6. Determinantti ja ominaisarvot
6.3 Determinantin ominaisuuksia
6.3 Determinantin ominaisuuksia
Kutenlauseessa 3.6.9todettiin, determinantin merkitys näkyy siinä, että se kertoo matriisin kääntyvyydestä.
Lause 6.3.1
Oletetaan, että𝐴on𝑛×𝑛-matriisi. Matriisi 𝐴on kääntyvä, jos ja vain jos det(𝐴)≠ 0.
Lauseen todistus on esitetty tämän luvunloppupuolella.
Esimerkissä 6.1.1saatiin matriisin
𝑁 =
2 3 8
−4 5 9
0 −7 −8
determinantiksi 174. Koska determinantti ei ole nolla, matriisi𝑁 on kääntyvä.
Esimerkki 6.3.3
Tutkitaan, onko joukko {(2,1,−1),(0,1,−3),(−2,1,−5)}avaruuden ℝ3 kanta. Ky-seessä on kanta, mikäli jokainen vektori w ∈ ℝ3 voidaan ilmaista yksikäsitteisesti annettujen vektorien lineaarikombinaationa. Tutkittava yhtälöryhmä voidaan ilmaista matriisimuodossa yhtälönä 𝐴x=w, missä
𝐴=
2 0 −2
1 1 1
−1 −3 −5
.
Yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu, jos ja vain jos kerroinmatriisi𝐴on kään-tyvä (lause 4.6.6). Toisaaltalauseen 6.3.1 nojalla 𝐴 on kääntyvä, jos ja vain jos sen determinantti on nollasta poikkeava. Lasketaan determinantti:
det(𝐴) =
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
2 0 −2
1 1 1
−1 −3 −5
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
|︁
=2(︁
1· (−5) −1· (−3))︁
−0−2(︁
1· (−3) −1· (−1))︁
=2· (−2) −2· (−2) =0.
Koska determinantti on 0, matriisi𝐴ei ole kääntyvä. Tästä syystä tutkittavan yhtälö-ryhmän ratkaisua ei ole olemassa tai se ei ole yksikäsitteinen. Annettu vektorijoukko ei siis muodosta kantaa.
Determinantin merkitystä voidaan tulkita visuaalisesti kuvausten avulla. Jos matriisia ajatellaan kuvauksena, determinantti kertoo, kuinka paljon kuvaus muuttaa kuvioiden pinta-aloja. Jos matriisilla kuvaa tason yksikköneliötä, tuloksena on suunnikas. Seuraavan lauseen mukaan determinantin itseisarvo on tuon suunnikkaan pinta-ala.
Lause 6.3.4
Oletetaan, että 𝐴 ∈ ℝ2×2. Tällöin |det(𝐴) | on vektoreiden 𝐴e1 ja 𝐴e2 määrittämän suunnikkaan pinta-ala.
Todistus. Oletetaan, että
𝐴=
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
,
missä 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ. Palautetaan mieleen, että e1 = (1,0) ja e2 = (0,1). Matriisikerto-laskun määritelmän mukaan 𝐴e1 = (𝑎, 𝑐) ja 𝐴e2 = (𝑏, 𝑑). Ajatellaan tasoa ℝ2 tasonℝ3 osajoukkona siten, että tasonℝ2vektori(𝑎, 𝑐) vastaa vektoria (𝑎, 𝑐,0) ja (𝑏, 𝑑)vektoria (𝑏, 𝑑 ,0). Nyt voidaan hyödyntää ristituloa suunnikkaan pinta-alan laskemiseen. Suunnik-kaan pinta-ala on ristituloa käsittelevän luvun perusteella
∥ (𝑎, 𝑐,0) × (𝑏, 𝑑 ,0) ∥ = ∥ (𝑐·0−0·𝑑 ,0·𝑏−𝑎·0, 𝑎 𝑑−𝑐 𝑏) ∥
= ∥ (0,0, 𝑎 𝑑−𝑐 𝑏) ∥
=√︁
02+02+ (𝑎 𝑑−𝑐 𝑏)2
=|𝑎 𝑑−𝑐 𝑏|=|det(𝐴) |.
Edellisen lauseen avulla voi hahmottaa uudella tavalla, miksi determinantti liittyy matriisin kääntyvyyteen. Jos determinantti on nolla, matriisi kuvaa tason yksikköneliön suunnik-kaaksi, jonka pinta-ala on nolla. Tuloksena on siis vain viiva. Tällaisessa kuvauksessa eri vektorit kuvautuvat samaksi vektoriksi, joten kuvausta ei ole mahdollista peruuttaa.
Kuvauksella ei siis ole käänteiskuvausta eikä matriisilla käänteismatrisiia.
Kolmiulotteisessa avaruudessa yksikkökuutio kuvautuu matriisilla kuvattaessa suuntais-särmiöksi. Tuon suuntaissärmiön tilavuus on determinantin itseisarvo.
Lause 6.3.5
Oletetaan, että𝐴∈ℝ3×3. Tällöin|det(𝐴) |on vektoreiden𝐴e1,𝐴e2ja𝐴e3määrittämän suuntaissärmiön tilavuus.
Todistus. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Tarkastellaan seuraavaksi, miten determinantti suhtautuu matriisien alkeisrivimuunnok-siin sekä laskutoimitukalkeisrivimuunnok-siin. Seuraavan tuloksen voi todistaa pienille matriiseille suoraan laskemalla, ja yleisen tapauksen voi johtaa determinanttien kehityskaavoista.
Oletetaan, että𝐴on neliömatriisi. Jos matriisi𝐵saadaan matriisista 𝐴 1. vaihtamalla kaksi riviä keskenään, niin det(𝐵) =−det(𝐴).
2. kertomalla jokin rivi nollasta poikkeavalla reaaliluvulla𝑡, niin det(𝐵) =𝑡det(𝐴).
3. lisäämällä johonkin riviin jokin toinen rivi reaaliluvulla 𝑘 kerrottuna, niin det(𝐵) =det(𝐴).
Koska determinantit voidaan kehittää yhtä hyvin sarakkeiden kuin rivienkin suhteen, transponointi ei vaikuta matriisin determinanttiin:
Lause 6.3.7
Oletetaan, että𝐴on neliömatriisi. Tällöin det(𝐴⊤) =det(𝐴).
Lauseesta 6.3.7 seuraa, että determinantin sarakkeet käyttäytyvät täsmälleen samalla ta-valla kuin sen rivit. Lauseesta 6.3.6 saadaan siis seuraavat muistisäännöt:
1. Jos matriisin kaksi riviä (tai saraketta) vaihtaa keskenään, determinantin etumerkki muuttuu:
2. Jos matriisin rivillä (tai sarakkeessa) kaikilla alkioilla on yhteinen nollasta poikkeava tekijä, tuon yhteisen tekijän voi ottaa determinantin eteen kertoimeksi:
|︁
3. Jos matriisin riviin (tai sarakkeeseen) lisätään jokin toinen rivi (tai sarake) vakiolla kerrottuna, matriisin determinantti ei muutu:
|︁
Lauseesta 6.3.6seuraa myös, että joidenkin matriisien determinantti on helppo määrittää.
Lause 6.3.8
Oletetaan, että𝐴on neliömatriisi. Tällöin
1. jos matriisissa 𝐴on nollarivi (nollasarake), niin det(𝐴) =0
2. jos matriisissa 𝐴on kaksi samaa riviä (samaa saraketta), niin det(𝐴) =0 3. jos 𝐴 on kolmiomatriisi eli kaikki lävistäjän alapuoliset tai yläpuoliset alkiot
ovat nollia, niin matriisin𝐴determinantti on lävistäjäalkioiden tulo.
Todistus. Todistetaan vain rivejä koskevat väitteet. Sarakkeita koskevat väitteet voidaan käsitellä samalla tavalla.
1. Kerrotaan matriisin nollarivi luvulla −1, jolloin matriisi ei muutu. Lauseen 6.3.6 mukaan pätee siis det(𝐴) =−1·det(𝐴), josta seuraa, että det(𝐴) =0.
2. Vaihdetaan matriisin samanlaiset rivit keskenään, jolloin matriisi ei muutu.Lauseen 6.3.6mukaan det(𝐴)=−det(𝐴), joten det(𝐴) =0.
3. Tulos nähdään suoraan kehittämällä matriisi rivi riviltä alkaen ylimmästä tai alim-masta rivistä, jolla on vain yksi nollasta poikkeava alkio.
Edeltäviä lauseita voidaan käyttää hyväksi determinantin laskemisessa. Kun matriisi muu-tetaan porrasmatriisiksi alkeisrivimuunnosten avulla, determinantti muuttuu lauseessa 6.3.6kuvatulla tavalla. Porrasmatriisin determinantti voidaan puolestaan määrittäälauseen 6.3.8avulla.
Esimerkki 6.3.9 Lasketaan matriisin
1 −2 0 1
−2 4 1 0
2 0 −2 1
3 2 −1 −5
determinantti muuntamalla se vaiheittain porrasmatriisiksi. Tarvittavat
alkeisrivi-
Tuloksena on yläkolmiomatriisi, jonka determinantti on lävistäjäalkioiden tulo eli tässä tapauksessa−48.Lauseen 6.3.6perusteella ainoastaan viimeinen alkeisrivimuunnos muutti matriisin determinanttia, ja sekin aiheutti vain etumerkin muutoksen. Siispä alkuperäisen matriisin determinantti oli 48.
Edellisten tulosten avulla voidaan nyt todistaa myös kääntyvän matriisin determinanttiin liittyvälause 6.3.1. Tehdään se tarkastelemalla alkeisrivimuunnoksia.
Todistus. Osoitetaan, että neliömatriisi 𝐴 on kääntyvä, jos ja vain jos det(𝐴) ≠ 0. Tie-detään, että matriisi 𝐴 on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se voidaan muuttaa alkeis-rivimuunnoksilla ykkösmatriisiksi, muuten porrasmatriisiin tulee nollarivi (lause 4.6.6).
Lauseen 6.3.8 nojalla ykkösmatriisin determinantti on 1 ja nollarivin omaavan matrii-sin determinantti on 0. Toisaalta lauseesta 6.3.6seuraa, että jokainen alkeisrivimuunnos säilyttää determinantin nollana tai nollasta poikkeavana sen mukaan, mitä se oli alun pe-rin. Täten matriisi 𝐴 on kääntyvä täsmälleen silloin, kun sen determinantti on nollasta poikkeava.
Tarkastellaan vielä matriisien laskutoimituksien vaikutusta determinanttiin.
Lause 6.3.10
Oletetaan, että𝐴ja𝐵ovat neliömatriiseja. Tällöin det(𝐴 𝐵) =det(𝐴)det(𝐵).
Todistus. Hahmotellaan todistuksen ideaa. Jos jompikumpi tai molemmat matriiseista 𝐴 ja𝐵eivät ole kääntyviä, myöskään niiden tulo ei ole kääntyvä. Tällöin väite päteelauseen 6.3.1nojalla. Oletetaan sitten, että𝐴ja𝐵ovat kääntyviä ja kirjoitetaan ne alkeismatriisien tuloina:
𝐴 =𝐸1· · ·𝐸𝑟 ja 𝐵 =𝐹1· · ·𝐹𝑠.
Lauseesta 6.3.6seuraa, että jos𝐸 on alkeismatriisi, jokaiselle neliömatriisille 𝑀 pätee det(𝐸 𝑀)=det(𝐸)det(𝑀).
Käyttämällä tätä havaintoa toistuvasti yllä esitettyihin tuloihin, nähdään, että det(𝐴) =det(𝐸1) · · ·det(𝐸𝑟) ja det(𝐵)=det(𝐹1) · · ·det(𝐹𝑠). Toisaalta 𝐴 𝐵=𝐸1· · ·𝐸𝑟𝐹1· · ·𝐹𝑠, ja samalla tavoin kuin edellä saadaan
det(𝐴 𝐵) =det(𝐸1) · · ·det(𝐸𝑟) ·det(𝐹1) · · ·det(𝐹𝑠). Väite seuraa tästä.
Lause 6.3.11
Oletetaan, että neliömatriisi 𝐴on kääntyvä. Tällöin det(𝐴−1) = 1
det(𝐴).
Todistus. Oletuksen mukaan matriisi 𝐴on kääntyvä, joten sillä on käänteismatriisi 𝐴−1. Edellisen lauseen nojalla pätee
det(𝐴)det(𝐴−1) =det(𝐴 𝐴−1) =det(𝐼) =1.
Toisaalta lauseen 6.3.1 mukaan det(𝐴) ≠ 0, sillä 𝐴 on kääntyvä. Jakamalla puolittain saadaan det(𝐴−1) =1/det(𝐴).
Tiivistelmä
• Matriisi on kääntyvä täsmälleen siinä tapauksessa, että sen determinantti ei ole nolla.
• Determinantille pätee erilaisia laskusääntöjä, joiden avulla determinanttien las-kemista voidaan helpottaa.
determinantti on determinantin käänteisluku.