Aikasarja sijoittaminen GARCH-malliin vaatii muutamia perusasioita. En-siksi pitää muokata aineisto mallille soveltuvaan muotoon. Pitää määrittää keskiarvoyhtälö sekä mahdollisesti ARMA-malli, jolla poistetaan lineaarinen riippuvuus. Sitten voidaan testata mahdollisia ARCH-vaikutuksia. Jos vai-kutuksia löytyy voidaan määrittää varsinainen ARCH-malli. [6, s. 113]
Tarkastellaan lynx aineiston soveltuvuutta ensin ARMA-malliin ja sitten katsotaan onko olemassa ARCH-vaikutuksia.
1. Ensimmäisenä aineistosta selvitetään keskiarvoyhtälö testaamalla sar-jan riippuvuutta[1, s. 77]. Tarkastellaan aineiston lynx ACF- ja PACF-kuvaajia. Muunnetaan ensin aineistoa siten, että siitä tulee logaritmistä ilvesten määrän kasvua näyttävä aineisto. Siis muutetaan aineisto ensin määritelmän 4.1 mukaiseksi ja sitten muokataan saatu aineisto määri-telmän 4.2 mukaiseksi. Kuvassa 16 näkyy, että muodostettu logaritmi-nen bruttotuottoYt on sarjallisesti riippuvainen. Differoidaan saatuYt, jolloin sarjallinen riippuvuus katoaa. Tarkastellaan vielä, differoidun muuttujan Yt, merkitään DYt, ACF- ja PACF-kuvaajia. Kuvasta 17 näkyy, että sarjallista riippuvuutta ei aineistossa enää ole. Pienimmät AIC-, AICC- ja BIC-luvut saadaan kun p = 8 ja q= 3, joten valitaan ARMA(8,3)-malli. Mallin yhtälö tulee muotoon
DYt = 0,00046506 + 0,8449∗DYt−1−1,2394∗DYt−2
+ 0,3761∗DYt−3−0,5746∗DYt−4+ 0.0279∗DYt−5
−0,4152∗DYt−6−0,1439∗DYt−7−0,2011∗DYt−8
−1,5905∗wt−1+ 1,3993∗wt−2−0,8088∗wt−3+wt, missä 0,00046506 on vakiotermi ja wt ∼ iidN(0,0,4689938). Saatua yhtälöä kutsutaan keskiarvoyhtälöksi, jonka avulla ARCH-mallin mää-rittämistä jatketaan.
2. Toiseksi tarkastellaan keskiarvoyhtälön residuaaleja. Residuaaleista et-sitään ARCH-vaikutuksia.[1, s. 77-78] Standardoidaan ensimmäiseksi ARMA(8,3)-mallin residuaalit. Kuvassa 18 on standardoitujen residu-aalien kuvaaja, joka näyttää paria suurempaa piikkiä lukuun ottamatta tasaiselta. Katsotaan vielä standardoitujen residuaalien ACF-kuvaaja.
Kuvasta 19 voidaan päätellä, että autokorrelaatiota ei residuaalien vä-lillä näytä olevan. Varmistetaan asia vielä Ljung-Box-testillä, josta saa-daan p-arvoksi 0,9215, joka vahvistaa päätelmän. Nyt siis standardoi-tujen residuaalien välillä ei ole autokorrelaatiota. Tarkastellaan seu-raavaksi neliöön korotettuja standardoituja residuaaleja. Jos neliöön korotettuja standardoitujen residuaalien välillä löytyy autokorrelaatio-ta voidaan oletautokorrelaatio-taa, että residuaaleisautokorrelaatio-ta löytyy ARCH-vaikutuksia. Vai-kutuksia voidaan etsiä jälleen Ljung-Box-testillä. Testistä saadaan p-arvoksi 0,0844, jolloin voidaan olettaa, että ARCH-vaikutuksia ei ole.
Time
Y
0 20 40 60 80 100
−201
Time
diff(Y)
0 20 40 60 80 100
−202
Kuva 16: Logaritmoitu ja differoitu aineisto lynx Yt (yllä) ja differoitu Yt
(alla)
[6, s. 114-115]. Myös kuvan 20 kuvaajista voi nähdä, että viittauksia ARCH-vaikutuksiin ei ole. Vaikka residuaaleista ei ARCH-vaikutuksia löytynyt, niin jatketaan kuitenkin ARCH-mallin rakennusta ARMA(8, 3)-mallin pohjalta esimerkkiluontoisesti.
3. Kolmanneksi määritellään volatiliteettimalli. Tämä malli määritellään vain jos ARCH-vaikutukset ovat tilastollisesti merkittäviä.[1, s. 78-79]
Tässä aineistossa tilastolliset vaikutukset eivät ole suuria, mutta mää-ritellään volatiliteetti kuitenkin. Yhdistetään nyt siis volatiliteettimalli ja keskiarvoyhtälö eli ARMA(8,3)-mallista saatu yhtälö, jolloin saa-daan yhtälöistä yhteisarvio. Määritellään AIC-, AICC- ja BIC-lukuja pienillä asteilla.
0 5 10 15 20
−0.20.20.61.0
Lag
ACF
Series diff(Y)
0 5 10 15 20
−0.20.20.61.0
Lag
ACF
Series diff(Y^2)
5 10 15 20
−0.4−0.20.00.2
Lag
Partial ACF
Series diff(Y)
Kuva 17: Differoidun muuttujanYtACF-kuvaaja (yllä) ja PACF-kuvaaja (al-la), sekä toiseen korotetun differoidun muuttujanYt ACF-kuvaaja (keskellä).
s m lkm AIC AICC BIC
0 0 2 429,5929 433,2329 465,1634 0 1 3 610,0378 614,2802 648,3446 0 2 4 432,9547 437,8527 473,9977 0 3 5 454,7657 460,3739 498,5449 1 1 4 429,8397 434,7377 470,8827 2 1 5 433,2880 438,8962 477,0672 2 2 6 435,0876 441,4626 481,6029
Taulukosta nähdään, että parhaiten aineistoon soveltuu GARCH(0,0) ja GARCH(1,1). Valitaan näistä GARCH(0,0), jolloin aineistoon so-pii parhaiten ARMA(8,3)-malli, ilman ARCH-vaikutuksien lisäämistä,
Time
standardoidut_residuaalit 0 20 40 60 80 100
−3−11
Kuva 18: ARMA(8,3) mallin standardoidut residuaalit.
mikä jo todettiin edellisessä kohdassa.
4. Neljänneksi tulee tarkastaa valitun mallin soveltuvuus. Keskiarvoyhtä-lön oikeellisuus voidaan tarkistaa tarkkailemalla mallin standardoituja residuaaleja. Lisäksi volatiliteetti yhtälön kelpoisuutta voidaan tarkis-tella standardoitujen neliöön korotettujen residuaalien avulla. [1, s. 79-81] Tässä kohdassa tulee tarkistaa ARMA(8,3)-GARCH(0,0)-mallin residuaalit. Residuaalien tulee käyttäytyä valkoisen kohinan tavalla.
Residuaalien ACF- ja PACF-kuvaajista ei tule näkyä autokorrelaatiota residuaalien välillä. Autokorrelaation olemassa olon voi vielä varmistaa Ljung-Box-testillä. Tässä esimerkkiaineistossa tätä vaihetta ei suorite-ta, koska ARCH-vaikutuksia ei ole ja ARMA(8,3)-mallin tarkastelut on tehty jo kohdassa 2.
[1, s. 77-82]
5 Osakeaineisto
Tutkielmassa tutustutaan Nokian osakkeisiin. Osakkeen arvosta koostetaan aineisto, jota aluksi muokataan haluttuun muotoon [4, s. 1]. Seuraavaksi aineistoon sovitetaan ARIMA-malli ja sen jälkeen GARCH-malli. Saadun mallin perusteella ennustetaan osakkeen tulevia arvoja. Lisäksi perehdytään Value at Risk -lukuun.
5.1 Mallin määrittäminen
Tutkielmaan on koottu aineisto Nokian osakkeen arvosta ajalta 27.2.2001 -25.3.2011 [4, s. 1]. Havaintoja aikavälillä on yhteensä 2540 kappaletta.
Ku-0 5 10 15 20
−0.20.41.0
Lag
ACF
Series standardoidut_residuaalit
5 10 15 20
−0.10.1
Lag
Partial ACF
Series standardoidut_residuaalit
Kuva 19: ARMA(8,3)-mallin standardoitujen residuaalien ACF-kuvaaja.
vassa 21 näkyy osakkeen arvon kehitys.
Muutetaan seuraavaksi aineisto osaketuottoja kuvaavaksi. Ensiksi muu-tetaan aineisto ensin määritelmän 4.1 mukaiseksi ja sen jälkeen muokataan saatu aineisto määritelmän 4.2 mukaiseksi. Kuvassa 22 näkyy molempien vaiheiden kuvaajat. Tarkastellaan seuraavaksi osakkeen logaritmisten brut-totuottojen ACF- ja PACF-kuvaajia. Kuvassa 23 näkyvästä ACF-kuvaajasta voidaan päätellä, että MA-mallin asteq = 0. PACF-kuvaajasta näkyy pientä korrelaatiota. Tällöin AR-mallin asteeksi voisi sopia esimerkiksip= 3, p= 8 tai p= 10.
Lasketaan seuraavaksi AIC-, AICC- ja BIC-luvut aineistosta. Kiinnite-tään enemmän huomiota BIC-lukuun, koska aineiston koko on melko suuri.
Taulukkoon on koottu AIC-, AICC- ja BIC-luvut muutamille eri malleille.
Valitaan tarkasteltaviksi mallit ARMA(0,0) ja ARMA(8,0). ARMA(0, 0)-mallissa AIC- ja AICC-luvut ovat hivenen suurempia, mutta BIC-luku on pienempi. ARMA(8,0)-mallissa taas AIC- ja AICC-luvut ovat pieniä, mutta BIC-luku ovat vähän suurempi.
0 5 10 15 20
−0.20.41.0
Lag
ACF
Series standardoidut_residuaalit^2
5 10 15 20
−0.20.00.2
Lag
Partial ACF
Series standardoidut_residuaalit^2
Kuva 20: ARMA(8,3)-mallin standardoitujen residuaalien ACF-kuvaajat.
p q lkm AIC AICC BIC
0 0 2 -10886,00 -10885,99 -10874,32 1 0 3 -10884,45 -10884,44 -10866,93 3 0 5 -10885,99 -10885,97 -10856,79 8 0 10 -10888,41 -10888,33 -10830,02 8 1 11 -10886,45 -10886,35 -10822,21 10 0 12 -10888,94 -10888,81 -10818,86 10 1 13 -10887,34 -10887,2 -10811,43 10 2 14 -10884,71 -10884,55 -10802,95
Kuvassa 22 on osakkeiden log-tuottojen kuvaaja, joka on myös ARMA(0, 0)-mallin kuvaaja.
Tarkastellaan sitten ARMA(0,0)-mallin mahdollisia ARCH-vaikutuksia, joita voidaan siis etsiä Ljung-Box-testillä. Testistä saadaan p-arvoksi
0,00000006777, joten voidaan olettaa, että ARCH-vaikutuksia on. Määritel-lään siis seuraavaksi volatiliteettimalli. Tutkitaan eriasteisia GARCH-malleja.
Määritetään siis AIC-, AICC- ja BIC-luvut.
Time
arvo
0 500 1000 1500 2000 2500
52035
Kuva 21: Nokian osakkeen arvon kuvaaja aikavälillä 27.2.2001 - 25.3.2011.
s m lkm AIC AICC BIC
0 0 2 -10886,00 -10885,99 -10874,32 0 1 3 -10995,09 -10995,08 -10977,57 0 2 4 -11077,17 -11077,16 -11053,81 0 3 5 -11139,05 -11139,03 -11109,85 0 4 6 -11161,36 -11161,33 -11126,32 1 1 4 -11454,52 -11454,50 -11431,16 1 2 5 -11453,08 -11453,05 -11423,88 1 3 6 -11451,44 -11451,40 -11416,40 1 4 7 -11449,02 -11448,98 -11408,14 2 1 5 -11455,20 -11455,18 -11426,00 2 2 6 -11453,17 -11453,14 -11418,14 2 3 6 -11451,71 -11451,67 -11410,83 2 4 6 -11452,42 -11452,36 -11405,70
Taulukosta nähdään, että GARCH(1,1)-malli sopii aineistoon parhaiten. Täl-löin ARMA(0,0)-GARCH(1,1)-mallin yhtälö tulee muotoon
Yt=µ+σtǫt
= 0,0000077961 +σtǫt
σt2 =α0+α1yt−12 +β1σ2t−1
= 0,0000013667 + 0,016051∗(σt−1ǫt−1)2+ 0,98198∗σt−12 , missä ǫt∼iidN(0,1).
Tarkastellaan seuraavaksi ARMA(8,0)-mallia. Kuvassa 24 on sovitetus-ta ARMA(8,0)-mallista simuloidun aikasarjan kuvaaja ja mallin standardoi-tujen residuaalien kuvaaja. Residuaalit näyttävät riippuvilta. Residuaaleista löytyy muutamia poikkeuksellisen suuria arvoja. Tarkastellaan vielä standar-doitujen residuaalien ACF- ja PACF-kuvaajia. Nyt kuvasta 25 nähdään, että
Time
osakkeidentuotto
0 500 1000 1500 2000 2500
−0.20.1
Time
Yosakkeidentuotto
0 500 1000 1500 2000 2500
−0.20.1
Kuva 22: Kuvassa Nokian osakkeen tuotot(yllä) ja Nokian osakkeen logarit-miset bruttotuotot (alla).
residuaalien välillä ei näyttäisi olevan korrelaatiota. Ljung-Box-testi vahvis-taa tämän päätelmän.
Tutkitaan seuraavaksi ARMA(8,0)-mallin mahdolliset ARCH-vaikutukset.
Ljung-Box-testistä saadaanp-arvoksi 0.000000322, joten voidaan olettaa, et-tä ARCH-vaikutuksia on. Määritellään sitten volatiliteettimalli. Sijoitetaan ARMA(8,0) malli GARCH malliin eri asteilla ja määritellään AIC-, AICC-ja BIC-luvut.
s m lkm AIC AICC BIC
0 0 2 -10898,41 -10898,32 -10840,01 0 1 3 -11004,33 -11004,23 -10940,09 0 2 4 -11091,09 -11090,97 -11021,01 1 1 4 -11461,25 -11461,13 -11391,17 1 2 5 -11392,56 -11392,41 -11316,64 2 1 5 -11465,32 -11465,17 -11389,40 2 2 6 -11463,24 -11463,07 -11381,48
Taulukosta nähdään, että joko GARCH(1,1)- tai GARCH(2,1)-malli so-pisi aineistoon parhaiten. Valitaan tarkastelun kohteeksi GARCH(1,1)-malli,
0 5 10 15 20 25 30 35
0.00.6
Lag
ACF
Series Yosakkeidentuotto
0 5 10 15 20 25 30 35
−0.040.06
Lag
Partial ACF
Series Yosakkeidentuotto
Kuva 23: Osakkeen logaritmisten bruttotuottojen ACF-kuvaaja (yllä) ja PACF-kuvaaja (alla).
koska aineiston suuri koko puoltaa BIC-luvun käyttöä. Tällöin ARMA(8, 0)-GARCH(1,1)-mallin yhtälö tulee muotoon
Yt= 0,000013887 + 0,016974∗Yt−1−0,00886∗Yt−2
−0,052179∗Yt−3+ 0,019311∗Yt−4−0,025067∗Yt−5
−0,027424∗Yt−6−0,017784∗Yt−7+ 0,029337∗Yt−8+σtǫt
σt2 = 0,0000013431 + 0,016214∗(σt−1ǫt−1)2+ 0,98188∗σt−12 , missä ǫt∼iidN(0,1).