Vaikka päättymätön desimaaliesitys onkin kätevä tapa reaalilukujen esittä-miseen, on se numeriikan kannalta kömpelö esitys. Esimerkiksi päättyvien desimaalilukujen summa on helpompi muodostaa aloittamalla yhteenlasku viimeisestä desimaalista. Päättymättömillä desimaaliluvuilla ei ole viimeis-tä desimaalia, josta aloittaa. Tämän vuoksi yhteenlasku on aloitettava koko-naisosasta ja sen jälkeen edettävä desimaali desimaalilta vasemmalta oikealle.
Esimerkki. Tarkastellaan esimerkkinä lukujen 23 = 0,6 ja 27 = 0,285714 yhteenlaskua
0,6+0,2 = 0,8 0,66+0,28 = 0,94 0,666+0,285 = 0,951 0,6666+0,2857 = 0,9523 0,66666+0,28571 = 0,95237 0,666666+0,285714 = 0,952380
Tarkka summa on 2021 = 0,952380.
Esimerkiksi 1-desimaalisten esitysten summa ei anna tarkkaa vastausta yh-den desimaalin tarkkuudella. Kuitenkin saadaan kasvava jono rationaalilu-kuja, jotka suppenevat kohti tarkkaa arvoa.
Teoreettisissa tarkasteluissa on hyödyllisempää käyttää reallilukujen approk-simoinnissa kasvavia jonoja desimaaliesitysten sijaan.
Jonoista
Reaalilukujonolla tarkoitetaan päättymätöntä luetteloa a1, a2, a3, . . . , an, . . . ,
missä an∈Rjokaisella n∈Z+. Jonolle käytetään myös merkintää (an)∞n=1. Esimerkki.
Jonoille voidaan määritellä yhteen-, vähennys- ja kertolasku asettamalla (an) + (bn) = (an+bn),
(an)−(bn) = (an−bn), (an)·(bn) = (anbn),
Jakolasku voidaan määritellä asettamalla (an) (bn) =
an bn
,
joka on määritelty ainoastaan, kun bn 6= 0 kaikilla n∈Z+. Suppeneminen
Reaaliluvun x > 0 desimaaliesitys saatiin rationaalilukujonon (an), missä an on luvunx n:s desimaali, ”raja-arvona”. Määritellään, mitä ”raja-arvolla”
tarkoitetaan.
Määritelmä 6.4.1. Reaalilukujonon(an)∞n=1 sanotaan suppenevan kohti raja-arvoa a, jos jokaista lukua >0 kohti on olemassa sellainen N ∈Z+, että
|an−a|< aina, kun n > N.
Jos raja-arvoa aei ole olemassa, niin sanotaan, että jono (an)∞n=1 hajaantuu.
Huomautus. Jos raja-arvo on olemassa, se on yksikäsitteinen.
Esimerkki.
Jos jono(an)∞n=1 suppenee kohti lukuaa, tulevat jonon termit an mielivaltai-sen lähelle lukua a, kun n on ”riittävän suuri”.
6.5 Reaalilukujen täydellisyys
Tärkeitä erikoistapauksia jonoista (an)∞n=1 ovat:
(i) Kasvava jono eli an+1 ≥an kaikillan ∈Z+; (ii) Vähenevä jono eli an+1 ≤an kaikillan ∈Z+;
(iii) Ylhäältä rajoitettu jono eli on olemassa sellainenM ∈R, ettäan≤M kaikillan ∈Z+ (lukua M sanotaan ylärajaksi);
(iv) Alhaalta rajoitettu jono eli on olemassa sellainen m ∈ R, että an≥ m kaikillan ∈Z+ (lukua m sanotaan alarajaksi).
Jos kasvavaa ja ylhäältä rajoitettua jonoa havainnollistetaan lukusuoran avul-la, niin riittää tarkastella ainoastaan väliä [a1, M], sillä kaikki muut jonon termit ovat tällä välillä.
Intuitiivisesti tuntuisi selvältä, että tällainen lukujono suppenee kohti jotain raja-arvoaa. Näin osoittautuukin reaalilukujen tapauksessa, mutta rationaa-liluvuilla ei ole tällaista ominaisuutta. Esimerkiksi, jos (an)∞n=1 on lukujono, missä anon luvun √
2ndesimaalin esitys, se on kasvava ja ylhäältä rajoitet-tu mutta se ei kuitenkaan suppene kohti mitään rationaalilukua vaan kohti lukua √
2, joka on irrationaaliluku. Reaaliluvut korjaavat tässä mielessä ra-tionaalilukujen puutteellisuuden.
Osoitetaan seuraavaksi, että jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava reaaliluku-jono suppenee. Sitä varten annetulle reaaliluvulle kannattaa johtaa esitys samaan tapaan kuin johdettiin desimaaliesitys. Valitaan lukusuoralta lukua x∈R vastaava piste. Tämän jälkeen:
1. Valitaan sellainen kokonaisluku a0, ettäa0 ≤x < a0+ 1; Tällä tavalla saadaan luvulle x yksikäsittäinen esitys
a0a1a2. . . an. . . ,
joka yhtyy desimaaliesitykseen positiivisilla x, mutta negatiivisilla x eroaa desimaaliesityksestä. Esimerkiksi luvullex=−1,399. . .saadaan yllä olevalla prosessista a0 = −2, a1 = 6 ja aj = 0 kaikilla j ≥ 2. Siis luvulle x saadaan esitys
−2600. . .
Tämän esitystavan etu desimaaliesitykseen verrattuna on, että jokaistax∈R kohti (riippumatta siitä onkox positiivinen vai ei) on kasvava jono rationaa-lilukuja, joka suppenee kohti lukua x. Nimittäin jos xn =a0a1. . . an, niin selvästikin (xn)on kasvava ja
|x−xn|< 1 10n.
Joskus reaalilukujen desimaaliesitys määritellään yllä olevalla tavalla. Toinen etu on se, että järjestys voidaan määritellä kaikillexkuten desimaaliesityksen yhteydessä tehtiin positiivisille reaaliluvuille.
Nyt voidaan todistaa:
Lause 6.5.1. Jos (an)∞n=1 on ylhäältä rajoitettu kasvava reaalilukujono, niin (an)∞n=1 suppenee.
Todistus. Luennoilla.
Tarkastellaan seuraavaksi jonojen sijaan ylhäältä rajoitettua epätyhjää jouk-koa S⊆R. Tällöin on olemassa sellainenM ∈R, ettäx≤M kaikillax∈S.
Voidaankin kysyä, että onko joukossa S olemassa suurinta alkiota. Valitet-tavasti näin ei aina ole, mutta pyritään valitsemaan ylärajoista paras mah-dollinen edustaja eli niin sanottu pienin yläraja. Osoittautuu, että jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla joukolla on olemassa pienin yläraja.
Määritelmä 6.5.1. Olkoon S ⊆ R epätyhjä ylhäältä rajoitettu joukko. Lu-kua M sanotaan joukon S pienimmäksi ylärajaksi, merkitään M = supS (luetaan supremum), jos
(i) x≤M kaikilla x∈S (M on yläraja),
(ii) ehdosta M0 < M seuraa, että M0 ei ole yläraja (M on ylärajoista pie-nin).
Vastaavasti voidaan määritellä suurin alaraja.
Määritelmä 6.5.2. Olkoon S ⊆R epätyhjä alhaalta rajoitettu joukko. Lu-kua m sanotaan joukonS suurimmaksi alarajaksi, merkitäänm = infS (lue-taan infimum), jos
(i) x≥m kaikilla x∈S (m on alaraja),
(ii) ehdostam0 > mseuraa, ettäm0 ei ole alaraja (mon alarajoista suurin).
Esimerkki.
Nyt voidaan todistaa reaalilukujen täydellisyysominaisuus. Osoitetaan ensin kuitenkin sen duaalitulos.
Lause 6.5.2. Jokaisella epätyhjällä alhaalta rajoitetulla joukolla S ⊆ R on suurin alaraja.
Todistus. Luennoilla.
Lause 6.5.3. (Täydellisyysaksiomi)
Jokaisella epätyhjällä rajoitetulla joukolla S ⊆R on pienin yläraja.
Todistus. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Huomautus. Oletus ”S on epätyhjä” on välttämätön, sillä mikä tahansa luku on tyhjän joukon yläraja.
Aiemman esimerkin (b)-kohdan mukaan epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla ra-tionaalilukujoukolla ei välttämättä ole ylärajaa joukossa Q. Lauseen 6.5.3 mukaan reaaliluvut korjaavat rationaalilukujen edellä mainitun puutteelli-suuden. Toisin sanoen Ron täydellinen mutta Qei ole. Täydellisyysominai-suus on välttämätön esimerkiksi matemaattisen analyysin teoriassa.
6.6 Reaalilukujen aritmetiikan määrittely
Reaalilukujen aritmetiikka voitaisiin määritellä desimaalilukujen avulla. Käy-tetään tässä yhteydessä kuitenkin edellisen kappaleen esitystapaa.
Oletetaan, että kaikille on koulusta tuttua päättyvien desimaalilukujen arit-metiikka. Olkoot r1 ja r2 reaalilukuja ja olkoot niiden esitykset a0a1a2. . . ja b0b1b2. . .. Merkitään r01 = a0 ja jokaisella n ∈ Z+ r1n = a0a1. . . an. Vastaavasti merkitään r20 =b0 ja rn2 =b0b1. . . bn, n∈Z+.
Olkoon sn=rn1 +r2n. Lukujen r1 ja r2 summa määritellään asettamalla r1+r2 = sup{sn |n∈N0}.
Yhteenlasku on hyvin määritelty.
Esimerkki.
Yhteenlasku on
(i) kommutatiivinen eli x+y =y+x kaikillax, y ∈R
(ii) assosiatiivinen elix+ (y+z) = (x+y) +z kaikillax, y, z ∈R.
Nyt voidaan merkitä, ettäx=a0a1a2. . .on sama kuinx=a0+ 0, a1a2. . ..
Nolla-alkio on luonnollisesti luku 0. Alkion x∈R vasta-alkio on
−x= sup{y∈R|x+y ≤0}.
Määritellään kertolasku aluksi ei-negatiivisille luvuille. Olkoot x, y ∈R, x, y ≥ 0 ja olkoot niiden esitykset x = a0+ 0, a1a2. . . ja y = b0 + 0, b1b2. . . Merkitään x0 = a0, y0 = b0 ja xn = a0 + 0, a1. . . an, yn = b0 + 0, b1. . . bn kaikilla n≥1. Lukujen x ja y tulo määritellään asettamalla
x·y= sup{xn·yn|n ∈N0}.
Muussa tapauksessa määritellään:
1) Jos x <0 ja y≥0, niin x·y=−((−x)·y);
2) Jos x≥0 ja y <0, niin x·y=−(x·(−y));
3) Jos x <0 ja y <0, niin x·y= (−x)·(−y).
Kertolasku on hyvin määritelty ja se on
(iii) kommutatiivinen eli x·y=y·x kaikillax, y ∈R,
(iv) assosiatiivinen elix·(y·z) = (x·y)·z kaikilla x, y, z ∈R.
Ykkösalkio on luonnollisesti luku1. Jos x >0, niin alkion xkäänteisalkio on x−1 = sup{y >0|x·y≤1}.
Jos taas x <0, niin x−1 =−(−x)−1. Yhteen- ja kertolaskulle pätee
(v) distributiivilaki eli x·(y+z) = x·y+x·z kaikilla x, y, z∈R.
Yhteenlasku säilyttää järjestyksen eli jos x < y, niin x+z < y+z kaikilla z ∈R.
Ei-negatiivisuus säilyy kertolaskussa, eli jos x, y ≥0, niin x·y≥0.
6.7 Muita konstruktioita
Desimaaliesityksen lisäksi on kaksi tapaa toteuttaa reaalilukujen konstruktio täsmällisesti. Käsitellään niitä lyhyesti tässä kappaleessa.
Ensimmäinen perustuu reaalilukujen approksimointiin rationaalilukujen avul-la. Rationaaliluvuista muodostetaan Cauchyn jonoja (an)∞n=1, missä an ∈Q kaikilla n∈Z+.
Jono on Cauchyn jono, jos jokaista 0 < ∈ Q kohti on olemassa sellainen N ∈Z+, että
|an−am|< aina, kunn, m > N.
Olkoon C tällaisten jonojen muodostama joukko. Koska löytyy useita jonoja, jotka suppenevat kohti tiettyä ”reaalilukua” (vielä ei ole määritelty reaalilu-kua), niin sijoitetaan jonot(an)ja(bn)samaan luokkaan, jos(an−bn) suppe-nee kohti nollaa. Huomaa, että jälkimmäisessä ehdossa ei itse asiassa vaadita jonojen suppenemista eikä tietoa reaaliluvuista, vaan ainoastaan rationaali-lukujonon (an−bn)suppeneminen kohti nollaa, joka on rationaaliluku.
Määritellään joukossa C ekvivalenssirelaatio ∼ asettamalla (an)∼(bn)⇔(an−bn)suppenee kohti nollaa.
Ekvivalenssiluokkien [an] muodostamalle joukolle käytetään merkintää R ja ekvivalenssiluokkia sanotaan reaaliluvuiksi.
Rationaalilukuja edustavat luokat [q], missä (q)∞n=1 (q ∈ Q) on vakiojono.
Yhteen- ja kertolasku määritellään seuraavasti:
[an] + [bn] = [an+bn], [an][bn] = [anbn].
Tämän konstruktion esitti Georg Cantor vuonna 1872. Voidaan osoittaa, että tämän konstruktion reaaliluvut muodostavat täydellisen järjestetyn kunnan.
Toinen konstruktio on samantapainen kuin lukusuoran aukkojen täyttämi-nen. Konstruktion esitti Richard Dedekind vuonna 1872.
Konstruktiossa lukusuoralla olevat rationaaliluvut jaetaan kahteen erilliseen osaan leikkaamalla lukusuora kahtia. Jos leikkauspiste on rationaalilukupiste, lisätään piste oikeanpuoleiseen osaan B, jolloin Q = A ∪B. Jos taas leik-kauspiste on irrationaalilukupiste, saadaan myös jako Q = A∪B. Riittää tarkastella vasemmanpuoleista osaa A. Näitä sanotaan Dedekindin leikkauk-siksi.
Esimerkki.
Voidaan osoittaa, että Dedekindin leikkausten joukko muodostaa täydellisen järjestetyn kunnan.
7 Joukkojen mahtavuudet
Mikä on äärettömyys? Ehkäpä ensimmäinen luonnehdinta voisi olla ”jotain suurempaa kuin mikä tahansa luonnollinen luku”. Tietyssä mielessä tämä luonnehdinta onkin oikea. Kuitenkin osoittautuu, ettei löydy pelkästään yh-tä äärettömyytyh-tä vaan kokonainen äärettömyyksien hierarkia. Voi tuntua hieman yllättävältä, että rationaalilukuja on yhtä monta kuin luonnollisia lukuja. Tämä ominaisuus erottaa äärettömät joukot äärellisistä.
Sen sijaan, että kysyisimme ”kuinka monta alkiota”, on järkevämpäävertailla alkioiden lukumäärää kuin laskea alkioiden lukumäärä. Lukumäärien vertailu on alkeellisempi operaatio kuin lukumäärän laskeminen. Käsite ”joukoissa A jaB on sama määrä alkoita” tarkoittaa, että on olemassa bijektiof :A→B.
Ennen kuin siirrytään tarkastelemaan äärettömyyksien hierarkiaa, tutkitaan mikä niistä on pienin. Vertailujoukoksi kannattaa valita NjoukonN0 sijaan, sillä bijektio f : N → B järjestää joukon B alkiot jonoon. Alkiota f(1) voidaan sanoa ensimmäiseksi alkioksi, f(2) toiseksi ja niin edelleen.
Määritellään joukot N(n), missä n ∈N0, asettamalla N(0) =∅ ja N(n) = {m∈N|1≤m≤n}, missä n ∈N. Sanotaan, että joukko X on
(i) äärellinen, jos on olemassa bijektio f :N(n)→X jollekinn ∈N0; (ii) numeroituvasti ääretön, jos on olemassa bijektiof :N→X;
(iii) numeroituva, jos X on äärellinen tai numeroituvasti ääretön.
JosX on äärellinen, niin voidaan sanoa, että joukossaX onnalkiota. JosX on numeroituvasti ääretön, sanotaan, että joukossaX onℵ0 (lue: aalef nolla) alkiota.
Esimerkki.
opissa äärettömyydelle voidaan antaa täsmällinen tulkinta. Joukko-opin isänä voidaan pitää Georg Cantoria. Hänen ratkaisunsa äärettömyyttä koskevaan ongelmaan oli kardinaaliluvun käsite. Sanotaan, että joukot A ja B ovat yhtämahtavat tai että joukoilla A ja B on sama kardinaaliluku ja merkitään |A| =|B|, jos on olemassa bijektio f : A → B. Lisäksi sovitaan, että ∅ on yhtä mahtava itsensä kanssa.
Jos on olemassa bijektio
1) f :N(n)→X, niin sanotaan, että joukon X kardinaaliluku onn;
2) f :N→X, niin sanotaan, että joukon X kardinaaliluku onℵ0.
Jos on olemassa injektio f : X → Y, niin X on korkeintaan yhtä mahtava kuin Y ja merkitään |X| ≤ |Y|. Merkinnällä |X| < |Y| tarkoitetaan, että
|X| ≤ |Y| ja |X| 6=|Y|.
Yleisesti, jos X ⊆Y, niin upotus (inkluusio) i :X →Y, missä i(x) =x, on injektio, joten
X ⊆Y ⇒ |X| ≤ |Y|.
Kuitenkin jokainen ääretön joukko on yhtä mahtava sen aidon osajoukon kanssa.
Lause 7.0.1. (Cantor)
Jos joukko B on ääretön, niin on olemassa sellainen aito osajoukko A (B, että |A|=|B|.
Todistus. Luennoilla.
Lauseen 7.0.1 mukaan jokaisesta äärettömästä joukosta B voidaan valita nu-meroituvasti ääretön osajoukko X, joten ℵ0 = |X| ≤ |B|. Näin ollen ℵ0 on pienin ääretön kardinaaliluku. Yllättävän monen joukon, joka intuitiivisesti tuntuu suuremmalta kuin N, kardinaaliluku on ℵ0 (esim.|Q|=|N0×N0|=
|Z|=ℵ0).
Esimerkki.
Syy, miksi numeroituva joukko voi olla äärellinen tai numeroituvasti ääretön, käy ilmi seuraavasta tuloksesta.
Lause 7.0.2. Numeroituvan joukon osajoukko on numeroituva.
Todistus. Luennoilla.
Numeroituvia joukkoja yhdistelemällä saadaan edelleen numeroituvia jouk-koja.
Lause 7.0.3. Numeroituvien joukkojen numeroituva yhdiste on numeroituva.
Todistus. Luennoilla.
Ei pidä kuitenkaan luulla, että jokainen joukko olisi numeroituva, vaan on olemassa ylinumeroituvia joukkoja joiden mahtavuus on suurempi kuin N:n mahtavuus.
Lause 7.0.4. Reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.
Todistus. Luennoilla.
Olkoon ℵ reaalilukujen kardinaaliluku. Koska N ⊂R, on ℵ0 ≤ ℵ ja lauseen 7.0.4 mukaan ℵ0 < ℵ. On siis löydetty kardinaalilukua ℵ0 suurempi kardi-naaliluku. Osoitetaan, että löytyy itseasiassa kokonainen hierarkia äärettö-miä joukkoja, joilla on eri kardinaaliluku. sitä varten olkoon A joukko ja
P(A) = {B |B ⊂A}
A:n osajoukkojen muodostama joukko. Joukkoa P(A)sanotaan A:n potens-sijoukoksi.
Lause 7.0.5. Jos A on joukko, niin |A|<|P(A)|.
Todistus. Luennoilla.
Lauseen 7.0.5 mukaan saadaan kokonainen hierarkia erisuuruisia äärettö-myyksiä:
|N|<|P(N)|<|P(P(N))|< . . .
Miten R:n mahtavuus sijoittuu tähän? Voidaan osoittaa, että |R|=|P(N)|, mutta jätetään se hautumaan. . .
TÄMÄ KURSSI PÄÄTTYY TÄHÄN!
Viitteet
[1] C. F. Blumfield & Z. E. Eicholz & M. E. Shanks, Algebra II, Addison Wesley Publishing, Inc., 1962.
[2] C. Boyer, Tieteiden kuningatar, Matematiikan historia, osa I, John Wiley & Sons, 1991.
[3] C. Boyer, Tieteiden kuningatar, Matematiikan historia, osa II, John Wiley & Sons, 1991.
[4] G. Flegg,Lukujen historia – Sormilla laskemisesta tietokoneisiin –, Art House Oy, 2002.
[5] J. Merikoski & M. Halmetoja & T. Tossavainen, Johdatus matemaat-tisen analyysin teoriaan, WSOY, 2004.
[6] L. Myrberg,Algebra, Vaasa Oy, 1978.
[7] I. Niven,Numbers: Rational and Irrational, The Mathematical Associa-tion of America, 1961.
[8] I. Stewart & D. Tall, The Foundation of Mathematics, Oxford Univer-sity Press, 1977.
[9] L. M. Weiner, Introduction to Modern Algebra, Hartcourt, Brace &
World, Inc., 1970.
[10] R. L. Wilder,Introduction to the Foudation of Mathematics, John Wi-ley & Sons, Inc., 1952.