Lause. Lineaarisella yhtälöryhmällä on ratkaisuja joko
• tasan yksi
• ei lainkaan tai
• äärettömän monta.
Seuraavassa esimerkkejä. Todistamme lauseen lopuksi.
Kaikilla yhtälöryhmillä ei ole ratkaisua
Yhtälöryhmän ratkaisuksi kutsutaan niitä muuttujien arvoja, joilla kaikki yh-tälöryhmän yhtälöt ovat yhtä aikaa tosia. Mikäli yhtälöt eivät voi olla yhtä aikaa tosia muuttujien arvosta riippumatta, yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.
Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöparia
x+ 2y = 3 x+ 2y = 5.
Lienee ilmeistä, että emme voi löytää lukuja x ja y, jotka toteuttaisivat mo-lemmat yhtälöt, koska kyseinen yhtälöpari väittää 3 = 5 lukujen x ja y arvoista riippumatta. Mikäli yhtälöparia yritetään ratkaista Gaussin elimi-nointimenetelmällä, törmätään heti ristiriitaan:
·(−1)↓ 1 2 3 1 2 5 1 2 3 0 0 2
Alempi yhtälö kertoo0·x+ 0·y = 2eli0 = 2, mikä on ristiriita. Siispä ei ole olemassa lukuja x ja y, jotka toteuttaisivat yhtä aikaa molemmat yhtälöt.
Aina ratkaisun puuttuminen ei ole yhtä ilmeistä, mutta Gaussin elimi-naatiomenetelmää käyttämällä asia selviää. Mikäli jollekin riville tulee ker-toimiksi pelkkiä nollia ja vakiotermiksi nollasta poikkeava luku, ollaan pää-dytty ristiriitaan ja ratkaisuja ei ole.
Joillakin yhtälöryhmillä on äärettömän monta ratkaisua
Tarkastellaan yhtälöparia
x−2y = 3 2x−4y = 6.
Huomataan, että alempi yhtälö onkin sama kuin ylempi yhtälö, mutta vain kahdella kerrottuna. Se ei siis anna lisäinformaatiota. Tämä huomataan myös Gaussin eliminaatiolla:
·(−2)↓ 1 −2 3 2 −4 6 1 −2 3 0 0 0
Alin rivi kertoo0 = 0, mikä on toki totta, mutta ei kerro mitään muuttujista x ja y. Alempi rivi voidaan siis poistaa.
Yhtälöparimme on kutistunut yhdeksi yhtälöksi: x−2y= 3. Tällä yhtä-löllä on äärettömän monta ratkaisua, sillä voidaan ratkaistax= 2y+ 3. Näin jokaiselle luvulle y voidaan laskea pariksi x kyseisellä kaavalla. Yhtälöparin vastaus voidaan ilmoittaa näin:
x= 2y+ 3 y∈R
tai hienommin
x= 2c+ 3
y=c , c∈R. Jälkimmäistä muotoa kutsutaan parametriesitykseksi.
Vapaasti määriteltäviä parametreja voi jäädä useampiakin kuin yksi, kuten seuraavassa esimerkissä nähdään.
Esimerkki. Ratkaistaan yhtälöryhmä
x−2y+z−w = −1 2x+y−z+ 3w = 3
3x−y+ 2w = 2
Tässä kolmas yhtälö on kahden ensimmäisen summa, eikä siten sisällä lisää informaatiota. Katsotaan, mitä tapahtuu jos lähdetään suoraviivaisesti käyt-tämään Gaussin eliminointia.
1 -2 1 -1 -1
·(−2) 2 1 -1 3 3
·(−3) 3 -1 0 2 2 1 -2 1 -1 -1
0 5 -3 5 5
0 5 -3 5 5
Kaksi viimeistä riviä ovat samat, joten toinen voidaan tiputtaa pois:
1 −2 1 −1 −1 0 5 −3 5 5 ||: 5
·2↑ 1 −2 1 −1 −1 0 1 −35 1 1 1 0 −15 1 1 0 1 −35 1 1
Nyt Gaussin muunnoksia ei voida enää tehdä ilman, että jokin jo saavute-tuista nollista katoaa. Tarkastellaan tilannetta vielä tavallisesssa
merkintä-tavassa:
x−15z+w = 1 y− 35z+w = 1 , mistä ratkaistuna
x = 1 +15z−w y = 1 +35z−w .
Muuttujat z ja w voidaan valita mielivaltaisesti, jolloin x ja y määräytyvät esitettyjen kaavojen mukaan. Vastaukseksi kirjoitetaan
x= 1 + 15c−d y= 1 + 35c−d z =c
w=d
, c∈R, d∈R.
Yhtälöitä ja muuttujia eri määrä
Tähän mennessä on käsitelty lähinnä yhtälöryhmiä, joissa muuttujia ja yh-tälöitä on ollut yhtä monta. Näin ei tietenkään aina ole. Yhtälöryhmää, jos-sa on yhtälöitä enemmän kuin muuttujia, kutsutaan ylimäärätyksi; mikäli muuttajia taas on enemmän kuin yhtälöitä, yhlälöryhmä on alimäärätty.
Ratkaisuista voidaan sanoa seuraavaa
• Mikäli yhtälöitä on saman verran kuin tuntemattomia, yhtälöryhmällä on yleensä yksi ratkaisu.
Ratkaisuja voi olla myös äärettömän monta tai ei lainkaan.
• Mikäli yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia (alimäärätty), yhtälöryhmällä on yleensä äärettömän monta ratkaisua.
On mahdollista, että ratkaisuja ei ole lainkaan.
• Mikäli yhtälöitä on enemmän kuin tuntemattomia (ylimäärätty), yhtälöryhmällä ei yleensä ole ratkaisua.
Ratkaisuja voi olla myös yksi tai äärettömän monta.
Tämä on helppo ymmärtää, kun tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä. Yhtä-löparilla
x−y = 1 2x+y = 5 on ratkaisu
x= 2 y = 1.
Jos lukujen x ja y vaaditaan lisäksi toteuttavan kolmas yhtälö x+y = 7, seuraa ristiriita 2 + 1 = 7. Näin ollen ylimäärätyllä yhtälöryhmällä
x−y = 1 2x+y = 5 x+y = 7
ei ole ratkaisua. Kun kahdelta luvulta vaaditaan kolmea ehtoa, tulos on yleen-sä mahdoton.
Jos taas alkuperäisestä yhtälöparista poistetaan toinen yhtälö, jäljelle jää x−y= 1, ja ratkaisuja löytyy äärettömän monta muodossa x=y+ 1.
Korostettakoon vielä, että yhtälöiden ja muuttujien lukumäärästä riip-pumatta ratkaisuja voi olla yksi, ei lainkaan tai äärettömän monta. Ainoa erikoistapaus on se, ettei alimäärätyllä yhtälöryhmällä voi olla tasan yhtä ratkaisua. Lukijaa kehotetaan keksimään esimerkkejä ylimäärätyistä yhtä-löistä, joilla on äärettömän monta ratkaisua sekä alimäärätyistä, joilla ei ole ratkaisua.
Yhtälöiden ja muuttujien lukumäärästä riippumatta kaikki lineaariset yh-tälöryhmät voidaan ratkaista Gaussin eliminaatiomenelmällä.
Todistus ratkaisujen olemassaolosta ja lukumäärästä
Lause. Lineaarisella yhtälöryhmällä on joko yksi, nolla tai äärettömän mon-ta ratkaisua. Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan aina ratkaismon-ta Gaussin elimi-naatiolla.
Todistus.
Tarkastellaan lyhennysmerkinnässä lineaarista yhtälöryhmää, jossa onn tun-tematonta ja m yhtälöä. Se näyttää tältä:
a11 a12 a13 · · · a1n b1 a21 a22 a23 · · · a2n b2 a31 a32 a33 · · · a3n b3 ... ... ... ... ... ...
am1 am2 am3 · · · amn bm
Voimme olettaa, että jokaisessa sarakkeessa viivan vasemmalla puolella on ainakin yksi nollasta poikkeava kerroin (sillä muuten kyseinen tuntematon ei itse asiassa esiintyisi yhtälöryhmässä). Tämä tilanne säilyy, vaikka yhtä-löryhmälle tehtäisiin Gaussin muunnoksia: sarakkeen kaikki kertoimet eivät voi muuntua nolliksi. (Miten viimeinen voisi kadota?)
Järjestetään nyt yhtälörivit siten, että a11 6= 0. Eliminoidaan muut sa-rakkeen kertoimet nolliksi. (Alempien rivien kertoimet muuttuvat.) Saadaan:
a11 a12 a13 · · · a1n b1 0 ea22 ea23 · · · ea2n eb2 0 ea32 ea33 · · · ea3n eb3 ... ... ... ... ... ...
0 eam2 eam3 · · · eamn ebm Tämän jälkeen vaihtoehtoja on kaksi.
1◦ Jos kaikki toisen sarakkeen luvut toisesta lähtien (eli ea22, . . . ,eam2) ovat nollia, siirretään kyseinen sarake viimeiseksi eli vaihdetaan muuttujien jär-jestystä.
2◦ Jos jokin kertoimista ea22, . . . ,eam2 ei ole nolla, siirretään sen rivi toiseksi riviksi ja eliminoidaan. Saadaan
a11 0 a∗13 · · · a∗1n b∗1 0 ea22 ea23 · · · ea2n eb2
0 0 a∗33 · · · a∗3n b∗3 ... ... ... ... ... ...
0 0 a∗m3 · · · a∗mn b∗m
Seuraavaksi tarkastellaan kolmannen sarakkeen lukujaa∗33, . . . , a∗m3 ja toimi-taan kuten edellä. Eliminointia jatketoimi-taan sarake sarakkeelta, kunnes sitä ei
voida enää jatkaa. Sanottakoon, että onnistumme tekemään k eliminointia.
Lopuksi jaetaan kukin rivi diagonaalille jääneillä luvuilla, jolloin diagonaalille saadaan ykköset. Alla nollat on jätetty merkitsemättä.
1 α1(k+1) · · · α1n β1
1 α2(k+1) · · · α2n β2
... ... ...
1 αk(k+1) · · · αkn βk βk+1 ...
βm
Jos eliminoinnin seurauksena saatiin nollarivejä, ne ovat riveilläk+ 1, . . . , m. Vastaavasti voi olla, että kaikkia sarakkeita ei voida eliminoida,α:lla merkit-tyjä kertoimia on jäänyt sarakkeisiin k+ 1, . . . , n.
Nyt nähdään, että yhtälöryhmällä on ratkaisuja
1. Ei yhtään, kun jokin luvuista βk+1, . . . , βm ei ole nolla.
2. Äärettömän monta, kun luvut βk+1, . . . , βm ovat nollia ja k < n. (Tällöin sarakkaiden k+ 1, . . . , n muuttujat voidaan valita vapaasti.) 3. Tasan yksi, kun luvut βk+1, . . . , βm ovat nollia ja k =n.
Kaikki lineaariset yhtälöryhmät voidaan siis ratkaista Gaussin eliminaatio-menetelmällä ja ratkaisuja on joko yksi, ei lainkaan tai äärettömän monta.