1091, 1953.
[42] R. B. Myneni, J. Dong, C. J. Tucker, R. K. Kaufmann, P. E. Kauppi, J. Liski, L. Zhou, V. Alexeyev, and M. K. Hughes. A large carbon sink in the woody biomass of northern forests. Proceedings of the National Academy of Sciences, 98(26):14784–14789, 2001.
[43] R. B. Myneni, C. D. Keeling, C. J. Tucker, G. Asrar, and R. R. Nemani. Increased plant growth in the northern high latitudes from 1981 to 1991. Nature, 386:698–
702, 1997.
[44] F. E. Nicodemus. Directional reflectance and emissivity of an opaque surface.
Applied Optics, 4:767–773, 1965.
[45] F. E. Nicodemus, J. C. Richmond, and J.J. Hsia. Geometrical Considerations and Nomenclature for Reflectance. National Bureau of Standards, US Department of Commerce, Washington, DC, 1977.
[46] J. I. Peltoniemi, J. Suomalainen, E. Puttonen, J. Näränen, and M. Rautiainen.
Reflectance properties of selected arctic-boreal land cover types: field measure-ments and their application in remote sensing. Biogeosciences Discuss., 5:1069–
1095, 2008.
[47] M. Rautiainen. Retrieval of leaf area index for coniferous forest by inverting a forest reflectance model. Remote Sensing of Environment, 99:295–303, 2005.
[48] M. Rautiainen, J. Heiskanen, L. Eklundh, M. Mõttus, P. Lukeš, and P. Stenberg.
Ecological applications of physically based remote sensing methods. Scandinavian Journal of Forest Research, 25(4):325–339, 2010.
[49] M. Rautiainen and P. Stenberg. Application of photon recollision probability in coniferous canopy reflectance simulations. Remote Sensing of Environment, 96:98–107, 2005.
[50] M. Rautiainen, P. Stenberg, T. Nilson, A. Kuusk, and H.i Smolander. Application of a forest reflectance model in estimating leaf area index of scots pine stands using landsat-7 etm reflectance data.Canadian journal of remote sensing, 29(3):314–323, 2003.
[51] C. P. Robert and G. Casella. Monte Carlo statistical methods, volume 128.
Springer New York, 1999.
[52] G. O. Roberts, A. Gelman, and W. R. Gilks. Weak convergence and optimal scaling of random walk Metropolis algorithm. Annals of Applied Probability, 7(1):110–120, 1997.
[53] L. Roininen, M. S. Lehtinen, S. Lasanen, and M. Orispää. Correlation priors.
Inverse Problems and Imaging, 5(1):167–184, 2011.
[54] J. Ross. The radiation regime and architecture of plant stands. Dr. W. Junk Publishers, 1981.
[55] L. I. Rudin, S. Osher, and E. Fatemi. Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D, 60:259–268, 1992.
[56] M. Schlerf and C. Atzberger. Inversion of a forest reflectance model to estimate structural canopy variables from hyperspectral remote sensing data. Remote Sensing of Environment, 100(3):281–294, 2006.
[57] J. M. O. Scurlock, G. P. Asner, and S. T. Gower. Worldwide historical estimates and bibliography of leaf area index 1932-2000. ORNL Technical Memorandum TM-2001/268, Oak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, Tennessee, U.S.A., 2001.
[58] S. Siltanen, V. Kolehmainen, S. Järvenpää, J. P. Kaipio, P. Koistinen, M. Lassas, J. Pirttilä, and E. Somersalo. Statistical inversion for medical x-ray tomography with few radiographs: I. General theory. Physics in Medicine and Biology, 48(10):1437, 2003.
[59] A. F. M. Smith and G. O. Roberts. Bayesian computation via the Gibbs sampler and related Markov chain Monte Carlo methods. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 55(1):3–23, 1993.
[60] J. A. Smith. LAI inversion using a back-propagation neural network trained with a multiple scattering model. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 31:1102–1106, 1993.
[61] H. Smolander, P. Stenberg, and S. Linder. Dependence of light interception efficiency of Scots pine shoots on structural parameters. Tree Physiol., 14:971–
980, 1994.
[62] S. Smolander and P. Stenberg. A method to account for shoot scale clumping in coniferous canopy reflectance models. Remote Sensing of Environment, 88:363–
373, 2003.
[63] S. Smolander and P. Stenberg. Simple parameterizations of radiation budget of uniform broadleaved and coniferous canopies. Remote Sensing of Environment, 94:355–363, 2005.
[64] P. Stenberg. Correcting LAI-2000 estimates for the clumping of needles in shoots of conifers. Agricultural and Forest Meteorology, 79:1–8, 1996.
[65] P. Stenberg. Simple analytical formula for calculating average photon recollision probability in vegetation canopies. Remote Sensing of Environment, 109:221–224, 2007.
[66] P. Stenberg, T. Kangas, H. Smolander, and S. Linder. Shoot structure, canopy openness, and light interception in Norway spruce. Plant, Cell and Environment, 22:1133–1142, 1999.
[67] P. Stenberg, S. Linder, H. Smolander, and J. Flower-Ellis. Performance of the LAI-2000 plant canopy analyzer in estimating leaf area index of some Scots pine stands. Tree Physiol., 15:705–712, 1994.
[68] P. Stenberg, M. Mõttus, and M. Rautiainen. Modeling the spectral signature of forests: Application of remote sensing models to coniferous canopies. In S. Liang, editor, Advances in Land Remote Sensing, pages 147–171. Springer Netherlands, 2008.
[69] A. Tarantola and B. Valette. Inverse Problems = Quest for Information. J.
Geophys., 50:154–170, 1982.
[70] A. N. Tikhonov and V. Y. Arsenin. Solutions of ill-posed problems. Winston &
Sons, Washington, 1977.
[71] P. Tunved, H.-C. Hansson, V.-M. Kerminen, J. Ström, M. Dal Maso, H. Lihavainen, Y. Viisanen, P. P. Aalto, M. Komppula, and M. Kulmala. High natural aerosol loading over boreal forests. Science, 312(5771):261–263, 2006.
[72] S. G. Ungar, J. S. Pearlman, J. A. Mendenhall, and D. Reuter. Overview of the Earth Observing One (EO-1) mission. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 41(6):1149–1159, 2003.
[73] W. Verhoef. Light scattering by leaf layers with application to canopy reflectance modeling: the sail model. Remote sensing of environment, 16(2):125–141, 1984.
[74] C. Wu, X. Han, Z. Niu, and J. Dong. An evaluation of EO-1 hyperspectral Hyperion data for chlorophyll content and leaf area index estimation.International Journal of Remote Sensing, 31(4):1079–1086, 2010.
[75] Q. Zhang, X. Xiao, B. Braswell, E. Linder, F. Baret, and B. Moore. Estima-ting light absorption by chlorophyll, leaf and canopy in a deciduous broadleaf forest using MODIS data and a radiative transfer model. Remote Sensing of Environment, 99(3):357–371, 2005.