Pääkohdat:
1. Induktanssi ja itseinduktanssi 2. LR-virtapiirit
3. Magneettikentän energia
4. LC- ja RLC-virtapiirien oskillointi
5. Ferromagnetismi, paramagnetismi ja diamagnetismi
Edellisen luvun alussa esitetyssä Henryn (ja Faradayn) ko-keessa primäärikäämin virran aiheuttama magneettivuon muu-tos indusoi jännitteen sekundäärikäämiin. Tätä sanotaan ky-seisten virtapiirien (tai ko. kelojen) keskinäisinduktioksi. Ke-lan synnyttämän magneettivuon muutos indusoi jännitteen myös kelaan itseensä. Tätä kutsutaan itseinduktioksi.
32.1. Induktanssi
Tarkastellaan oheista virta-piiriä, johon kytketään virta hetkellä t0. Vaihtokytkimen asennossa a) virta saa maksimiarvonsa heti, mutta asennossa b) itseinduktios-ta johtuen viiveellä.
Oman vuonsa vuoksi kelaan indusoitunut jännite on E = – N dΦ/dt,
joka siis aiheuttaa viiveen virran I kasvuuun. Indusoituneen jännitteen napaisuus on sellainen, että se vastustaa virran muutosta.
Tarkastellaan seuraavaksi oheista kelaa 1 (N1), jossa kokonaisvuo
Φ1 = Φ11 + Φ12
on summa omasta Φ11 ja kelan 2 (N2) vuosta Φ12. Tällöin kelaan 1 indusoituva jännite on
E1 = – N1 d/dt (Φ11 + Φ12).
Itseinduktanssi
Jos magneettisia aineita ei ole läsnä, kelan synnyttämä vuo on verrannollinen sen virtaan ja voidaan kirjoittaa
N1 Φ11 = L1 I1,
missä verrannollisuuskerroin L1 on kelan itseinduktanssi. Täl-löin
E11 = – L1 dI1/dt.
Itseinduktanssi riippuu kelan koosta ja muodosta sekä johdin-kierrosten lukumäärästä. Itseinduktanssin SI-yksikkö on henry, 1 H = Vs/A = Wb/A.
(32.3) (32.1)
(32.2)
(32.4)
Keskinäisinduktanssi
Samoin voidaan kirjoittaa kelan 2 synnyttämälle vuolle kelaan 1
N1 Φ12 = M I2,
missä M on kelojen 1 ja 2 keskinäisinduktanssi. Voidaan osoittaa, että M12 = M21 = M. Siten virran I2 indusoima jännite kelaan 1 on
E12 = – M dI2/dt.
Kelojen keskinäisinduktanssi riippuu, paitsi molempien kelojen ominaisuuksista erikseen, myös kelojen keskinäisestä etäisyy-destä ja asennosta. Myös keskinäisinduktanssin yksikkö on henry.
Esim. 32.1: Pitkän solenoidin pituus on l, poikkileikkauksen pinta-ala A ja siinä on N kierrosta. Mikä on sen itseinduktans-si?
(32.5)
(32.6)
32.2. LR-virtapiirit
Määrätään seuraavaksi virta I = I(t) oheisessa piirissä kytkennän K1 (t = 0) jälkeen. Kirchhoffin silmukka-säännön mukaan
mikä voidaan ratkaista esim. sijoi-tuksella y = E/R – I. Ratkaisu on
I = I∞ ( 1 – e–t/τ ), missä I∞ = E/R ja
τ = L/R
on eksponentiaalisen aikariippuvuuden aikavakio.
Totea ratkaisu vir-taa, kun em. piiriin lisätään kytkin K2, joka kytketään sa-malla hetkellä (t = 0), kun K1 avataan. Tällöin
josta saadaan
kun τ = L/R. Siten
I = I0 e–t/τ.
Vertaa tulosta kondensaattorin varaamiseen ja purkamiseen RC-piirissä, kappaleessa 28.4, jolloin siis τ = RC.
32.3. Kelaan varastoitunut energia
Tarkastellaan edellisen kappaleen mukaista virran kasvua LR-piirissä, yht. (32.7), josta
Jännitelähteen teho on
missä jälkimmäinen termi on kelan ottamaa tehoa
Niinpä kelaan varastoitunut energia on eli
UL = 1/2 L I2.
Tätä voidaan jälleen verrata kondensaattoriin varastoitunee-seen energiaan UC = 1/2 Q2/C.
Magneettikentän energiatiheys
Kelaan varastoituneen energian voidaan katsoa olevan sen magneettikentässä. Tarkastellaan solenoidia, jolle B = µ0 n I ja esimerkissä 32.1 saatiin induktanssiksi L = µ0 n2 A l. Koska siten I = B / µ0n, saadaan
U = 1/2 L I2 = 1/2 µ0 n2 A l (B / µ0n)2 = Al B2 / 2µ0. Nyt Al on solenoidin tilavuus, joten solenoidin magneettiken-tän energia tilavuusyksikköä kohti on U / Al eli
uB = 1/2 B2 / µ0.
Tämä on magneettikentän energiatiheys yleisemminkin. Ver-taa sähkökentän energiatiheyden lausekkeeseen uE = 1/2 ε0 E2.
32.4. Vapaasti värähtelevä LC-piiri
Oheisen piirin kondensaattori on aluksi varattu, Q0 = C V0 ja UE = Q02 / 2C.
Kytkennän jälkeen virta I: 0 → I0 = Imax purkaa kondensaattorin varauksen ja siirtää energian kelaan, I0 = B0 / µ0n ja UB = 1/2 LI0 2. Tämän jälkeen virta I va-raa taas kondensaattorin, nyt vastak-kaiseen jännitteeseen, – Q0 = – C V0 ja
UE = Q02 / 2C, jonka jälkeen sama toistuu virran kulkiessa vas-takkaiseen suuntaan.
Edellä kuvattu tapahtumasarja voidaan ratkaista täsmällisesti soveltamalla kytkentään Kirchhoffin silmukkasääntöä, josta
Q/C – L dI/dt = 0.
(32.13)
koska I = – dQ/dt, on dI/dt = – d2Q/dt2 ja saadaan d2Q/dt2 + (1/LC) Q = 0.
Kun merkitään
ns. LC-piirin ominaiskulmataajuus, voidaan differentiaaliyhtä-lön ratkaisu kirjoittaa muodossa
Q = Q0 cos ω0t.
Totea:
Piirin virta on I = – dQ/dt = ω0 Q0 sin ω0t, joten
I = I0 sin ω0t, missä I0 = ω0 Q0.
Koska I02 = ω02 Q02 = Q02 / LC, piirin kokonaisenergia on U = UE + UB = 1/2 Q2 / C + 1/2 L I2
= 1/2 Q02/C cos2ω0t + 1/2 LI02 sin2 ω0t
= 1/2 Q02/C (cos2 ω0t + sin2 ω0t) = 1/2 Q02/C = 1/2 LI02, joka on ajasta riippumaton.
Vertaa harmoniseen oskillaattoriin!
(32.14) ω0 = 1
LC ,
(32.15)
(32.16)
32.5. LC-piirin vaimenevat värähtelyt
Todellisuudessa LC-piirin värähtelyt aina vaimenevat, koska piirin energiaa kuluu ohmisiin vastuksiin sekä säteilee pois sähkömagneettisena säteilynä.
Kun LC-piirissä on resistanssi R Kirch-hoffin silmukkasäännöstä saadaan
ja
Ratkaisu käyttäytyy samoin kuin vaimenevan harmonisen os-killaattorin ratkaisu.
(32.17) Q
C – IR – L dI dt = 0 L d2Q
dt2 + R dQ dt + Q
C = 0 .
32.6. Aineiden magneettiset ominaisuudet
Aineet jaetaan niiden magneettisten ominaisuuksiensa perus-teella kolmeen ryhmään: ferromagneettiset (esim. Fe, Ni, Co, CrO2, Fe3O4, ...), paramagneettiset (esim. Al, Cr, K, ...) ja diamagneettiset
(esim. Cu, C, Ag, Au, Pb, ...). Niiden koke-mat voimavaikutukset epähomogeenisessa magneettikentässä ovat erilaiset.
Ulkoisessa magneettikentässä B0 aineen magneettikenttä on B = B0 + BM = (1+χm) B0 = κm B0 ,
missä χm on ko. aineen magneettinen suskeptibiliteetti ja κm on suhteellinen permeabiliteetti (merk. myös µr).
Atomaariset momentit
Aineiden magneettiset ominaisuudet perustuvat elektronien rataliikkeen (orbitaalien) aiheuttamiin magneettisiin moment-teihin atomeissa sekä elektronien spiniin liittyviin magneettisiin momentteihin. Esimerkissä 29.6 sivulla 89 todettiin, että vety-atomin klassillisessa mallissa µ = eL / 2m (= µB), missä L on rataliikkeen liikemäärämomentti. Kvanttimekaniikan mukaan atomeissa elektronin rataliikkeeseen liittyvä µ = l µB; l = 0, 1, 2, ...; missä Bohrin magnetoni
µB = e\ / 2m
ja edelleen elektronin spiniin liittyvä µ = µB.
Nämä alkeismomentit voivat esiintyä siten, että atomeilla on magneettinen momentti tai pareittain siten, että atomeilla ei ole nettomomenttia.
(32.22)
(32.23)
Diamagnetismi on seurausta aineeseen indusoituneista mag-neettisista momenteista, jotka Lenzin lain mukaan pyrkivät pienentämään ulkoista magneettikenttää, χm ≈ – 10–5 < 0. Kai-kissa aineissa esiintyy diamagnetismia, joskin se peittyy mah-dollisen para- tai ferromagnetismin alle. Suprajohteet ovat täydellisiä "diamagneetteja", χ = –1 ja B = 0.
Paramagnetismi on seurausta aineen atomien tai molekyy-lien pysyvistä magneettisista momenteista. Ne orientoituvat kentän suuntaan sitä vahvistaen, χm ≈ 10–5 > 0. Koska lämpö-liike vähentää (sekoittaa) alkeismagneettien orientoitumista, on paramagnetismi lämpötilasta riippuvaa.
Ferromagnetismi aiheutuu atomaarisista magneettisista mo-menteista, jotka pyrkivät
järjes-tymään spontaanisti. Järjestys esiintyy alueissa, joiden koko on millimetrien luokkaa. Ferro-magneettisen aineen magneet-tikentässä esiintyy ns. hystere-sistä eli jäännösmagnetismia, joka aiheutuu em. makroskoop-pisten alueiden järjestyksen "hi-taasta" muuttumisesta ulkoisen
1. Virran, jännitteen ja tehon hetkelliset, huippu- ja teholliset arvot
2. Virran ja jännitteen vaihe-ero 3. RLC-piirit
4. Muuntaja
Tasavirtaa merkitään tavallisesti DC (Direct Current) ja vaihto-virtaa AC (Alternating Current). Vaihtovirran suunta vaihtelee jaksollisesti ja yleensä sini-funktion mukaisesti. Sähköener-gian siirrossa käytetään yleensä vaihtovirtaa ja useimmat säh-kölaitteet toimivat vaihtovirralla.
33.1. Käsitteitä ja merkintöjä
Käytetään seuraavassa pieniä kirjaimia virtapiirin virran ja jän-nitteen hetkellisille arvoille
i = i0 sin ωt ja
v = v0 sin (ωt + φ),
missä amplitudit i0 ja v0 ovat ns. huippuarvoja ja φ on virran ja jännitteen vaihe-ero. Mikäli vaihe-ero φ = 0, sanotaan, että piirin virta ja jännite ovat samassa vaiheessa, jolloin ne saa-vat hetkellisen huippuarvonsa samanaikaisesti. Näin ei ylei-sesti ole.
Vaihtojännitelähdettä merkitään ; eikä vaihtovirtaa osoit-tavan nuolen suunnalla ole yleensä merkitystä.
(33.1) (33.2)
33.2. Resistanssi AC-piirissä ja teholliset arvot
Resistanssin virta ja jännite ovat samassa vaiheessa, vR = v0R sin ωt,
missä
v0R = i0 R, ja hetkellinen teho on
p = i2 R = i02 R sin2 ωt.
tehollinen arvo eli rms-arvo (root mean square) on
I = √(i2)av = i0 / √2 ≈ 0.707 i0. Vastaavasti jännitteen tehollinen arvo I R on
V = √(v2)av = v0 / √2 ≈ 0.707 v0 ja
VR = I R sekä keskimääräinen teho (rms-teho)
PR = I2 R = V2 / R.
Esim. 33.1: Mitkä ovat jännitteen ja virran huippuarvot tavalli-sessa 100 W hehkulampussa 220 V verkkojännitteessä?
(33.5a)
Jännite voidaan kirjoittaa vL = v0L cos ωt
= v0L sin (ωt +90°),
joten jännite on 90° eli π/2 vir-taa edellä. Virran ja jännit-teen huippu- ja tehollisille ar-voille voidaan kirjoittaa
v0L = i0 XL ja VL = I XL, missä
XL = ω L
on kelan reaktanssi. Reaktanssin SI-yksikkö on ohmi.
Kelan reaktanssi siis "toimii resistanssin tavoin vastustaen"
vaihtovirran kulkua. Kelan reaktanssi on suoraan verrannolli-nen vaihtovirran taajuuteen ja sen hetkelliverrannolli-nen teho on
p = i vL = i0 v0L sin ωt cos ωt ,
mutta jakson yli keskimääräistettynä teho häviää P = pav = 0.
(33.8) (33.9)
(33.10) (33.11)
33.4. Kondensaattori vaihtovirtapiirissä
Kondensaattorin varaus q = ∫ i dt
= ∫ i0 sin ωt dt = – i0/ω cos ωt + vakio eli q = – i0/ω cos ωt ,
kun vakio valitaan nollaksi. Koska kon-densaattorin jännite vC = q/C, niin vC = – i0/ωC cos ωt = – v0C cos ωt eli jännitteen huippuarvo on
v0C = i0 1/ωC.
Nyt vC = – v0C cos ωt =
= v0C sin(ωt – 90°) eli jännite on nyt 90° virtaa jäljessä.
Samoin kuin kelalle voidaan myös kondensaattorillekin kirjoit-taa
v0C = i0 XC ja VC = I XC, missä kondensaattorin reaktanssi on
XC = 1 / ωC.
Kondensaattorin reaktanssi on kääntäen verrannollinen taa-juuteen. Myös kondensaattorin ottama teho on keskimäärin nolla.
(33.12)
(33.13)
(33.14)
(33.15)
33.5. Vektoridiagrammit
(ja kompleksilukuesitykset)
Vaihtovirtapiirin virtojen ja jännitteiden huippuarvoja voidaan kuvata vektoreilla (tai kompleksiluvuilla), jotka pyörivät origon ympäri kulmataajuudella ω ja muodostavat kulman ωt + φ po-sitiivisen x-akselin kanssa. Tällöin vektoreiden y-komponentit antavat virtojen ja jännitteiden hetkelliset arvot.
.
33.6. RLC-sarjapiirit
RLC-sarjapiirin kaikkien komponenttien virta on sama ja jännit-teille v – vR – vC – vL = 0. Jännitteen hetkellinen arvo saadaan vektoridiagrammista, jossa v0 = v0R + v0C + v0L. Vektorien yh-teenlaskusääntöjen avulla
v02= v0R2 + (v0L – v0C)2
= i02 [ R2 + (XL – XC)2 ]
= i02 Z2 .
Siten voidaan kirjoittaa v0 = i0 Z ja V = I Z, missä
Z = √[ R2 + (XL – XC)2 ] on piirin impedanssi.
(33.16) (33.17)
Koska v0R ja i0 ovat aina samansuuntaisia, v0- ja i0-vektoreiden välinen vaihe-erolle φ on voimassa
tan φ = (XL – XC) / R .
33.7. RLC-sarjapiirin resonanssi
RLC-sarjapiirin virta on siis
joka taajuuden muuttuessa saa maksimiarvonsa, kun XL = XC eli ωL = 1 / ωC. Tämä, ns. reso-nanssitaajuus on siten
joka on sama kuin aikaisemmin todettu LC-piirin ominaistaa-juus. Virran maksimiarvoksi resonanssitaajuudella tulee
Imax = V / R.
33.8. Vaihtovirtapiirin ottama teho
Vaihtovirtapiirin hetkellinen teho on p = i v = i0 v0 sin ωt sin(ωt + φ)
= i0 v0 [ sin2 ωt cos φ + sin ωt cos ωt sin φ ] , jonka keskiarvo jakson yli on
P = pav = i0 v0 [ 1/2 × cos φ + 0 × sin φ ]
= 1/2 i0 v0 cos φ,
missä φ on jännitteen ja virran välinen vaihe-ero.
(33.18)
I = V
Z = V
R2 + (XL – XC)2 ,
ω0 = 1
LC , (33.19)
(33.20)
Koska 1/2 i0 v0 = (i0 / √2) × (v0 / √2) = I V ja vektoridiagram-min mukaan v0 cos φ = v0R = i0 R , saadaan ns. pätöteho
P = I V cos φ = I2 R.
Termi cos φ on nimeltään tehokerroin. Pätöteho P = I2 R = (V/Z)2 R voidaan kirjoittaa vielä muotoon
33.9. Muuntaja
Muuntajalla voidaan muuttaa vaihtovirran jännitettä. Koska E1 = – N1 dΦ/dt ja E2 = – N2 dΦ/dt, niin
E1 / E2 = N1 / N2 .
Mikäli sekundääripiiriä ei kuormi-teta, on primääripiirissä cos φ = 0, eikä primääripiiri ota tehoa.
(33.21)
P = V2 R R2 + ωL – 1
ωC
2 . (33.22)
(33.23)