5. Pietsosähköisten materiaalien FEM-mallinnus ABAQUS-ohjelmalla
5.5 Pietsosähköinen analyysi
on mekaaninen voimavektori ja
∫
⋅ +∫
⋅ + on sähköinen varausvektori. Näissä lausekkeissa konstitutiiviset ominaisuudetmääritel-lään matriisimuodossa, missä Dm on mekaaninen yhteys, Dϕ sähköinen yhteys ja e on pietsosähköinen yhteys. Kuormavektorit sisältävät pistemäiset suureet sekä tilavuus- ja pintasuureet. Tuntemattomat suureet ovat siirtymät ja potentiaali solmupisteissä. Kun ne on laskettu, venymä- ja potentiaaligradientit lasketaan edellä mainituilla lausekkeilla.
Jännitykset ja sähkövuon tiheys saadaan sen jälkeen konstitutiivisten yhteyksien kautta.
5.5 Pietsosähköinen analyysi 5.5.1 Ratkaisuproseduurit
Kahdessa ABAQUS-ohjelman analyysityypissä on yhtenä vapausasteena sähköinen potentiaali. Ensimmäinen näistä on yhdistetty lämmönsiirto- ja sähköinen analyysi, jossa siis samanaikaisesti ratkaistaan sekä sähkökenttä että lämpötila. Toinen on pietsoköinen analyysi, johon keskitytään tässä kohdassa. Pietsosähköisessä materiaalissa säh-kökenttä aiheuttaa venymää ja jännitys taas aikaansaa jännitteen materiaalin pintojen välille. Tämä kuvataan ABAQUS-ohjelmassa määrittelemällä pietsosähköiset ja dielekt-riset kertoimet materiaalille ja sitä voidaan käyttää ominaistaajuuksien määrityksessä, transientissa epälineaarisessa dynaamisessa analyysissä, sekä lineaarisessa että epälineaa-risessa staattisessa analyysissä ja vakiotilan dynaamisissa analyyseissä. Kaikissa ana-lyysityypeissä pietsosähköinen käyttäytyminen oletetaan kuitenkin lineaariseksi. Esi-merkiksi hystereesi-ilmiötä ei voida täten liittää mukaan. Analyysi voidaan suorittaa yhdessä, kahdessa tai kolmessa ulottuvuudessa kontinuumimekaniikan mukaisesti.
Pietsosähköinen analyysi suoritetaan käyttämällä pietsosähköisiä elementtejä, joille määrätään pietsosähköiset materiaaliarvot.
Pietsosähköiset analyysit voidaan ratkaista käyttäen seuraavia proseduureja:
• *FREQUENCY (ominaistaajuuksien ratkaisu)
• *MODAL DYNAMIC (transientti ominaisarvoihin perustuva dynaaminen analyysi)
• *STATIC (staattinen jännitysanalyysi)
• *DYNAMIC (dynaaminen analyysi käyttäen suoraa aikaintegrointia)
• *STEADY STATE DYNAMICS (vakiotilan dynaaminen analyysi käyttäen ominaismuotoja)
• *STEADY STATE DYNAMICS, DIRECT (vakiotilan dynaaminen analyysi suoralla ratkaisulla)
• *STEADY STATE DYNAMICS, SUBSPACE PROJECTION (vakiotilan dynaa-minen analyysi käyttäen aliavaruuksia).
5.5.2 Alkutila ja -ehdot
Varsinaisia alkuehtoja pietsosähköisille arvoille ei voida määrittää.
5.5.3 Reunaehdot
Kaikki vapausasteet voidaan määrittää ennalta käyttäen *BOUNDARY-käskyä. Reuna-ehto voi olla myös ajasta riippuva tietyllä amplitudikäyrällä käyttäen lisäksi
*AMPLITUDE-optiota.
5.5.4 Kuormat
Sekä mekaanisia että sähköisiä kuormia voidaan asettaa. Mekaaniset kuormat voidaan asettaa solmupisteisiin kaikille siirtymä- ja kiertymävapausteille (1–6) käyttäen
*CLOAD-optiota. Jakautuneet kuormat asetetaan elementeille käyttäen *DLOAD- tai
*DSLOAD-optioita. Sähkövarauksen suhde sähköpotentiaaliin solmupisteessä vastaa pistevoiman suhdetta siirtymään. Sähkövarauksen voi määrittää solmupisteessä
*CECHARGE-optiolla tai elementissä *DECHARGE- ja *DSECHARGE-optioilla.
Kuorma voi olla myös ajasta riippuva. Tällöin em. optioiden lisäksi käytetään
*AMPLITUDE-optiota kuvaamaan kuorman muoto ajan funktiona.
Ominaismuototehtävissä ei voida käyttää sähköisiä kuormia, koska niillä ei ole vaiku-tusta rakenteen massaan tai jäykkyyteen. Vakiotilan dynaamisessa analyysissa suoralla ratkaisumenetelmällä sähköisen kuorman reaalinen osa määritellään parametrilla LOAD CASE=1, imaginäärinen (eri tahdissa oleva) osa parametrilla LOAD CASE=2, esimerk-kinä: *CECHARGE, LOAD CASE=1 tai 2.
5.5.5 Ennaltamäärätyt kenttämuuttujien arvot
Vaikka lämpötila ei olekaan sallittu vapausaste, solmupisteiden lämpötilat voidaan silti määrittää etukäteen *TEMPERATURE-optiolla. Ne vaikuttavat silloin lämpötilasta
riippuviin materiaaliominaisuuksiin normaaliin tapaan. Käyttäjä voi määritellä lisäksi omat kenttämuuttujat *FIELD-optiolla.
5.5.6 Materiaaliominaisuudet
Pietsosähköisille materiaaleille määritellään pietsosähköinen kytkentämatriisi ja dielekt-rinen matriisi. Mekaaninen käyttäytyminen voidaan ohjelmassa kuvata ainoastaan line-aarisesti kimmoisella mallilla. Materiaalin dielektriset ominaisuudet määritellään di-elektrisellä matriisilla Dijϕ( )ε , jonka komponentit luetellaan *DIELECTRIC-option alla.
Matriisi voi olla isotrooppinen, ortotrooppinen tai täysin anisotrooppinen. Pietsosähköi-set ominaisuudet määritellään puolestaan antamalla joko edellä esitetyt jännityskertoi-met eϕmij tai venymäkertoimet dϕmkl. Kummassakin tapauksessa komponentteja on 18 kappaletta. Niiden ensimmäinen alaindeksi viittaa sähkövuon suuntaan ja kaksi seuraa-vaa mekaanisen rasituksen komponenttiin. Kuitenkin varsinkin teollisuudessa käytetään useimmiten vain kahta indeksiä, jolloin indeksit 11, 22, 33, 12, 13 ja 23 korvataan in-dekseillä 1, 2, 3, 4, 5 ja 6.
5.5.7 Elementit
Pietsosähköisessä analyysissä täytyy käyttää pietsosähköisiä elementtejä, joiden solmu-pisteiden yhtenä vapausasteena (vapausaste 9) on sähköinen potentiaali. Kuitenkin nor-maalejakin elementtejä voidaan käyttää samassa mallissa. Pietsoelementtejä löytyy soli-dielementtien ja sauvaelementtien (truss element) joukosta. Sauvaelementit ovat kaksi- tai kolmesolmuisia elementtejä, jotka välittävät vain aksiaalisia voimia. Solidielementit ovat ABAQUS-ohjelman vakioelementtejä. Niihin eivät kuulu rakenne-elementit, kuten palkki-, kuori-, kalvo- ja ristikkoelementit. Niihin eivät myöskään kuulu rakoa, jousta tai vaimenninta kuvaavat erikoiselementit. Solidielementtejä voidaan käyttää kaikissa analyyseissä, joita ABAQUS tarjoaa.
Interpolaatio elementin sisällä voi olla ensimmäistä (lineaarinen interpolaatio) tai toista astetta (kvadraattinen interpolaatio). Kahdessa ulottuvuudessa on käytössä kolmikul-maiset ja nelikulkolmikul-maiset elementit, kolmessa ulottuvuudessa on käytössä kolmioprisma ja neli- tai kuusitahokkaat elementit. Kahdessa ulottuvuudessa voidaan käyttää pyörähdys-symmetristä mallia tai mallia, joka perustuu joko tasojännitys- tai tasovenymäteoriaan.
Analyysiaikojen säästämiseksi redusoitu integrointi on mahdollinen. Pietsosähköisiä elementtityyppejä on lukuisia, mutta käytetyimpiä lienevät 8-solmuinen lineaarinen kuusitahokas (C3D8E) ja 4-solmuinen bilineaarinen tasojännitysnelikulmio (CPS4E).
5.5.8 Tulostiedot
Seuraavia sähköisiä tulosmuuttujia saa kirjoitettua elementin integrointipisteistä:
EENER sähköstaattinen energiatiheys
EPG sähköisen potentiaalin gradienttivektorin suuruus ja komponentit EPGM sähköisen potentiaalin gradienttivektorin suuruus
EPGn sähköisen potentiaalin gradienttivektorin komponentit (n = 1, 2, 3) EFLX sähkövuovektorin (siirros) suuruus ja komponentit
EFLXM sähkövuovektorin suuruus
EFLXn sähkövuovektorin komponentit (n = 1, 2, 3).
Seuraavia sähköisiä tulosmuuttujia saa kirjoitettua koko elementistä:
CHRGS jakautuneen sähköisen varauksen arvot ELCTE sähköstaattinen kokonaisenergia elementissä
Seuraavia sähköisiä tulosmuuttujia saa kirjoitettua solmupisteistä:
EPOT sähköinen potentiaali RCHG reaktiivinen sähköinen varaus.
CECHG keskitetty sähköinen varaus.
5.5.9 Pietsosähköisen analyysin sapluuna
*HEADING
*MATERIAL, NAME=...
*ELASTIC
*PIEZOELECTRIC
*DIELECTRIC
*AMPLITUDE, NAME=...
*STEP,
*STATIC
tai *DYNAMIC, *FREQUENCY, *MODAL DYNAMIC, *STEADY STATE DYNAMICS (, DIRECT tai SUBSPACE PROJECTION)
*BOUNDARY
*CECHARGE, AMPLITUDE=...
*DECHARGE ja/tai *DSECHARGE
*CLOAD ja/tai *DLOAD ja/tai *DSLOAD
*END STEP