Lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvä osaaminen ja helppojen avaruusgeometrian tehtävien osaaminen riippuvat toisistaan. Samanlaista riippuvuutta ei voida kuitenkaan osoittaa lukujen ja laskutoimitusten osaamiseen ja haastavien avaruusgeometrian tehtävien välillä.
Lisäksi haastavien avaruusgeometrian tehtävien osaaminen ennustaa myös helpompien avaruusgeometrian tehtävien osaamista, mutta samaa ei voida sanoa tehtävissä esiintyvien virheiden riippuvuudesta.
5.6 Opiskelijoiden käsitys oppilaiden virheellisistä ratkaisutavoista
Tässä luvussa tarkastellaan opiskelijoiden ryhmävastauksia koskien oppilaiden mahdollisesti tekemiä virheitä avaruusgeometrian tehtävien ratkaisuissa.
5.6.1 Opiskelijoiden pohdintaa tehtävästä 3
Opiskelijoiden vastauksissa ei ollut virheellisiä vastauksia tehtävässä 3. Oppilaiden yleisen tekemä virhe oli kertoa tahkojen määrä särmän pituudella. Tämä ratkaisuehdotus löytyi myös opiskelijoiden ryhmäpohdinnoista:
"Lasketaan tahkojen lukumäärä kerrotaan 10 cm".
"6 tahkoa -> menee jokaisen yli (kerran) -> 60 cm".
"6 ∙10= 60 cm — 6-tahkoa, noppaan verrattuna.".
Virhekategoria 2:een luokiteltavia virheitä oli oppilaiden virheellisistä vastauksista 10%.
Näissä virheellisissä vastauksissa oli laskettu särmiön tilavuus. Myös tämän virheen esiintymistä opiskelijat osasivat odottaa, mikä käykin ilmi eräästä ryhmävastauksesta:
"Lasketaan suoraan "tilavuus" lukematta tehtävänantoa 10x10x10"
Osassa oppilaiden virheellisistä vastauksista oli laskettu yhden tahkon pinta-ala, nämä vastaukset luokiteltiin tässä tutkimuksessa virhekategoria 3:een. Tämän kategorian virheestä ei ollut opiskelijoiden ryhmävastauksissa mainintaa.
40 Opiskelijoiden ryhmävastastauksissa käy ilmi huoli siitä, että oppilaat eivät ymmärtäisi tehtävänannossa käytettyjä käsitteitä ja siksi tehtävä jäisi ratkaisematta tai ratkaistaisiin virheellisesti: "käsitteet (Mikä särmä on?)". Oppilaiden ratkaisuissa ei kuitenkaan tullut esiin ongelmia käsitteiden ymmärtämisen kanssa. Toisin sanoen oppilaat olivat ymmärtäneet hyvin, mitä tehtävässä tulee tehdä, mutta ratkaisutavan valitseminen oli tuottanut hankaluuksia.
Opiskelijat kiinnittävät laajasti huomiota kuvan tulkitsemisen hankaluuteen. He arvioivat, että oppilaille tuottaisi haasteita huomata kuvasta puuttuvat tiedot ja ymmärtää kuvassa näkymätön symmetria:
"4∙10=40 cm — Ei huomio niitä osia, jotka ei näy".
"Huomaa, että päällä on 2 narua, mutta unohtaa että pohjassakin on 2∙10+5∙10=70".
"pohjassa menee kaksi narua (Narujen kulku tahkoissa, jotka eivät näy)".
"Laskee vain näkyvät narut".
Oppilaat olivat tehneet ratkaisuissa virheitä, jotka voidaan tulkita huolimattoman kuvan lukemiseksi (ks. luku 5.2.2), minkä opettajaopiskelijat osasivat arvioida hyvin.
Opettajaopiskelijat osaavat siis arvioida hyvin kuvan lukemiseen ja tehtävän huolimattomaan lukemiseen liittyvät oppilaiden tekemät virheelliset ratkaisut. Toisaalta opiskelijat uskoivat oppilaiden kamppailevan tehtävänannon käsitteiden kanssa, mikä ei oppilasvastauksissa näyttänyt pitävän paikkansa. Lisäksi opettajaopiskelijat eivät osanneet ottaa huomioon sitä, että oppilaat saattaisivat laskea kuvasta pinta-alaa. Opettajaopiskelijat pystyivät siis päättelemään erilaisia virheellisiä ratkaisutapoja, jotka liittyivät kappaleen muotoon ja tilanteesta muodostettuun kuvaan, mutta tilanteeseen liittymättömien käsitteiden esiintymistä oppilasvastauksissa he eivät osanneet ennakoida.
5.6.2 Opiskelijoiden pohdintaa tehtävästä 10
Tehtävä 10 ratkaisut tuottivat virheellisiä vastauksia myös opettajaopiskelijoiden joukossa.
Virhekategoriaan 1 luokiteltavia virheitä ilmeni opettajaopiskelijoiden vastauksissa kaksi kappaletta. Opettajaopiskelijoiden ryhmävastauksissa ei käy ilmi mahdollisten proseduaalisten virheiden mahdollisuutta, mikä voi johtua myös tehtävänannosta.
Opettajaopiskelijoiden yksilövastauksista kaksi ratkaisua voitiin luokitella kuuluvaksi virhekategoriaan 2. Oppilasvastuksista puolestaan 9 prosenttia virheellisistä vastauksista luokiteltiin tähän kategoriaan. Virhekategoriaan 2 luokitellut vastaukset johtuivat tehtävänannon kuvan hahmottamisen vaikeudesta. Tätä havaintoa tukevat myös opettajaopiskelijoiden virheelliset vastaukset. Opiskelijoiden ryhmävastauksista käy hyvin ilmi kuvan lukemiseen liittyvät haasteet:
”Ei huomaa, mihin suuntaan kallistetaan.”
”Mikä on pystyssä?”
”Loppuasennon väärinymmärtäminen (onko särmiö vaaka- vai pystyasennossa.”
41 Oppilaiden virheellisissä vastauksissa kävi ilmi myös muita kuvan hahmottamiseen liittyviä ongelmia, joka näkyykin virhekategorian 3 melko suurena osuutena (18%). Tähän seikkaan olivat opettajaopiskelijat osanneet varautua:
”Tilavuuden laskemisessa on totuttu siihen, että pohja on yleensä vaakatasossa.”
”Kallistushuolen olemattomuus”
Opettajaopiskelijat arvioivat myös, että oppilaiden olisi hankala lukea kuvasta vesipatsaan korkeutta:
”Veden tilavuutta laskettaessa korkeus voi olla vaikea hahmottaa kuvasta.”
”Väärien mittojen käyttäminen laskutoimituksissa”
”Mikä on veden tilavuutta laskiessa pohja ja mikä on korkeus?”
Osa oppilaista oli pyrkinyt ratkaisemaan tehtävää käyttämällä apuna Pythagoraan lausetta.
Tämän virheellisen ratkaisutavan esiintymistä olivat opettajaopiskelijat osanneet odottaakin:
”Olettaa, että jana CE on uusi korkeus -> laskee Pythagoraan lauseella”
Opiskelijat arvioivat, että tilavuuden laskeminen tuottaisi yhdeksäsluokkalaisille ongelmia:
”Tilavuuden kaavan käyttämisen vaikeus.”
”Tilavuus ja pinta-ala voi mennä jotenkin sekaisin(muunnoksissa).”
Opettajaopiskelijat osasivat siis ennakoida hyvin oppilaiden tekemiä virheitä, sillä monet oppilaiden virheelliset vastaukset johtuivat kuvan tulkintaan liittyvistä haasteista.
Opettajaopiskelijoiden tekemät virheet tehtävän ratkaisemisessa olivat joko kuvan lukemiseen tai huolimattomuuteen liittyviä virheitä. Tilavuuden laskemiseen liittyviä haasteita ei juurikaan ilmennyt oppilasvastauksissa toisin kuin opettajaopiskelijat arvelivat.
42
6 Luotettavuus
Tässä tutkimuksessa tutkija on itse luonut tutkimusasetelman, tutkimuskysymykset, analysointimallin ja analysoinut aineiston. Koska tutkimus on toteutettu yhden tutkijan työnä, on vaarana, että viitekehyksen rakentaminen ja tutkimusaineiston analysointi ovat vinoutuneet tutkijan subjektiivisuuden vuoksi. Tutkimuksen luotettavuutta lisää kuitenkin se, että tutkimuksen kohteena olevat tehtävät ovat osa suurempaa tutkimusaineistoa ja matematiikan opettamisen asiantuntijat ovat laatineet tutkittavat tehtävät. Tehtäviä on myös esitestattu 9.-luokkalaisilla ennen tehtävien lopullista muotoilua. Näin ollen on pyritty varmistamaan se, että tehtävien vaikeustaso on sopiva ja että tehtävät mittaavat matematiikan osaamista. Toisaalta matematiikan oppimistulosten arviointiin vuonna 2012 osallistuneet oppilaat olivat tietoisia siitä, että oppimistulosten arvioinnissa menestyminen ei välttämättä vaikuttanut heidän matematiikan päättöarvosanaansa 9.-luokalla, mikä on saattanut vaikuttaa oppilaiden haluun yrittää parhaansa tässä kokeessa.
Tutkimuksessa käytetty oppilasaineisto oli melko laaja, joka lisää osaltaan tutkimuksen luotettavuutta. Huomionarvoista on, että tutkittavia tehtäviä oli vain neljä, jonka vuoksi tuloksia ei voida riskittömästi yleistää. Tutkimuksen luotettavuus ja tulosten yleistettävyys on pyritty varmistamaan sillä, että tutkijalla ei ole ollut käytössä vastaajien henkilötietoja ja tietoja heidän matematiikan osaamistasostaan. Myös se, että tutkimusaineistossa oli sekä suomen- että ruotsinkielisiä vastauksia, lisää tutkimustuloksen yleistettävyyttä.
Opettajaopiskelija-aineisto koostui 20 opiskelijan vastauksista, joten tästä tutkimuksesta nousseita tuloksia ei voida yleistää kattamaan kaikkia opettajaopiskelijoita.
Opettajaopiskelijoiden tehtävien ratkaisut olivat huolellisesti kirjoitettuja, joten voidaan olettaa, että opiskelijoiden motivaatio on ollut hyvä tutkimuksen toteuttamisen suhteen, mikä puolestaan lisää tutkimuksen luotettavuutta. Lisäksi opiskelijoiden henkilötietoja ei kerätty tutkimuksen kuluessa, joten opiskelijavastaukset olivat anonyymeja.
Sekä oppilas- että opiskelija-aineistoa on tarkasteltu useaan kertaan ja tarkastelukertojen myötä tehtävien luokittelua on muokattu. On kuitenkin mahdollista, että luokkien muodostuminen on ohjannut myös tutkijaa vastausten analysoinnissa. Tätä on kuitenkin pyritty välttämään sillä, että analysointikertojen välillä on kulunut aikaa.
Luotettavuuden lisäämiseksi tutkimuksessa käytetyt määrälliset ja laadulliset menetelmät on kuvattu tarkasti. Lisäksi käytetty aineisto ja koko tutkimuksen kulku on kuvattu tarkasti, ja näiden pohjalta lukija voi itse muodostaa kuvan tutkimuksen luotettavuudesta.
Erityisesti oppilasaineistosta nousevia tuloksia tulee kuitenkin peilata tutkimuksen aikana käytössä olleeseen perusopetuksen opetussuunnitelman perusteisiin. Tutkimuksen teon jälkeen käyttöön on otettu uusi perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet, jonka perusteella matematiikan oppimistuloksia peruskoulun päättövaiheessa tullaan kartoittamaan kansallisesti vuonna 2020 (Kansallinen koulutuksen arviointisuunnitelma vuosille 2016–2019).
43