Algebran peruslause – kohti Bézout’n lauseen täsmällistä

7. Yhtälöiden ratkomisen historiaa

7.4 Uuden matematiikan aika

7.4.3 Algebran peruslause – kohti Bézout’n lauseen täsmällistä

Algebrallisten käyrien leikkauspisteiden ja polynomiyhtälöiden ratkaisujen välillä on läheinen yhteys, mikä huomattiin jo Menaikhmoksen √2^] -konstruktion yhteydessä, jossa paraabeli ja hyperbeli leikkaavat, eli määritettäessä yhtälön 𝑥⁶ = 2 juurta. Suorin yhteys näkyy polynomikäyrän

𝑦 = 𝑝(𝑥) (17)

tapauksessa, jonka leikkauspisteet x-akselin kanssa ovat täsmälleen samat kuin yhtälön

𝑝(𝑥) = 0 (18)

reaalijuuret. Jos yhtälöllä (18) on k reaalijuurta, käyrällä (17) on k leikkauspistettä x-akselin kanssa.

Leikkauspisteet täytyy laskea samalla tavalla kuin juuret, eli monikerrat huomioiden. Yhtälön (18) juuri on µ-kertainen, jos tekijä (x – r) esiintyy µ kertaa polynomissa p(x), ja juuri r lasketaan tällöin µ kertaa.

Kuva 10: Kaksinkertainen leikkauspiste.

Tämä tapa laskea juuria on myös geometrisesti luonteva, sillä jos esimerkiksi käyrä y = p(x) koskettaa x-akselia kaksinkertaisesti nollassa, suora y = ex, joka on lähellä akselia y = 0, koskettaa käyrää kahdesti – kerran lähellä akselin leikkauspistettä ja kerran täsmälleen leikkauspisteessä. Paraabelin 𝑦 = 𝑥^# ja akselin y = 0 leikkauspiste (kuva 10) voidaan näin ollen tulkita kahtena päällekkäisenä pisteenä, johon myös leikkauspisteet suoran y = ex kanssa päätyvät, kun epsilonin annetaan mennä nollaan. Vastaavalla tavalla kolmas moninkerta voidaan hahmottaa kolmen erillisen leikkauspisteen raja-arvona, esimerkiksi suoran y = ex ja käyrän 𝑦 = 𝑥⁶ leikkauspisteiden avulla (kuva 11).

Idea näyttää kuitenkin rikkoutuvan neljännen kertaluvun tapauksessa, sillä y = ex ja 𝑦 = 𝑥^; leikkaavat ainoastaan kahdessa pisteessä, x = 0 ja 𝑥 = √^] e . Selitys on se, että tässä tilanteessa reaalijuurien lisäksi löytyy myös kaksi kompleksijuurta, joita ei voi jättää huomiotta, jos juuria halutaan saada geometrisesti ”oikea” määrä. Kun polynomia x^;− ex lähdetään jakamaan tekijöihin nollakohtien x = 0 ja 𝑥 = √^] e avulla, saadaan

x^;− ex = (x − 0)xx − √^] e y Lx^#+ 𝑥√^] e− He^] ^# M.

Ratkaistaan viimeisen tulon tekijän nollakohdat:

Etsityt kompleksijuuret ovat siis

𝑥 =1

2 √^] e x−1 ± 𝑖√3y.

Nyt juuria on asteluvun mukainen määrä, neljä kappaletta, kuten haluttiinkin.

Algebran peruslauseen mukaan n. asteen positiiviasteisella kompleksilukukertoimisella polynomilla on kertaluvut huomioiden n juurta, ja siksi polynomikäyrä leikkaa x-akselin n kohdassa.

Jotta juuria olisi n kappaletta, täytyy tarkasteluun ottaa mukaan myös käyrät, joille x ja y ovat kompleksisia. Bézout’n lause, joka kertoo, että m. ja n. asteen käyrät Cm ja Cn leikkaavat toisensa mn pisteessä, on yksi algebran peruslauseen seurauksista, jotka houkuttelivat 1700-luvun matemaatikkoja ottamaan kompleksiluvut mukaan käyrien teoriaan ennen kuin kompleksilukuja oikeastaan edes ymmärrettiin – ja jopa ennen kuin algebran peruslause edes oli todistettu. Algebran peruslauseelle ensimmäisen kunnollisen todistusyrityksen esitti ranskalainen Jean Le Rond d’Alembert, jonka nimellä lause tunnetaan ranskalaisella kielialueella. Menestyksellisemmin lauseen todisti Carl Friedrich Gauss. Hän esitti ensimmäisen hyväksyttävän todistuksen lauseelle väitöskirjassaan vuonna 1799 sekä palasi myöhemmin aiheeseen esittäen lauseelle vielä kolme muuta todistusta.

Kuten aikaisemmin todettiin, jos avuksi otetaan homogeeniset koordinaatit äärettömyyden pisteiden huomioimiseen, käyrien Cm ja Cn leikkauspisteet vastaavat kyseisistä yhtälöistä eliminaatiomenetelmällä saadun yhtälön 𝑟_t0(𝑥, 𝑦) = 0 ratkaisuja, joka on homogeeninen astetta mn. Nyt algebran peruslausetta voidaan käyttää osoittamaan, että 𝑟_t0(𝑥, 𝑦) = 0 on mn lineaarisen tekijän tulo.

Kahden muuttujan polynomin 𝑟_t0(𝑥, 𝑦) homogeenisuudesta seuraa, että 𝑟_t0(𝑥, 𝑦) = 𝑦^t0𝑟_t0L^{

pätee, sillä polynomin 𝑟_t0L^{

|, 1M aste 𝑝 ≤ 𝑚𝑛 muuttujalle ^{

| . Toisaalta 𝑟_t0(𝑥, 𝑦) = 𝑦^t0g••(𝑏_€

•

€‚/

𝑥 − 𝑎_€𝑦) = •(𝑏_€

€‚/

𝑥 − 𝑎_€𝑦),

koska jokainen tekijä y on muotoa 𝑏_€𝑥 − 𝑎_€𝑦, missä 𝑏_€ = 0 ja 𝑎_€ = 1. Näin ollen yhtälöllä 𝑟_t0(𝑥, 𝑦) = 0 on mn ratkaisua, ja käyrillä Cm ja Cn on mn leikkauspistettä mukaan lukien mahdolliset moninkerrat. Näin olemme pääpiirteissään käyneet läpi Bézout’n lauseen todistuksen.

Lähteet

Aro, M. & Aro, T. 2013. Minäpystyvyys ja oppimisvaikeusinterventiot. Kasvatustieteiden laitos/Erityispedagogiikka, Jyväskylän yliopisto & Niilo Mäki Instituutti. Verkossa saatavilla:

https://www.aka.fi/globalassets/awanhat/documents/tiedostot/lapset/seminaari-22.05.2013/8_sa_aro_minapystyvyys-ja-oppimisvaikeusinterventiot.pdf. Luettu 12.7.2019.

Bandura, A., & Schunk, D. H. 1981. Cultivating competence, self-efficacy, and intrinsic interest through proximal self-motivation. Journal of Personality and Social Psychology, 41, 586–598.

Verkossa saatavilla:

https://pdfs.semanticscholar.org/b1e4/d476c857333b9a0afdb1428eda27f6d26940.pdf. Luettu 12.7.2019.

Flegg, G. (toim.) 1989. Karttunen, H. (suom.) 2002. Lukujen historia – Sormilla laskemisesta tietokoneisiin. Art House.

Joutsenlahti, J., Silfverberg, H. & Räsänen, P. 2018. Matematiikan opetus ja oppiminen. Niilo Mäki Instituutti, Jyväskylä.

Kaartinen, S. & Kumpulainen, K. 2012. The emergence of mathematizing as a culture of participation in the early childhood classroom. European Early Childhood Education Research Journal.

Kaartinen, S. & Latomaa, T. 2012. Children as Mathematicians: The Interplay between Discourse Structure, Mathematicising, and the Participatory Approach.

Lehrbäck, J. 2019. Matematiikan historian luentoja. Jyväskylän yliopisto.

Lehtinen, M. 2014. Matematiikan historian luentoja 2014, luentomoniste.

Meiers, M. 2005. Language in the mathematics classroom. ResearchGate. Verkossa saatavilla:

https://www.researchgate.net/publication/44296277_Managing_student_behaviour_in_the_classroo m. Luettu 21.7.2019.

O´Connor, J. J. & Robertson, E. F. 2019. MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics & University of St Andrews, Scotland. Verkossa saatavilla:

https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html. Luettu 6.8.2019.

Opetushallitus. 2014. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet.

Pongsakdi, N. 2017. Bridging mathematics with word problems. Turun yliopiston julkaisuja, sarja B, osa 435. Verkossa saatavilla: https://www.utupub.fi/handle/10024/134581. Luettu 21.7.2019.

Räsänen, P., Kupari, P., Ahonen, T. & Malinen P. (toim.) 1997. Matematiikka – näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen. Niilo Mäki Instituutti & Koulutuksen tutkimuslaitos, Jyväskylä.

Saloviita, T. 2014. Yhteistoiminnallinen oppiminen ja osallistava kasvatus. PS-kustannus.

Stillwell, J. 2010. Mathematics and its history. 3. painos, Springer. New York.

Tehtävien laatimisessa käytetyt oppikirjat

Asikainen, K., Fälden, H., Nyrhinen, K., Rokka, P. & Vehmas, P. 2008. Tuhattaituri 5b. 1.–4. painos, Otava.

Asikainen, K., Fälden, H., Nyrhinen, K., Rokka, P. & Vehmas, P. 2008. Tuhattaituri 6b. 1.–3. painos, Otava.

Karppinen, J., Kiviluoma, P., Tammi, M. & Urpiola, T. 2009. Tuhattaituri 4a. Otava.

Laurinolli, T., Lindroos-Heinänen, R., Luoma-aho, E., Sankilampi, T., Talvitie, K. & Vähä-Vahe, O.

2011. Laskutaito 7. 6.–8. painos, WSOY.

Laurinolli, T., Luoma-aho, E., Sankilampi, T., Talvitie, K. & Vähä-Vahe, O. 2010. Laskutaito 9. 1.–

4. painos, WSOY.

Liitteet

1. Alkukyselylomake 2. Loppukyselylomake

3. Ensimmäisen työskentelysession tehtävämoniste 4. Toisen työskentelysession tehtävämoniste 5. Huoltajan suostumuslomake

ALKUKYSELY

Nimi: _______________________________

1. Millä luokalla olet?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 f) 9 2. Oletko käyttänyt aikaisemmin Geogebraa?

a) Kyllä. b) En.

3. Pidätkö ryhmätöistä?

a) Pidän. b) En pidä.

Perustelu:

__________________________________________________________________________

4. Selitä, mitä seuraavat asiat tarkoittavat ja kerro mihin niitä tarvitaan.

a) koordinaatisto =

_______________________________________________________________________

b) yhtälö =

_______________________________________________________________________

c) suorien leikkauspiste =

_______________________________________________________________________

5. Keksi itse yhtälö ja ratkaise se.

LOPPUKYSELY

Nimi: _____________________________

1. Valitse kaikki vaihtoehdot, jotka kuvaavat ajatuksiasi ryhmätyöskentelykertojen jälkeen.

Eri ikäisten oppilaiden kanssa työskentely oli a) helppoa

b) haastavaa c) opettavaista d) minulle uusi juttu e) minulle ennestään tuttua f) tylsää

g) kivaa

h) minua vähän jännitti

2. Mikä oli mukavaa ryhmätyöskentelyssä eri ikäisten kanssa?

__________________________________________________________________________

3. Mistä et pitänyt ryhmätyöskentelyssä eri ikäisten kanssa?

_________________________________________________________________________

4. Mitä uutta opit tutkimuksen aikana a) itseäsi nuoremmilta oppilailta?

_______________________________________________________________________

b) itseäsi vanhemmilta oppilailta?

_______________________________________________________________________

5. Selitä, mitä seuraavat asiat tarkoittavat ja kerro mihin niitä tarvitaan.

a) koordinaatisto =

_______________________________________________________________________

b) yhtälö =

_______________________________________________________________________

c) suorien leikkauspiste =

_______________________________________________________________________

6. Keksi itse yhtälö ja ratkaise se.

Tutkimussessio 1

Ryhmäläisten nimet: ____________________________________

Tehtävä 1

Selittäkää sanat. Jokainen ryhmäläinen selittää jokaisen sanan sen tiedon perusteella, mitä hän on matematiikan tunneilla tähän mennessä oppinut. Jos et keksi lisättävää edellisiin selityksiin, voit vaikkapa kertoa, mihin kyseistä asiaa matematiikassa käytetään. Aloittakaa ryhmän nuorimmasta jäsenestä ja edetkää ikäjärjestyksessä. Keskustelkaa lopuksi, mitä uutta opitte, kun kuuntelitte muiden ryhmäläisten selityksiä.

a) koordinaatisto

b) x-koordinaatti ja y-koordinaatti c) suora

d) suorien leikkauspiste e) yhtälö

f) yhtälön ratkaisu

Tehtävä 2

Piirtäkää pisteet Geogebra-koordinaatistoon:

(1, 0) (-2, 4) (1, 3) (3, 1) (0, 0) (-5, -3) (4, -4)

Tehtävä 3

Piirtäkää Geogebralla suora, joka kulkee pisteiden (-5, 4) ja (3, -2) kautta.

Piirtäkää Geogebralla suora, joka kulkee pisteiden (-4, -2) ja (0, 2) kautta.

Missä pisteessä suorat leikkaavat?

Tehtävä 4

Peli: laivanupotus Ohjeet:

Muodostakaa kaksi paria siten, että ryhmän vanhin ja nuorin jäsen muodostavat yhden joukkueen ja keskimmäiset jäsenet toisen. Kummallekin joukkueelle jaetaan yksi paperinen laivanupotuskoordinaatisto. Toisena koordinaatistona käytetään Geogebra-koordinaatistoa.

Kumpikin joukkue asettaa Geogebra- koordinaatistoon omat laivansa (omien laivojen sijaintia ei saa näyttää vastustajille!). Paperikoordinaatistoon merkitään ammutut ammukset (merkitkää osumia rasteilla ja ohi menneitä ympyröillä).

Laivat asetetaan [-4,4] x [-4,4] -koordinaatiston pisteisiin, ei ruutuihin. Yhdistäkää laivan pisteet janoilla, jolloin laivan hahmottaminen on helpompaa. Laivat eivät saa koskettaa toisiaan. Laivat voivat olla vinottain, pystysuunnassa tai vaakasuunnassa.

Asettakaa koordinaatistoon seuraavat laivat: Esimerkki:

1 kpl 5 pisteen mittainen 1 kpl 4 pisteen mittainen 2 kpl 3 pisteen mittainen 2 kpl 2 pisteen mittainen

Peli alkaa, kun molemmat joukkueet ovat asettaneet laivansa koordinaatistoon. Kumpikin joukkue ilmoittaa vuorotellen koordinaatin, esimerkiksi (1, -4), johon haluaa ampua. Vastustajajoukkue kertoo, osuiko ammus. Jos ammus osuu vastustajan laivaan, osuman ampunut joukkue saa lisävuoron.

Kun jokaiseen laivan pisteeseen on osunut ammus, laiva uppoaa. Silloin laivan menettänyt joukkue ilmoittaa laivan uponneen. Pelin voittaja on se joukkue, joka on ensimmäisenä saanut upotettua vastustajan koko laivaston.

Tehtävä 5

Viivin koti sijaitsee koordinaatiston pisteessä (-2, -2). Konstan koti sijaitsee koordinaatiston pisteessä (4, 2). Viivi kävelee Konstan luo kyläilemään suorinta mahdollista reittiä. Puolivälissä matkaa hän ohittaa Siirin talon. Missä Siiri asuu? Käyttäkää Geogebran koordinaatistoa apuna tehtävän

Tehtävä 6

Muodostakaa kaksi paria siten, että ryhmän vanhin ja nuorin jäsen muodostavat parin 1 ja keskimmäiset jäsenet parin 2.

Pari 1 piirtää Geogebran koordinaatistoon haluamansa kuvion (esimerkiksi tähti, ympyrä, mökki, ...).

Kuvaa ei saa näyttää parille 2. Pari 1 selittää piirtämänsä kuvan parille 2, joka piirtää ohjeiden mukaisesti kuvan omaan Geogebra-koordinaatistoonsa. Tarkistakaa lopuksi tuliko kuvioista samanlaiset.

Tehkää tehtävä myös toisin päin, eli pari 2 keksii kuvion, ja pari 1 piirtää sen ohjeiden mukaan.

Tutkimussessio 2

Ryhmäläisten nimet: _____________________________________

Tehtävä 1

Ville ostaa kaupasta päärynöitä ja appelsiineja. Hän ostaa yhteensä kuusi hedelmää.

a) Kuinka monta päärynää ja appelsiinia Ville voi ostaa? Luetelkaa kaikki vaihtoehdot taulukkoon.

päärynöiden määrä appelsiinien määrä

b) Villen ostamien hedelmien määrät voidaan esittää pisteinä koordinaatistossa. Valitaan, että päärynöiden määrä = x-koordinaatti ja

appelsiinien määrä = y-koordinaatti.

(Esimerkki: jos Villellä on 3 päärynää ja 5 appelsiinia, saadaan piste (3, 5).)

Täydentäkää alla oleva taulukko ja piirtäkää lopuksi pisteet Geogebra-koordinaatistoon.

x = päärynöiden määrä y = appelsiinien määrä (x, y)

0 6 (0, 6)

Tehtävä 2

Samilla on kukkarossaan rahaa kaksi kertaa niin paljon kuin Riitalla.

a) Luetelkaa seuraavaan taulukkoon viisi eri vaihtoehtoa, kuinka paljon rahaa Samilla ja Riitalla voi olla.

Sami Riitta

b) Valitaan, että

Samin rahamäärä = x-koordinaatti ja Riitan rahamäärä = y-koordinaatti.

Täydentäkää taulukko ja piirtäkää lopuksi pisteet Geogebra-koordinaatistoon.

x = Samin rahamäärä y = Riitan rahamäärä (x, y)

c) Piirtäkää suora pisteiden kautta.

d) Samilla on 24,60 euroa rahaa. Kuinka paljon rahaa Riitalla on? Lukekaa vastaus koordinaatistoon piirtämältänne suoralta. Tarkistakaa laskemalla.

Vastaus:

e) Riitalla on rahaa 5,40 euroa. Kuinka paljon rahaa Samilla on? Lukekaa vastaus koordinaatistoon piirtämältänne suoralta. Tarkistakaa laskemalla.

Vastaus:

Tehtävä 3

Kirsi tekee limonadisekoitusta, johon tulee Coca-Colaa ja Jaffaa. Hän tekee juomaa yhteensä 3 litraa.

a) Luetelkaa seuraavaan taulukkoon viisi eri vaihtoehtoa, kuinka paljon Coca-Colaa ja Jaffaa limonadisekoitukseen voi tulla.

Coca-Cola Jaffa 1,75 litraa 1,25 litraa

b) Valitaan, että

Coca-Colan määrä = x-koordinaatti ja Jaffan määrä = y-koordinaatti.

Täydentäkää taulukko ja piirtäkää lopuksi pisteet Geogebra-koordinaatistoon.

x = Coca-Colan määrä y = Jaffan määrä (x, y)

c) Piirtäkää suora pisteiden kautta.

d) Jos Kirsi laittaa Coca-Colaa 0,35 litraa, kuinka paljon Jaffaa tarvitaan? Lukekaa vastaus piirtämältänne suoralta.

Vastaus:

e) Jos Kirsi laittaa Jaffaa 1,15 litraa, kuinka paljon Coca-Colaa tarvitaan? Lukekaa vastaus piirtämältänne suoralta.

Vastaus:

Tehtävä 4 Yhtälöpalapeli

Tehtävä 5

a) Lukujen summa on 12 ja osamäärä 2. Mitkä luvut ovat?

Vastaus:

b) Lukujen erotus on 2 ja tulo 15. Mitkä luvut ovat?

Vastaus:

Tehtävä 6

Mitä ovat luvut x ja y?

a) 𝑥 + 𝑦 = 7 𝑥 − 𝑦 = 1 b) 𝑥 + 𝑦 = 8

𝑥 ⋅ 𝑦 = 15 c) 𝑥 − 𝑦 = 5

𝑥 ∶ 𝑦 = 2 d) 𝑥 + 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑦 = 5

Tehtävä 7

a) Tarkastellaan tehtävän 6a yhtälöä 𝑥 + 𝑦 = 7. Täydentäkää taulukko. Valitkaa ensin haluamanne arvot tuntemattomalle x, ja laskekaa tämän jälkeen tuntemattoman y arvot.

x y (x, y)

2 5 (2, 5)

Piirtäkää Geogebra-koordinaatistoon taulukkoon luettelemanne pisteet (x, y). Piirtäkää suora pisteiden kautta.

b) Tarkastellaan tehtävän 6a yhtälöä 𝑥 − 𝑦 = 1. Täydentäkää taulukko. Valitkaa ensin haluamanne arvot tuntemattomalle x, ja laskekaa tämän jälkeen tuntemattoman y arvot.

x y (x, y)

Piirtäkää Geogebra-koordinaatistoon taulukkoon luettelemanne pisteet (x, y). Piirtäkää suora pisteiden kautta.

c) Lukekaa a- ja b-kohdassa piirtämienne suorien leikkauspisteen koordinaatit. Mitä huomaatte, kun vertaatte leikkauspisteen koordinaatteja tehtävän 6a ratkaisuun?

Vastaus:

Tehtävä 8

a) Tehtävässä 7 piirsitte koordinaatistoon yhtälöitä x + y = 7 ja x – y = 1 vastaavat suorat piirtämällä pisteitä koordinaatistoon. Suoran saa piirrettyä myös syöttämällä suoran yhtälön suoraan Geogebran alalaidan tekstikenttään. Kokeilkaa piirtää samat suorat x + y = 7 ja x – y

= 1 myös tällä tavalla.

b) Piirtäkää tehtävän 6b yhtälöitä vastaavat suorat koordinaatistoon. Lukekaa suorien leikkauspisteen koordinaatit. Saitteko saman vastauksen kuin tehtävässä 6b?

Vastaus:

c) Piirtäkää tehtävän 6c yhtälöitä vastaavat suorat koordinaatistoon. Lukekaa suorien leikkauspisteen koordinaatit. Saitteko saman vastauksen kuin tehtävässä 6c?

Vastaus:

d) Mitä havaitsette, kun piirrätte tehtävän 6d yhtälöitä vastaavat suorat?

Vastaus:

Osallistumislupa pro gradu -tutkimukseen

Hei!

Olen neljännen vuoden matematiikan, fysiikan ja kemian aineenopettajaopiskelija Jyväskylän yliopistosta. Suoritan tutkintoni lopputyötä (pro gradu) varten tutkimuksen 4.–9. luokkalaisille.

Tutkimuksessani pyrin selvittämään, kuinka eri ikäiset oppilaat voivat tukea toistensa matematiikan oppimista. Tutkimus koostuu alku- ja loppukyselyistä, joihin kukin oppilas vastaa itsenäisesti, sekä kahdesta ryhmätyöskentelysessiosta. Alku- ja loppukyselylomakkeissa kysytään myös oppilaan nimi.

Nimeä kysytään ainoastaan tulosten analysoinnin helpottamiseksi, eikä sitä julkaista missään vaiheessa. Lopputyössäni en siis mainitse oppilaiden nimiä, enkä kirjoita heistä mitään sellaisia tietoja, joista heidät on mahdollista tunnistaa. Ryhmätyöskentelysessiot äänitetään, mutta äänitteitä kuuntelen ainoastaan minä sekä mahdollisesti ohjaajani yliopistolta. Hävitän äänitteet työni valmistuttua.

Toivon, että palautatte paperin alareunassa olevan lupakyselyn maanantaihin 1.4.2019 mennessä. Jos teillä on mitä tahansa kysyttävää tutkimukseen liittyen, vastaan enemmän kuin mielelläni.

Ystävällisin terveisin Riikka Koukka p. +358 440 165 267

riikka.koukka@hotmail.com

………

Huoltajan suostumus

Oppilaan nimi: _______________________________

Oppilas saa osallistua pro gradu -tutkimukseen (ympyröi): kyllä ei Huoltajan allekirjoitus:

_________________________________

In document Matematiikkaa yhdessä : ikäsidonnaisuuden ylittävä opetuskokeilu perusopetuksessa (sivua 65-85)