Parametrisoinnin aiheuttama virhe
Tarkastellaan tarkemmin kahden ja neljän tunnin mittaisia sovituksia GPS- sekä GLONASS-satelliiteille. Käytetään edelleen dataa GPS-viikoilta 1625-1635 ja tuol-loin kaikkia käytössä olleita satelliitteja. Ennustusten pituudet ovat edelleen aina neljä vuorokautta ja ennustusten alkuhetket aina GPS-viikon alussa. Näytteitä ennustuksesta otetaan 2.5 minuutin välein ja sovituksessa käytetään kuutta tilaa, eli 18 datapistettä.
Rataparametrien ratkaisemisen jälkeen verrataan parametreilla muodostettua rataa alkuperäiseen, eli ennustettuun rataan. Näin saadaan selville, kuinka paljon para-metrisointi muuttaa ennustettua rataa. Vertailun vuoksi on rataparametrit sovitettu myös todelliseen kiertorataan. Parametrisoinnissa syntynyt virhe on esitetty GPS-satelliiteille kuvassa 5.4 ja GLONASS-GPS-satelliiteille kuvassa 5.5.
0 1 2 3 4
0 10 20 30 40
[tuntia]
[cm]
0 1 2
0 2 4 6
[tuntia]
[cm]
95% ennustus 50% ennustus 95% PE 50% PE
Kuva 5.4: GPS-satelliitin ennustetun radan parametrisoinnissa syntynyt virhe, kun sovitusvälin pituus on 2 tuntia ja 4 tuntia. Kuvissa on virheen95%ja50%kvantiilit.
Kuviin on merkitty neliöillä ja ympyröillä ne tilat, joita käytettiin parametrisoin-nissa. Katkoviivalla on piirretty vastaavat virheen kvantiilit, kun sovitus on tehty todelliseen (PE) kiertorataan.
Virhe on hyvin samansuuruista sekä GPS-satelliiteille kuvassa 5.4, että GLONASS-satelliiteille kuvassa 5.5. Näin ollen GPS-GLONASS-satelliiteille alun perin tarkoitetut rata-parametrit sopivat yhtä hyvin myös GLONASS-satelliittien kiertorataan. Tämä onkin luonnollista, sillä eihän satelliitin kiertorataan vaikuttavat ominaisuudet kovin paljoa vaihtele eri järjestelmien satelliiteille.
LUKU 5. SATELLIITIN KIERTORADAN PARAMETRISOINTI 50 Kahden tunnin mittaisella sovituksella päästään alle 10 cm:n tarkkuuteen 95%:n kvantiililla. Ennustuksessa syntynyt virhe on neljän vuorokauden jälkeen kymmeniä metrejä molempien järjestelmien satelliiteille. Tämä tarkoittaa, että parametrisoin-nissa syntynyt virhe on ennustusvirheesen nähden on hyvin pieni. Lisäksi tyypillisen virheen, eli mediaanivirheen, suuruus on noin 2 cm mikä on ennustusvirheeseen suhteutettuna merkityksetön.
Neljän tunnin mittaisella sovituksella päästään95%:n kvantiililla alle 50 cm:n tark-kuuteen ja tyypillinen virhe on noin 10 cm. Tämä tarkkuus riittänee käytännön sovelluksiin. Tällöin sekä sovitusaika että ennustuksen tallentamisessa tarvittavan datan määrä puolittuvat.
0 1 2 3 4
0 15 30 45
[tuntia]
[cm]
0 1 2
0 2 4 6 8
[tuntia]
[cm]
95% ennustus 50% ennustus 95% PE 50% PE
Kuva 5.5: GLONASS-satelliitin ennustetun radan parametrisoinnissa syntynyt virhe, kun sovitusvälin pituus on 2 tuntia ja 4 tuntia. Kuvissa on virheen95%ja50% kvan-tiilit. Kuviin on merkitty neliöillä ja ympyröillä ne tilat, joita käytettiin paramet-risoinnissa. Katkoviivalla on piirretty vastaavat virheen kvantiilit, kun sovitus on tehty todelliseen (PE) kiertorataan.
Mallin sopivuutta satelliitin kiertoradan parametrisointiin testattiin tekemällä sovitus todelliseen (PE) kiertorataan. PE:ssä on paikkakoordinaatit annettu 15 minuutin välein, joten sovitusvirhekin on laskettu 15 minuutin välein, kun se ennus-tuksessa saatiin 2.5 minuutin välein. PE:stä saadun radan parametrisointi antaa hiukan pienempiä sovitusvirheitä verrattuna ennustettuun rataan. Ero ei kuitenkaan ole merkittävä, joten ennustuksen aiheuttama epätarkkuus ei kovin paljoa huononna sovitusta.
Kuvassa 5.6 on vielä tarkasteltu parametrisonnissa syntyvää virhettä GPS- ja GLONASS-satelliiteille sekä verrattu tätä todelliseen kiertorataan (PE) tehtyyn sovitukseen. Kuvassa laatikon sisällä oleva viiva kuvaa mediaanivirhettä eli 50%
LUKU 5. SATELLIITIN KIERTORADAN PARAMETRISOINTI 51
0 2 4 6
[cm]
2 h PE GPS GLONASS
0 10 20 30 40
[cm]
4 h
Kuva 5.6: Parametrisoinnissa syntynyt virhe oikealle (PE) kiertoradalle, sekä GPS-ja GLONASS-satelliiteille ennustetuille kiertoradoille. Vasemmalla on käytetty 2 tunnin ja oikealla 4 tunnin mittaista sovitusväliä.
kvantiilia ja laatikon ylä- ja alareunat kuvaavat 75% ja 25% kvantiileja. Laatikon ulkopuolella olevat ylä- ja alarajat kuvaavat virheen 95% ja 5% kvantiileja.
Parametrisoinnissa tehty sovitus muuttaa siis ennustettua rataa enemmän kuin todellista rataa. GPS-satelliittien ennusteille tehdyt sovitukset muuttavat rataa vähemmän kuin vastaavat GLONASS-satelliiteille. Tässä täytyy huomioida, että sovitus voi muuttaa ennustettua rataa myös parempaan suuntaan eli kohti todellista rataa. Tarkastellaan seuraavaksi parametrisoinnin vaikutusta ennustusvirheeseen.
Parametrisoinnin vaikutus ennustusvirheeseen
Tarkastellaan vielä virheen käyttäytymistä koko neljän vuorokauden ennustuksen aikana. Miten parametrisoinnissa syntynyt virhe muuttaa ennustusta, eli miten virhe jakautuu ennustetun kiertoradan ympärille. Jos sovitus on onnistuneesti tehty ja malli sen puolesta toimiva, tulisi virhejakauman olla ainakin nollakeskeistä.
Aluksi parametrisoidaan jälleen ennustettu kiertorata. Tämän jälkeen laske-taan rataparametreilla muodostetun radan sekä oikean kiertoradan (PE) välisen erotuksen normi. Kun näin saatua virhettä verrataan ennustetun radan ja oikean radan väliseen virheeseen, saadaan selville, miten parametrisointi todellisuudessa muuttaa ennustusta.
Tässä tarkastellaan koko ennustusta, eikä erikseen yksittäisiä sovituksia, täytyy mittausdataa lisätä hiukan. Nyt käytetään ennustuksia GPS-viikoilta 1625-1645 ja kaikki tuolloin käytössä olleet GPS-satelliitit on otettu laskentaan mukaan. Rataen-nusteet ovat edelleen neljän vuorokauden mittaisia ja jokainen ennustus alkaa aina GPS-viikon alusta. Ennustuksia on siis yhteensä noin 600 kappaletta.
LUKU 5. SATELLIITIN KIERTORADAN PARAMETRISOINTI 52 Kuten edellä huomattiin, sovitusvirheen vaikutus on muutaman vuorokauden kuluttua ennustusvirheeseen suhteutettuna pieni. Erityisen kiinnostavaa onkin tarkastella parametrisoinnin vaikutusta nimenomaan ennustuksen alussa ensim-mäisen vuorokauden aikana, jolloin ennustusvirhe ei ole vielä kasvanut kovin suureksi. Kuvassa 5.7 on esitetty ennustusvirhe, sekä parametrisoinnin jälkeinen virhe kahden sekä neljän tunnin sovitusväleillä ensimmäisen vuorokauden alkupuo-liskolla.
Kuvassa 5.7 edelleen laatikot kuvaavat75%,50%sekä25%ja ylärajat95%ja alarajat 5%kvantiileja. Kahden tunnin pituisen sovituksen vaikutukset eivät oikeastaan edes näy ensimmäistenkään tuntien aikana. Neljän tunnin pituisen sovituksen vaikutus on jo nähtävissä, vaikkei sekään prosentuaalisesti kovin merkittävä ole.
0 2 6 10 14
0 4 8 12
[m]
[h]
ennustus sovitus 2h sovitus 4h
Kuva 5.7: GPS-satelliiteille tehdyn ennustuksen alussa muodostunut ennustusvirhe, sekä parametrisoinnin jälkeinen virhe kahden sekä neljän tunnin mittaisilla sovituk-silla.
−5 0 5
0 2000 4000
[cm]
Kuva 5.8: GPS-satelliittien parametrisoidun radan sekä ennustetun radan virheiden välinen erotus, kun sovitusvälinä on 2 tuntia.
Tarkastellaan vielä miten sovitusvirhe jakautuu ennustusvirheen ympärille. Vertail-laan ennustusvirheen ja parametrisoinnin jälkeisen virheen erotusta. Tällöin
LUKU 5. SATELLIITIN KIERTORADAN PARAMETRISOINTI 53 nähdään, parantaako vai huonontaako parametrisoinnin aiheuttama epätarkkuus todellisuudessa ennustusta. Kuvassa 5.8 on piirretty histogrammiin ennustusvirheen sekä parametrisoinnin jälkeisen virheen erotus.
Virhe näyttäisi olevan selvästi nollakeskeistä ja jakauma muistuttaa hiukan enemmän kaksipuolista eksponenttijakaumaa kuin normaalijakaumaa. Yleisimmät tapaukset ovat selvästi aivan nollan ympäristössä, jolloin sovitus ei vaikuta ennus-tusvirheeseen ollenkaan. Nollakeskeisyys takaa sen, että sovitus parantaa yhtä usein kuin huonontaa ennustusta. Pidemmille sovitusväleille jakauma on samanmuotoinen, mutta skaalaus tietysti erisuuruinen. Toisin sanoen jakauma on edelleen nollakes-keistä, mutta hajonta kasvaa sovitusvälin pituuden kasvaessa.
Luku 6
Yhteenveto
Tässä työssä tutkittiin GNSS-satelliitin ennustetun kiertoradan parametrisointia.
Satelliitin kiertorata ennustettiin muodostamalla satelliitille fysikaalinen voima-malli, ja ratkaisemalla tämä numeerista integrointia käyttäen. Ennustettuun kierto-rataan sovitettiin rataparametrit, joita GPS-järjestelmä käyttää satelliittien lähet-tämissä broadcast-efemerideissään. Parametrien sovittamisessa syntyneen epäli-neaarisen optimointitehtävän ratkaisussa käytettiin Levenbergin ja Marquardtin menetelmää. Motivaationa oli ennustetun kiertoradan esittäminen kompaktissa muodossa, jolloin ennustuksen käsittely ja tallennus helpottuu. Tällöin myös eri järjestelmien satelliittien ratatiedot saadaan yhtenevään muotoon.
Työssä tarkasteltiin satelliitin liikeyhtälön yhteyttä ellipsin muotoiseen kiertorataan sekä Keplerin parametreihin. Työssä käytetyt rataparametrit pohjautuvat näihin Keplerin parametreihin, mutta ne ottavat huomioon satelliittiin kohdistuvat häiriö-tekijät. Näiden 16 rataparametrin avulla voidaan kuvata muutaman tunnin pituinen pätkä satelliitin kiertorataa.
Rataparametrimuoto ei sovi täydellisesti ennustettuun kiertorataan, koska jo ennustus sisältää virhettä todelliseen rataan nähden. Toisaalta rataparametrimuoto ei sopinut täydellisesti edes todelliseen kiertorataan. Näin ollen rataparametrit oli estimoitava siten, että parametrisointi muutti mahdollisimman vähän ennustettua rataa. Rataparametrien sovittaminen ennustettuun kiertorataan muotoiltiin epäli-neaarisena optimointitehtävänä, ja se ratkaistiin numeerisesti. Työssä myös tarkas-teltiin epälineaarista optimointia sekä erityisesti työssä käytettyä iteratiivista Leven-bergin ja Marquadtin menetelmää.
Mallin testaaminen tehtiin Matlab-ohjelmistolla, ja työssä käytettiin ainoastaan oikeaa mittausdataa. Ennustamisessa käytettiin satelliittien lähettämiä broadcast-efemeridejä ja satelliitin todellinen kiertorata saatiin precise-efemerideistä (PE).
Efemeridejä on tarjolla verkossa monien laitosten, kuten IGS:n ja NGA:n,
ylläpi-LUKU 6. YHTEENVETO 55 tämänä. Mallia testattiin GPS- sekä GLONASS-satelliittien ennustetuille radoille sekä precise-efemerideistä saaduille todellisille kiertoradoille. Työssä testattiin erityi-sesti kahden ja neljän tunnin pituisia sovituksia, mikä tarkoittaa noin 7000 ja 14000 km pituisia pätkiä ennustettua kiertorataa xyz-koordinaatteina. Työssä tutkittiin, kuinka hyvin 16 rataparametria pystyy kuvaamaan näitä koordinaatteja.
Havaittiin, että kahden tunnin mittainen sovitus aiheutti noin 2 cm:n suuruista mediaanivirhettä molempien järjestelmien satelliiteille ja neljän tunnin sovituksen aiheuttama mediaanivirheeksi saatiin noin 10 cm. Lisäksi lähes aina (95%) sovituk-sessa syntynyt virhe jäi kahden tunnin sovituksella alle 6 cm:n ja neljän tunnin sovi-tuksella alle 40 cm:n. Ennustusvirheeseen suhteutettuna nämä virheet olivat neljän vuorokauden ennustuksessa kahta kertaluokkaa pienempiä. Sovituksen aiheuttamat vaikutukset ennustusvirheeseen olivat nähtävissä ainoastaan ennustuksen ensim-mäisen vuorokauden aikana pidemmälle neljän tunnin sovitusvälille.
Edellä kuvatut sovitusvirheet ovat merkityksettömiä ennustusvirheeseen nähden.
Siispä parametriesitys on riittävän tarkka tämän työn käyttötarkoitukseen, missä valmiiksi jo epätarkka kiertorata haluttiin esittää kompaktissa muodossa. Kuitenkin tarkkaan kiertorataan (PE) tehty sovitus aiheutti vain hiukan vähemmän virhettä kuin ennustettuun rataan tehty sovitus. Pidemmällä 4 tunnin sovitusvälillä virhe tarkkaan rataan tehdyssä sovituksessa suurimmillaan (95%-kvantiili) noin 25 cm.
Tämä on huomattavan paljon, kun verrataan GPS-järjestelmän broadcast efeme-ridin tarkkuuteen. Tämä antaakin aihetta pohtia, paljonko broadcast efemeefeme-ridin ja precise efemeridin välisestä virheestä aiheutuu ennustuksesta ja paljonko mallin epäsopivuudesta. Olisiko GPS-järjestelmässäkin syytä siirtyä käyttämään 2 tunnin sovitusväliä nykyisen ±2 h sijaan?
Työssä havaittiin myös, että parametrisoinnissa tehty sovitus aiheuttaa ennustusvir-heeseen sekä positiivista että negatiivista vaikutusta. Ennustusvirheen vertaileminen parametrisoinnin jälkeiseen virheeseen osoitti, että sovitusvirhe jakautui nollakeskei-sesti ennustusvirheen ympärille. Toisin sanoen parametrisointi paransi ennustusta yhtä usein kuin huononsi tätä. Lisäksi jakaumasta havaittiin, että tyypillisimmässä tapauksessa parametrisointi ei oikeastaan vaikuttanut ennustusvirheeseen millään tavalla.
Työssä käytetyt rataparametrit ovat alunperin tarkoitettu vain GPS-järjestelmän satelliiteille. Myös muiden GNSS-järjestelmien satelliitit kiertävät suunnilleen samalla korkeudella Maan pinnasta, jolloin niiden kiertoradatkin ovat lähtökoh-taisesti samankaltaisia. Rataparametrien sopivuutta testattiin työssä onnistuneesti myös GLONASS-järjestelmän satelliiteille. Tämä antaakin aihetta olettaa, että mallin soveltaminen myös muihin GNSS-järjestelmiin onnistuu.
Kirjallisuutta
[1] Ali-Löytty, S., Collin, J., Leppäkoski, H., Sairo, H., ja Sirola, N. Paikannuksen matematiikka, 2008. Opintomoniste, math.tut.fi/posgroup/paikannuksen_
matematiikka_2010b.pdf.
[2] Arfken, G. and Weber, H. Mathematical Methods for Physicists. Academic Press, San Diego (CA), 5th edition, 2001. 1112 p.
[3] CDDIS: GPS Broadcast ephemeris files published by Crustal Dynamics Data Information System. [www; referred 23-January-2012] ftp://igs.ensg.ign.
fr/pub/igs/data/.
[4] Curtis, H. Orbital Mechanics for Engineering Students. Butterworth-Heinemann, Oxford (UK), 2nd edition, 2010. 744 p.
[5] Dennis, J. and Schnabel, R.Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations. SIAM, Philadelphia, 1996. 378 p.
[6] Elden, L., Wittmeyer-Koch, L., and Nielsen, H. Introduction to Numerical Computation: analysis and MATLAB illustrations. Studentlitteratur, Sweden, 1st edition, 2004. 375 p.
[7] Ferdinand, V. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems.
Springer, United States, 2nd edition, 2000. 311 p.
[8] Global navigation satellite system GLONASS: Interface Control Document (GLONASS ICD), version 5.1, (2008), Russian Institute of Space Device Engi-neering/Research., http://facility.unavco.org/data/docs/ICD_GLONASS_
5.1_(2008)_en.pdf.
[9] GPS-World, Gakstatter, E., Perspectives - October 2007, http://gpsworld/
survey.com/survey/pespectives-october-2007-7280.
[10] Haataja, J.Optimointitehtävien ratkaiseminen. Picaset Oy, Helsinki, 3. painos, 2004. 245 s.
[11] IGS: GLONASS Broadcast ephemeris files published by International GNSS Service. [www; referred 23-January-2012] ftp://igs.ensg.ign.fr/pub/igs/
data/.
56
KIRJALLISUUTTA 57 [12] IGS: GPS Precise ephemeris files published by International GNSS Service.
[www; referred 23-January-2012]ftp://igscb.jpl.nasa.gov/pub/product/.
[13] IGS: GLONASS Precise ephemeris files published by International GNSS Service. [www; referred 23-January-2012] ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/pub/
gps/data/hourly.
[14] Kaleva, O. Matemaattinen optimointi 1. Tampereen Teknillinen Yliopisto, 1999. Opetusmoniste.
[15] Kaplan, E. and Christopher, H. Understanding GPS: principles and applica-tions. Artech House, Norwood (MA), 2nd edition, 2006. 554 p.
[16] Karttunen, H., Donner, K., Kröger, P., Oja, H., ja Poutanen, M. Tähtitieteen perusteet. Ursa, Helsinki, 5. painos, 2010. 680 s.
[17] Kouba, J. A Guide to Using International GNSS Service (IGS) Products (2009), Geodetic Survey Division Natural Resources Canada, http://igscb.
jpl.nasa.gov/igscb/resource/pubs/UsingIGSProductsVer21.pdf.
[18] Larson, R., Hostetler, R., and Edwards, B. Calculus with analytic geometry.
Houghton Mifflin Company, USA, 8th edition, 2006. 1138 p.
[19] Lay, D. Linear algebra and its applications. Addison Wesley Longman, Inc, United States, 3rd edition, 2003. 492 p.
[20] Madsen, K., Nielsen, H., and Tingleff, O. Methods for non-linear least squares problems. Technical University of Denmark, 2004. tutorial,http://www2.imm.
dtu.dk/pubdb/views/publication_details.php?id=3215.
[21] Mansfield, M. and O’Sullivan, C. Understanding Physics. John Wiley & Sons, Chichester, 2nd edition, 2011. 680 p.
[22] Marquardt, D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parame-ters. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 11(2):431–
441, 1963.
[23] Misra, P. and Enge, P. Global Positioning System: Signals, Measurements, and Performance. Ganga-Jamuna Press, Lincoln (MA), 2nd edition, 2006. 569 p.
[24] Monahan, J. Numerical Methods of Statistics. Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 1st edition, 2001. 428 p.
[25] Montenbruck, O. and Gill, E. Satellite Orbits. Springer, Berlin Heidelberg New York, 3rd edition, 2005. 369 p.
[26] Morris, H., Stephen, S., and Robert, D. Differential Equations, Dynamical Systems and An Introduction to Chaos. Elsevier Academic Press, United States, 2nd edition, 2004. 417 p.
KIRJALLISUUTTA 58 [27] Nocedal, J. and Wright, S. Numerical Optimization. Springer, USA, 1st edition,
1999. 645 p.
[28] Petit, G. and Luzum, B. Iers conventions (2010). IERS Technical Note 36, Verlag des Bundesamts für Katographie und Geodäsie, Frankfurt am Main, 2010. 179 p.
[29] Poole, D. Linear algebra, A Modern Introduction. Brooks/Cole, United States, 1st edition, 2003. 763 p.
[30] Poutanen, M. Satelliittipaikannus-kirjan käsikirjoitusta, luvut 1-3 (osit-tain), 2007. [www; haettu 9-elokuu-2011], http://www.fgi.fi/~mp/
tiedostot/gpskirja.pdf.
[31] Ranganathan, A. The Levenberg-Marquardt Algorithm, 2004. [www; referred 3-February-2012],http://ananth.in/docs/lmtut.pdf.
[32] Seidelmann, P. K. Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac.
University Science Books, USA, 2nd edition, 2006. 753 p.
[33] Seppänen, M. GPS-satelliitin radan ennustaminen. Tampereen teknillinen yliopisto, Tampere, 2010. Diplomityö.
[34] Seppänen, M., Ala-Luhtala, J., Piché, R., Martikainen, S., and Ali-Löytty, S.
Autonomous prediction of GPS and GLONASS satellite orbits. NAVIGATION, 2012. (accepted).
[35] Seppänen, M., Perälä, T., and Piché, R. Autonomous Satellite Orbit Prediction.
International Technical Meeting, San Diego, California, 2011.
[36] Stewart, J. Calculus, Concepts And Contexts. Brooks/Cole, United States, 2nd edition, 2001. 988 p.
[37] Wells, D. and Beck, N. Guide to GPS positioning. Canadian GPS Associates, Canada, 1st edition, 1999. 601 p.
[38] Wolfram MathWorld, ellipse [www; referred 9-February-2012] http://
mathworld.wolfram.com/Ellipse.html.
[39] Young, H. and Freedman, R. University Physics. Addison-Wesley Publishing Company, USA, 10th edition, 2000. 1513 p.
Liite A
Ellipsin yhtälö
Newtonin lakien seurauksena satelliittien kiertoradat ovat elliptisiä. Ellipsi on taso-kuvio myös avaruudessa, joten yleisyyttä loukkaamatta voidaan siis rajoittua xy-tasolle. Tämän jälkeen ellipsi voidaan koordinaatistomuunnoksilla suunnata avaruu-dessa haluttuun asentoon kolmen kulman avulla. [38]
Määritelmä A.1. Ellipsi on tason niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys kahdesta kiinteästä pisteestä on vakio. [18, s. 697]
Ellipsin määritelmän kahta kiinteää pistettä sanotaan ellipsin polttopisteiksi. Merki-tään polttopisteiden etäisyyksiä pisteestä (x, y)kirjaimilla r1 jar2. Tällöin voidaan ellipsin määritelmän toteuttava yhtälö kirjoittaa muodossa
r1+r2 =vakio =: 2a, missä vakio 2a on määritelmässä annettu etäisyys.
Ellipsi voidaan sitoa suorakulmaiseen koordinaatistoon xy-tasolle siten, että polt-topisteet sijaitsevat x-akselilla pisteissä (−c,0) ja (c,0). Tällöin ellipsin yhtälöksi saadaan
q(x−c)2+y2+q(x+c)2+y2 = 2a
Siirretään vasemmanpuoleinen neliöjuurilauseke oikealle puolelle ja korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. Tällöin saadaan
x2+ 2cx+c2 +y2=x2−2cx+c2 +y2−4aq(x−c)2 +y2+ 4a2. Ratkaistaan tästä neliöjuurilauseke
q(x−c)2+y2 = 1
4a(4a2−4cx) =a−cx a ,
LIITE A. ELLIPSIN YHTÄLÖ 60 ja korotetaan puolittain toiseen potenssiin, jolloin saadaan
x2−2cx+c2+y2 =a2−2cx+c2x2 a2 . Järjestelemällä termejä sopivasti saadaan yhtälö muotoon
x2
a2 + y2
a2−c2 = 1.
Ellipsi leikkaa siis x-akselin pisteissä (±a,0) ja vastaavasti y-akselin pisteissä (0,±√
a2−c2). Merkitään jälkimmäisessä olevaa termiäb =√
a2−c2. Vakioitaaja b sanotaan ellipsin puoliakseleiksi.
Kuva A.1: Ellipsin parametrit
Alussa tehdyn oletuksen mukaisesti polttopisteet sijaitsivat x-akselilla siten, että ellipsin keskipiste sijaitsee origossa. Tarvittaessa tästä oletuksesta voidaan luopua, jolloin ellipsin keskipiste voidaan asettaa pisteeseen (x0, y0). Tällöin ellipsin yhtälö saadaan esitettyä kirjallisuudessa useimmiten nähdyssä muodossa
(x−x0)2
a2 + (y−y0)2
b2 = 1. (A.1)
Asetetaan toinen ellipsin polttopisteistä origoon, jolloin ellipsin keskipisteeksi saadaan (−c,0). Muutetaan seuraavaksi ellipsin yhtälö napakoordinaattimuotoon.
Tällöin jokainen xy-tason piste(x, y)voidaan kirjoittaa origosta mitatun etäisyyden r ja x-akselista mitatun kulman ν avulla
( x=rcos(ν) y=rsin(ν)
LIITE A. ELLIPSIN YHTÄLÖ 61 Sijoitetaan tämä ellipsin yhtälöön (A.1), jolloin saadaan
(rcos(ν) +c)2
a2 +(rsin(ν))2 b2 = 1
⇔ b2c2+ 2b2crcos(ν) +r2cos2(ν) +a2r2sin2(ν)−a2b2 = 0
⇔ b2c2+ 2b2crcos(ν) +r2cos2(ν) +a2r2−a2r2cos2(ν)−a2b2 = 0
Tässä käytettiin trigonometriaasin2(ν) = 1−cos2(ν)hyödyksi. Merkitään vakioiden c ja a suhdetta, eksentrisyyttä, vakiolla e = c/a. Koska c ja a ovat positiivisia ja a < c, niin eksentrisyys on rajoitettu välille 0 < e < 1. Tällöin toinen puoliakseli voidaan kirjoittaa muodossa b = a√
1−e2. Sijoittamalla nämä edelliseen yhtälöön saadaan
a2(1−e2)a2e2+ 2a2(1−e2)aercos(ν) +a2(1−e2)r2cos2(ν) +a2r2−a2r2cos2(ν)−a2a2(1−e2) = 0
⇔ (1−e2)a2e2 + 2(1−e2)aercos(ν)−e2r2cos2(ν) +r2−a2(1−e2) = 0
⇔ (1−e2)a2−2·ercos(ν)·(1−e2)a+ (ercos(ν))2 =r2
⇔ ercos(ν)−(1−e2)a2 =r2
⇔ r =±(1−e2)a−ercos(ν). Koska etäisyys r on ei-negatiivinen, valitaan
r = (1−e2)a−ercos(ν) Näin saadaan ellipsin yhtälö napakoordinaattimuodossa
r = a(1−e2)
1 +ecos(ν). (A.2)
Liite B
Liikefunktion
Lipschitz-jatkuvuuden todistus
Luvussa 3 liikeyhtälön ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden tutkimi-sessa tarvittiin tietoa liikefunktion jatkuvuudesta. Määritellään Lipschitz-jatkuvuus seuraavaksi:
Määritelmä B.1. Funktio ~h : Rn → Rn on Lipschitz-jatkuva joukossa D ⊆ Rn, mikäli on olemassa vakio λL ∈R+ siten, että
~h(~y1(t))−~h(~y2(t))≤λLk~y1(t)−~y2(t)k, ∀~y1(t), ~y2(t)∈D, missä Lipschitz-vakio λL ei riipu vektoreiden ~y1(t) ja~y2(t) valinnasta. [7, s. 3]
Tarkastellaan luvussa 3 esitettyä liikefunktiota (3.2), joka määrittää gravitaatio-laista johdetun ensimmäisen asteen epälineaarisen differentiaaliyhtälöryhmän. Liike-funktio voidaan kirjoittaa matriisimuodossa
~h(~y(t)) = A~y(t) = ˙~y(t), (B.1) missä käytetään merkintöjä
~y(t) = ~r
~r˙
!
∈R6, A=
0 I
−k~rµk3I 0
∈R6×6. (B.2)
Näytetään nyt, että liikefunktio on tietyin rajoituksin Lipschitz-jatkuva.
Tarkastelemalla matriisia A (B.2) huomataan, että funktiolla ~h on epäjatkuvuus-kohta, kun paikkavektori on nollavektori. Annetaan nyt paikkavektorin lähestyä nollavektoria, jolloink~rk →0ja k~rµk3 → ∞. Tällöink~yk → k~r˙k, muttak~h(~y)k → ∞.
LIITE B. LIIKEFUNKTION LIPSCHITZ-JATKUVUUDEN TODISTUS 63 Tällä tarkastelulla havaitaan, että funktio ~h ei ole Lipschitz-jatkuva ainakaan vektorin~y= (~0T,~r˙T)T ympäristössä.
Tarkastellaan nyt tilannetta tämän epäjatkuvuuskohdan ulkopuolella. Oletetaan, että
Tämä oletus voidaan tässä työssä tehdä, kun muistetaan, että GNSS-satelliitit kier-tävät Maata yli 25000 km korkeudella. [30, s. 121] Lisäksi kasvattamalla vakion λL
arvoa päästään mielivaltaisen lähelle epäjatkuvuuskohtaa ~y = (~0T,~r˙T)T. Kiinnite-tään nyt tämä vakio. Tällöin saadaan
D= indeksointi siten, ettäk~r2k ≤ k~r1k. Johdetaan aluksi kaksi aputulosta, joiden avulla saadaan sitten osoitettua Lipschitz-jatkuvuus.
alaspäin. Näin saatua aputulosta (B.4) käyttämällä saadaan toinen aputulos
LIITE B. LIIKEFUNKTION LIPSCHITZ-JATKUVUUDEN TODISTUS 64 Edelleen käyttämällä tätä aputulosta (B.5) sekä oletusta (B.3) saadaan
Epäyhtälöstä (B.7) voidaan ottaa puolittain neliöjuuret, jolloin saadaan
~h(~y1)−~h(~y2)≤λLk~y1−~y2k. Näin ollen funktio~h on Lipschitz-jatkuva joukossa D.