Matriisioperaatioita ja nimityksiä

a a₂₂

a_m1 a a

a

a a a_1j

ij

mj

a_2j

... ...

sarake j

a a a_1n

in

mn

... ...

a_2n

11 12

21

i1

... ...

... ... ...

...

. . .

...

rivi i

... ...

a_m2 a_i2

. . .

... ...

...

Kuva 6: alkioa_ij

Yksirivistä matriisia sanotaan myösvaaka- eli rivivektoriksi(row) ja yksisarak-keista pysty- eli sarakevektoriksi (column). Matriisilaskennan yhteydessä sekä vaaka- että pystyvektorien alkioiden väliset pilkut korvataan tavallisesti tyhjeil-lä. Kuten jo Luvussa 2.2 sovittiin, tässä oppimateriaalissa euklidisen avaruuden Rⁿvektoreita käsitellään pääsääntöisesti pystyvektoreina.

3.2 Matriisioperaatioita ja nimityksiä

Transponointi ja laskutoimitukset

MatriisinA= (aij)∈R^m×ntranspoosion matriisi A^T = (b_kl)∈R^n×m,

missäb_kl:=a_lk, ts. rivit on vaihdettu järjestyksessä sarakkeiksi.

AvaruudenR^m×nmatriiseja voidaan laskea yhteen, kertoa vakiolla ja kertoa kes-kenäänalkioittainkuten vektoreitakin. MatriisiaO, jonka kaikki alkiot ovat nol-lia, kutsutaan nollamatriisiksi. Nollamatriisi on matriisien yhteenlaskun neutraa-lialkio, so.A+O =AjaO+A=A. MatriisinA= (a_ij)vastamatriision vasta-luvuista koostuva samankokoinen matriisi−A= (−aij); silloinA+ (−A) = O ja−A+A=O.

Esimerkki 3.2.1 Olkoot

Transpoosit ovat silloin A^T =

Yhteenlaskun tulos onsumma A+B =

Alkioittainen tulo (jolla ei lineaarialgebrassa juuri ole käyttöä):

A .∗B =

Varsinainenmatriisien kertolaskumääritellään seuraavasti: MatriisienA= (a_ij)∈ R^m×njaB = (b_jk)∈R^n×r(matriisi)tuloon matriisi

AB =C = (c_ik)∈R^m×r, missä c_ik := P_n

j=1a_ijb_jk. Tulomatriisin alkio c_ik on siis matriisin A rivin i ja matriisinB sarakkeenkpistetulo.

Pystyvektorien x = (x1 x2 · · · xn)^T ja y = (y1 y2 · · · yn)^T ∈ Rⁿ pistetulo voidaan kirjoittaa matriisitulona

x·y=x^Ty=x₁y₁+x₂y₂+· · ·+x_ny_n.

3.2 Matriisioperaatioita ja nimityksiä 43 Esimerkki 3.2.2 Esimerkin3.2.1matriiseille tuloja AB jaBAei ole määritelty, koska molemmat ovat2×3-matriiseja; sen sijaan

AB^T =

Tehtävä 3.2.3 Laske a)

e) seuraavassa tulossa



rivillä 3 sarakkeessa 1 oleva luku. Ratkaisut sivulla56.

Tehtävä 3.2.4 Olkoot A:= Ratkaisut sivulla56.

Tehtävä 3.2.5 Laske a) ¡

Ratkaisu sivulla57.

AvaruudenR^n×nalkiot ovatneliömatriiseja(square matrix).

AvaruusR^n×nonsuljettumatriisien kertolaskun suhteen, sillä tulo on myös n×n-matriisi.

Matriisin(a_ij)diagonaalieli päälävistäjäon pystyvektori (a₁₁, . . . , a_nn)^T. Mat-riisia sanotaan diagonaalimatriisiksi, jos sen diagonaalin ulkopuolella olevat al-kiot ovat nollia.

Edellä on jo määritelty nollamatriisiOja vastamatriisit.Yksikkömatriisi(identity) on diagonaalimatriisiI, jonka diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Yksikkömatriisi on matriisitulon neutraalialkio: josA ∈R^n×n, niinAI =IA=A.

MatriisiA = (a_ij)_n×n onsymmetrinen, josA = A^T, elia_ij = a_ji kaikillai, j ∈ [n]. Symmetrisyys tarkoittaa diagonaalin suhteen symmetrisyyttä.

Matriisi on yläkolmiomatriisi (upper triangular), jos sen diagonaalin alapuolella on vain nollia; vastaavasti määritelläänalakolmiomatriisi.

Matriisituloei ole vaihdannainen; yleensäAB 6=BA.

Kahden nollasta eriävän matriisin tulo voi olla nollamatriisi; voi jopa ollaA² (=

AA) =O, vaikkaAon nollasta eriävä matriisi.

Tulon supistussääntö ei myöskään päde: siitä, ettäAC =BC ei seuraa A=B.

Sen sijaan laskutoimitukset+ja·ovat liitännäisiä ja niille pätevät mm. osittelulait.

Esimerkki 3.2.6 Matriisitulo ei ole vaihdannainen edes neliömatriiseille:

µ 1 3

−4 2

¶µ 2 −1

−2 1

¶

=

µ −4 2

−12 6

¶

µ 2 −1

−2 1

¶µ 1 3

−4 2

¶

=

µ 6 4

−6 −4

¶

3.3 Laskusääntöjä 45

3.3 Laskusääntöjä

Matriisin osien poimiminen ja osiin viittaaminen

Olkoon

A = (a_ij)_m×n =







a11 a12 · · · a1n

a₂₁ a₂₂ · · · a_2n ... ... ... ...

a_m1 a_m2 · · · a_mn







Osavektorin ja -matriisin poiminta: jos1≤p≤q ≤mja1≤r ≤s≤n, niin A(p:q, j) :=



 a_pj

...

a_qj



 A(i, r:s) :=¡

a_ir · · · a_is¢

A(p:q, r :s) :=





a_pr · · · a_ps ... ... ...

aqr · · · aqs





Kokonaisen rivin ja sarakkeen poiminta:

A(i,:) :=¡

a_i1 · · · a_in¢

, A(:, j) :=



 a_1j

...

a_mj





Edellisiä merkintöjä käytetään mm. Matlab-ohjelmassa. Matriisinsarakkeita mer-kitään myösa_j =A(:, j). Tällöin

A=¡

a₁ · · · a_n¢ .

Olkoon myösB m×nmatriisi. Tällöin summassaA+B on alkio(A+B)(i, j) =A(i, j) +B(i, j)

rivi(A+B)(i,:) =A(i,:) +B(i,:) sarake(A+B)(:, j) = A(:, j) +B(:, j).

TulossaAB on taas

alkio(AB)(i, j) = A(i,:)B(:, j) = P_n

k=1A(i, k)B(k, j) rivi(AB)(i,:) =A(i,:)B

sarake(AB)(:, j) =A(B(:, j)).

Tehtävä 3.3.1 Poimi matriisista

A:=









2 1 2 5 3 4 2 1 4 2

−1 2 1 0 0 2 4 2 1 3 3 8 −2 0 1









a)A(3,:), b)A(4,2 : 4), c)A(2 : 3,1 : 3), d)A(:,2), e)A(:,2 : 3), f)A(:,:).

Transponointi

Lause 3.3.2 Olkoonαskalaari ja matriisitAjaBsellaisia, että seuraavassa esiin-tyvät laskutoimitukset ovat ”järjellisiä”, so. määriteltyjä. Silloin

1. (A^T)^T =A 2. (αA)^T =αA^T

3. (A+B)^T =A^T +B^T 4. (AB)^T =B^TA^T.

Todistus. Kohdat 1–3 ovat ilmeisiä. Kohta 4: Olkoot A= (a_ij)_m×n

B = (b_ij)_n×r

C:=AB = (c_ij)_m×r D:=B^TA^T = (d_ij)_r×m.

Silloin(AB)^T jaB^TA^T ovat samaa kokoar×m, joten riittää näyttää, että niissä on samat vastinalkiot.

OlkootA^T = (a^∗_ij),B^T = (b^∗_ij)jaC^T = (c^∗_ij). On osoitettava, ettäc^∗_ij = d_ij kai-killai∈[r]jaj ∈[m]. Koskab^∗_ik =bkijaa^∗_kj =ajk, on matriisitulon määritelmän mukaan

d_ij = Xn k=1

b^∗_ika^∗_kj = Xn k=1

a_jkb_ki =c_ji =c^∗_ij 2

3.3 Laskusääntöjä 47 Matriisialgebra

Lause 3.3.3 Kaikille skalaareilleα ja β ja kaikille matriiseille A, B jaC, joille seuraavassa esiintyvät operaatiot on määritelty, pätee

(1) A+B =B +A vaihdannaisuus (+)

(2) (A+B) +C =A+ (B+C) liitännäisyys (+)

(3) (AB)C =A(BC) liitännäisyys (·)

(4) A(B+C) =AB+AC I osittelulaki (+,·)

(5) (A+B)C=AC+BC II osittelulaki (+,·)

(6) (αβ)A=α(βA) skalaariliitännäisyys (7) α(AB) = (αA)B =A(αB) skalaarin siirto

(8) α(A+B) =αA+αB. I skalaariosittelulaki

(9) (α+β)A=αA+βA II skalaariosittelulaki

Todistus. Kohdat (1), (2), (6), (7), (8) ja (9) ovat helppoja. Kohta (4): Olkoot A = (a_ij)_m×njaB = (b_ij)_n×r,C = (c_ij)_n×r sekä merkitäänD :=A(B+C)ja E :=AB +AC.

SilloinDjaE ovatm×r-matriiseja ja niiden alkiot ovat d_ij =

Xn k=1

a_ik(b_kj+c_kj) ja e_ij = Xn

k=1

a_ikb_kj+ Xn k=1

a_ikc_kj. Koska summille pätee

Xn k=1

a_ik(b_kj+c_kj) = Xn

k=1

a_ikb_kj + Xn

k=1

a_ikc_kj,

ondij =eij ja sitenA(B +C) =D =E =AB+AC. Katso kuvat7ja8.

Kohta (5) on samankaltainen kuin kohta (4).

Kohta (3): OlkootA = (a_ij)_m×n, B = (b_ij)_n×r ja C = (c_ij)_r×s sekä merkitään D:=ABjaE :=BC.

On osoitettava, ettäDC=AE.

1) Ne ovat samaa kokoa:

d_ij

A(B + C) =

i

j

a_ik i

k

=

b +c_{kj kj} k

j

a_ik i

k

=

A

c_kj k

j

C

b _kj k

j

B

+

A B+C

D

Kuva 7: Osittelulain (4) vasen puoli

i e

j

E

ij

AB + AC = =

=

j

C

j

B

(AC)(i,j) i

j

AC

(AB)(i,j) i

j

AB

i

A

i

A

+ +

Kuva 8: Osittelulain (4) oikea puoli

3.3 Laskusääntöjä 49 -Don kokoam×rjaC r×s, jotenDC on kokoam×s,

-Aon kokoam×njaE n×s, jotenAEon kokoam×s.

2) Matriisitulon määritelmän mukaan d_il=

Xn k=1

a_ikb_kl ja e_kj = Xr

l=1

b_klc_lj, joten matriiseissaDC jaAE on kohdallaij alkiot

pij :=

Xr l=1

dilclj = Xr

l=1

à _n X

k=1

aikbkl

! clj

q_ij :=

Xn k=1

a_ike_kj = Xn

k=1

a_ik ÃXr

l=1

b_klc_lj

! . Laskujärjestystä saa äärellisissä summissa vaihtaa, joten

p_ij = Xr

l=1

ÃXn

k=1

a_ikb_kl

! c_lj =

Xr l=1

Xn k=1

a_ikb_klc_lj

= Xn k=1

Xr l=1

a_ikb_klc_lj = Xn k=1

a_ik à _r

X

l=1

b_klc_lj

!

=q_ij. Siis(AB)C =DC =AE =A(BC).2

Matriisin potenssi

Määritelmä 3.3.4 Olkoon A n×n-matriisi. Määritellään sen positiiviset koko-naislukupotenssit(power)

A¹ := A,

A^k := AA^k−1, kunk ≥2.

MyösA^k =AA . . . A| {z }

kkpl

onn×n-matriisi kaikillak ∈N.

Esimerkki 3.3.5 Lasketaan määritelmän mukaan:

µ1 2 3 4

¶₃

= µ1 2

3 4

¶µ1 2 3 4

¶₂

= µ1 2

3 4

¶µ 7 10 15 22

¶

=

µ37 54 81 118

¶

Tehtävä 3.3.6 Mitä ovatO^kjaI^k, kunk∈N? Ratkaisu sivulla57.

Esimerkki 3.3.7 Olkoon

A:=

µ1 1 1 1

¶

LasketaanA^karvoillak ∈N.

Ratkaisu. Lasketaan aluksi A¹ = A= 1A, A² =

µ1 1 1 1

¶µ1 1 1 1

¶

= µ2 2

2 2

¶

= 2A, A³ =

µ1 1 1 1

¶µ2 2 2 2

¶

= µ4 4

4 4

¶

= 4A = 2²A

Näyttäisi siltä, ettäA^k = 2^k−1Akaikillak ∈N.

Induktiotodistus: Väite on tosi arvoillak = 1jak = 2. Tehdään induktio-oletus:

A^k = 2^k−1A jollakin k ≥ 2. Silloin matriisin potenssin määritelmän, induktio-oletuksen ja tapauksenk= 2nojalla

A^k+1 =AA^k =A2^k−1A= 2^k−1A² = 2^k−12A= 2^kA.

Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi.

3.3 Laskusääntöjä 51 Potenssi-iteraatio

Matriisia voidaan käyttää kuvauksen muodostamisessa; jos A on kiinteä m×n-matriisi jaxonn-pystyvektori (tain×1-matriisi), niin sääntöx7→Axmäärittelee (lineaari)kuvauksenRⁿ →R^m.

Jos neliömatriisi A ∈ R^n×n ja z ∈ Rⁿ on annettu, voidaan muodostaa kuvaus N→Rⁿ,n 7→Aⁿzjossazkuvautuu vektorilleAz,A²z,A³z, jne. Tämä voidaan esittää yksinkertaisenaiteraatiokaavana

z:=Az, jota toistamalla saadaan mielenkiintoisia kuvioita.

Esimerkki 3.3.8 Olkoot A:=

µ0.3614 −0.9285 0.9285 0.3714

¶

ja z:=

µ1 0

¶ . Kuvassa9funktionx7→Axiteraatiokuvio.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

500 iteraatiota z = Az

z

Kuva 9: Iteraatiokuvio

Tehtävä 3.3.9 Selvitä, mitkä ovat Esimerkin 3.3.8 kolmen ensimmäisen iteraa-tion muodostamat pisteet. Ratkaisu sivulla57.

Laskutoimitusten määristä

Matriisien yhteenlasku, vakiolla kertominen ja transponointi ovat suhteellisen no-peasti suoritettavia operaatioita. Sen sijaan matriisitulon laskeminen sisältää run-saasti lukujen yhteen- ja kertolaskuja, joten se on suhteellisen hidasta puuhaa – jopa tietokoneella. Tästä syystä paljon matriisituloja sisältävä laskettava lauseke kannattaa ensin sieventää laskulakeja käyttäen.

Lasketaan kuinka monta lukujen yhteen- ja kertolaskua tarvitaan kahden matriisin kertomisessa. Kahdenn-vektorin pistetulon

¡x₁ x₂ · · · x_n¢





 y₁ y₂ ...

yn





=x1y1+x2y2+· · ·+xnyn

laskemiseen tarvitaannkertolaskua jan−1yhteenlaskua. Matriisitulossa







a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a21 a22 · · · a2n

... ... ... ...

am1 am2 · · · amn













b₁₁ b₁₂ · · · b_1r b21 b22 · · · b2r

... ... ... ...

bn1 bn2 · · · bnr







kerrotaan jokainen vaakavektori toisen jokaisella pystyvektorilla, yhteensä mr pistetuloa. Yhteenlaskuja tarvitaan siism(n−1)rja kertolaskujamnr.

Esimerkki 3.3.10 Olkoot A, B ja C n×n-matriiseja. Sievennä laskusääntöjen avulla lauseketta

(A²C^TB)^T + (B²)^TC(A^T)²

niin, että sitä laskettaessa on mahdollisimman vähän matriisien kertolaskuja.

Kuinka monta lukujen kertolaskua tarvitaan alkuperäisen, ja kuinka monta sie-vennetyn lausekkeen laskemiseksi?

Ratkaisu. Koska Lauseen 3.3.2 mukaan (A^T)² = A^TA^T = (AA)^T = (A²)^T, saadaan

(A²C^TB)^T+(B²)^TC(A^T)² = B^TC(A²)^T+B^TB^TC(A²)^T

= (I+B^T)B^TC(A²)^T. Alkuperäisessä on7n³ ja sievennetyssä4n³ kertolaskua.

In document LINEAARIALGEBRA, osat a ja b (sivua 41-53)