Hammasgeometrian mallinnus

Ennen rynnön simulointia on mallinnettava hampaiden kolmiulotteinen geometria.

Kaarevahampaisten kartiopyörien tapauksessa se on huomattavasti vaikeampaa kuin esimerkiksi lieriöpyörissä, joiden geometria voidaan kuvata yksinkertaisella evolventtifunktiolla: inv α = tan α - α. Teoreettiselle oktoidiprofiilille on olemassa

analyyttinen ratkaisu [32, s. 666-671], mutta perinteisillä menetelmillä valmistettujen kartiopyörien geometria poikkeaa siitä niin merkittävästi, että sen käyttö HKA:ssa on vaikeaa. Tyypillisesti kylki- ja tyvipintojen mallinnus toteutetaan simuloimalla matemaattisesti hammastuksen työstöprosessia ja ratkaisemalla pinnat differentiaaligeometrian työkaluilla. Vaihtoehtoinen, vähemmän käytetty tapa on mallintaa niin kutsutun virtuaalisen tasopyörän (vrt. lieriöpyörien valmistukseen liittyvä hammastanko) liike suhteessa työkappaleeseen.

Hammastuksen työstöprosessin simuloinnin tuloksena saadaan kuvaus yksittäisten hammastusterien liikkeistä suhteessa työkappaleeseen. Kyseisen pintaparven perusteella on määritettävä rynnön simuloinnissa tarvittavat kylki- ja tyvipinnat. Tämä voidaan toteuttaa joko soveltamalla yleistä hammaslakia (kaava 4.3.1.1) tai ratkaisemalla niin kutsuttu verhopintaongelma (kaava 4.3.1.2) [33, s. 2-4; 18, s. 2-4].

Kaava 4.3.1.1 Hammaslakiin Kaava 4.3.1.2 Verhopintaehtoon perutuva ratkaisu [18, s.3] perustuva ratkaisu [18, s.3]

Hammaslakiin perustuva menetelmä on yleisemmin käytetty, mutta sen avulla on vaikea kuvata tarkasti hampaan tyvipintaa ja esimerkiksi tyvileikkuuta [34, s. 1; 35].

Tämä johtuu siitä, että hampaan tyvialueella ei ole mitään tekemistä yleisen hammaslain kanssa. Kaavassa 4.3.1.1 N2 edustaa teräpinnan normaalivektoria tietyssä pisteessä ja v teräpinnan ja hampaan kylkipinnan suhteellista nopeusvektoria kyseisessä pisteessä.

Kaavassa esitetyn ehdon toteutuminen tarkoittaa, että teräpinnan ja kylkipinnan hetkellinen suhteellinen nopeus kontaktinormaalin suunnassa on nolla. Toisin sanoen pinnat eivät mene toistensa sisään eivätkä irtoa kontaktista. Verhopintaongelmaa ratkaistaessa etsitään hammastusterien liikkeitä edustavan pintaparven muodostama verhopinta työkappaleeseen kiinnitetyssä koordinaatistossa. Matematiikassa kaavan 4.3.1.2 skalaarikolmitulo tunnetaan verhopintaehtona.

Joissain tapauksissa pintojen eksplisiittinen ratkaisu on vaikeaa tai jopa mahdotonta.

Tällöin turvaudutaan numeerisiin ratkaisumenetelmiin, joiden tuloksena saadaan funktiomuotoisen ratkaisun sijasta pintoja kuvaavat pisteverkot. Niin kuormitetun kuin kuormittamattomankin rynnön simuloinnin kannalta on usein oleellista että pintoja voidaan käsitellä tehokkaasti differentiaaligeometrian työkaluilla. Esimerkkinä mainittakoon pinnan kaarevuuden määrittäminen ja kontaktipisteiden määritys ääriarvo-ongelmana. Tällöin pisteverkko on korvattava jatkohyödyntämiseen paremmin soveltuvalla pinta-approksimaatiolla. Tietyissä erityistapauksissa myös hammasgeometrian eksplisiittinen ratkaisu on mahdollinen, jolloin pinnat voidaan kuvata tavallisina funktioina. Esimerkki tällaisesta tapauksesta ovat niin kutsutut "non-generating" –työstömenetelmät, joissa toisen kartiopyörän hammastus työstetään ilman vierintäliikettä. Tällaisissakin tapauksissa käytetään yleensä pintojen kuvausta yksinkertaistavia approksimaatioita, koska eksplisiittisesti kuvattujen pintafunktioiden differentiaaligeometrinen käsittely on hankalaa [31, s.11-15; 36; 37, s. 2-6].

Matemaattisesti yksinkertaisempi tapa hammasgeometrian mallintamiseksi on käyttää Boolen leikkausoperaatioita. Tällöin kartiopyörän aihio ja virtuaalisen tasopyörän hammas mallinnetaan solidikappaleina ja työstötapahtumaa simuloidaan liikuttamalla niitä suhteessa toisiinsa. Liike jaetaan pieniin askeliin, ja aihiosta leikataan pois se tilavuus, jonka tasopyörän hammas kulloinkin peittää. Differentiaaligeometriaan perustuvasta menetelmästä poiketen tämä mallinnustapa ei edellytä syvällistä ymmärrystä kartiopyörien valmistusmenetelmistä tai differentiaaligeometriasta.

Käytännössä mallinnus voidaan toteuttaa millä tahansa nykyaikaisella 3D CAD -ohjelmalla. Boolen operaatiot kuuluvat 3D CAD -ohjelmien perustyökaluihin ja niihin perustuva mallintaminen on yleensä myös automatisoitavissa suhteellisen helposti.

Riittävän tarkka geometriamalli edellyttää kuitenkin suurta määrää leikkauksia, jolloin rajoitukseksi saattaa muodostua laskenta- ja tallennuskapasiteetin tarve [34, s. 1].

Tämän lisäksi ongelmia saattavat aiheuttaa CAD –ohjelmien pintamallinnuskyvyt.

Luninin käyttämä DDS -menetelmä (Direct Digital Simulation) perustuu suurella aikaresoluutiolla toteutettaviin leikkausoperaatioihin ja sen väitetään olevan jopa nopeampi kuin differentiaaligeometriaan perustuva menetelmä [35].

Nopeasti kehittyvä jyrsinkoneteknologia mahdollistaa jo nyt monimutkaisten hammasgeometrioiden rouhinnan ja jopa viimeistelytyöstön moniakselisilla yleisjyrsinkoneilla. Tällöin niin hampaan mikro- kuin makrogeometriakin on mahdollista määritellä huomattavasti vapaammin kuin perinteisillä työstömenetelmillä.

Teoriassa erilaisia vaihtoehtoja hampaan pituus- ja korkeussuunnan muodoiksi on olemassa rajaton määrä. Mikäli yleisjyrsinkoneiden käyttö hammastuksen työstössä yleistyy, tulee se edellyttämään myös HKA –menetelmien jatkokehitystä.

Hammasgeometrian mallinnuksen lisäksi sillä voi olla vaikutusta myös kuormitetun rynnön simulointimentelmiin. Tämä koskee erityisesti menetelmiä, joita on kalibroitu sillä oletuksella että laskennassa käsitellään ainoastaan perinteisiä geometriatyyppejä.

Uusien geometriatyyppien käyttöönottoa tulee kuitenkin todennäköisesti hidastamaan varsinkin se, että standardimenetelmät perustuvat perinteisiin hammasgeometrioihin ja kokemusten kerääminen täysin uudentyyppisistä hammasgeometrioista on hidas prosessi.

Tyypillisesti rynnön simuloinnissa käsitellään vain niin montaa hammasta, kuin voi olla yhtä aikaa rynnössä. Kaarevahampaisten kartiohammaspyörien tapauksessa 5 hammasparia voidaan katsoa olevan riittävä määrä kattamaan kaikki tyypilliset hammasgeometriat. Yleensä geometriamallit käsittävät 3-5 hammasta pyörää kohden.

Kartiopyöräparin laadun arvioinnissa ollaan ensisijaisesti kiinnostuneita siitä, miten hyvin hammaspyörät toimivat parina. Esimerkiksi yksittäisen kartiopyörän hammaskyljen muodon poikkeamien absoluuttinen suuruus ei välttämättä ole kovinkaan oleellista, koska rynnössä olevien pyörien poikkeamat saattavat kompensoida toisiaan.

HKA:n luotettavuuden kannalta tilanne on toisenlainen. Oleellista on nimenomaan tarkkuus, jolla yksittäisen kartiopyörän geometria kyetään kuvaamaan.

Rynnön simuloinnissa käytettävää hammasgeometriaa kutsutaan tästä eteenpäin laskennalliseksi hasmmasgeometriaksi. Se määritellään nimellisgeometrian ja mitattujen

geometriapoikkeamien summana (kuva 4.3.1.1). Valmistusprosessin epätarkkuuksista johtuen todellinen hammasgeometria sisältää aina poikkeamia. Niiden suuruus voidaan määrittää joko kartiopyörien mittaukseen tarkoitetulla erikoismittakoneella tai vaihtoehtoisesti yleiskoordinaattimittakoneella, jossa on kartiopyörien mittaukseen tarkoitettu erikoisohjelmisto. Se miten tarkasti laskennallisella geometrialla voidaan kuvata todellisuutta riippuu mittausmenetelmän epätarkkuuden lisäksi usein myös rynnön simulointimenetelmän asettamista rajoituksista, joita käsitellään tuonnempana.

Kuva 4.3.1.1 Laskennallisen hammasgeometrian määritelmä

Varsinaisen hammastuksen työstöön liittyvien epätarkkuuksien lisäksi geometriapoikkeamien suuruuteen vaikuttaa myös se, miten tarkasti kartiopyörän paikoituspintojen (akselimaisen kappaleen laakerikaulat tai kuvassa 4.3.1.1 olevan kartiopyörän keskireikä) oikea asema suhteessa hammastukseen kyetään varmistamaan.

Niin hammasgeometrian mittauksessa kuin lopullisessa käyttökohteessaankin kartiopyörän asema määräytyy näiden pintojen mukaan, joten niiden merkitys hammasgeometrian poikkeamien kannalta on vähintään yhtä oleellinen kuin itse hammastuksen valmistustarkkuudella. Geometriapoikkeamia saattaa aiheuttaa myös kartiopyörän ja akselin välinen ahdistusliitos, mikäli se suoritetaan hammastuksen viimeistelytyöstön jälkeen.

Joskus on tarkoituksenmukaista, että hammastuksen viimeistelytyöstön aikana toteutettavat mikrogeometrian korjaukset (luku 2) luetaan mukaan geometriapoikkeamiin. Toisaalta ne voidaan sisällyttää myös nimellisgeometriaan.

Valmistusprosessista riippuu kumpi tapa on käytännöllisempi toteuttaa. Perinteisesti korjaukset on lyöty lukkoon vasta työstön yhteydessä kartiopyöräparin hammaskosketusta säädettäessä. Tällöin niiden sisällyttäminen nimellisgeometriaan edellyttäisi kulloinkin käytettyjen koneasetusten tarkkaa dokumentointia ja nimellisgeometrian uudelleen laskemista kyseisiä arvoja käyttäen. Toisaalta nykyaikaiset valmistusmenetelmät ja hammaskosketusanalyysi ovat mahdollistaneet korjausten määrittämisen jo suunnitteluvaiheessa, jolloin ne voidaan sisällyttää nimellisgeometriaan. Tällöin saattaa olla mahdollista säästyä mittaukselta, olettaen että valmistusprosessin epätarkkuudet ja toistettavuus ovat riittävän hyvin hallinnassa.

Kartiopyörien laatu- ja mittausstandardien mukaan geometriapoikkeamat koostuvat muoto-, jako- ja pyörintäpoikkeamista. Muotopoikkeamat edustavat hammaskyljen yksittäisten pisteiden sijaintipoikkeamia suhteessa nimellisgeometriaan pinnan

normaalisuunnassa. Jakopoikkeamat (f_p) kuvaavat nimensä mukaisesti vaihtelua peräkkäisten hampaiden keskinäisessä sijainnissa pyörän kehällä. Pyörintäpoikkeamat (Fr) edustavat hampaiden sijaintipoikkeamaa (heittoa) jakokartion normaalisuunnassa.

Mittaussuureiden tarkat määritelmät löytyvät esimerkiksi standardista SFS 3996 [38], lukuun ottamatta muotopoikkeamia joiden osalta standardisointi on vielä keskeneräistä.

Muotopoikkemien mittaus perustuu yleensä mittauspisteverkkoon, joka kattaa koko hammaskyljen. Pisteiden koordinaattien lisäksi mittauksessa tarvitaan yleensä tieto pinnan normaalivektoreista kunkin pisteen kohdalla.

Geometriamallien sisältämien hampaiden lukumäärän voidaan katsoa rajoittavan tarkkuutta, jolla geometriapoikkeamat voidaan huomioida rynnön simuloinnissa.

Normaalitapauksessa vaihteen pyöriessä keskenään kosketuksessa olevat hampaat vaihtuvat joka kierroksella. Näin ollen kulloinkin rynnössä vaikuttavien geometriapoikkeamakombinaatioiden määrä on yhtä suuri kuin pinionin ja lautaspyörän hammaslukujen tulo. Kaikkien eri kombinaatioiden huomiointi rynnön simuloinnissa edellyttäisi täysihampaisia geometriamalleja ja poikkeamien määrittämistä hammaskohtaisesti. Samalla rynnön simuloinnista tulee huomattavasti monimutkaisempaa. HKA -menetelmissä tehdäänkin yleensä oletus, että muotopoikkeamat ovat identtiset joka hampaassa. Tällöin käyttäjän on tiedostettava että geometriapoikkeamien hammaskohtainen vaihtelu saattaa heikentää analyysin kykyä kuvata todellisuutta, mikäli vaihtelu on suurta. Toisaalta tapauksissa, joihin HKA:a sovelletaan, käytetään yleensä hammastuksen viimeistelytyöstömenetelmiä, jossa geometriapoikkeamien hammaskohtainen vaihtelu on vähäistä.

Jakopoikkeamat voidaan yleensä huomioida hammaskohtaisesti, mutta luonnollisesti vain niin monen hampaan osalta kuin on mukana geometriamallissa.

Mikäli HKA:n tavoitteena on selvittää hampaissa esiintyvät maksimijännitykset, voidaan mitatuista jakopoikkeamista valita jännitysten suhteen huonointa tilannetta edustavat arvot (luku 5.2.2). Pyörintäpoikkeamia ei tyypillisesti huomioida lainkaan.