4 Matriisin singulaariarvohajotelma

Tässä kappaleessa esitellään tämän työn päätulos, eli matriisin singulaariar-vohajotelma. Hajotelman avulla jokainenm×nmatriisiAvoidaan esittää muodossaA=UΣV^T, missä matriisitUjaVovat ortogonaalisia jaΣon dia-gonaalimatriisi. Lisäksi todistetaan tämä tulos ja lasketaan esimerkki hajo-telma konkreettiselle matriisille. Kappaleen lopuksi tutustutaan hajohajo-telman toimintaan.

Määritelmä 4.1. Olkoon A m × n matriisi. Matriisin A singulaariarvot σ1, . . . , σn ovat matriisin A^TA ominaisarvojen λ1, . . . , λn neliöjuuret σi =

√λi ≥0.

Tässä on hyvä huomata, että Lemman 3.8 mukaan matriisinA^TA omi-naisarvot ovat ei-negatiivisia, jolloin niiden neliöjuuret eli matriisinA sin-gulaariarvot ovat hyvin määriteltyjä.

Lause 4.2. Jokainen m×n matriisi A voidaan esittää muodossa

A=UΣV^T =

missä matriisin U sarakevektorit u_iovat matriisin AA^Tominaisvektoreita. Lisäksi m×n diagonaalimatriisinΣjärjestyksessäσ1≥. . .≥σr>0olevat diagonaalialkiot ovat matriisin A positiiviset singulaariarvot ja matriisi täydennetään tarvittaessa riittävän suurilla nollamatriiseilla. Matriisin V sarakevektorit v_i ovat matriisin A^TA ominaisvektoreita. Lisäksi matriisit U ja V ovat molemmat ortogonaalisia.

Todistus. Tämän lauseen todistuksessa on käytetty apuna teoksen [2]

Lauseen 6.5.1 todistusta. Lemman 3.8 nojalla kaikki matriisinA^TA ominai-sarvot ovat reaalisia ja ei-negatiivisia. Lisäksi matriisilleA^TAon olemassa sen ortogonaalisesti diagonalisoiva matriisiV.

Nyt siis Lauseen 4.2 matriisit A^TAja V ovat hyvin määriteltyjä. Näin ollen voidaan matriisinVsarakevektorit eli matriisinA^TAominaisvektorit järjestää niihin liittyvien ominaisarvojen

λ1≥λ2≥. . .≥λn≥0

määräämään järjestykseen. Koska nämä ominaisarvot ovat reaalisia ja ei-negatiivisia, niin matriisinAsingulaariarvot ovat

σj = q

λj j=1, . . . ,n.

Olkoon matriisinAaster. Tällöin Lemman 3.9 mukaan matriisinA^TAaste on myös r. Toisaalta Lauseen 3.8 kohdan (iv) nojalla matriisin A^TA aste vastaa sen positiivisten ominaisarvojen lukumäärää algebralliset kertaluvut huomioiden eli ominaisarvoille pätee

λ1≥λ2≥. . .≥λr>0 ja λr+1=λr+2=. . .=λn=0. Vastaavasti singulaariarvoille pätee

σ1 ≥σ2≥. . .≥σr>0 ja σr+1 =σr+2=. . .=σn=0. Esitetään matriisiV=

V₁ V₂

näihin ominaisarvoihin liittyvien ominais-vektorien avulla siten, että

V₁=

v₁ · · · v_r

ja V₂=

v_r+1 · · · v_n . Lisäksi olkoon

Σ1 =

















σ1 0 . . . 0

0 σ2 . . . 0

... ... ... ...

0 0 . . . σr

















r×r diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat positiiviset singulaa-riarvotσ1, . . . , σr. Tällöin hajotelman varsinainenm×nmatriisiΣvoidaan muodostaa matriisistaΣ1täydentämällä se sopivan kokoisilla nollamatrii-seilla, jolloin

Σ = Σ1

0 0 0

! .

Nyt olemme muodostaneet singulaariarvohajotelman matriisitVjaΣ. Teh-tävänä on siis vielä muodostaa ortogonaalinen matriisiU =

u₁ · · · u_m siten, että

A=UΣV^T tai yhtä pitävästi

(6) AV=UΣ.

Tarkastelemalla muotoa (6) sarakkeeseenrasti huomataan, että Avj =σjuj, j=1, . . . ,r.

Määritellään tämän avulla

(7) u_j = 1

σj

Av_j, j=1, . . . ,r

ja

U1=

u₁ · · · u_r . Tällöin näillä merkinnöillä pätee

(8) AV1 =U1Σ1.

Osoitetaan seuraavaksi, että matriisin U₁ sarakevektorit ovat keskenään ortonormaaleja. Nyt kaikille 1≤i≤rja 1≤ j≤rpätee

u_i |u_j

=u_i^Tu_j

=1 σi

Avi

T 1 σj

Avj

!

=1 σi

v_i^TA^T 1

σj

Av_j

!

= 1 σiσj

v_i^T(A^TAv_j)

= 1 σiσj

v_i^T(λjv_j) (v_jon matriisinA^TAominaisvektori eli (A^TA)v_j =λjv_j)

= 1 σiσj

viT(σj2vj)

= σj

σi

v_i^Tv_j

=











0 i, j 1 i= j,

sillä ortogonaalisen matriisinV₁sarakevektoritv₁, . . . ,vrovat ortonormaa-leja. Siispä myös matriisinU₁sarakevektoritu₁, . . . ,u_rovat ortonormaaleja.

Lausekkeesta (7) nähdään sarakeavaruuden määritelmän mukaan, et-tä ortonormaalit vektoritu₁, . . . ,urkuuluvat matriisinAsarakeavaruuteen Col (A). Tämän sarakeavaruuden dimensio onr, jolloin{u₁, . . . ,u_r} muodos-taa avaruuden Col (A) ortonormaalin kannan. Avaruuden Col (A) ortogo-naalikomplementin Col (A)^⊥dimensio on Lauseen 2.5 mukaanm−r. Olkoon

siis{u_r+1, . . . ,um}avaruuden Col (A)^⊥ortonormaali kanta. Määritellään U₂=

ur+1 · · · um

, ja

U=

U₁ U₂ .

Edelleen Lauseen 2.5 mukaan {u₁, . . . ,u_r,u_r+1, . . . ,u_m} muodostaa avaruu-denR^mortonormaalin kannan. Tällöin matriisiUon ortogonaalinen.

Meidän täytyy vielä näyttää, että todella A=UΣV^T.

Tätä varten tarvitsemme aputuloksen, jonka mukaan A=AV₁V₁^T.

Näytetään tämä seuraavaksi. Nyt matriisin V2 sarakevektorit v_r+1, . . . ,vn

ovat ominaisarvoaλ=0 vastaavia ominaisvektoreita, jolloin A^TAvj=0 j=r+1, . . . ,n.

Tästä nähdään, että vektoritv_r+1, . . . ,v_nkuuluvat ytimeenN(A^TA). Toisaalta Lemman 3.9 nojallaN(A^TA) =N(A), jolloin samat vektorit kuuluvat myös ytimeenN(A). Tällöin

AV₂=0.

Lisäksi matriisiVon ortogonaalinen, joten

I=VV^T =V₁V₁^T+V₂V₂^T. Tällöin saadaan haluamamme aputulos

A=AI (9)

=A(V₁V₁^T+V₂V₂^T)

=AV₁V₁^T+AV₂V₂^T

=AV₁V₁^T+0V₂^T

=AV₁V₁^T.

Tämän jälkeen yhdistämällä kohdat (8) ja (9) saadaan UΣV^T =

U₁ U₂ Σ1

0 0 0

! V₁^T V₂^T

!

=U₁Σ1V₁^T

=AV₁V₁^T

=A.

Tällöin

A=UΣV^T.

Näytetään vielä lopuksi, että matriisinUsarakevektoritu_iovat matriisin AA^T ominaisvektoreita. Käyttämällä tietoa, että matriisiVon ortogonaali-nen eli V^TV = I ja matriisille A todistamaamme hajotelmaa A = UΣV^T saadaan

AA^T =UΣV^T

UΣV^TT

(10)

=UΣV^T

(V^T)^TΣ^TU^T

=UΣV^T(VΣ^TU^T)

=UΣIΣ^TU^T

=UΣΣ^TU^T.

Tässä matriisiΣΣ^T on edelleen diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovatβ1, β2, . . . , βm. Tällöin matriisiUdiagonalisoi matriisinAA^T ortogonaa-lisesti. Yllä oleva yhtälöAA^T =UΣΣ^TU^Tvoidaan kirjoittaa myös muodossa

AA^TU=UΣΣ^T, josta saadaan

(AA^T)u_i=βiu_i i=1, . . . ,m.

Nyt nähdään, että matriisinΣΣ^T diagonaalialkiotβ1, β2, . . . , βmovat matrii-sinAA^T ominaisarvoja ja vektorit u_i ovat matriisin AA^T

ominaisvektorei-ta.

Muodostetaan seuraavaksi esimerkkinä singulaariarvohajotelma sopi-van yksinkertaiselle matriisille, jotta hajotelman idea on helpompi hahmot-taa. Seuraava esimerkki on lainattu teoksen [3] sivulta 616.

Esimerkki 1. Muodosta singulaariarvohajotelma matriisilleA= 1 1 0 0 0 1

! . Tarvitsemme aluksi matriisinA^TAominaisarvot. Laskemalla saadaan mat-riisiksi

A^TA=











1 1 0 1 1 0 0 0 1









 . MatriisinA^TAkarakteristinen polynomi on

det (A^TA−λI)=−λ³+3λ²−2λ,

jolloin tämän polynomin juuret eli matriisinA^TAominaisarvot ovatλ1=2, λ2 =1 ja λ3 = 0. Näitä ominaisarvoja vastaavien ominaisvektorien selvit-täminen on melko mekaanista, mutta työlästä. Tämän vuoksi sivuutetaan näiden laskeminen tässä yhteydessä ja todetaan, että ominaisarvoja vastaa-vat ominaisvektorit ovastaa-vat

w₁ = (w₂|w₃) = 0. Siispä ne ovat ortogonaalisia. Matriisin V muodostamista varten nämä ominaisvektorit täytyy vielä normeerata. Saadaan siis orto-normaalit vektorit

Matriisin Asingulaariarvot saadaan matriisinA^TAominaisarvojen neliö-juurinaσ1= √

2,σ2= √

1=1 jaσ3 = √

0=0. MatriisinΣmuodostamisessa on tärkeää huomata, että hajotelman mukaan vain positiiviset singulaa-riarvot otetaan mukaan. Siispä singulaariarvoa σ3 = 0 ei oteta mukaan matriisiinΣ. Nyt voimme muodostaa matriisitVjaΣ. Saadaan

V=

Meidän täytyy vielä muodostaa matriisiU. Lasketaan matriisin U sarake-vektorit yhtälön (7) avulla. Saadaan

u₁ = 1

Tässä on hyvä huomata, että sarakevektoriau3ei voida laskea, silläσ3=0.

Tämä ei kuitenkaan ole tarpeenkaan, sillä vektoritu₁jau₂ovat valmiiksi or-tonormaaleja ja muodostavat avaruudenR²ortonormaalin kannan. Tällöin matriisiksiUsaadaan

U= 1 0 0 1

! .

MatriisinAsingulaariarvohajotelma on siis

A=UΣV^T = 1 0 0 1

! √

2 0 0

0 1 0

!













√1 2

√1

2 0

0 0 1

−^√1

2

√1

2 0











 .

Halutessaan voi laskemalla varmistaa, että näin todella on.

Tarkastellaan vielä singulaariarvohajotelman muodostamista ja toimin-taa. Lauseessa 4.2 esiintyvät ortonormaalit kannat{v₁, . . . ,vr},{vr+1, . . . ,vn}, {u₁, . . . ,u_r}ja{u_r+1, . . . ,u_m}ovat merkittävässä roolissa singulaariarvohajo-telman muodostamisessa. Nämä neljä kantaa ovat aiemmin kappaleessa 2 mainittujen neljän aliavaruuden Row (A),N(A), Col (A) jaN(A^T) ortonor-maaleja kantoja. Todistetaan tämä seuraavassa lauseessa.

Lause 4.3. Olkoon A m×n matriisi ja A=UΣV^Tmatriisin A singulaariarvoha-jotelma, missä matriisit

V=

v₁ · · · v_r v_r+1 · · · v_n ja

U=

u₁ · · · u_r u_r+1 · · · u_m .

ovat ortogonaalisia. Lisäksi olkoonσ1, . . . , σrmatriisin A nollasta poikkeavat sin-gulaariarvot. Tällöin

(i) matriisin A aste on r,

(ii) {v₁, . . . ,v_r}on aliavaruudenRow (A)ortonormaali kanta, (iii) {v_r+1, . . . ,v_n}on aliavaruuden N(A)ortonormaali kanta, (iv) {u₁, . . . ,u_r}on aliavaruudenCol (A)ortonormaali kanta, (v) {ur+1, . . . ,um}on aliavaruuden N(A^T)ortonormaali kanta.

Todistus. Lauseen todistuksessa on käytetty apuna kirjan [3] Lauseen 5.17 todistusta.

(i) Koska matriisit U ja V^T ovat ortogonaalisina kääntyviä, niin Lem-man 3.7 nojalla

rank (A)=rank (UΣV^T)

=rank (ΣV^T)

=rank (Σ)

=r.

(iii) Todistetaan tämä kohta ensin, sillä kohta (ii) seuraa tästä. Tiedäm-me Lauseen 4.2 todistuksesta, että vektoritv_r+1, . . . ,v_nkuuluvat matriisinA ytimeenN(A). Nämä vektorit ovat ortogonaalisen matriisinV sarakevekto-reina ortonormaaleja ja niitä onn−rkappaletta. Lisäksi dimensiolauseen 2.2 nojalla dimN(A)=n−r, jolloin{v_r+1, . . . ,v_n}muodostaa aliavaruudenN(A) ortonormaalin kannan.

(ii) Tiedämme, että vektorit {v₁, . . . ,vr,v_r+1, . . . ,vn} muodostavat ava-ruudenRⁿ ortonormaalin kannan. Tästä seuraa, että jokainen vektoreista v₁, . . . ,v_ron kohtisuorassa jokaisen vektorinv_r+1, . . . ,v_n∈N(A) kanssa. Täl-löin sisätulon lineaarisuuden nojalla vektoritv₁, . . . ,vr ovat kohtisuorassa kaikkien vektoreista v_r+1, . . . ,v_n muodostettujen lineaarikombinaatioiden kanssa. Nyt kuitenkin kohdan (iii) nojalla vektorit v_r+1, . . . ,v_n muodos-tavat aliavaruuden N(A) ortonormaalin kannan, jolloin vektorit v₁, . . . ,vr

ovat kohtisuorassa kaikkien aliavaruudenN(A) vektoreiden kanssa. Lisäk-si Lauseen 2.4 nojallaN(A)^⊥=Row (A), joten vektoritv₁, . . . ,v_r∈ Row (A).

Tällöin Lauseen 2.5 mukaan

dim Row (A)=dimRⁿ−dimN(A)

=n−(n−r)

=r.

Nyt vektoritv₁, . . . ,vr ∈ Row (A) ovat ortonormaaleja eli ne ovat lineaari-sesti riippumattomia. Lisäksi niitä onrkappaletta, jolloin ne muodostavat avaruuden Row (A) ortonormaalin kannan.

(iv) Tämä kohta on todistettu Lauseen 4.2 todistuksen yhteydessä.

(v) Lauseen 4.2 todistuksessa määrittelimme, että {u_r+1, . . . ,u_m} on ali-avaruuden Col (A) ortogonaalikomplementin ortonormaali kanta. Nyt kui-tenkin Lauseen 2.4 nojalla Col (A)^⊥=N(A^T). Siispä{ur+1, . . . ,um}on

aliava-ruudenN(A^T) ortonormaali kanta.

Artikkelista [4] lainatusta Kuvasta 2 nähdään kuinka riviavaruuden kantavektoreillev₁, . . . ,v_rja sarakeavaruuden kantavektoreilleu₁, . . . ,u_ron voimassa yhtälöAv_i =σiu_i.

Kuva 2: Neljään aliavaruuteen liittyvät ortonormaalit kannat.

Tarkastellaan seuraavaksi singulaariarvohajotelman toimintaa yleisesti.

Mitä kukin matriiseista V, Σ ja U tekevät? Alkuperäisestä matriisista A muodostetaan hajotelmaUΣV^T, jossa

(1) Uon ortogonaalinenm×mmatriisi, jonka sarakkeetu₁, . . . ,u_r, . . . ,u_m ovat aliavaruuksien Col (A) jaN(A^T) kantavektoreita.

(2) Σonm×ndiagonaalimatriisi, jonka nollasta poikkeavat diagonaalial-kiot ovat matriisinAsingulaariarvotσ1≥σ2 ≥. . .≥σr>0.

(3) Von ortogonaalinen n×n matriisi, jonka sarakkeetv₁, . . . ,v_r, . . . ,v_n ovat aliavaruuksien Row (A) jaN(A) kantavektoreita.

Tarkastellaan artikkelista [4] lainattua Kuvaa 3. Kuvan merkintöjä on hieman muutettu tätä tutkielmaa varten. Kuvan tapauksessan = m = 2.

MatriisiVon ortogonaalinen, jolloin myös matriisiV^T on ortogonaalinen.

Kuten jo 1. kappaleessa mainittiin, niin ortogonaalinen matriisi ei muuta vektoreiden pituuksia tai niiden välisiä kulmia. MatriisiV^T toimii tällöin kannanvaihtomatriisina, joka muuntaa kantavektoritv₁jav₂ standardikan-nan kantavektoreiksie₁jae₂. MatriisiΣkuvaa avaruudenR²kantavektorit e₁jae₂ avaruudenR²vektoreiksiσ1e₁jaσ2e₂. Tässä vaiheessa vektoreiden pituus voi muuttua, kun niitä kerrotaan singulaariarvoillaσ1 jaσ2. Tämän jälkeen ortogonaalinen matriisiUtekee uuden kannanvaihdon, jossa kan-tavektoreistaσ1e₁jaσ2e₂tulee uuden kannan kantavektoritσ1u₁jaσ2u₂.

Kuva 3: MatriisinAtoiminta singulaariarvohajotelman avulla.

5 Pseudoinverssi

Tämän kappaleen laatimisessa on käytetty apuna kirjan [2] kappaletta 7.7.

Yksi matriisin singulaariarvohajotelman sovelluksista on yhtälöryhmän Ax=bratkaiseminen. YhtälöryhmänAx=bratkaiseminen voi olla haasta-vaa, sillä matriisiAei välttämättä ole aina kääntyvä tai edes neliömatriisi.

Lisäksi ratkaisua ei ole olemassa lainkaan, mikäli vektoribei kuulu mat-riisinAsarakeavaruuteen. Mikäli ratkaisu on olemassa, niin yhtälöryhmä Ax= bvoidaan ratkaista käyttäen käänteismatriisin yleistystä, jota kutsu-taan pseudoinverssiksi. Pseudoinverssi voidaan määritellä singulaariarvo-hajotelman avulla. Määritellään tässä kappaleessa matriisin pseudoinvers-si ja palataan yhtälöryhmän Ax = btarkasteluun pseudoinverssin avulla seuraavassa kappaleessa.

Mikäli Aon kääntyvä n×n matriisi, jolla on singulaariarvohajotelma UΣV^T, niin tässä tapauksessaΣon n×n matriisi. Lisäksi matriisillaΣon Lemman 3.7 nojalla sama aste kuin matriisillaA. Matriisi Aon kääntyvä, jolloin sen aste onn, ja tällöin myös matriisinΣaste onnja se on kääntyvä.

Lisäksi matriisitUjaVovat ortogonaalisia, joten matriisinA käänteismat-riisi singulaariarvohajotelman mukaan on

A⁻¹ =(UΣV^T)⁻¹

=(V^T)⁻¹Σ⁻¹U⁻¹

=VΣ⁻¹U^T.

Tapauksessa, jossa A ei ole kääntyvä tai edes neliömatriisi, voimme määritellä käänteismatriisin yleistyksen eli pseudoinverssin.

Määritelmä 5.1. Olkoon A m×n matriisi, jonka aste on r. Lisäksi olkoon matriisilla A singulaariarvohajotelma UΣV^T, jossa m× n matriisi Σ on Lauseen 4.2 mukaan muotoa

Σ =





























σ1 · · · 0 ... ... ...

0 · · · σr

0r×(n−r)

0(m−r)×r 0(m−r)×(n−r)



























 .

Tällöin matriisinA pseudoinverssi A⁺on A⁺ =VΣ⁺U^T,

missän×mdiagonaalimatriisiΣ⁺on muotoa

MatriisinΣ⁺nollasta poikkeaviksi alkioiksi tulee matriisinA singulaa-riarvojen käänteisluvut ja matriisista Σ⁺ tulee n×mmatriisi, toisin kuin matriisiΣ, joka onm×nmatriisi. Matriisit lohkoittain kertomalla huoma-taan, että

onm×mneliömatriisi, jossa vasemman yläkulman lohkona onr×r ident-tinen matriisi. Toisaalta

Σ⁺Σ =

onn×nneliömatriisi, jonka vasemman yläkulman lohkona onr×ridenttinen matriisi. Edelleen matriisit lohkoittain kertomalla huomataan, että

(11) ΣΣ⁺Σ = Σ ja Σ⁺ΣΣ⁺= Σ⁺.

Lisäksi matriisien muodoista nähdään, että tulomatriisitΣΣ⁺ ja Σ⁺Σovat symmetrisiä. On siis voimassa yhtälöt

(12) (ΣΣ⁺)^T = ΣΣ⁺ ja (Σ⁺Σ)^T = Σ⁺Σ.

Pseudoinverssi voidaan määritellä myös algebrallisesti käyttäen niin sanottuja Penrosen ehtoja.

Lause 5.2. Olkoon A m×n matriisi. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen n×m matriisi B, joka toteuttaa Penrosen ehdot

(i) ABA=A, (ii) BAB=B, (iii) (AB)^T =AB, (iv) (BA)^T =BA.

Lisäksi matriisi B on muotoa B=A⁺.

Todistus. Tiedämme Lauseen 4.2 nojalla, että matriisille A on olemassa singulaariarvohajotelma UΣV^T. Todistetaan, että lause pätee kun matrii-si B on aiemmin määritelty matriisin A pseudoinverssi A⁺. Olkoon siis B=A⁺ =VΣ⁺U^T. Huomataan, että yhtälöiden (11) ja (12) mukaan matrii-sitΣjaΣ⁺toteuttavat Penrosen ehdot. Tätä tietoa apuna käyttäen voimme osoittaa, että myös matriisitAjaB=A⁺toteuttavat nämä ehdot. Todistetaan aluksi Penrosen ehdot ja sen jälkeen matriisinB=A⁺yksikäsitteisyys.

(i) Yhtälön (11) ja transpoosin laskusääntöjen avulla saadaan ABA=A(VΣ⁺U^T)A

=UΣV^T(VΣ⁺U^T)UΣV^T

=UΣΣ⁺ΣV^T

=UΣV^T

=A.

(ii) Yhtälön (11) ja transpoosin laskusääntöjen avulla saadaan BAB=VΣ⁺U^T(UΣV^T)VΣ⁺U^T

=VΣ⁺ΣΣ⁺U^T

=VΣ⁺U^T

=B.

(iii) Yhtälön (12) ja transpoosin laskusääntöjen avulla saadaan (AB)^T =

(UΣV^T)(VΣ⁺U^T)T

=

U(ΣΣ⁺)U^TT

=U(ΣΣ⁺)^TU^T

=UΣΣ⁺U^T

=UΣV^TVΣ⁺U^T

=AB.

(iv) Yhtälön (12) ja transpoosin laskusääntöjen avulla saadaan (BA)^T =

(VΣ⁺U^T)(UΣV^T)T

=

V(Σ⁺Σ)V^TT

=V(Σ⁺Σ)^TV^T

=VΣ⁺ΣV^T

=VΣ⁺U^TUΣV^T

=BA.

Todistetaan vielä lopuksi matriisinByksikäsitteisyys. Todistuksessa on käy-tetty apuna kirjan [2] kappaleessa 7.7 sivulla 471 olevaa todistusta. Olkoon matriisin B lisäksi myös matriisi C, joka täyttää Penrosen ehdot. Tällöin Penrosen ehtojen ja transpoosin laskusääntöjen avulla saadaan

B⁽ⁱⁱ⁾= BAB C⁽ⁱⁱ⁾= CAC

(iv)= (BA)^TB ⁽ⁱⁱⁱ⁾= C(AC)^T

=A^TB^TB =CC^TA^T

(i)=(ACA)^TB^TB ⁽ⁱ⁾=CC^T(ABA)^T

=A^TC^TA^TB^TB =CC^TA^TB^TA^T

=(CA)^T(BA)^TB =C(AC)^T(AB)^T

(iv)= CABAB ⁽ⁱⁱⁱ⁾= CACAB

(i)=CAB ⁽ⁱ⁾=CAB.

SiispäB=Celi matriisiB=A⁺on yksikäsitteinen.

Tarkastellaan vielä matriisin pseudoinverssin A⁺ toimintaa Kuvan 4 avulla. Kuva on lainattu artikkelista [4], mutta sen merkintöjä on hieman muutettu tähän tutkielmaan sopiviksi. Molempien aliavaruuksien Col (A) ja Row (A) dimensio onr, ja näiden aliavaruuksien välillä matriisiAon aina kääntyvä. Tiedämme Lauseen 4.2 todistuksesta, että

Av_j =σju_j, j=1, . . . ,r.

Tässä {v₁, . . . ,vr} on aliavaruuden Row (A) kanta. Lisäksi {u₁, . . . ,ur} on aliavaruuden Col (A) kanta, jolloin myös{σ1u₁, . . . , σru_r} on aliavaruuden Col (A) kanta. Tällöin matriisiAvie aliavaruuden Row (A) kannan aliava-ruuden Col (A) kannaksi eli se on kääntyvä näiden kahden aliavaaliava-ruuden vä-lillä. Nyt vektoritu₁, . . . ,u_m ovat ortonormaaleja, jolloin kaikillaj=1, . . . ,r

pseudoinverssilleA⁺=VΣ⁺U^Tpätee

Tästä huomataan, että tässä rajoitetussa tilanteessa pseudoinverssiA⁺ toi-mii matriisinAkäänteismatriisina, ja vie sarakeavaruuden vektorit takaisin riviavaruuteen. Lisäksi pseudoinverssiA⁺ vie aliavaruudenN(A^T) vekto-rit nollavektoreiksi. Mikäli Aon n×nmatriisi ja rank (A) = n, niin Aon kääntyvä. Tällöin dimN(A) = dimN(A^T) = 0 ja pseudoinverssi A⁺ yhtyy käänteismatriisinA⁻¹kanssa.

Kuva 4: PseudoinverssinA⁺toiminta.

In document Matriisin singulaariarvohajotelma (sivua 21-37)