Tässä tutkimuksessa opetustavat on jaoteltu kolmeen tapaan opettaa matematiik-kaa. Jaottelun mukaiset opettamistavat on esitelty käytännön esimerkein tutkimuksessa käytetyssä kyselylomakkeessa (ks. Liite 1). Tässä tutkimuksessa käytetty kyselylomake on opetustapojen käytännön esimerkkejä lukuun ottamatta käännös NorBa-tutkimushankkeessa (Hannula & Pehkonen, 2009) käytetystä kyselylomakkeesta. Tä-män tutkimuksen opettamistapojen jaottelut mukailevat Pehkosen (2011, 16) kolmea eri näkökulmaa matematiikan opettamiseen (ks. luku 3.) Ensimmäinen opettamistapa on nimetty opettajajohtoiseksi opettamistavaksi, joka sisältää Pehkosen (2011) näkökulman matematiikasta työkalupakkina. Toinen opettamistapa nimetty keskustelevaksi luokka-opetukseksi, jossa on piirteitä sekä opettajajohtoisesta, että oppilaslähtöisestä opettamis-tavasta ja jossa keskiössä on Pehkosen (2011) jaottelun mukainen matematiikan sään-nönmukainen systeemi oikeaoppisella kielellä sekä loogisilla todisteilla. Kolmas opet-tamistapa on nimetty oppilaslähtöiseksi opettamistavaksi, joka painottaa Pehkosen (2011) viimeistä näkökulmaa matematiikasta prosessina.
Opettajajohtoiseksi opettamistavaksi ymmärretään tässä tutkimuksessa opettamis-tapa, joka nojaa behavioristiseen oppimiskäsitykseen. Olennaisinta opettamistavassa on saada oppilailta oikea vastaus opettajan asettamiin kysymyksiin (Rauste- von Wright, 1997, 17). Vastuu tunnin kulusta ja sisällöistä on selkeästi opettajalla. Opetustavassa matematiikkaa lähestytään työkalupakki näkökulman kautta (Pehkonen, 2011, 16) eli siten, että opettaja esittelee tarvittavan teorian ja sitten teoriaa sovelletaan työkaluna matemaattisten tehtävien ratkaisuun. Opettamistavassa on näennäisesti keskustelevaa otetta oppilaiden kanssa, mutta opettajalla on hallussaan oikeat vastaukset ja hän tarkis-taa, että oppilaiden tehtävät on ratkaistu oikein. Koskenniemen (1978, 219–222) mu-kaan tässä opettamistavassa ei ole yksilöllistä työskentelyä vaan tehtävien ratkaiseminen on osa yhteistä harjoitusta. Tämä johtuu siitä, että vaikka oppilaat laskevat yksin, teke-vät he kaikki samoja tai samankaltaisia tehtäviä.
Tässä opettamistavassa voidaan puhua tiedonsiirrosta ja kontrolloidusta oppi-misympäristöstä. Tässä tutkimuksessa ymmärretty opettajajohtoinen opettamistapa vas-taa Patrikaisen (1999, 119–120) näkemystä opetuksen suorittamiseen perustavasta opet-tajuudesta, jossa opetusta annetaan opettajajohtoisena tiedonsiirtona ja kontrollina. Täs-sä tutkimuksessa ymmärretty opettajajohtoinen opettamistapa sijoittuu Koskenniemen (1978) ja Hellströmin (2008) jaotteluissa opettajajohtoiseen opettamistapaan. Seuraa-vassa tekstissä esitellään kuvaus opettajajohtoisesta opettamistavasta (opettamistapa A):
Opettaja Ahonen aloittaa yleensä uuden aiheen käsittelyn esittämällä taustalla olevan matema-tiikan teorian kuten jonkin teoreeman ja sen todistuksen tai perustelun. Ahonen johdattaa oppi-laat tähän teoriaan esittämällä kysymyksiä, joihin oppioppi-laat saattavat vastata nopeasti. Teorian käsittelyn jälkeen Ahonen esittää esimerkkitehtäviä, joissa sovelletaan kyseistä teoriaa. Myös esimerkkien käsittelyn yhteydessä Ahonen kyselee oppilailta esimerkiksi mikä on seuraava vaihe ratkaisussa. Esimerkkien käsittelyn jälkeen oppilaat harjoittelevat ratkaisemaan itsenäisesti vastaavanlaisia tehtäviä. Ahonen kiertelee luokassa, neuvoo oppilaita oikean ratkaisutavan toteuttamisessa ja tarkastaa, että he ratkaisevat tehtävät oikein.
Keskusteleva luokkaopetus vastaa Pehkosen näkökulmaa matematiikasta sään-nönmukaisena systeeminä, jossa tärkeää on oikeat termit sekä todistaminen (Pehkonen, 2011, 16). Lisäksi tämän tutkimuksen mukainen keskusteleva luokkaopetus pitää sisäl-lään elementtejä Patrikaisen (1999, 125) tiedonsiirtäjä ja oppimisen kontrolloija-opettajuudesta, jossa tietoa prosessoidaan enemmän kuin opettajajohtoisen opettamista-van yhteydessä mainitussa opetuksen suorittaja opettajuudessa. Kyse ei siis ole pelkäs-tään suorittamisesta vaan sisältöjä pyripelkäs-tään prosessoimaan keskustelevalla otteella mutta prosessinäkökulma jää kuitenkin tässä opettamistavassa niin pieneksi, että kyseessä on opettajajohtoinen opettamistapa. Lisäksi opettajalla on vastuu tuntien sisällöistä sekä opiskelutavoista.
Oppilaita kuitenkin aktivoidaan keskustelun avulla, joten voidaan ajatella, että tässä tutkimuksessa ymmärretty keskusteleva luokkaopetus mukailee Vuorisen (2001, 81) jaottelun mukaista keskustelevaa luokkaopetusta, jossa muun muassa esittävän ope-tuksen puutteita on korjailtu. Keskusteleva luokkaopetus nojaa opettajajohtoisuutensa vuoksi behavioristiseen oppimiskäsitykseen mutta siinä on ohuesti mukana piirteitä myös konstruktivistisesta oppimiskäsityksestä, kuten oppilaiden aktivoiminen sekä
op-pilaiden omien ehdotusten kuunteleminen. Seuraavassa tekstissä esitellään kuvaus kes-kustelevasta luokkaopetuksesta (opetustapa B):
Opettaja Lepistö aloittaa yleensä uuden aiheen käsittelyn esittämällä oppilaille matemaattisen tilanteen, jonka selvittämiseen tarvitaan uusia käsitteitä ja/tai teoreemoja. Lepistö johdattelee kyselemällä oppilaat huomioimaan uuden matemaattisen teorian muodostamisen tarpeen. Tä-män jälkeen Lepistö määrittelee tarvittavat käsitteet sekä muotoilee ja todistaa tarvittavan teo-reeman. Lopuksi Lepistö näyttää miten alussa esitetty tilanne voidaan selvittää uuden teorian avulla. Tämän jälkeen Lepistö antaa oppilaille tehtäviä, jotka ratkaistaan tunnilla tai kotitehtä-vinä.
Oppilaslähtöinen opettamistapa kuvataan tässä tutkimuksessa opettamistapana, jonka keskipisteenä on oppilas sekä oppimisprosessi. Prosessissa, jossa oppilas on kes-kiössä, edetään oikeita ratkaisuja kohti virheiden, sekä oikeiden että väärien väitteiden kautta. (Pehkonen 2011, 16.) Opettamistapa nojaa konstruktivistisiin arvoihin ja se nou-dattelee konstruktivistisesti orientoituneen koulutusprosessin (ks. Luku 3.1) piirteitä Rauste- von Wrightin (1997, 18–19) jaottelun mukaisesti. Tämän tutkimuksen oppilas-lähtöisessä opettamistavassa toteutuu Patrikaisen (1999, 117–119) opettajuusluokittelun kasvu- ja oppimisprosessin ohjaaja–opettajuus, joka eroaa eniten pedagogisessa ajatte-lussa opettajajohtoisessa opettamistavassa esitellystä opetuksen suorittaja-opettajuudesta.
Tässä tutkimuksessa oppilaslähtöinen opettamistapa noudattelee Leppäahon (2007, 188) kuvaamaa oppilaslähtöisen opettamistavan rakennetta, joka antaa oppilaille mahdollisuuden keskustella ja tuoda omia ajatuksiaan oppimistilanteissa esiin ilman, että opettajalla on valmiina oikeat vastaukset. Oppilaslähtöinen opettamistapa kannustaa erilaisten ratkaisujen löytämiseen ja kriittisyyteen matematiikan opiskelussa.
Toisin kuin esimerkiksi opettajalähtöisessä opettamistavassa, oppilaslähtöisessä opettamistavassa oppilaat vaikuttavat toiminnallaan paljon tunnin kulkuun. Opettaja ei kuitenkaan ole passiivinen vaan tarkkailee oppilaiden työskentelyä ja osallistuu oppilai-den kanssa keskusteluihin. Opettajan on oltava tietoinen omasta toiminnastaan ja aktii-visesti ohjata oppilaiden ideoiden kehittymistä kohti standardia matematiikkaa, vaikkei nämä kysyisikään opettajalta apua. Tärkeää kuitenkin on, ettei opettaja kerro aluksi
oi-keaa vastausta. Lopuksi tärkeässä roolissa on koontivaihe, jossa oppilaat kuulevat tois-ten ratkaisumalleja ja ideoita. Keskeistä on, että opettaja selvittää ongelman taustalla olevan teoreeman tai määritelmän ja että, oppilaat ymmärtävät mikä opittava asia oli.
(Hähkiöniemi, 2011, 6-7.) Seuraavassa tekstissä esitellään kuvaus oppilaslähtöisestä opettamistavasta (opetustapa C):
Opettaja Mäkelä aloittaa yleensä uuden aiheen käsittelyn antamalla oppilaille tehtävän (tai tehtäviä) tästä aiheesta. Oppilaat yrittävät itsenäisesti tai pienissä ryhmissä keksiä, miten tehtä-vän voisi ratkaista. Mäkelä kiertelee luokassa kuunnellen millaisia ratkaisuideoita ja ongelmia oppilailla on tehtävän ratkaisemisessa. Mäkelä varoo itse kertomasta, miten tehtävä ratkaistaan eikä kommentoi ovatko oppilaiden ratkaisuideat oikeita. Kun oppilaat ovat tarpeeksi miettineet tehtävää, Mäkelä pyytää joitakin oppilaita esittämään ratkaisuideoita ja kohtaamiaan ongel-mia. Mäkelän johdolla oppilaat pohtivat, mitä etuja ja haittoja sekä mitä yhteistä ja erilaista kehitetyissä ratkaisuideoissa on. Tämän jälkeen Mäkelä kokoaa yhteen, mitä erilaisista ratkai-suideoista voidaan oppia ja johtaa niistä taustalla olevan matematiikan teorian kuten jonkin teoreeman.