Valitettavasti nämä ratkaisut ovat jaksollisia, eivätkä ne suppene poh-joissuuntaan α = 0. Paras ratkaisu saadaan yhdistämällä θ ja dtdθ seuraavalla tavalla:
d2α
dt2 = −k2ω⊕cosφdα
dt −k3ω⊕cosφ·α
eli d2α
dt2 +ω⊕cosφ (
k2dα
dt +k3α )
=0.
Tämä on yleinen toisen kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö. Riip-puen kertoimistak2jak3sillä on aaltomaisia, eksponentiaalisesti vaimen-nettuja taikriittisesti vaimennettujaratkaisuja, katsoWikipedia, Damping ratio. Viimeksi mainittu vaihtoehto on paras kompassin toimivuuden kannalta.
Jos kirjoitetaanvärähtelyajan käänteisluvuksiκ=√
k3ω⊕cosφja k2 = 2κ
ω⊕cosφ, saadaan kriittisesti vaimennettu tapaus
d2α
dt2 +2κdα
dt +κ2α=0, jonka yleinen ratkaisu on
α(t) = (a+bt)e−κt,
jossaajabovat mielivaltaisia, alkuehtojen määrittämiä vakioita.
Useink3, harmoninen palautuskerroin, toteutetaan kiinnittämällä jäykästi gyroskooppikehikon sisäiseen renkaaseen painava puolirengas, joka ulottuu alaspäin. Paino yrittää vetää gyroskoopin pyörimisakselin takaisin vaakatasoon. Vaimennuskerroin k2 puolestaan toteutetaan perinteisesti käyttämällä tahmeaa nestettä sisäisen renkaan laakereissa.
D 5.7 Schulerin heiluri
D 5.7.1 Periaate
Schulerin12 heilurion heiluri, jonka pituus on sama kuin Maan säde R. Jos sellainen heiluri olisi käytännössä mahdollinen, esimerkiksi
12Maximilian Joseph Johannes Eduard Schuler (1882–1972) oli saksalainen navigointi-teknologian pioneeri,Wikipedia, Max Schuler.
Ó » . î á
massana pitkän massattoman sauvan päässä, sen jakso olisi (yhdeng:n painovoimakentässä!)
PSchuler =2π
√R g, jossagon painovoima Maan pinnalla.
Tämä jakso, PSchuler = 84,4 minuuttia, on sama kuin Maan pinnan tuntumassa Maata kiertävän satelliitin rataperiodi — jos ilmakehää ei olisi olemassa.
Vaikka näin pitkää heiluria ei voida rakentaa, voidaan kuitenkin aja-tella heiluria, jonka jakso onPSchuler. Tällainen voisi olla esimerkiksi laaja kappale, jonka ripustuspiste on hyvin lähellä sen massakeskipistettä13.
Kaiken yksinkertaisin heiluri on massa massattoman sauvan päässä.
Olkoon sen pituus ℓ. Jos se heiluu pois pystysuunnasta kulman14 θ verran, on palauttava voima
F=mgsinθ,
ja kun sen massa onm, voidaan sen kiihtyvyys laskea Newtonin toisen lain avulla:
md2(−θℓ)
dt2 =mgsinθ =⇒ d2θ
dt2 ≈−g
ℓθ, (5.17)
värähtely-yhtälö, jonka eräs ratkaisu on θ(t) =sin
( t
√g ℓ
) , josta seuraa jakso
P =2π
√ℓ g. D 5.7.2 Heiluri vaunulla
Laitetaan tämä heiluri vaunulle, joka liikkuu vaakasuuntaan lineaa-risella kiihtyvyydelläa(t). Heilurin koemassa kokee vaunun koordi-naatistossa samansuuruisen vastakkaisen kiihtyvyyden−a(t). Koska heilurin pituus onℓ, sen kulmakiihtyvyys on
d2˜θ dt2 = 1
ℓ (
a−g·(
˜θ−ψ)) .
13Valitettavasti ei edes tämä toimi. Kuten Schuler jo osoitti, ripustuspisteen ja heilurin massakeskipisteen välisen etäisyyden olisi oltava kohtuullisen kokoisen heilurin tapauksessa alle mikrometri.
14Yhdenmukaisuuden takia muiden kulmien kanssa kulmaθlasketaan positiiviseksi negatiiviselle lineaariselle koemassan siirtymälle.
Ó » . î á
Tässäθ˜on heilurin poikkeamalähtöpisteenluotiviivan suunnasta.
Vaunun kulkema matka ajan funktiona on x(t). Tämä lineaarinen etäisyys liittyy kiihtyvyyteen näin:
d2x(t)
dt2 =a(t).
Sama matka ilmaistunageosentrisenä kulmaetäisyytenäeli kulmana Maan keskipisteestä katsottuna onψ(t) = x(t)/
R. Tämä suure, joka edustaa myös paikallisen luotiviivan muutosta matkan varrella, noudattaa differentiaaliyhtälöä
d2ψ(t) dt2 = 1
Ra(t). (5.18)
Vähennys antaa d2 dt2
(
θ˜−ψ)
= 1 ℓ
(
a−g(
θ˜−ψ))
−a R.
Nyt oleta, että heilurin pituusℓ=R. Silloin, josθdef= θ˜−ψ, seuraa d2θ(t)
dt2 = −g
Rθ(t). (5.19)
Tässäθon kulma heilurin japaikallisenluotiviivan välillä. Yhtälö5.19 on identtinen heiluriyhtälön5.17kanssa.
Eräs yhtälön5.19ratkaisu onθ=0 identtisesti. Siis:
Vaikka vaunu liikkuu ja kiihtyy vaakasuuntaan, heiluri osoittaa koko ajan Maan keskipisteeseen.
Tämä on Schulerin heiluria määrittelevä ominaisuus.
D 5.7.3 Toteutus inertialaitteessa
Vakautettuun alustaan perustuva inertialaite toteuttaa paria palaute-silmukkaa eliSchulerin silmukkaa, jotka saavat koko gyroskooppikehikon käyttäytymään Schulerin heilurin tavoin. Aina kun kehikko kääntyy pois vaakatasosta, vaakasuuntienx jaykiihtyvyysmittarit mittaavat painovoiman gprojektiota kallistuvaan tasoon ja lähettävät korjaus-impulssit vastaaviin gyroskooppikehikon toimilaitteisiin. Näin kehikko seuraa aina paikallista vaakatasoa.
Yhtälön5.18mukaan
d2ψ(t) dt2 = 1
Ra(t),
Ó » . î á
x a
v
ψ=θ
θ
Kuva5.11. Yksiulotteinen vaunu Schulerin heilureineen kulkee kaarevan Maan pinnalla.
D
jossaa(t)onx-suunnan lineaarinen kiihtyvyys jaRmaapallon säde. Kul-mafunktioψ(t)kuvaa, miten paikallinen luotiviivan suunta muuttuu
Nz
y Kiihtyvyys-mittari z Gyroskooppipyörä Pysyy
horisontissa
Toimi-laite
Nz Palaute-silmukka
ax
x
Kuva5.12. Schulerin palautesilmukkax-suunnassa.
D
Ó » . î á
matkan varrella.
Gyroskoopin roottorin pyörähdysmomentti on yhtälön5.7mukaan
L=Lx =Jxω, (5.20)
jossaJxon roottorin hitausmomentti sen pyörimisakselin ympäri jaωon sen pyörähdysnopeus. Tässä oletetaan, että gyroskoopin pyörimisakseli on horisonttitasossa(x,y), tarkemminx-akselin suunnassa.
Kuvassa5.12kuvatussa geometriassa
L=Lxi+Lyj+Lzk≈Jxωi+Lyj+Lzk, jossa{
i,j,k}
on(x,y,z)-koordinaatiston ortonormaali kanta. Oletetaan, että vektorit i ja j ovat lähtöpisteen horisontin tasossa ja k osoittaa ylöspäin.
Gyroskooppiakselin absoluuttisen suunnan muuttumisen kokonais-määrä laskettuna lähtöpisteestä on˜θ=θ+ψ. Laske yhteen yhtälöt5.19 ja5.18:
d2
dt2θ(t) = −g Rθ(t) d2
dt2ψ(t) = 1 Ra(t)
⎫⎪
⎬
⎪⎭ =⇒ d2
dt2˜θ(t) = 1 R
a(t)˜
(a(t) −g θ(t)). (5.21)
Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että kulmatθ,ψjaθ˜ovat pieniä.
Nyt gyroskooppiakselin suunnan muutoksenθ˜toteuttaminen mer-kitsee yhtälön5.20kanssaz-akselin pyörähdysmomentin muutosta
Lz =θL˜ =˜θJxω. Kulman˜θtoinen derivaatta on
d2
dt2˜θ= 1 Jxω
d2 dt2Lz. Yhtälön5.21kanssa:
d2
dt2Lz =Jxω d2
dt2θ˜= Jxω
R a˜ =⇒ d
dtLz = Jxω R
ˆ
a(t)˜ dt. Yhtälön5.2mukaan:
Nz = d
dtLz = Jxω R
ˆ
a(t)˜ dt. (5.22) Yhtälössä 5.22Nz on tarvittava vääntö z-akselin ympäri, katso kuva 5.12. Näin Schulerin silmukka toteutetaan.
Ó » . î á
Yhtälössä5.22mitattu kiihtyvyys ona˜=a−gθ, jossaaon geometri-nen kiihtyvyys jagθpainovoiman komponentti, joka toimii gyroskoop-piakselin suuntaan.
Yhtälön 5.22 mukaisesti Schulerin silmukka toteutetaan joko lait-teistotasolla — vanhemmissa laitteissa kerroin Jxω/
R on laitevakio ja käytetään analogista laitteistotason integraattoria15— tai inertialaitteen ohjelmistossa. Aina onkaksiSchulerin silmukkaa, yksix-suuntaa ja yksi y-suuntaa varten.
D 5.8 Mekanisointi
Koska tosielämän inertialaite on aika lailla monimutkaisempi kuin yksinkertaiset periaatteet, on laitteiston kaikkien osien käyttäytyminen mallinnettava huolellisesti. Tätä mallinnusta kutsutaan inertialaitteen mekanisoinniksi.
Yksinkertaisena mekanisoinnin esimerkkinä esitetään yksiulotteinen vaunu pallon muotoisen Maan pinnalla, kuva5.11.
Määritelmän mukaisesti nopeus on dx(t)
dt =v(t).
Kiihtyvyyttä mitataanjatkuvasti kiihtyvyysanturilla. Mittausarvo on a(t). Tämä mittasuure, joka on ajan funktio, koostuu kahdesta osasta:˜
◦ geometrinen kiihtyvyys,
a(t) = d2x(t)
dt2 = dv(t) dt
◦ painovoimavektorin projektio kiihtyvyysmittarin akselille,θ(t)g, jossaθ(t)on vaunun kallistuskulma paikallisesta pystysuunnasta eli luotiviivan suunnasta.
Tulos on
dv(t)
dt =a(t) +˜ g θ(t), (5.23) jossa funktioa(t)˜ on jatkuvan mittausprosessin tuottama.
Lopuksi käsitellään Schulerin silmukkaa. Kallistuskulmaθ käyttäy-tyy Schulerin heilurin tavoin ja yrittää palautua nollaan yhtälön5.19 mukaisesti:
d2θ(t)
dt2 = −g
Rθ(t). (5.24)
15Esimerkiksi osiossa5.2.2esitetty integroiva gyroskooppipohjainen kiihtyvyysmitta-ri.
Ó » . î á
−0,05 0 0,15
−0,15
−0,1 0,1
0,05
0 s 2000 s 4000 s 6000 s 8000 s 10 000 s
Schuler 84,4 min
∆x, km
θ, ′ X
∆v, m/s
Kuva5.13. Virheiden kasautuminen yhtälön5.26yksiulotteisen mekanisoinnin mukaan. Käytetyt arvot ovat: na on ±100 mGal, ng = 0. ∆v- ja θ-käyrät on siirretty selkeyden vuoksi.
D
Seuraavaksilinearisoidaan. Määritelläänlikiarvot, ajan funktiotx(0)(t)ja v(0)(t)sekä erotussuureet∆x(t)def= x(t)−x(0)(t)ja∆v(t)def= v(t)−v(0)(t), seuraavasti:
dx(0)(t)
dt =v(0)(t), dv(0)(t)
dt =a(t),˜ jossa˜a(t)oletetaan jatkuvasti mitatuksi16, ja
d∆x(t)
dt =∆v(t), d∆v(t)
dt =g θ(t).
Nyt yhtälöön5.24voidaan sijoittaa
g θ(t) = d∆v(t) dt ,
16Lienee sopivaa määritellä tämä mitattua(t)˜ ja kaikki siitä johdetut suureet stokasti-siksi. Emme tee sitä, mutta katsonayhtälössä5.26.
Ó » . î á
D Taulu5.1. Mekanisoinnin simulointi yhdessä ulottuvuudessa,octave-koodi.
plot(s, 0.001*x, ’b’);
plot(s, v+0.1, ’c’);
plot(s, 57*60*th-0.1, ’m’);
endfor
print -dpdf "schuler.pdf"
tuloksena
Integroimalla — siis jättämällä pois yksi dtd molemmilta puolilta — saadaan
dθ(t)
dt = −1
R∆v(t), (5.25)
ja kokonaiseksi Kalmanin suotimen dynaamiseksi malliksi saadaan
d Tähän on lisätty mahdolliset (stokastiset) kiihtyvyysanturin ja gyros-koopin stabilointimekanismin kohinatermitna,ng.
Ratkaisu toimii sillä tavalla, että lasketaan jatkuvasti ja tarkasti in-tegroimalla tosiajassa likiarvotv(0)(t)jax(0)(t), ja Kalmanin suotimen avulla integroidaan∆x(t),∆v(t)jaθ(t).
Kuvassa5.13nähdään, miten nämä suureet∆x,∆yjaθkäyttäytyvät ajassa. Heilahteleva käyttäytyminen Schulerin aikaskaalalla on ilmeinen:
Ó » . î á
ratkaisussa sekä vaunun kallistuskulmaθettä nopeuspoikkeama∆v
— sekä paikkapoikkeama∆x— heilahtelevat harmonisesti Schulerin heilurin tavoin17, jaksonaPSchuler =84,4 minuuttia. Korkeus on saatava muulla tavoin, esimerkiksi lentokoneessa ilmanpaineanturin avulla.