1 Otos ja otosjakaumat:Esitiedot Otos ja otosjakaumat:Lisätiedot Otos ja otosjakaumat:Mitä opimme? –1/2 Otos ja otosjakaumat:Mitä opimme? –2/2 Otos ja otosjakaumat Otos ja otosjakaumat

(1)

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen

Otos ja otosjakaumat

Yksinkertainen satunnaisotos Otostunnusluvut ja otosjakaumat

Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma Otosvarianssin otosjakauma Suhteellisen frekvenssin otosjakauma

Otos ja otosjakaumat:

Mitä opimme? – 1/2

• Tilastollinen aineistokoostuu tutkimuksen kohteita kuvaavien muuttujien havaituista arvoista.

• Tilastollisissa tutkimusasetelmissa ajatellaan, että jokin satunnais- ilmiöon generoinut havaintoarvot.

• Siten tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaintoarvoihin liittyy aina epävarmuuttaja satunnaisuutta.

• Havaintoaineiston tilastollisella mallillatarkoitetaan aineiston generoiden satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumaa.

• Yksinkertaisissa tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaintoaineiston keräämisessä käytetään yksinkertaista satunnaisotantaa.

Mitä opimme? – 2/2

• Koska tilastollisen aineiston havaintoarvot ovat jonkin satunnais- ilmiön generoimia, myös kaikkihavainnoista laskettavat suureet ovat satunnaisia.

• Tämä merkitsee sitä, että esimerkiksi havaintoaineistoa kuvaavat tunnusluvut vaihtelevat satunnaisesti otoksesta toiseen.

• Tunnusluvun otosvaihteluaeli satunnaista vaihtelua otoksesta toiseen voidaan kuvata tunnusluvun otosjakaumalla.

• Otosjakaumien teoriamuodostaa teoreettisen perustan sekä toden- näköisyysjakaumien parametrien estimaattoreidenominaisuuksia että parametreja koskevien hypoteesien testauksessa käytettävien testi- suureidenominaisuuksia koskevalle tilastolliselle tutkimukselle.

Esitiedot

• Esitiedot: ks. seuraavia lukuja:

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut

Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

• Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointiakäsitellään luvuissa

Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi

• Todennäköisyysjakaumien parametreja koskevien tilastollisten hypoteesien testaamistakäsitellään luvussa

Tilastolliset testit

(2)

>> Yksinkertainen satunnaisotos Otostunnusluvut ja otosjakaumat

Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma Otosvarianssin otosjakauma Suhteellisen frekvenssin otosjakauma

Avainsanat Havainto Havaintoarvo Tilastollinen aineisto Tilastollinen malli Todennäköisyysjakauma Yksinkertainen satunnaisotos

Yksinkertainen satunnaisotos

Tilastollinen aineisto

• Tilastollinen aineistokoostuu tutkimuksen kohteita kuvaavien muuttujien havaituista arvoista.

• Tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaintoarvoihin liittyy aina epävarmuuttaja satunnaisuutta.

• Seurauksia:

(i) Tilastollisissa tutkimusasetelmissa ajatellaan, että havaintoarvot on generoinut ilmiö, joka on luonteeltaan satunnainen.

(ii) Tilastollisen tutkimuksen kohteita kuvaavat muuttujat tulkitaan tilastollisissa tutkimusasetelmissa satunnaismuuttujiksija havaintoarvot tulkitaan näiden satunnaismuuttujien realisoituneiksi arvoiksi.

Tilastollinen malli

• Tilastollisella mallillatarkoitetaan tutkimuksen kohteita kuvaavien satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumaa, jonka ajatellaan generoineen ko. satunnaismuuttujien havaitut arvot.

• Havaintoarvojen ajatellaan syntyneen arpomalla tilastollisena mallina käytetystä todennäköisyysjakaumasta saatavin todennäköisyyksin.

• Huomautus:

Todennäköisyysjakaumat riippuvat tavallisesti parametreistaeli vakioista, joiden arvoja ei yleensä tunneta.

Tilastolliset mallit ja tilastollinen päättely

• Kun tilastollista mallia sovelletaan jotakin reaalimaailman ilmiötä kuvaavan havaintoaineiston analysointiin, kohdataan tavallisesti seuraavat mallin parametrejakoskevat ongelmat:

(i) Parametrien arvoja ei tunnetaja ne on estimoitavaeli arvioitavahavaintoaineistosta.

(ii) Parametrien arvoista on esitetty oletuksiatai väitteitä, joita halutaan testataeli asettaa koetteelle havaintoaineistosta saatua informaatiota vastaan.

• Tilastollisten mallien parametrien estimointi ja testaus muodostavat keskeisen osan tilastollista päättelyä.

Satunnaisotos ja satunnaisotanta

• Satunnaisotospoimitaan arpomallahavaintoyksiköt perusjoukosta otokseen.

• Arpomisessa käytettävää menetelmää kutsutaan satunnaisotannaksi.

• Satunnaisotannassa sattumamäärää mitkä perusjoukon alkioista tulevat otokseen.

(3)

Satunnaisotanta:

Kommentteja

• Jos havaintoyksiköt poimitaan perusjoukosta satunnaisotannalla, pätee seuraava:

(i) Havaintoyksiköitä kuvaavien muuttujien havaitut arvot ovat satunnaisiasiinä mielessä, että ne vaihtelevat satunnaisesti otoksesta toiseen.

(ii) Kaikkihavaintoyksiköitä kuvaavien muuttujien havaituista arvoista lasketut tunnusluvut ovat satunnaisiasiinä mielessä, että ne vaihtelevat satunnaisesti otoksesta toiseen.

• Olkoot

X1, X2, … , Xn

riippumattomia, identtisesti jakautuneitasatunnaismuuttujia, joilla on samapistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

f(x)

• Tällöin satunnaismuuttujat X1, X2, … , Xn

muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksen jakaumasta f(x).

Havainnot ja havaintoarvot

• Olkoon

X1, X2, … , Xn

yksinkertainen satunnaisotosjakaumasta f(x).

• Kutsumme satunnaismuuttujia X1, X2, … , Xntavallisesti havainnoiksi.

• Otoksen poimimisen jälkeensatunnaismuuttujat X1, X2, … , Xnsaavat havaituiksi arvoikseen havainto- arvot

x1, x2, … , xn

• Merkitään:

X1= x1, X2= x2, … , Xn= xn

Yksinkertainen satunnaisotos:

Kommentteja 1/2

• Olkoon

X1, X2, … , Xn

• Tällöin havaintoarvot x1, x2, … , xn

on saatu toistamalla arvontaa toisistaan riippumattomin toistoin n kertaa samoin,jakaumasta f(x) saatavin toden- näköisyyksin.

• Havaintoarvot x1, x2, … , xnovat kiinteitäeli ei- satunnaisia, mutta ne vaihtelevat toisistaan riippumatta ja satunnaisesti otoksesta toiseen.

Yksinkertainen satunnaisotos:

Kommentteja 2/2

• Satunnaisuus liittyy yksinkertaisessa satunnaisotannassa siihen, ettähavaintoarvot vaihtelevat toisistaan riippumatta ja satunnaisesti otoksesta toiseen.

• Satunnaisuus ei siis liityotannan tuloksena saatuihin havaintoarvoihin, vaan tapaan, jolla otos poimitaan.

Tilastollinen malli yksinkertaiselle satunnaisotokselle 1/2

• Olkoon

X₁, X₂, … , X_n

• Satunnaismuuttujien X₁, X₂, … , X_nyhteisjakauma muodostaa tilastollisen mallinhavaintoarvojen satunnaiselle vaihtelulle otoksesta toiseen.

(4)

Tilastollinen malli yksinkertaiselle satunnaisotokselle 2/2

• Koska satunnaismuuttujat X1, X2, … , Xn

on oletettu riippumattomiksi, niin satunnaismuuttujien X₁, X₂, … , X_nyhteisjakaumaon muotoa

jossa

1 2 1 2

( , , , )n ( ) ( ) ( )n

f x x …x =f x ×f x × ×f x ( ) , 1, 2, ,

i i

X ∼f x i= …n

>> Otostunnusluvut ja otosjakaumat Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma Otosvarianssin otosjakauma Suhteellisen frekvenssin otosjakauma

Avainsanat

Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma Otosjakauma Otostunnusluvut Otosvarianssin otosjakauma Suhteellisen frekvenssin

otosjakauma Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos

Otostunnusluvut ja otosjakaumat

Otostunnusluvut 1/3

• Olkoon

X1, X2, … , Xn

yksinkertainen satunnaisotosjakaumasta, jonka pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on f(x).

• Tällöin havainnot X₁, X₂, … , X_novat riippumattomia, identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama pistetodennäköisyys-tai tiheysfunktio f(x):

1, 2, ,

( ) , 1, 2, ,

n i

X X X

X f x i n

⊥

=

…

∼ …

• Olkoon

T= g(X₁, X₂, … , X_n)

jokin satunnaismuuttujien X1, X2, … , Xn(mitallinen) funktio.

• Satunnaismuuttujaa Tkutsutaan (otos-) tunnusluvuksi.

• Oletetaan, että otoksen poimimisen jälkeen satunnaismuuttujat X1, X2, … , Xnsaavat havaituiksi arvoikseen havaintoarvot x₁, x₂, … , x_n:

X1= x1, X2= x2, … , Xn= xn

• Tällöin tunnusluku T= g(X1, X2, … , Xn)

saa havaituksi arvokseen tfunktion garvon pisteessä (x1, x2, … , xn):

t= g(x₁, x₂, … , x_n)

(5)

Otosjakauma

• Oletetaan, että satunnaismuuttujat X1, X2, … , Xn

muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksenjakaumasta f(x) ja olkoon funktio

T= g(X1, X2, … , Xn) jokin otostunnusluku.

• Tunnusluvun Tjakaumaa kutsutaan tunnusluvun T otosjakaumaksi.

• Tunnusluvun Totosjakauma muodostaa tilastollisen mallintunnusluvun T arvojen satunnaiselle vaihtelulle otoksesta toiseen.

Eräiden tavallisten tunnuslukujen otosjakaumat

• Olkoon

X1, X2, … , Xn

• Tarkastellaan seuraavien tunnuslukujen (ks. lukua

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen) otosjakaumia:

– Aritmeettinen keskiarvo – Otosvarianssi

– Suhteellinen frekvenssi

Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma

Aritmeettinen keskiarvo 1/2

• Oletetaan, että havainnot X1, X2, … , Xn

muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksensatunnais- muuttujan Xjakaumasta, jonka odotusarvoja varianssi ovat

• Tällöin kaikilla satunnaismuuttujilla Xi, i= 1, 2, … , non sama odotusarvo µja samavarianssi σ².

2

E( ) Var( )

X X

µ σ

=

Aritmeettinen keskiarvo 2/2

• Olkoon

havaintojen X1, X2, … , Xnaritmeettinen keskiarvo.

• Aritmeettinen keskiarvo kuvaa havaintojen keski- määräistä arvoa.

• Aritmeettinen keskiarvo on satunnaismuuttuja, jonka saamat arvot vaihtelevat satunnaisesti otoksesta toiseen.

1 2

1

1 ⁿ n

i i

X X X

X X

n = n

+ + +

=

∑

=

X X

Aritmeettisen keskiarvon odotusarvo ja varianssi

• Aritmeettisen keskiarvon odotusarvoja varianssi:

• Aritmeettisen keskiarvon standardipoikkeamaa

kutsutaan tavallisesti keskiarvon keskivirheeksija se kuvaa aritmeettisen keskiarvon otosvaihtelua oman odotusarvonsa µympärillä.

2 2

E( )

Var( ) D ( ) X

X X

n µ

σ

=

= =

X

X D( )X =σ n

Aritmeettisen keskiarvon odotusarvon johto

• OlkootX1, X2, … , Xnriippumattomiasatunnaismuuttujia, joille

• Odotusarvon yleisten ominaisuuksien perusteella pätee (myös ilman riippumattomuusoletusta):

2

E( ) , 1,2, ,

Var( ) , 1,2, ,

i

X i n

µ σ

= =

…

1

E( ) E 1

1 E( )

1 1

n i i n

i i

n

i

X X

n n X

n n

µ µ µ

=

 

=  

=

= =

∑

(6)

Aritmeettisen keskiarvon varianssin johto

• OlkootX1, X2, … , Xnriippumattomiasatunnaismuuttujia, joille

• Varianssin yleisten ominaisuuksien perusteella pätee (koska satunnaismuuttujat X₁, X₂, … , X_non oletettu riippumattomiksi):

2

E( ) , 1,2, ,

Var( ) , 1,2, ,

i

X i n

µ σ

= =

…

1

2 1

2 2

1 2 2 2

Var( ) Var 1

1 Var( )

1

n i i n

i i n

i

X X

n n X

n

n n n

σ σ σ

=

⊥

=

 

=  

=

= =

∑

Standardoidun aritmeettisen keskiarvon odotusarvo ja varianssi

• Koska

niin standardoidunsatunnaismuuttujan

odotusarvoja varianssiovat E(Z) = 0

Var(Z) = 1 Z X

n µ σ

= −

2

E( ) Var( )

X

X n

µ σ

=

Otosjakauman käyttäytyminen otoskoon kasvaessa

• Koska aritmeettisen keskiarvon odotusarvo

ja varianssi

niin aritmeettisen keskiarvon otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammin havaintojen yhteisen odotusarvonµ ympärille, kun otoskoko n kasvaa.

E( )X =µ

X

Var( )X =σ2n

Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma, kun otos on normaalijakautunut

muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksen normaali- jakaumasta(ks. lukua Jatkuvia jakaumia)

• Tällöin havaintojen aritmeettinen keskiarvo noudattaa eksaktisti(myös pienissä otoksissa)normaalijakaumaa:

X

2

~ N ,

X n

µσ

 

 

 

N( ,µ σ2)

Standardoidun aritmeettisen keskiarvon otosjakauma, kun otos on normaalijakautunut

• Oletetaan, että havainnot X₁, X₂, … , X_n

• Tällöin standardoitu satunnaismuuttuja

noudattaa eksaktisti(myös pienissä otoksissa) standardoitua normaalijakaumaa:

( )

~ N 0,1 Z N( ,µ σ2)

Z X n µ σ

= −

Aritmeettisen keskiarvon asymptoottinen jakauma

muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksensatunnais- muuttujan Xjakaumasta, jonka odotusarvoon µja varianssion σ².

• Tällöin havaintojen aritmeettinen keskiarvo noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti normaalijakaumaa(ks. lukua Jatkuvia jakaumia) jonka odotusarvo on µja varianssi on :

X

2

~ Na ,

X n

µσ

 

 

 

2/n σ

(7)

Standardoidun aritmeettisen keskiarvon asymptoottinen jakauma

muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksensatunnais- muuttujan Xjakaumasta, jonka odotusarvoon µja varianssion σ².

• Tällöin standardoitu satunnaismuuttuja

noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa:

Z~_aN(0,1) Z X

n µ σ

= −

Kommentteja

• Oletukset havaintojen riippumattomuudesta,samasta jakaumasta ja normaalisuudesta ovat välttämättömiä aritmeettisen keskiarvon eksaktiaeli tarkkaaotos- jakaumaa koskevalle tulokselle.

• Aritmeettisen keskiarvon otosjakaumaa koskeva asymptoottinen(approksimatiivinen tulos) seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta; ks. lukua

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet.

• Aritmeettisen keskiarvon asymptoottista otosjakaumaa koskeva tulos pätee tietyin lisäehdoinmyös tilanteissa, joissa oletukset havaintojen riippumattomuudesta ja samasta jakaumasta eivät päde.

Otosvarianssin otosjakauma

Otosvarianssi 1/2

muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksensatunnais- muuttujan Xjakaumasta, jonka odotusarvoja varianssi ovat

• Tällöin kaikilla satunnaismuuttujilla Xi, i= 1, 2, … , non sama odotusarvo µja samavarianssi σ².

2

E( ) Var( )

X X

µ σ

=

Otosvarianssi 2/2

• Olkoon

havaintojen X1, X2, … , Xnotosvarianssi, jossa

on havaintojen X1, X2, … , Xnaritmeettinen keskiarvo.

• Otosvarianssi s²kuvaa havaintoarvojen vaihtelua niiden aritmeettisen keskiarvon ympärillä.

• Otosvarianssi s²on satunnaismuuttuja, jonka saamat arvot vaihtelevat satunnaisesti otoksesta toiseen.

2 2

1

1 ( )

1

n i i

s X X

n =

= −

−

∑

1

1 ⁿ

i i

X X

n =

=

∑

Otosvarianssin odotusarvo ja varianssi

• Otosvarianssins²odotusarvoja varianssi:

• Otosvarianssin s²standardipoikkeama:

2 2

4

2 2 2

E( )

Var( ) D ( ) 2 1 s

s s

n σ

σ

=

= =

−

2 2 2

D( )s 1

σ n

= −

Otos normaalijakaumasta 1/2

• Tällöin satunnaismuuttuja

noudattaa eksaktisti χ²-jakaumaavapausastein n (χ²-jakauma: ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia):

2

1 n

i i

Y X µ

σ

=

 − 

=  

 

∑

N( ,µ σ2)

2( ) Y∼χ n

(8)

Otos normaalijakaumasta 2/2

muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksen normaali- jakaumasta

• Tällöin satunnaismuuttuja

noudattaa eksaktisti χ²-jakaumaavapausastein(n– 1) (χ²-jakauma: ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia):

2 2 2

1

( 1) ⁿ i

i

X X

n s

V σ = σ

−  − 

= =  

 

∑

N( ,µ σ2)

2( 1)

V∼χ n−

Otosvarianssin otosjakauman johto 1/6

• Olkoon X₁, X₂, … , X_n

yksinkertainen satunnaisotos normaalijakaumasta

• Olkoon

havaintojen X1, X2, … , Xnaritmeettinen keskiarvoja

havaintojen X1, X2, … , Xn(harhaton) otosvarianssi.

N( ,µ σ2)

1

1ⁿ

i i

X X

n=

=

∑

2 2

1

1 ( )

1

n i i

s X X

n =

= −

−

∑

• Määritellään satunnaismuuttuja Ykaavalla

• Koska havainnot X₁, X₂, … , X_novat riippumattomiaja noudattavat normaalijakaumaa :

niin standardoidutsatunnaismuuttujat

ovat riippumattomiaja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1):

2

1 n

i i

Y X µ

= σ

 − 

=

∑

 

N( , 2) , 1,2, , Xi∼ µ σ i= …n

, 1,2, ,

i i

Y X µ i n

σ

= − = …

N(0,1) , 1,2, ,

Yi∼ i= …n

N( ,µ σ2)

• Edellä esitetystä seuraa, että satunnaismuuttuja Yon riippumattomien, standardoitua normaalijakaumaaN(0, 1) noudattavien satunnais- muuttujien Y_i, i= 1, 2, … , n neliösumma:

• Suoraan -jakauman määritelmästäseuraa, että satunnaismuuttuja Y noudattaa -jakaumaa vapausastein n:

2 1 n i i

Y Y

=

∑

2( ) Y∼χ n

χ2

• Määritellään nyt satunnaismuuttuja Vkaavalla

• Satunnaismuuttuja Vsaadaan satunnaismuuttujasta

korvaamalla odotusarvo µharhattomalla estimaattorillaan .

• Satunnaismuuttujan Vmääritelmässä esiintyvän summan termit

eivät ole riippumattomia.

2

1 n

i i

X X

V = σ

 − 

=

∑

 

X

, 1,2, ,

Xi X i n

σ

− = …

2

1 n

i i

Y X µ

= σ

 − 

=

∑

 

• Voidaan kuitenkin osoittaa (todistus sivuutetaan), ettäVvoidaan esittääriippumattomien, standardoitua normaalijakaumaaN(0, 1) noudattavien satunnaismuuttujien Vi, i= 1, 2, … , n– 1 neliösummana:

• Suoraan -jakauman määritelmästäseuraa, että satunnaismuuttuja Y noudattaa -jakaumaa vapausastein(n– 1):

1 2 1 n

i i

V ⁻V

=

∑

χ2 2( 1) V∼χ n−

χ2

(9)

• Huomautuksia:

(i) Satunnaismuuttuja Ynoudattaa -jakaumaa, jonka vapaus- asteiden lukumäärä on sama kuin havaintojen lukumäärä n.

(ii) Kun satunnaismuuttujasta Ysiirrytään satunnaismuuttujaan V menetetään yksi vapausaste.

(iii) Yhden vapausasteen menetys on seurausta siitä, ettäparametrin µkorvaaminen estimaattorillaan riippumattomissa satunnais- muuttujissa

luo yhden(lineaarisen)side-ehdonsatunnaismuuttujien

välille.

χ2

, 1,2, ,

i i

X X

V i n

σ

= − = …

X

, 1, 2, ,

i i

Y X µ i n

σ

= − = …

Kommentteja

• Oletukset havaintojen riippumattomuudesta ja samasta jakaumasta ovat välttämättömiäotosvarianssin eksaktia eli tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle.

Suhteellisen frekvenssin otosjakauma

Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi 1/3

• Olkoon Pjokin otosavaruuden Salkioiden ominaisuus.

• Jos otosavaruuden Salkiolla xon ominaisuus P, merkitään P(x)

• Olkoon

niiden otosavaruuden Salkioiden osajoukko, joilla on ominaisuus P.

• Oletetaan, että tapahtuman Atodennäköisyyson Pr(A) = p

{

( )

}

A= x S P x∈

• Poimitaan otosavaruudesta S yksinkertainen satunnaisotos, jonka kokoon n.

• Olkoon f

niiden havaintoyksiköiden frekvenssi, joilla on ominaisuus Pja olkoon

vastaava suhteellinen frekvenssi.

pˆ=f n

• Frekvenssi f

kuvaa A-tyyppisten alkioiden lukumäärääotoksessa ja vastaava suhteellinen frekvenssi

kuvaa A-tyyppisten alkioiden suhteellista osuutta otoksessa.

• Frekvenssi fja vastaava suhteellinen frekvenssi ovat satunnaismuuttujia, joiden saamat arvot vaihtelevat satunnaisesti otoksesta toiseen.

ˆ p=f n

ˆ p

Frekvenssin

odotusarvo, varianssi ja jakauma 1/2

• Olkoon Ajokin otosavaruuden S tapahtuma:

A⊂S

• Olkoon f

A-tyyppisten alkioiden lukumääräeli frekvenssiotoksessa.

(10)

Frekvenssin

odotusarvo, varianssi ja jakauma 2/2

• Frekvenssinfodotusarvoja varianssi:

jossa q= 1 –p.

• Frekvenssi f noudattaa eksaktistibinomijakaumaa parametrein nja Pr(A) = p(ks. lukua Diskreettejä jakaumia):

~ Bin( , )

f n p

E( ) Var( )

f np f npq

=

Suhteellisen frekvenssin odotusarvo ja varianssi 1/2

• Olkoon Ajokin otosavaruuden S tapahtuma:

A⊂S

• Olkoon

A-tyyppisten alkioiden suhteellinen osuuseli frekvenssi otoksessa.

ˆ p=f n

Suhteellisen frekvenssin odotusarvo ja varianssi 2/2

• Suhteellisen frekvenssin odotusarvoja varianssi:

jossa q= 1 –p.

• Suhteellisen frekvenssin standardipoikkeamaa

kutsutaan tavallisesti suhteellisen frekvenssin keski- virheeksija se kuvaa suhteellisen frekvenssin otosvaihtelua oman odotusarvonsa pympärillä.

ˆ p

2

E( )ˆ

ˆ ˆ

Var( ) D ( )

p p

p p pq n

=

= =

ˆ p ˆ

D( )p pq

= n

f n

Otosjakauman käyttäytyminen otoskoon kasvaessa

• Koska suhteellisen frekvenssin odotusarvo

ja varianssi on

niin suhteellisen frekvenssin otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammin tapahtuman A todennäköisyyden p ympärille, kun otoskoko n kasvaa.

ˆ p E( )pˆ =p

Var( )pˆ =pq n q, = −1 p

Suhteellisen frekvenssin asymptoottinen jakauma

• Suhteellinen frekvenssi noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisestinormaalijakaumaa(ks. lukua Jatkuvia jakaumia):

• Siten standardoitu satunnaismuuttuja

noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa:

Z~ N(0,1) ˆ Z p p

pq n

= −

ˆ p

ˆ ~ Na , p p pq

n

 

 

 

Suhteellisen frekvenssin otosjakauma:

Kommentteja

• Suhteellisen frekvenssin otosjakaumaa koskeva asymptoottinen tulos seuraa keskeisestä raja-arvo- lauseesta; ks. lukua Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet.