DLA-malli

DLA eli Diffusion Limited Aggregation tarkoittaa systeemiä, jossa hiuk­

kaset vaeltavat satunnaisesti toisistaan riippumatta, kunnes ne lopulta tarttu­

vat kiinni aikaisemmin paikalleen kiteytyneisiin hiukkasiin (alkutila koos­

tuu pienestä siemenkiteestä) [60,61]. Satunnaiskulkuja (engl. “random walk”) simuloidaan yksi tai muutama hiukkanen kerrallaan, kunnes syntyvä kide saavuttaa halutun koon. Kiteytymismekanismi (eli prosessi jolla kiteen lähelle tullut hiukkanen tarttuu kiinni kiteeseen ja kasvattaa sen kokoa) vaikuttaa kiteen rakenteeseen; samoin yhtä aikaa kulkeutuvien hiukkasten lukumäärä. DLA mallittaa paitsi kiteytymisilmiöitä myös esim. sähköjännit­

teen läpilyöntiä eristeessä (engl. “dielectric breakdown”.)

Tyypillistä DLA-kiteytyrnille on itsesimilaarinen, fraktaalinen rakenne (ku­

va 10.8). Yksittäisten, äärettömän kaukaa kulkeutuvien hiukkasten muodos­

taman kiteytymän massa N (eli kiteeseen kuuluvien hiukkasten lukumäärä) skaalautuu eksponentiaalisesti:

N ~Ld, (10.1)

missä L on kiteytymän halkaisija ja D on kiteytymän fraktaalidimensio.

Kaksidimensioisessa tapauksessa saadaan DLA-kiteen fraktaalidimensioksi 1.71 ja kolmidimensioisessa tapauksessa 2.50.

DLA-kiteen fraktaalisuus selittyy sillä, että satunnaiskulkuna etenevät hiukkaset törmäävät todennäköisemmin kiteen haaroihin kuin kulkeutuvat

■ ■ □ ■ ■il

■ □ n□

□r □ □ ^d B

□ □ ■ ■ ■E

^{□ □}

^nm

^{. □□ Kierto}vastapäivään

Kuva 10.9 Margolus-Toffoli hilakaasua simuloivan soluautomaatin rakenne sekä esimerkit kierto- operaatioiden vaikutuksesta. Soluhilaan on merkitty eri tyyppisillä viivoilla parillisilla ja parittomilla aika-askeleilla käytössä olevat neljän solun ryhmät.

kiteen keskelle. Kiteen kasvunopeus on täten nopeampaa kiteen reunoilla kuin kiteen sisäosissa. Viitteessä [62] on analysoitu tarkemmin DLA-kiteen kasvamista.

DL A-ilmiön simulointi tehdään tavallisesti laskemalla kerrallaan yhden hiukkasen satunnaiskulkurata; kiteytymisen nopeuttamiseen käytetään sa- tunnaiskulkuaskeleiden pituuden kasvattamista silloin kun ollaan kaukana kiteytyneestä hiukkasrypäleestä (engl. “off-lattice walk”).

DLA ei näytä olevan kovin hyvin rinnakkaistuva: edellisen hiukkasen on kiteydyttävä, jotta voidaan simuloida seuraavan hiukkasen satunnaiskulkua.

Soluautomaattisimulaatio onnistuu kuitenkin esim. Margolus-Toffoli hila- kaasua käyttämällä [11]. Tällöin kyseessä on diskreetti hila, jossa on tietty määrä diffusoituvia hiukkasia, sekä joukko paikalleen jähmettyneitä kideso- luja. Mitä harvemmassa diffusoituvia hiukkasia on, sitä lähemmäs päästään tavanomaisen DLA-simulaation tuloksia. (Tavanomainen DLA saadaan raja-arvona äärettömän suuressa soluhilassa tilatiheyden mennessä kohti nollaa.)

MT-hilakaasua simuloitaessa jaetaan kaksiulotteinen, suorakulmainen solu- automaattihila neljän solun kokoisiin alueisiin (kuva 10.9). Kullakin aika- askeleella kierretään alueen solujen arvoja joko vasta- tai myötäpäivään jon­

kin satunnaismuuttujan arvosta riippuen. Kierto-operaation jälkeen siirre­

tään alueen rajaa yhden diagonaalisolun verran. Seuraavalla aika-askeleella suoritetaan samat operaatiot uudelleen.

DLA:n soluautomaattisimulointiin käytetään seuraavassa Margolus-Toffoli hilakaasua. Kyseessä on ns. tilastollinen soluautomaatti (engl. “probabilistic CA” eli PCA), jossa soluautomaattisäännön tulos riippuu

satunnaisjakau-Alkutiheys 15%

Alkutiheys 10%

log Kiteytymän halkaisija log Kiteytymän halkaisija

Alkutiheys 30%

Alkutiheys 20%

log Kiteytymän halkaisija log Kiteytymän halkaisija

Kuva 10.10 Kaksiulotteiseen DLA-kiteytymään kuuluvien solujen lukumäärän skaalautuminen kiteen halkaisijan funktiona. Alkutiheydet olivat 10%, 15%, 20% ja 30%. Kuvissa on käytetty loglog-asteikkoa. Fraktaalidimensio on estimoitu lineaarisen regressiomallin avulla; eks­

ponenteiksi saadaan 1.77, 1.73, 1.91 ja 2.20. Kulmakertoimen estimointi käytetyllä iteraatiomäärällä (1000 askelta) oli vaikeaa 10%:n tapauksessa, koska DLA-kide ei ehtinyt kasvaa kovin suureksi. DLA-kiteen todellinen fraktaalidimensio on 1.71 kaksiulotteisessa tapauksessa, jolle soluautomaatlimalli antaa hyvän approksimaation alkutiheyden piene­

tessä.

tumasta. Vaikkakin tilastollinen soluautomaatti voidaan korvata determi­

nistisellä soluautomaatilla, joka antaa saman tuloksen (tai satunnaisjakauma voidaan tuottaa toisella soluautomaatilla) [49], käytetään tässä tehdyissä simuloinneissa kuitenkin pseudosatunnaislukuja tuottavaa generaattoria soluautomaattisäännön osana.

DLA-ilmiötä voi simuloida sekä yksittäisten hiukkasten systeeminä että soluautomaattimallina. Tässä työssä on kirjoitettu simulaatio-ohjelmat kum­

paakin tarkoitusta varten. Tuloksena saadaan samankaltaisia kiteytymiä, mikäli diffusoituvien hiukkasten tiheys on kyllin pieni hilakaasumallin alku­

tilassa.

soluautomaattimallille edullisempi. Lisäksi kiteytymän koon kasvaessa suu­

renee myös se ala, jolla kiteytymistä voi tapahtua—täten soluautomaatti- mallin tehokkuus kasvaa kiteen koon lähestyessä käytetyn hilan kokoa.

Perinteisessä menetelmässä ei kiteytymän koolla ole suuremmin merkitystä kiteytymisnopeuteen, varsinkin jos käytetään pitkää askelpituutta oltaessa kaukana kiteestä.

10.8 Hiekkakekomalli

Itseorganisoituva kriittisyys (engl. “self-organized criticality” eli SOC) on Per Bakin ja hänen työtovereidensa vuonna 1987 esittelemä malli 1 //- ilmiöiden selitymekanismiksi [28,29,63,64]. Kyseessä ovat systeemit, jotka kestävät paikallisesti tietyn määrän jännitystä. Kun sietokyky ylitetään, jännitykset purkautuvat murtumiskohdan ympäristöön, ja systeemi hakeutuu uuteen tasapainotilaan. Murtuminen ei ole lopullista: purkautumiskohta toipuu eli kestää murtumisen jälkeen jännityksiä taas tiettyyn rajaan saakka.

Helposti mieleen tuleva esimerkki edellisenkaltaisesta systeemistä on man­

nerlaattojen käyttäytyminen (ks. kappale 9.3). Myös ns. hiekkakekomalli on runsaasti kiinnostusta herättänyt esimerkki. Mallissa hiekkakeon huipulle lisätään hitaasti uutta hiekkaa. Hiekkakeon rinteillä tapahtuu vyörymiä, kun rinteen jyrkkyyden kriittinen raja ylitetään. Tämän mallin oletetaan asettu­

van itseorganisoituvaan kriittiseen tilaan, ja olevan 1/f-skaalautuva [65,66].

Hiekkokekomallin simulointiin sopii soluautomaatti, sillä hiekkakeko voi­

daan mallittaa joukkona diskreettejä, hiekkakeon rinteen jyrkkyyttä kuvaa­

via arvoja. Mikäli rinteen jyrkkyys ylittää kriittisen arvon, putoaa hiekan- jyviä rinnettä alaspäin, kunnes rinne on joka kohdassa stabiili.

Yksidimensioista tapausta käsitellään viitteissä [29,67], jossa havaitaan sen olevan helposti ratkaistavissa. Useampidimensioiset tapaukset ovat yksi­

dimensioista tapausta huomattavasti kiinnostavampia. Jatkossa oletetaan, että soluautomaatti koostuu suorakulmaisesta d-dimensioisesta hilasta, jossa solut saavat arvoja joukosta [0,1,...]. Jos solun arvo on yhtä suuri tai suurempi kuin tietty kriittinen raja xc, putoaa hilapisteestä hiekanjyviä

rinnettä alaspäin. Siis jos x¿ < xc, säilyy solun arvo ennallaan; muussa tapauksessa

x¿ - Xi — 2d, (10.2)

Xj = Xj +1, je {/±ek, k = 1,2,-, d),

missä ehk= 1,2ovat soluhilan yksikkövektoriL

Hiekkakekomallille voidaan asettaa monenlaisia reunaehtoja. Hiekanjyvät voidaan esim. päästää poistumaan systeemistä vain tiettyihin suuntiin, tai kaikki reunat voidaan pitää avoimina.

Edellä esitetyn soluautomaattimallin erikoistapauksena voidaan pitää ns.

toimistomallia, jossa d = 2 ja kriittinen raja xc = 4, sekä systeemin reunaehdot ovat avoimet [30]. Tällöin voidaan ajatella systeemin kuvaavan toimistokonttoria. Kullakin työntekijällä on neljä naapuria lukuunottamatta huoneen reunoilla olevia paikkoja, joilla voi ajatella ulommaisina naapu­

reina ikkunoita. Jos joku työntekijöistä saa pöydälleen vähintään neljä kan­

siota, saa hän hermoromahduksen, heittää kansiot naapureilleen ja siirtyy tämän jälkeen takaisin alkuperäiseen passiiviseen tilaan. Huoneen reunoilla olevat työntekijät heittävät osan kansiosta ikkunoista ulos.

Hiekkakekomalliin liittyvää tutkimusta on tehty paljon. Viitteissä [68,69] on ratkaistu muutamia mallin ominaisuuksista tarkasti. Viitteissä [65,66] on melko perusteellista analyysiä eri hiekkakekomallien ominaisuuksista. Hiu­

kan erikoisempi hiekkakekomallin sovellutus löytyy viitteestä [70]. Mallin analyysiä eri näkökulmista on myös viitteissä [31,71,72]. Hiekkakekoja on tutkittu myös kokeellisesti [73].

Kaksiulotteisessa hiekkokekomallissa tapahtuvien vyörymien keskimääräi­

nen koko skaalautuu neliöllisesti soluautomaattihilan koon L funktiona:

S ~L2. (10.3)

Täten pienilläkin soluhiloilla saadaan oikeansuuntaisia approksimaatioita hiekkakeon käyttäytymisestä. Kuvassa 10.11 on esimerkki tästä skaalau- tuvuudesta. Kuvassa 10.12 on puolestaan esitetty vyörymien kokojakaumia erikokoisia soluhiloja käytettäessä.

Soluhilan dimensiot

Kuva 10.11 Kaksiulotteisen hiekkakekomallin keskimääräisen vyöry mäkoon skaalautuminen soluhilan koon funktiona. Suoralla viivalla skaalautumiseksponentti = 2.0 (loglog-asteikko).

Soluautomaattihilan koot ovat väliltä [10,200], avoimet reunaehdot.

Vyörymien kokojakauma (hila 30*30) Vyörymien kokojakauma (hila 20*20)

log Vyörymän koko Vyörymien kokojakauma (hila 80*80) log Vyörymän koko

Vyörymien kokojakauma (hila 40*40)

log Vyörymän koko log Vyörymän koko

Kuva 10.12 Vyörymien luoldttaisten lukumäärien jakauma loglog-asteikolla kaksiulotteisessa hiekka- kekomailissa (avoimet reunaehdot). Soluhilan dimensiot 20, 30, 40 ja 80. Suorien viivojen kulmakertoimet on arvioitu lineaarisella regressiomallilla; eksponenteiksi saadaan -12, -1.3, -1.2 ja -15. Soluhilan pienetessä havaitaan jakautuman muuttuvan suurten vyörymien osalta.

Hiekkakekomallista voidaan havainnoida esim. kullakin aika-askeleella ta­

pahtuneiden tilamuutosten lukumäärää (kuva 10.13). Aikasarjan ominai­

suuksia voidaan tutkia esim. diskreetin Fourier-muunnoksen avulla:

X(k) = X x(n) e-anknlN, k = 0, ±1, ...

я = 0

(10.4)

N:n ollessa 2:n potenssi voidaan käyttää nopeaa Fourier-muunnosta. Teho- spektri saadaan laskemalla arvot

Ek =XkXk

N ’ (10.5)

missä 0 < k < y, sillä kun k > y pätee Ek = conj(£^_¿).

Tulostamalla tehospektrin £rarvot loglog-asteikolle voidaan nähdä tutkit­

tavan aikasarjan skaalautuvuus.

Kuvassa 10.14 on esitetty muutamien simulaatioiden tehospektrejä. Ekspo- nenttityyppinen skaalautuvuus on ilmeistä, mutta 1//"-tyyppistä skaalausta ei havaita. Skaalautuvuus onkin lähinnä tyyppiä

Sl/b-L 00.6)

f

Hiekkakekomallin skaalautuvuutta on analysoitu runsaasti; hyviä viitteitä ovat [31,65,68,69,71,72]. Tehospektrin on havaittu yleisesti olevan muotoa 10.6 [66]. Toisaalta 1//"-skaalautuvuus näyttäisi olevan kuljetusyhtälöiden yleinen ominaisuus viitteen [74] mukaan. Viitteessä [75] on puolestaan esitelty hilakaasumalli, joka tuottaa 1//"-kohinaa.

01---- 2— --- ÜLLÜ--- --- .--- Í-I

О 200 400 600 800 1000

Aika

I MI f,

Kuva 10.13 Kaksiulotteisen hiekkakekomallissa tapahtuvien vyörymien koot ajan funktioina. Oikean­

puoleisessa kuvassa on esitetty vasemmanpuoleisen kuvan alkuosa suurennettuna. Solu- automaattihilan koko on 100*100 solua.

S

tZ) 00 O

SV3

Koko 50*50 Koko 50*50, homog. alkutila

Koko 100*100 Koko 100* 100, homog. alkutila

Kuva 10.14 Kaksiulotteisen hiekkakekomallin tyypillisiä tehospektrejä. Soluautomaateista on tutkittu iteraatiokierroksella muuttuneiden tilojen lukumääriä; simulaatioaskeleita on laskettu 20000 kpl. ¡teraatiokierroksilla 5000—20000 lasketut tehospektrit on esitetty loglog- asteikoilla. Tehospektrien skaalautuvien osuuksien eksponentit on estimoitu lineaarisella regressiomallilla; eksponenteiksi saadaan (vasemmalta oikealle ja ylhäältä alas) -1.90, -135, -234 ja -1.63. Simulaatioissa on lisätty hiekkaa satunnaisiin paikkoihin aina edelli­

sen vyörymän loputtua; käytössä avoimet reunaehdot.

[Ö] -» \T\ jos jokin naapurisoin tilassa 1 (tulen leviäminen);

|~T| —> [X] (muuttuminen tuhkaksi);

[2]->[Ö] todennäköisyydellä p « 1 (uuden puun kasvaminen).

Kuva 10.15 Tilastollisen metsäpalomallin soluautomaattisääntö.

I 1 J jos jokin naapuri solu tilassa 1 (tulen leviäminen);

I (n+1) mod N+2 kun л > 1 (palaminen ja toipuminen).

Kuva 10.16 Deterministisen metsäpalomallin soluautomaattisääntö. Toipuminen kestää N simulaatio- kierrosta.

In document Soluautomaattisimulointi (sivua 58-66)