Käyttövarmuuden ja kunnossapidon perusteet, KSU-4310: Tentti ma 14.1.2008

(1)

KSU-4310/Tentti 14.1.2008/Prof. Seppo Virtanen 1/3

Käyttövarmuuden ja kunnossapidon perusteet, KSU-4310: Tentti ma 14.1.2008 Huom. Vastaus vain viiteen kysymykseen. Funktio- ja/tai ohjelmoitavan laskimen, muistiinpanojen, luentomonisteiden ja kirjallisuuden käyttö tenttitilaisuudessa on sallittu.

Tehtävä 1:

Laitteen vikataajuusfunktio r( t )^{= ⋅}^βt

( )

_σ^t ^β (rate of occurence of failures) ja korjausajan

kertymäfunktio G( t ) 1 e= − ^{− ⋅}^μ^t. Jakaumien parametrit β = 3, σ = 100 ja μ = 0.25. Lisäksi tiedetään, että korjauksiin liittyvän viiveen keskiarvo MLDT = 2 h ja sen todennäköisyys P = 0.9. Laske keskimääräinen käytettävyys ja vikojen lukumäärä aikaväleillä: 0…50, 50…100, 100…150, 0…150. Piirrä myös paperille funktioiden I(t) ( =vikojen lukumäärä keskimäärin hetkeen t mennessä) ja A(t) (=hetkellinen käytettävyys) kuvaajat.

Tehtävä 2:

Tutkitaan erään korjattavan osatyypin vioittumista ja korjausta. Hetkellä t = 0 on otettu käyttöön viisi samanalaista osaa ja ne ovat olleet käytössä ja korjauksessa oheisen kuvan mukaisesti.

Seuranta on lopetettu hetkellä t = 10. Vikaantumisajan ja korjausajan malleina käytetään vakio- vikataajuus- ja vakio-korjaustaajuusmalleja.

a) Määritä tutkittavalle osalle MTTF ja MTTR.

b) Laske osan käytettävyys hetkellä t = 2.5 aikayksikköä ja epäkäytettävyys hetkellä 3 c) Mikä on hasardifunktion arvo hetkellä t = 2?

Tehtävä 3:

Tuotantolinjan laaduntuottokyky on 0.95 ja suorituskyky on 0.99. Linjan käytettävyys on tasan jakautunut välille [0.95,0.99]. Millä todennäköisyydellä tuotantolinjan OEE > 0.9?

(2)

Tehtävä 4:

Laadi vikalogiikkamatriisi oheisesta vikapuusta. Laske myös TOP-tapahtuman todennäköisyys.

Tehtävä 5:

Prosessissa on kolme identistä osaa (1, 2 ja 3), joista kaksi osaa (1 ja 2) on toiminnallisesti kytketty niin, että niiden molempien pitää vikaantua ennen kuin niiden tilalle voidaan vaihtaa varastosta haetut uudet osat. Kolmannen osan (3) vikaantuessa voidaan sen tilalle vaihtaa heti uusi osa varastosta. Osien kertymäfunktiot ovat

− ⋅λ⋅

− ⋅λ⋅ − ⋅λ⋅

= − ^r¹ ^t = − ^r² ^t = − ^r³ ^t

1 2 3

F ( t ) 1 e , F ( t ) 1 e ja F ( t ) 1 e , missä osien rasituskertoimet (ri) ovat r1 = 1.41 r2 = 1.11 r3 = 0.70 ja λ = 0.033. Osan toimitusaika tilauksesta varastoon on 30. Laske osan tilauspiste kun varaston palveluasteen pitää olla vähintään 80 %.

Tehtävä 6: Laitteelle (ID 5) on johdettu asiakasvaatimuksista vikataajuus λ = 0.01 (vakio), jonka mukaisesti laite saa vikaantua keskimäärin kerran hetkeen t = 100 mennessä. Allokoinnissa käytettävät tärkeyskertoimet ovat: x1 = 0.57, x2 = 0.3, x3 = 0.7, x4 = 0.43 ja

kompleksisuuskertoimet: y1 = 0.4, y2 = 0.3, y3 = 0.7, y4 = 0.6. Allokoi osille (1, 2 ja 3) vikojen lukumäärät keskimäärin hetkeen T = 100 mennessä.

Osa ID = 1

Laite ID = 5 p = 1 k = 2 m = 2

Moduli ID = 4 p = 1 k = 1 m = 2

Osa ID = 3 Osa

ID = 2

==================================================================

Muutamia kaavoj seuraavalla sivulla:

ID = 1 p = 0.1

ID = 4 p = 0.8 k = 1 m = 2

TOP ID = 6 p = 0.9 k = 1 m = 1

ID = 5 p = 1 k = 2 m = 2

ID = -2 ID = 2

p=0.2

ID = 3 p=0.3

(3)

(^{T Q} )

( )

ⁿ

X

n 0

e T Q

P(0 n X) F(X) =

n!

− ⋅ ⋅λ

=

⋅ ⋅ ⋅λ

≤ ≤ =

∑

^{, missä}^T^⋅^Q^⋅^λ⁼ vikojen lkm keskimäärin aikavälillä 0…T).

- w I(t)i i

i i

F (t) 1 e (allokointifunktio)

F(t) F(t) , rinnakkaiskytkentä (JA-portti)

R(t)= R(t) , sarjaankytkentä (TAI-portti)

α⋅ ⋅

= −

=

∏

t 0

- r(t)dt t

0 0

t

0 0

-1

1

2 1

1 2

2 1

F(t) = 1-R(t) = 1 - e , I(t)= r(t)dt, MTTF = R(t)dt

G(t) = g(t)dt, MTTR = 1-G(t)dt

A(t)=(1+I'(t) (MTTR+P MLDT))

I(T )-I(T ) A(T ,T )= 1+(MTTR+P MLDT)

T -T

∞

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫

⋅ ⋅

⎛ ⎞

⋅ ⋅

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(4)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.7

0.74 0.79 0.83 0.87 0.91 0.96 1

A t( )

t

0 20 40 60 80 100 120 140 160

1 2 3 4

I t( )

t

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

r t( )

t

I t3 ( )

=

3.375 I t3 ( )

−

I t2 ( )

=

2.375 I t2 ( )

−

I t1 ( )

=

0.875 I t1 ( )

=

0.125 Av 0 t3 (

,

)

=

0.885 Av t2 t3 (

,

)

=

0.784 Av t1 t2 (

,

)

=

0.908 Av 0 t1 (

,

)

=

0.986 Av T1 T2 (

,

) 1 ( MTTR

+

P MLDT

⋅

) I T2 ( )

−

I T1 ( ) T2

−

T1

⎛⎜ ⎝ ⎞⎟

⋅

⎠

⎡⎢

+

⎣ ⎤⎥

⎦

−1

:=

Hetkellinen ja keskimääräinen käytettävyys, A ja Av

A t ( )

:=

[ 1

+

( MTTR

+

P MLDT

⋅

) r t

⋅

( ) ]

⁻¹

vikojen lkm ka hetkeen t mennessä

Tehtävä 1 t1

:=

50 t2

:=

100 t3

:=

150 MLDT

:=

2 P

:=

0.9 Korjausajan viive

μ :=

0.25

β :=

3

σ :=

100 G t ( )

:=

1

−

e

⁻^μ^⋅^t

Korjausajan kertymäfunktio

r t ( ) t

σ

⎛ ⎜

⎝

⎞ ⎟

⎠

β β

⋅

t

:=

I t ( ) t

σ

⎛ ⎜

⎝

⎞ ⎟

⎠

β

:= r(t):n Integrointi

Korjausajan keskiarvo MTTR 1

:= μ

(5)

λ =0.358 Hasardifunktio h(t) (tai r(t)) = λ, kohdasta b) saadaan

c) Vakio-vikataajuusmalli ==>

A 2.5( )= 0.639 A t( ) μ

λ+ μ λ

λ +μ⋅e⁻⁽^{λ μ}⁺ ⁾^⋅^t +

:=

Käytettävyys

μ = 0.526

μ 1

:= MTTR Vakio-korjaustaajuusmalli ==>

λ =0.358

λ 1

:= MTTF b) Vakio-vikataajuusmalli ==>

MTTR= 1.9 MTTR:= mean k( )

MTTF= 2.79 MTTF:= mean t( )

a)

k:= (1.4 0.9 0.6 3.9 1 1.6 2.3 3.5)^T t:= (3.1 1.9 2.1 1 2.8 5.7 2 2.1 2.6 4.6)^T

Kuvasta saadaan korjausajoille k seuraava taulukko

Kuvasta saadaan vika-ajoille t seuraava taulukko

Ratkaisu: a) Tehtävässä 1 on laskettu vikaantumisajat ja korjausajat taulukkoon, jota voi tietenkin hyödyntää tässä.

c) 1 p.

b) 1 + 1 + 1 p.

a) 1 p.

Vikaantumisajan ja korjausajan malleina käytetään vakio-vikataajuus- ja vakio-korjaustaajuusmalleja.

a) Määritä tutkittavalle osalle MTTF ja MTTR.

b) Laske osan käytettävyys hetkellä t = 2.5 aikayksikköä ja epäkäytettävyys hetkellä 3 c) Mikä on hasardifunktion arvo hetkellä t = 2?.

Tutkitaan erään korjattavan osatyypin vioittumista ja korjausta. Hetkellä t = 0 on otettu käyttöön viisi samanalaista osaa ja ne ovat olleet käytössä ja korjauksessa oheisen kuvan mukaisesti. Seuranta on lopetettu hetkellä t = 10.

Osa 1

F N F N F N F N F N

Osa 2 Osa 3 Osa 4 Osa 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aika t

F: Vika N: Normaali

Osa 1

F N F N F N F N F N

Osa 2 Osa 3 Osa 4 Osa 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aika t

F: Vika N: Normaali

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aika t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aika t

F: Vika N: Normaali

Tehtävä 2

(6)

0.95 0.958 0.966 0.974 0.982 0.99 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

i n

xx_i

1 n

i

x

_i

OEE Q T

⋅

⎛⎜

>

⎝ ⎞⎟

∑ ⎠

⋅ =

0.8265

xx

:=

sort x ( )

x

_i

0.95 ( 0.99

−

0.95 )

1

⋅

rnd 1 ( )

+

:=

i

:=

0 n

.. −

1 n

:=

100000

Lasketaan todennäköisyys simuloimalla

Tarkka!

1

−

X

=

0.8266 p A (

>

Av )

=

1

−

X

==>

X

=

0.1734 X Av

−

0.95

0.99

−

0.95

:=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1

A x( )

x

:=

0 0.01

, ..

1 A x ( ) 0.95 0.99

−

0.95

1

⋅

x

+

:=

A tasaisesti jakautunut välille 0.95..0.99 ==>

Av

=

0.95694

Av OEE

Q T

⋅ :=

OEE

:=

0.9 T

:=

0.99 Q

:=

0.95 Tehtävä 3

(7)

Teht 4: Ratkaisu Boolean totuustaulukon avulla

Gate 4 5 6

a 1 2 1

b 2 2 1

p 0.8 1 0.9

1 3 4

2 -2 5

p(ID=1) 0.1 0.2 0.8 0.3 1 0.9

ID 1 2 4 3 5 6 P(TOP=1)

Kombinaatiot 1 0 1 0 0 1 0.04032

0 1 1 0 0 1 0.09072

0 1 1 1 0 1 0.03888

1 1 1 0 0 1 0.01008

1 1 1 1 0 1 0.00432

1 0 0 1 1 1 0.00432

0 0 0 1 1 1 0.1944

Σ 0.383040 Vikalogiikkamatriisi

ID

TOP:n todennäköisyys ID = 1

p = 0.1

ID = 4 p = 0.8 k = 1 m = 2

TOP ID = 6 p = 0.9 k = 1 m = 1

ID = 5 p = 1 k = 2 m = 2

ID = -2 ID = 2

p=0.2

ID = 3 p=0.3

(8)

g6 g4 ⋅ ⋅ x1 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x3 + 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + g6 g4 ⋅ ⋅ x2 − g6 g4 ⋅ ⋅ x1 ⋅ x2 + g6 x3 ⋅ − g6 x3 ⋅ ⋅ x2 = 0.38304

g6 g4 ⋅ ⋅ x1 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x3 + 4 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x3 ⋅ x2 + g6 g4 ⋅ ⋅ x2 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x3 ⋅ x2 + 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x3 ⋅ x2 − g6 g4 ⋅ ⋅ x1 ⋅ x2 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + g6 x3 ⋅ − g6 x3 ⋅ ⋅ x2 ja yksinkertaistetaan lauseke, johon sijoitetaan lähtötiedot

g6 g4 ⋅ ⋅ x1 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x3 + 4 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x3 ⋅ x2 + g6 g4 ⋅ ⋅ x2 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x3 ⋅ x2 + 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x3 ⋅ x2 − g6 g4 ⋅ ⋅ x1 ⋅ x2 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + g6 x3 ⋅ − g6 x3 ⋅ ⋅ x2 tehdään Boolean sievennys x

ⁿ

= x

g6 g4 ⋅ ⋅ x1 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x3 + 4 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x3 ⋅ x2 + g6 g4 ⋅ ⋅ x2 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x3 ⋅ x2 + 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x3 ⋅ x2

²

− g6 g4 ⋅ ⋅ x1 ⋅ x2 − 2 g6 ⋅ ⋅ g4 ⋅ x1 ⋅ x2

²

⋅ x3 + g6 x3 ⋅ − g6 x3 ⋅ ⋅ x2 Kerrotaan x6-lauseke auki

Sijoitetaan portin 6 rekennefunktioon porttien 4 ja 5 lausekkeet x6

=

[ ( x1 + x2 − x1 x2 ⋅ ) g4 ⋅ ⋅ [ 1 − x3 1 ⋅ ( − x2 ) ] + x3 1 ⋅ ( − x2 ) ⋅ [ 1 − ( x1 + x2 − x1 x2 ⋅ ) g4 ⋅ ] ] g6 ⋅

Portin 6 rakennefunktio x6

=

[ x4 1 ⋅ ( − x5 ) + x5 1 ⋅ ( − x4 ) ] g6 ⋅

Porttien 4 ja 5 rakennefunktiot x5

=

x3 1 ⋅ ( − x2 )

x4

=

( x1 + x2 − x1 x2 ⋅ ) g4 ⋅

Lähtötiedot g6 := 0.9

g4 := 0.8 x3 := 0.3

x2 := 0.2 x1 := 0.1

Tehtävä 4, ratkaisu rakennefunktion avulla

(9)

2 3 ⋅ = 6 Koska jokaisella hakukerralla otetaan 3 kerrallaa => tilauspiste

P 2 T ( , ) = 0.836 P 1 T ( , ) = 0.595

P 0 T ( , ) = 0.249 P k T ( , )

0 k

n

Ik T ( ) ⁿ

n! ⋅ e

⁻

^{Ik T} ^{( )}

∑ = :=

todennäköisyys, että osan toimituksen aikana tullaan varastosta hakemaan osia enintään k kertaa, on

0 5 10 15 20 25 30

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Is t ( ) r

₃⋅λ⋅

t Ik t ( )

t

Ik T ( ) = 1.4 Ik t ( ) := Is t ( ) + I ₃ ( ) t

Osien kulutus T:n aikana I ₃ ( ) T = 0.7 Is T ( ) = 0.7

I ₃ ( ) t := r ₃ ⋅ λ ⋅ t I ₂ ( ) T = 1.099

I ₁ ( ) T = 1.396 ja Huom.

I ₂ ( ) t := r ₂ ⋅ λ ⋅ t I ₁ ( ) t := r ₁ ⋅ λ ⋅ t

Is t ( ) ^:= ⁻ ln 1 ⎡⎣ − ( 1 − e

⁻

^r

¹^⋅^λ^⋅

^t ) ⋅ ( 1 − e

⁻

^r

²^⋅^λ^⋅

^t ) ⎤⎦

r ₃ := 0.70 T := 30 r ₂ := 1.11

Fs t ( ) = F1 t ( ) F2 t ⋅ ( ) = ( 1 − e

⁻

^r

¹^⋅^λ^⋅

^t ) ⋅ ( 1 − e

⁻

^r

²^⋅^λ^⋅

^t ) = 1 − e

⁻

^{Is t} ^{( )}

λ := 0.033 r ₁ := 1.41

Ja-portti

Tehtävä 5

(10)

w3 = 0.5 I1 := w1 I T ⋅ ( ) I1 = 0.335 I4 := w4 I T ⋅ ( ) I4 = 0.665

F t ( )

=

F1 t ( ) F4 t ⋅ ( )

=

( 1 − e

⁻^α^⋅^w1^⋅^λ^⋅^t

) ⋅ ( 1 − e

⁻^α^⋅^λ^⋅^w4^⋅^t

)

=

1 − e

⁻^{I t}^{( )}

I t ( ) , α ln 1 ⎛ 1 − e

⁻^α^⋅^w1^⋅^λ^⋅^t

⎝ ⎞

⎠ ⎛ ¹ ⁻ ^e

⁻^α^⋅^λ^⋅^w4^⋅^t

⎝ ⎞

⎠

⋅

⎡ −

⎣ ⎤

⎦

− :=

etsitään sellainen skaalauskerroin, jolla vikojen lukumäärä keskimäärin hetkeen T mennessä on I4.

siemen α := 3

^!

α := root I T ( ( , α ) − λ ⋅ T , α ) α = 3.568

I1 := α ⋅ w1 ⋅ λ ⋅ T I4 := α ⋅ w4 ⋅ λ ⋅ T I1 = 1.194 I4 = 2.374

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1

λ⋅t I t

( )

,α

t

I1 = 1.194 I2 := w2 I4 ⋅ I2 = 1.187 I3 := w3 I4 ⋅ I3 = 1.187 Teht. 6.

T := 100 λ := 0.01 MTTF 1

:= λ MTTF = 100

x1 := 0.57 x2 := 0.3 x3 := 0.7 x4 := 0.43 y1 := 0.4 y2 := 0.3 y3 := 0.7 y4 := 0.6 F t ( ) := 1 − e