In this thesis we introdue a model based on the Reissner-Mindlin plate model and apply it to the paper okling problem

Matematiikanlaitos

Juho Könnö

Komposiittilaminaattien analyysi

elementtimenetelmällä

Diplomi-insinöö rin tutkintoa vartentarkastettavaksijätettydiplomityö

Espoo,24.lokakuuta 2007

Työnvalvoja: professori RolfStenberg

Tekijä: Juho Könnö

Osasto: Teknillisen fysiikanja matematiikan osasto

Pääaine: Mekaniikka

Sivuaine: Lujuusoppi

Työn nimi: Komposiittilaminaattien analyysi elementtimenetelmällä

Title in English: FiniteElementAnalysis of Composite Laminates

Professuurin koodi ja nimi: Mat-5 Mekaniikka

Työn valvoja: Professori Rolf Stenberg

Työn ohjaaja: FT Antti Niemistö

Tiivistelmä: Komposiittirakenteet ovatnykyään käytännönteollisuussovelluksissayhä

yleisempiä,janiidentehokasmallintaminenasettaauusiahaasteitalaskennallisenmeka-

niikannäkökulmasta.Tässätyössä käsitelläänkomposiittilaminaattirakenteidenmallin-

tamistaReissner-Mindlinlaattateorianavulla,jateoriaasovelletaanpaperinkupruiluun.

Osana tätä työtä on NumerolaOy:n Numerrin-ohjelmistoonlisätty tarvittavatelemen-

titja luotu paperin mallintamiseen soveltuva malli.

Aluksi muotoillaan klassisen laminaatioteorian mukainen matemaattinen malli, jossa

laattatehtäväkytketään tasoelastisuustehtävään konstitutiivisenyhteyden avulla.Edel-

leen johdetaan tehtävän heikko muoto, sekä osoitetaan tehtävä hyvin määritellyksi ja

stabiiliksi. Tehtävä ratkaistaan elementtimenetelmällä käyttäen laattatehtävälleMITC-

elementtejä, joiden konstruktio esitellään yksityiskohtaisesti, ja johdetaan a priori vir-

hearviot koko tehtävälle.

Lopuksi esitellään paperin mallintamiseen soveltuva materiaalimalli, joka ratkaistaan

käyttäen Numerrin-ohjelmistoa, sekä lasketaan muutamia numeerisia esimerkkejä. Tu-

loksiinperustuen komposiittilaattamallinvoidaantodeta soveltuvanvarsin hyvin pape-

rin mallintamiseen, ongelmaksi havaitaan muodostuvan kuitenkin ennenkaikkea tehtä-

vän laskennallinen vaativuus.

Sivumäärä: 55 Avainsanat:laminaatioteoria,komposiittilaminaatti,

elementtimenetelmä, kupruilu,MITC

Täytetään osastolla

Hyväksytty: Kirjasto:

Author: Juho Könnö

Department: Department of EngineeringPhysis and Mathematis

Major subjet: Theoretialand AppliedMehanis

Minor subjet: Mehanis of Materials

Title: FiniteElementAnalysis of Composite Laminates

Title in Finnish: Komposiittilaminaattien analyysielementtimenetelmällä

Chair: Mat-5 Mehanis

Supervisor: Professor Rolf Stenberg

Instrutor: Antti Niemistö,Dr.S.

Abstrat: Compositestruturesare nowadays veryommoninindustrialappliations,

and present awhole new hallengefrom the mathematial pointof view. In this thesis

we introdue a model based on the Reissner-Mindlin plate model and apply it to the

paper okling problem. As a part of the work the orresponding plate elements and

the mehanialmodelwereimplemented toNumerrin,anite elementsolverdeveloped

by Numerola Oy.

Firstthemathematialmodelbasedonlassiallaminationtheory(CLT)isintrodued,

whihinteronnetsthe plateequationswithaplane elastiityproblem. Nextthe prob-

lemisshown tobewell-dened andstable. Finallythe problemissolved withthe nite

element method using the MITC element family. The element families used are intro-

dued and ana priori error analysis isperformedfor the omposite plate problem.

Finallyamaterialmodelsuitableformodellingpaperisintroduedandsomenumerial

experiments are onduted with the Numerrin software. From the results one an de-

due that the model onsideredis well-suitedtothe modellingof okling, even though

some problems are reognizedregarding the eetiveness of omputation.

Number of pages: 55 Keywords: laminated omposite, CLT, okling,

nite element method,MITC

Department lls

Approved: Library ode:

Alkusanat

Tämän diplomityöntekeminenon ollut varsin opettavainen prosessikäytän-

nön toteutuksen ja teorian yhteenliittämisestä todellisen fysikaalisen ongel-

man käsittelyssä. Olen tehnyt diplomityön Teknillisen korkeakoulun mate-

matiikanlaitoksellasekä Jyväskylässä Numerola Oy:n palkollisena.

Haluan kiittää sekä valvojaani Rolf Stenbergiä että ohjaajaani Antti Nie-

mistöä pitkäjänteisestä ohjauksesta ja neuvoista matkan varrella. Erityinen

kiitos kuuluu myös Janne Martikaiselle suuresta avusta ohjelmointityön to-

teutuksen kanssa. Lisäksihaluankiittäämukavantyöilmapiirinmahdollista-

neita työkavereita sekä matematiikan laitoksellaettä Numerola Oy:ssä.

Erityisesti haluan vielä kiittää vanhempiani kannustuksesta ja tuesta koko

opintojeniajalta.

Espoo,24. lokakuuta2007

Juho Könnö

Sisältö

1 Johdanto 1

2 Anisotrooppi set materiaalit 3

2.1 Anisotrooppinen elastisuus . . . 3

2.2 Ortotrooppiset materiaalit . . . 4

3 Matemaattinen malli 6 3.1 Reissnerin-Mindlininlaattamalli . . . 6

3.2 Komposiittilaatankonstitutiiviset yhteydet . . . 7

3.3 Reissnerin-Mindlininmalli komposiittilaatalle . . . 9

3.3.1 Variaatiomuoto . . . 10

3.3.2 Reunaehtojen määrittäminen . . . 11

3.4 Ratkaisun olemassaolo . . . 12

3.5 Ratkaisun säännöllisyys . . . 17

3.5.1 Helmholtzinhajotelma leikkausvoimalle. . . 17

3.5.2 Säännöllisyys reunallaja sisäalueessa . . . 19

3.5.3 Kytketyn tehtävänsäännöllisyys . . . 21

4 Elementtimenetelmä MITC-elementeille 23 4.1 Laattatehtävän analyysi . . . 23

4.1.1 MITC-elementtiperhe . . . 23

4.1.2 Virhearviot MITC-elementeille. . . 26

4.2 Yhdistetyn mallinanalyysi . . . 37

5 Mallin sovellus paperiarkin kupruiluun 39 5.1 Orientaatioja anisotropia . . . 39

5.2 Materiaaliparametrien määrittäminen . . . 40

5.2.1 Kimmomoduli . . . 40

5.2.2 Poissoninluvut . . . 41

5.2.3 Liukumodulit . . . 43

5.3 Kosteuden aiheuttama muodonmuutos . . . 44

5.4 Reunaehtojenvalinta . . . 45

6 Mallin toteutus Numerrin-ohjelmistoon 46 6.1 Tensoreiden vektorinotaatio . . . 46

6.2 Numerrin-kielinenmalli. . . 48

6.3 Reunaehtojenvaikutus . . . 49

6.4 Verkon tiheys ja elementtiapproksimaation aste . . . 50

1 Johdanto

Vastoin yleistä mielikuvaa, laminoidut komposiittirakenteet ovat olleet tun-

nettuja jo antiikin ajoista. Vuonna 1837 löydettiin Gizan pyramidista noin

vuodelta2750eKr.[23℄peräisinolevauseistakerroksistalaminoituteräslevy,

myöhemminhistorioitsijaHomeros kirjoitti muistiin kuvauksen kulta-, tina-

japronssikerroksistalaminoidustakilvestä.Lähihistoriassakomposiittiraken-

teet ovat avanneet uusia mahdollisuuksia erityisesti avaruus- ja ilmailuteol-

lisuudessa. Nykyisin komposiittirakenteet ovatvallanneet alaa myösarkipäi-

väisemmissä sovelluskohteissaniidenpainoonsanähden hyväntaivutuskestä-

vyydenansiosta.Komposiittimalliavoidaansoveltaamuillekinmateriaaleille,

kutenesimerkiksipaperille,jokaperinteisestionolluthaastavamallinnettava

monimutkaisen kuiturakenteensa vuoksi.

Tutuinesimerkki laminaatista lieneetavallinen vaneri,jostakäy hyvin il-

mi laminaatilletyypillinenrakenne,jossa laatta jakautuu paksuussuunnassa

erilaiset elastiset ominaisuudet omaaviin kerroksiin. Tyypillisesti materiaa-

lit koostuvat tietyllä tavalla orientoituneista vetolujuudeltaan voimakkaista

kuiduista,jotkaovatheikommastamateriaalistavalmistetunmatriisinsisällä.

Erityisestikuitujenorientaatiotaerikerroksissamuuttamallavoidaansuures-

ti vaikuttaamateriaalinlujuuteenjuurihalutussa suunnassa, jolloinkompo-

siittimateriaalivoidaanoptimoidatietyllejännitysjakaumalle.Muita materi-

aalienvahvojapuoliaovathyväkosteudenjalämpötilanvaihteluidenkestose-

käusein hyväteristysominaisuudet. Lisäksikomposiiteistavoidaanpiezosäh-

köisten elementtien avulla luoda älymateriaaleja, jotka pystyvät sähköises-

ti vaimentamaanesimerkiksi tiettyjä värähtelyn ominaistaajuuksia. Toisaal-

takomposiittejavaivaatyyppillisesti huonoleikkausjännityksenkestolaatan

suuntaisia voimia vastaan. Edellämainituista syistäkomposiittimateriaaleis-

ta onkin viimevuosina tullut eräs laskennallisen mekaniikantutkituimmista

osa-alueista.

Tässä työssä tarkastellaan ensin yleistä klassista laminaatioteoriaa, jo-

ka yhdistetään paksuille laatoille soveltuvaan ja nykyisin varsin suosittuun

Reissnerin-Mindlininlaattamalliin.Laattamallikytketään tasoelastisuusteh-

tävään ja tämä yhdistetty tehtävä ratkaistaan elementtimenetelmän avul-

la. Erityisesti painotetaanReissnerin-Mindlininmallillekehitettyjen MITC-

elementtienvirheanalyysiä,sekäverkkostabiloinnintaikiertymänkuplamuo-

tojenavullasaavutettavaalukkiutumattomuusominaisuutta.Kytketylleteh-

tävälle esitetään a priori virhearvio, sekä näytetään että kytketty systee mi

on hyvin käyttäytyvä.

Lopuksimalliasovelletaanpaperiarkin kupruilunsimuloimiseenelement-

timenetelmän avulla, mikä on paperiteollisuudessa varsin mielenkiintoinen

nostuksen kohteena ovat paperin pinnan pienet muodonmuutokset paperin

kuivamisvaiheen aikana. Tässä työssä käytetään Teemu Leppäsen tuoretta

vuonna 2007 julkaistua materiaalimallia paperin mallintamiseen laattayhtä-

löidenavulla.Osana tätädiplomityötäpaperin komposiittilaattamallitoteu-

tuttiin Numerola Oy:n [18℄ Numerrin-ohjelmistoon, osa alustavasta työstä

tehtiin jo syksyn 2006 aikana ohjelmoimalla MITC-elementit ohjelmistoon.

Lisäksi tässä työssä esitetään muutamia mallilla laskettuja simulaatiotulok-

sia, joistaainakin kvalitatiivisesti saadaanalustava kuva paperin käyttäyty-

misestä.

2 Anisotrooppiset materiaalit

2.1 Anisotrooppinen elastisuus

Komposiittirakenteidenominaisuudetovatluonteenomaisestierisuuntiinvar-

sin erilaisia, jotenon tarpeen siirtyä isotrooppisista materiaalimalleista ani-

sotrooppisiin. Komposiittilaminaattien rakenneominaisuudet ovat useimmi-

ten ortotrooppisia,jolloinriippumattomien materiaaliparametrien määrä on

huomattavastipienempi kuin yleisessä anisotrooppisessa materiaalissa.

Jännitystensori

σ

määritellään tarkastelemalla Kuvan 1 esittämää in- nitesimaalista materiaalikappaletta, jonka sivujen pituudet ovat

dx

^,

dy

^ja

dz

^.

σ

^{on toisen kertaluvun tensori, jonka} komponentit

σ ij

^{kuvaavat akselia}

e i

^vastaan kohtisuorassa olevaan tahkoon kohdistuvaa akselin

e j

^suuntaista

jännitystä. Tahkoa vastaan kohtisuorassa olevia jännityskomponentteja

σ ii

kutsutaan normaalijännityksiksi ja muita komponentteja

σ ij

leikkausjänni- tyksiksi.

Kuva 1: Jännitysten määrittely kontrollitilavuudella

dxdydz

^.

Venymätensori

ε

^{kuvaa kappaleen} muodonmuutosta jännityksen alaise- na. Komponentit

ǫ ii

^kuvaavat referenssitilavuuden

dxdydz

^{sivujen pituuk-}

sien muutoksia vastaavien pääjännitysten suuntaan, komponentit

ǫ ij = ^γ ₂ ^ij

^,

joille

i 6 = j

^kuvaavatreferenssitilavuuden kulmienmuutoksiasuorakulmiosta suunnikassärmiöksi, missä

γ ij

^ontodellinenliukukulma.

Seuraavaluonnollinenaskelonjohtaayhteysvenymien ja jännitystenvä-

lille.Yksinkertaisintapausonlineaarinenmateriaalimallielikolmiulotteinen

Hooken laki. Koska sekä venymät että jännitykset ovat toisen kertaluvun

tensorisuureita, voidaanmateriaalimalliesittääneljännenkertaluvunkonsti-

tutiivisen tensorin

C _ijkl

^avulla1,

1

σ _ij = C _ijkl ǫ _kl .

^(2.1)

Yleisessäkolmiulotteisessatapauksess akonstitutiivisellatensorillaonsiis

3 ⁴ = 81

komponenttia, mutta koska sekä jännitys- että venymätensori ovat symmetrisiä [9℄, pätee määritelmän (2.1) perusteella konstitutiiviselle ten-

sorille

C ijkl = C jikl = C ijlk

^{. Täten vapaita} materiaaliparametreja on enää

6 × 6 = 36

kappaletta. Jos lisäksi oletetaan, että muodonmuutosenergia

W = ¹ ₂ σ ij ǫ ij = ¹ ₂ ε : C : ε

^{onhyvin määritelty2, täytyy päteä}

∂W

∂ǫ ij

= C ijkl ǫ kl .

^(2.2)

Tensorilaskennasta muistetaan, että (2.2) päteeainoastaan, mikälitensorille

C

^pätee

C _ijkl = C _klij

^.Tätenriippumattomienkomponenttienmääräyleiselle anisotrooppisllemateriaalilleputoaa lopulta21:een kappaleeseen.

2.2 Ortotrooppiset materiaalit

Useimmat käytännön komposiittimateriaalit eivät onneksi ole täysin aniso-

trooppisia,vaan niissäonvoimakkaitatiettyjenakselien suuntaisia symmet-

rioitaelastistenominaisuuksiensuhteen.Useimmitenmateriaaleillaonkolme

keskenäänkohtisuoraasymmetria-akselia,jolloinmateriaaliakutsutaanorto-

gonaalisestianisotrooppiseksi,tailyhyemminortotrooppiseksi.Tarkastellaan

ensin materiaalinyhtä symmetriatasoakarteesisissa koordinaateissa.

ϕ

x ^′ 1

x 2

x 1

x ^′ 2

Kuva 2:Yhden symmetriatason tapaus.

OlkoonKuvan2

(x 1 , x 2 )

^-tasomateriaalinelastistenominaisuuksiensym- metriataso. Tällöin konstitutiivisen tensorin tulee pysyä invarianttina pei-

lauksessa

x 3 → − x 3

^{. Tämänkuvauks en Jaobinmatriisi}

T

^on

2

Merkitäänkahdenindeksinkontraktiota

a _ij b _ij = a : b

^.

T =



 



1 0 0 0 1 0 0 0 − 1



 

 .

^(2.3)

Sekä venymä- että jännitystensoreille pätee koordinaatistomuunnos

ǫ ^′ _ij = T ik T jl ǫ kl , σ _ij ^′ = T ik T jl σ kl .

^(2.4)

Täten siis pätee

ǫ ^′ _ij = ǫ ij

^ja

σ ^′ _ij = σ ij

^kun

i, j = 1, 2

^tai

i = j = 3

^{. Toisaalta}

pätee

ǫ ^′ ₁₃ = − ǫ 13

^ja

σ ₁₃ ^′ = − σ 13

^sekä

ǫ ^′ ₂₃ = − ǫ 23

^ja

σ ^′ ₂₃ = − σ 23

^. Käyttämällä nyt konstitutiivista yhteyttä (2.1) esimerkiksi jännitykseen

σ 23

^,saadaan

σ ₂₃ ^′ = C 2311 ǫ ^′ ₁₁ + 2C 2312 ǫ ^′ ₁₂ + 2C 2313 ǫ ^′ ₁₃ + C 2322 ǫ ^′ ₂₂ + 2C 2323 ǫ ^′ ₂₃ + C 2333 ǫ ^′ ₃₃ σ 23 = C 2311 ǫ 11 + 2C 2312 ǫ 12 + 2C 2313 ǫ 13 + C 2322 ǫ 22 + 2C 2323 ǫ 23 + C 2333 ǫ 33

Vertaamallalausekkeita ja ottamallahuomioonkoordinaatistomuunnok-

sen merkinvaihdot, nähdään että pätee

C 2311 = C 2312 = C 2322 = C 2333 = 0

^.

Vastaavastijännitystä

σ ₁₃

vertaamallasaadaantulos

C ₁₃₁₁ = C ₁₃₁₂ = C ₁₃₂₂ = C 1333 = 0

^. Anisotrooppisenmateriaalitensorin21riippumatontakomponent- tiavähenevätsiiskahdeksalla,jotenyhden symmetriatasontapauksessa riip-

pumattomiakomponenttejaon 13kappaletta.

Ortotrooppisellamateriaalillaonkolmetoisiaanvastenkohtisuorassa ole-

vaa symmetriatasoa, joten suorittamalla vastaava tarkastelu myös

x 1

^ja

x 2

-suunnissa, päädytään tulokseen

C ₁₂₁₁ = C ₁₂₂₂ = C ₁₂₃₃ = C ₂₃₁₃ = 0

^{. Tä-}

ten ortotrooppisellamateriaalillaonyhteensä yhdeksänriippumatontakons-

titutiivisen tensorinkomponenttia:

C 1111 , C 1122 , C 1133 , C 2222 , C 2233 , C 3333

^sekä

C ₁₂₁₂ , C ₁₃₁₃

^ja

C ₂₃₂₃

^.

Ortotrooppisen laatan tapauksess a ei oletuksen mukaan tapahdu muo-

donmuutosta laatan paksuussuunnassa, joten

C 1133 = C 2233 = C 3333 = 0

^ja

jäljellejäävät kuusi riippumatontakomponenttia voidaan kirjoittaa materi-

aalivakioiden

E 1 , E 2 , µ 12 , µ 21

^sekä

G 12 , G 23

^ja

G 31

^{avullamuotoon[10℄}

C 1111 = E 1

1 − µ 12 µ 21

, C 1212 = G 12 , C 2222 = E 2

1 − µ ₁₂ µ ₂₁ , C 2323 = G 23 , C 1122 = µ 12 E 2

1 − µ 12 µ 21

, C 3131 = G 31 .

3 Matemaattinen malli

Komposiittilaattamalli eroaa jonkin verran normaalista laattamallista, sillä

siinä joudutaan lisäksi huomioimaan tason suuntaiset siirtymät, jolloin rat-

kaistava tehtävä itse asiassa koostuu kytkety istä laatta- ja levytehtävistä.

Tässä työssä käytetyssä mallissa laattatehtäväperustuu Reissnerin ja Mind-

lininkinemaattisiinoletuksiin. Lisäksi tullaanosoittamaan, että mikälisekä

laatta-että levytehtävällekäytetääntunnettuja hyvin käyttäytyviä menetel-

miä, onmyöskytketty tehtävä hyvinmääritelty.Lisäksilaatta-ja levytehtä-

vänsuppenemisominaisuudet periytyvätmyös kytketylle tehtävälle.

3.1 Reissnerin-Mindlinin laattamalli

Koska komposiittilaatoissa leikkausjännityksetvaikuttavatvarsin huomatta-

vastilaatan jäykkyyteen, on luonnollista käyttää leikkausjännitykset ensim-

mäisenasteenapproksimaationahuomioivaaReissnerin-Mindlininlaattamal-

lia. Laattamallinklassiset kinemaattiset oletukset ovat [21℄

(i) Laatankeskiviivaan nähdenkohtisuorassa olevatjanatpysyvätsuorina

(ii) Pystysuuntainen siirtymä eiriipu

x 3

-koordinaatista (iii) Keskiviivanpisteet liikkuvat vain

x 3

^-suunnassa

(iv) Normaalijännitys

σ 33

^häviää

β

∂w

∂x

Kuva3:TaipumanderivaatanjakiertymäneroavaisuusReissner-Mindlinlaa-

tan poikkileikkauksessa.

KiertymänmerkitystäonhavainnollistettuKuvassa3.Oletustenalaisuudessa

kokonaisvenymän jakiertymien

β

^sekä pystysiirtymän

w

^{välilläpätevät seu-}

raavatyhteydet,missä

ε

^onlineaarinenjännitystensori

ε(u) = ¹ ₂ ( ∇ u + ∇ u ^T )

ja merkitään lisäksi

z := x ₃

^{,jolloin[19℄}

ǫ αβ = zǫ αβ (β), ǫ 3α = ∂w

∂x α − β α , ǫ ₃₃ = 0.

Kutenedellämainittiin,komposiittilaattojentapauksess a joudutaanluo-

pumaanoletuksesta(iii)jatasosiirtymätotetaanhuomioonkytkemällälaatta-

ja levytehtävät. Tällöin kinemaattiset olettamukset säilyvät muuten ennal-

laan,muttatasonsuuntaisissavenymissätäytyyhuomioidalevytilansiirtymä

u

^{,jolloinvenymillesaadaan lausekkeet [19℄}

ǫ αβ = ǫ αβ (u) + zǫ αβ (β), ǫ 3α = γ (w, β) := ∂w

∂x _α − β α , ǫ 33 = 0.

3.2 Komposiittilaatan konstitutiiviset yhteydet

Koska laatta on tasojännitystilassa, voidaan voidaan kalvotilan voimaresul-

tantit

N = N αβ

^ja taivutusmomenttiresultantit

M = M αβ

^{määrittää in-}

tegroimalla ensin kunkin laminaatin paksuuden yli ja sitten summaamalla

täten saadut

n

kerroskohtaista voima- ja momenttiresultanttia. Samalla ta- voin lasketaan myös leikkausvoiman resultantit

S = S α

^{, jolloin tulokseksi}

saadaan

N αβ = Z t/2

− t/2

σ αβ dz = X n

k=1

Z z k

z k− 1

σ αβ dz,

^(3.1)

M αβ = Z t/2

− t/2

σ αβ zdz = X n

k=1

Z z k

z k − 1

σ αβ zdz,

^(3.2)

S α = Z t/2

− t/2

σ 3α dz = X n

k=1

Z z k

z k− 1

σ 3α dz.

^(3.3)

Käyttämällä seuraavaksi konstitutiivista yhteyttä (2.1) sekä yllämainit-

tujakomposiittilaattamallinkinemaattisiaoletuksia,saadaanvoimaresultan-

tit (3.1) ja (3.2) muotoon

N _αβ = X n

k=1

Z z k

z k− 1

C _αβγδ (ǫ _γδ (u) + zǫ _γδ (β))dz

= X n

k=1

Z _{z k}

z k− 1

C αβγδ dz

!

ǫ γδ (u) + X n

k=1

Z _{z k}

z k− 1

C αβγδ zdz

! ǫ γδ (β)

M αβ = X n

k=1

Z z k

z k − 1

C αβγδ (ǫ γδ (u) + zǫ γδ (β))zdz

= X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ zdz

!

ǫ γδ (u) + X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ z ² dz

! ǫ γδ (β)

Täten Reissner-Mindlin laattamalliin perustuvalle komposiittilaattamal-

lille saadaan seuraavat voimaresultantit, joissa siis

ε(u)

^{on kalvotilan line-}

aarinen venymä,

ε(β)

keskipinnan kaarevuus ja

γ(w, β)

^{laatan normaalien}

liukuma.

N = A : ε(u) + B : ε(β),

^(3.4)

M = B : ε(u) + D : ε(β),

^(3.5)

S = A ^∗ · γ(w, β).

^(3.6)

Yhtälöissäneljännenkertaluvuntensorit

A, B, D

^{sekätoisenkertaluvunten-}

sori

A ^∗

^{on määritelty}

A _αβγδ =

X n

k=1

Z z k

z k− 1

C _αβγδ dz = X n

k=1

(z _k − z _{k − 1} )C _αβγδ ^k ,

^(3.7)

B αβγδ = X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ zdz = 1 2

X n

k=1

(z ² _k − z ² _{k − 1} )C _αβγδ ^k ,

^(3.8)

D αβγδ = X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ z ² dz = 1 3

X n

k=1

(z _k ³ − z _k ³ _{− 1} )C _αβγδ ^k ,

^(3.9)

A ^∗ _αβ = X n

k=1

Z z k

z k− 1

C 3α3β dz = X n

k=1

(z k − z k − 1 )C _3α3β ^k ,

^(3.10)

missä

C ^k

^{on kunkin laminaatin} konstitutiivinen tensori ilmaistuna laatan pääkoordinaateissaja

n

laminaattien lukumäärä.Lisäksi jokainen

C ^k

^olete-

taan

z

^{-suunnassa vakioksi.} Tyypillinen komposiittilaattaon esitetty Kuvas-

z z k+1

z k− 1

g f

Ω

z y x

z k

Kuva 4: Komposiittilaatankaavakuva ja laminaattirakenne.

3.3 Reissnerin-Mindlinin malli komposiittilaatall e

Kun resultanttivoimasuureet on nyt ilmaistu venymien avulla, saadaan laa-

tan kokonaisenergia kertomalla jokaista voimasuuretta vastaavalla venymä-

suureella ja integroimallakokolaatanalueen ylitse.Tätenkomposiittilaatan

fysikaaliseksi kokonaisenergiaksi

Π

^tulee ylläolevilla merkinnöillä

Π(u, w, β) = 1 2

Z

Ω

N : ε(u)dΩ + 1 2

Z

Ω

M : ε(β)dΩ + 1

2 Z

Ω

S · γ(w, β)dΩ − Z

Ω

f · udΩ − Z

Ω

gwdΩ − Z

Ω

G · βdΩ,

(3.11)

missä

f

^onkalvotilaan liittyvä kuormafunktiolaatan tasossa,

G

^{laatan mo-}

menttikuormitusja

g

^pystysuora laattatilaan liittyvä kuormitus.Kun tähän sijoitetaanresultantit(3.4)(3.6),päädytäänlopultaainoastaansiirtymäsuu-

reiden avulla ilmaistuun lineaarisen mallinenergiaan [10℄

Π(u, w, β) = 1 2

Z

Ω

ε(u) : A: ε(u)dΩ + Z

Ω

ε(u) : B : ε(β)dΩ

^(3.12)

+ 1

2 Z

Ω

ε(β) : D : ε(β)dΩ + 1 2

Z

Ω

γ (w, β) · A ^∗ · γ(w, β)dΩ

− Z

Ω

f · udΩ − Z

Ω

gwdΩ − Z

Ω

G · βdΩ,

josta pystytään tunnistamaan toiselta riviltä perinteisen Reissner-Mindlin

tehtävättoisiinsakytkevä termi. Energianlausekkees ta siis huomataan heti,

että komposiittilaatassa myös pelkkä pystysuuntainen kuormitus aiheuttaa

välittömästitasosiirtymiä,toisin kuinisotrooppisessa laatassa.

Virheanalyysiavarten määritelläänseuraava laatan paksuudella skaalat-

tuenergia,jollekomposiittilaatanvirheanalyysisaadaanyksinkertaisempaan

muotoon.

Määritelmä 3.1. Skaalataanmuttujat, konsitutiiviset tensorit sekäkuormi-

tukset siten, että



 

 

 

 

u → ¹ _t u, β → β, w → w

,



 

 

 



 

 

 



A → ¹ t A, B → t ^{1 2} B, D → _t ^{1 3} D, A ^∗ → ¹ _t A ^∗

,



 

 

 

 

f → _t ^{1 2} f , g → _t ^{1 3} g, G → t ^{1 3} G

.

^(3.13)

Sijoittamallauudetmuuttujatfysikaalisenkokonaisenergianlausekkeeseen (3.12)

ja skaalaamalla energiaa termillä

t ^{− 3}

^{saadaan skaalatulle energialle uusien}

muuttujien ja skaalattujen tensoreiden avulla lauseke

Π(u, w, β) = 1 2

Z

Ω

ε(u) : A : ε(u)dΩ + Z

Ω

ε(u) : B : ε(β)dΩ

^(3.14)

+ 1

2 Z

Ω

ε(β) : D : ε(β)dΩ + 1 2t ²

Z

Ω

γ(w, β) · A ^∗ · γ(w, β)dΩ

− Z

Ω

f · udΩ − Z

Ω

gwdΩ − Z

Ω

G · βdΩ,

3.3.1 Variaatiomuoto

Kokonaisenergian minimointia vastaava variaatiomuotosaadaan varioimalla

lauseketta (3.14) sekä kalvotila- että laattamuuttujien suhteen, jolloin vari-

aatiotehtäväksisaadaan

Tehtävä 3.2. Etsi

(u, w, β) ∈ U × W × V

^{siten, että}

∀ (v, ν, η) ∈ U × W × V

^pätee



 

 

 

 

(A: ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β)) = (f , v), (B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η))

+t ^{− 2} (A ^∗ · γ(w, β), γ(ν, η)) = (g, ν) + (G, η),

missä variaatioavaruudet ovat

U × W × V ⊂ [H ¹ (Ω)] ² × H ¹ (Ω) × [H ¹ (Ω)] ²

^.

Virheanalyysiä varten voidaan laattatehtävä muotoilla myös sekaelementti-

formulaatiossa, kun käsitelläänleikkausvoimaa

q = t ^{− 2} A ^∗ · γ(w, β)

^(3.15)

riippumattomanamuuttujana. Tällöin tehtävä tulee muotoon

Tehtävä3.3. Etsi

(u, w, β, q) ∈ U × W × V × Γ

siten,ettäkaikilla

(v, ν, η, s) ∈ U × W × V × Γ

pätee



 

 

 

 

(A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β)) = (f, v),

(B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η)) + (q, γ(ν, η)) = (g, ν) + (G, η), t ² (A ^{∗− 1} q, s) + (γ(w, β), s) = 0,

(3.16)

missä

U × W × V × Γ ⊂ [H ¹ (Ω)] ² × H ¹ (Ω) × [H ¹ (Ω)] ² × [L ² (Ω)] ²

^.

3.3.2 Reunaehtojen määrittäminen

Olennainen osa tehtävää on reunaehtojen määrittäminen. Ensinnäkin laat-

tatehtävässä on jokaisella reunalla määrättävissä kiertymän

β

^molempien

komponenttien sekätaipuman

w

^{arvo.Taipumavoidaan}ekvivalentistijakaa myös reunannormaalinja tangentin suuntaisiin komponentteihin

β n

^ja

β τ

^.

Tarkastellaan ensin laattatehtävälle asetettavia reunaehtoja. Kiertymien

ja taipumanarvoja yhdistelemälläsaadaanseuraavatviisifysikaalisestimer-

kityksellistäreunaehtoa.

(i) Jäykästi tuetussa ( engl. lamped) reunaehdossa kiinnitetään reunalla

sekä taipuman

w

^{että molempien}kiertymäkomponenttien

β _n

^ja

β _τ

^ar-

vot.Tällöinlaatankaikki liike reunallaonestetty.

(ii) Pehmeässä jäykästi tuetussa ( engl. soft lamped) reunaehdossa kiin-

nitetään ainoastaan

w

^ja kiertymäkomponentti

β _n

^{. Tällöin laatta ei}

pääse kiertymään tuenpäällä, muttatuen suuntaistaleikkausmuodon-

muutosta eiole rajoitettu.

(iii) Yksinkertaisesti tuetussa ( engl. simply supported) vain taipuman ar-

vo

w

kiinnitetään reunalla. Tämä vastaa fysikaalista tilannetta jossa laatta pääseevapaasti kiertymään tuenpäälläja tuensuuntainenleik-

(iv) Kovassa yksinkertaisesti tuetussa ( engl. hard simply supported) reu-

naehdossa kiinnitetään taipuman

w

^{lisäksi kiertymä}

β _τ

^{, jolloin laatta}

pääsee edelleen vapaasti kiertymään tuen päällä, mutta tuen suuntai-

nen leikkausmuodonmuutoson estetty.

(v) Vapaassareunaehdossa siirtymiäei rajoiteta mitenkään.

Tasoelastisuustehtävän osalta voidaan kullakin reunan osalla kiinnittää

u

^{:n kumpikin} komponentti erikseen, tai ekvivalentisti jakaa

u

tangentiaali- ja normaalikomponentteihin

u _τ

^ja

u _n

^{. Molempien}komponenttien kiinnittä- minenvastaajäykkääkiinnitystä,jolloinmuodonmuutosonestetty reunalla.

Pelkännormaalikomponentinkiinnittäminenvastaafysikaalisestiliukutukea,

tangentiaalikomponentintaasen rullatuentaa.

3.4 Ratkaisun olemassaolo

Tässä kappaleessa näytetään, että yhdistetylle mallille löytyy ratkaisu joka

on yksikäsitteinen riippumatta laatan kokonaispaksuudesta

t

^{, mikäli laatta}

on jäykästi tuettu ja tasosiirtymät estetty reunalla. Jatkossa oletetaan vir-

heanalyysissä aina nämä reunaehdot. Avuksi tarvitaan sekä Kornin epäyh-

tälöä että Lax-Milgramin lemmaa, jotka muotoillaan seuraavaksi lyhyesti.

Sobolev-avaruuden alkiolle

f ∈ H ^m (Ω)

^käytetään Sobolev-normeja

k f k ² m = X

| α |≤ m

k ∂ ^α f k ² 0 ,

missä

α

^on multi-indeksi ja

k · k ⁰

^normaali

L ² (Ω)

^-normi. Vastaavasti vekto- reilleja tensoreille käytetään ylläolevia normejakomponenteittain.

Lause 3.4 (Lax-Milgram lemma). Olkoon

V

^{Hilbertin avaruus,}

a( · , · ) : V × V → R

^jatkuva

V

-elliptinen bilineaarimuoto ja

L : V → R

^rajoitettu

lineaarinen funktionaali.Tällöin löytyyyksikäsitteinen

u ∈ V

^{, joka ratkaisee}

variaatiotehtävän

a(u, v) = L(v), ∀ v ∈ V.

^(3.17)

Todistus. Lauseentodistus löytyy esimerkiksi viitteestä [6℄.

Toinenvälttämätönapuväline elastisuustehtäväntutkimisessa onKornin

epäyhtälö,jokakarkeasti sanottuna merkitsee,ettägradientinnormi riippuu

oleellisestivaingradientinsymmetrisestäosasta,mikälijäykänkappaleenliike

on estetty. Epäyhtälön todistus yleisessä tapauksessa on kuitenkin varsin

hankalaa,eikäsiihenpaneudutatässätyössä.Seuraavassamuotoiltuaversiota

Lause 3.5 (Kornin epäyhtälö). Olkoon

Ω ∈ R ³

^{avoin ja rajoitettu jouk-}

ko, jonka reuna on paloittain sileä. Oletetaan lisäksi että

Γ ₀ ⊂ ∂Ω

^{on ei-}

nollamitallinenjoukko, jolla onmäärätty nollareunaehdot.Tällöinlöytyyva-

kio

C = C(Ω, Γ 0 )

^{siten, että pätee}

Z

Ω

ε(v) : ε(v)dΩ ≥ C k v k ² 1 , ∀ v ∈ [H _Γ ¹ ₀ (Ω)] ³ .

^(3.18)

Näytetään seuraavaksi, että Tehtävä 3.3 on elliptinen sekä kalvo- että

laattamuuttujien suhteen. Tätä varten tarvitaanseuraava tulos:

Lemma 3.6. On olemassa positiiviset vakiot

C 1 , C 2

^{siten, että jokaiselle}

symmetriselle tensorille

τ , σ ∈ [L ² (Ω)] ⁴

^pätee

C 1 ( k τ k ² 0 + k σ k ² 0 ) ≤ (A: τ , τ ) + 2(B : τ , σ) + (D : σ, σ) ≤ C 2 ( k τ k ² 0 + k σ k ² 0 ),

(3.19)

missä

A, B, D

^{ovat edellä} määritellyt skaalatut tensorit ja oletetaan, että konstitutiivinen tensori

C ∈ [L ² (Ω)] ^{4 × 4}

^.

Todistus. Kirjoitetaanensinarvioitavalausekeformaalinamatriisitulonajol-

loinottaen huomioon

B

^:n symmetrisyys päätee

(A : τ , τ ) + 2(B : τ , σ) + (D : σ, σ) = h τ σ

i "

A B B D

# "

τ σ

#

,

^(3.20)

missä

"

A B B D

#

= X n

k=1

"

A _k B _k B k D k

# .

Tällöinsiislemmanväitepätee,mikälikerroinmatriisionrajoitettujapo-

sitiivideniitti.Tarkastellaanyhteenlaminaattikerrokseenliittyväämatriisia

ja kirjoitetaanse kahden matriisintulona määritelmien (3.7)(3.9) ja (3.13)

avullamuotoon

"

A _k B _k B k D k

#

=

"

1

t (z k − z k − 1 ) _2t ¹ 2 (z _k ² − z _k ² _{− 1} )

1

2t ² (z _k ² − z _k ² _{− 1} ) _3t ¹ 3 (z _k ³ − z _k ³ _{− 1} )

# "

C _k 0 0 C k

#

(3.21)

Näiden matriisien tulo selvästi kommutoi, sillä toinen on lohkodiagonaali-

matriisi, jotensymmetrisyys ja positiivideniittisyys pätee tulolle,mikälise

pätee kummallekin matriisille erikseen. Koska tensori

C k

^{on oletuksen mu-}

kaansymmetrinenjapositiivideniitti,riittäätarkastellaominaisarvojasym-

metriselle

2 × 2

matriisille

R k :=

"

1

t (z k − z k − 1 ) _2t ¹ 2 (z _k ² − z _k ² _{− 1} )

1

2t ² (z _k ² − z _k ² _{− 1} ) _3t ¹ 3 (z _k ³ − z _k ³ _{− 1} )

#

.

^(3.22)

Ominaisarvot saadaan

2 × 2

matriisilleyhteyksistä[8℄

λ 1 (R k ) = tr(R k )

2 1 −

s

1 − 4 det(R k ) tr(R k ) ²

! ,

λ 2 (R k ) = tr(R k )

2 1 +

s

1 − 4 det(R k ) tr(R k ) ²

! ,

missä invariantit ovat matriisindeterminantti ja jälki

det(R k ) = 1

3t ⁴ (z _k ³ − z _k ³ _{− 1} )(z k − z k − 1 ) − 1

4t ⁴ (z _k ² − z _k ² _{− 1} ) ² = 1

12t ⁴ (z k − z k − 1 ) ⁴ , tr(R k ) = 1

t (z k − z k − 1 ) + 1

3t ³ (z _k ³ − z _k ³ _{− 1} ).

Merkitään laminaatinpaksuutta

h k = z k − z k − 1

^.Determinantillepätee

det(R k ) = h ⁴ _k 12t ⁴ > 0

ja vastaavasti jäljelle

tr(R k ) ≥ 1

t (z k − z k − 1 ) = h k

t > 0,

mistä seuraa, että ominaisarvotovatreaaliset ja positiiviset, sillä

0 < 4 det(R _k ) tr(R k ) ² ≤ h ² _k

3t ² < 1.

Lisäksi kaikilla

k

^pätee

z k ∈ [t/2, − t/2]

^{, jotenjäljellepätee arvio}

tr(R k ) ≤ h k

t + 1 3t ³ (( t

2 ) ³ − ( − t

2 ) ³ ) ≤ 13 12 .

Ominaisarvotovatmyösrajoitetuteivätkäne riipulaatanpaksuudesta.Kos-

kajokaista laminaattikerrostavastaavamatriisionsymmetrinenja positiivi-

deniitti,onmyösnämäsummaamallasaatukokokomposiittilaatanmatriisi

symmetrinen ja positiivideniitti, jotenväite pätee.

Sijoittamallatulokseenmuuttujia

u

^ja

β

^vastaavatvenymätensorit ja so- veltamalla Kornin epäyhtälöä (3.5) molemmille muuttujille saadaan tehtä-

välleelliptisyystulos

C( k u k ² 1 + k β k ² 1 ) ≤ (A : ε(u), ε(u)) + 2(B : ε(u), ε(β))

^(3.23)

+ (D : ε(β), ε(β)),

missä vakio

C

^{eiriipulaatan} paksuudesta

t

^{.Edellistenlauseiden avullanäy-}

tetään nyt ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys hyödyntämällä satula-

pistetehtävillekehitettyä Brezzin ja Babuskan teoriaa[4℄.Määritelläänvielä

avaruus

H ^{− 1} (div, Ω)

seuraavasti

H ^{− 1} (div, Ω) = { q ∈ [H ^{− 1} (Ω)] ² | div q ∈ H ^{− 1} (Ω) } .

Lause 3.7 (Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys) . Jokaisella kiinnite-

tyllälaatanpaksuudella

t

^{tehtävällä (3.3)onratkaisu}

(u, w, β, q) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ² × [L ² (Ω)] ²

Todistus. Määritellään bilineaarimuoto

Υ

^ja lineaariset operaattorit

B

^ja

L Υ(u, v; β, η) = (A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β))

+ (B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η)) L(v, ν, η) = (f , v) + (g, ν) + (G, η)

B (w, β; q) = (γ(w, β), q)

jakirjoitetaantehtävänsekaformulaatioseuraavaanmuotoon:etsi

(u, w, β, q) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ² × [L ² (Ω)] ²

^siten,että

∀ (v, ν, η, s) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ² × [L ² (Ω)] ²

^pätee







Υ(u, v; β, η) + B (ν, η; q) = L(v, ν, η), t ² A ^{∗− 1} (q, s) + B (w, β; s) = 0.

(3.24)

Eliminoimallatästä leikkausvoimapäästään siirtymiensuhteen kirjoitettuun

tehtävään:etsi

(u, w, β) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ²

^siten,että

∀ (v, ν, η) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ²

^pätee

Υ(u, v; β, η) + 1

t ² (A ^∗ γ (w, β), γ(ν, η)) = L(v, ν, η).

Tensori

A ^∗

^onsymmetrinenjapositiivideniitti,silläominaisuusseuraasuo- raankonstitutiivisentensorin

C

positiivideniittisyydestätestaamallatenso- rilla

τ

^{, jolle}

τ 3α3β 6 = 0

^{ja muulloin}

τ = 0

. Tensorin

A ^∗

positiivideniittisyy- den perusteella koko vasen puoli on siis koersiivinen jokaiselle

t > 0

^{, jolloin}

Myös leikkausvoiman osalta ratkaisu onolemassa ja yksikäsitteinen. Tä-

mähavaitaantarkastelemallayhtälöryhmän(3.24)viimeistäriviä,jostanäh-

dään että kyseessä on elliptinen tehtävä avaruudessa

Γ

, sillä

A ^∗

^{:n symmet-}

risyyden ja positiivideniittisyyden perusteella

∀ q ∈ Γ

on olemassa vakio

C > 0

^{siten, että}

t ² (A ^{∗− 1} q, q) ≥ Ct ² k q k ² 0 .

Tapauksessa

t → 0

leikkausvoimansäännöllisyyttähäviää,jolloinrajata- pauksessa sekaformulaatiosta saadaanKirhhonlaattamalliavastaavateh-

tävä: etsi

(u, w, β, q) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ^{− 1} (div, Ω)

^siten,

että

∀ (v, ν, η, s) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ^{− 1} (div, Ω)

^pätee







Υ(u, v; β, η) + B (ν, η; q) = L(v, ν, η) B (w, β; s) = 0.

Välittömästinähdään,että kyseessäonsatulapistetehtäväsiirtymien jaleik-

kausvoimansuhteen.Ratkaisun olemassaoloonvaaditaantällöin[4℄bilineaa-

rimuodon

Υ

elliptisyys operaattorin

B

nolla-avaruudessa,

Ker B = { (ν, η) ∈ H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ² | ( ∇ ν − η, s) = 0, ∀ s ∈ H ^{− 1} (div, Ω) } .

Koska

∇ ν − η ∈ H ^{− 1} (div, Ω)

^{jalisäksiPoinarén epäyhtälöonvoimassakun}

taipuma kiinnitetään jollakin reunan osalla

Γ 0

^{, on olemassa vakio}

C

^siten,

että kun

(ν, η) ∈ Ker B

^pätee

k ν k ¹ ≤ | ν | ¹ = k∇ ν k ⁰

≤ k η − ∇ ν k ⁰ + k η k ⁰ = k η k ⁰

≤ C k η k ¹ .

Ottamallalisäksihuomioonepäyhtälö(3.23),on

Υ

^{elliptinenkaikkiensiirty-}

mämuuttujien suhteen

B

^:nnolla-avaruudessa, elilöytyy vakio

C

^{siten, että}

Υ(v, v; η, η) ≥ C( k v k ² 1 + k η k ² 1 + k ν k ² 1 ).

^(3.25)

Toinen välttämätön ja riittävä ehto on niin kutsuttu Babuska-Brezzi -

stabiilisuusehto[4℄:

sup

(ν,η) ∈ H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ²

( ∇ ν − η, s)

k ν k ¹ + k η k ¹ ≥ C k s k H ^{− 1} (div,Ω)

sup

(ν,η) ∈ H 0 ¹ (Ω) × [H 0 ¹ (Ω)] ²

( ∇ ν − η, s) k ν k ¹ + k η k ¹

≥ sup

(ν,η) ∈ H ₀ ¹ (Ω) × [H ₀ ¹ (Ω)] ²

(C 1

(ν, div s) k ν k ¹ + C 2

(η, s) k η k ¹ )

= C ₁ k s k − 1 + C ₂ k div s k − 1

≥ C k s k H ^{− 1} (div,Ω) .

Kun nämäehdotovatvoimassa,myösratkaisunyksikäsitteisyysrajatapauk-

sessa

t → 0

^{seuraa suoraan} satulapisteteoriasta.

3.5 Ratkaisun säännöllisyys

Komposiittilaattatehtävänsäännöllisyysestimaattien haastavaosa onlaatta-

tehtävän säännöllisyyden määrittäminen, missä tarvitaan avuksi muutamia

matemaattisia apuvälineitä. Tasoelastisuustehtävän säännöllisyys onepätri-

viaali seuraus biharmonisen ja Stokesin tehtävän säännöllisyysominaisuuk-

sista.

3.5.1 Helmholtzin hajotelma leikkausvoimalle

Aluksi esitetään

L ² (Ω)

^ja

H ^{− 1} (div, Ω)

-funktioilleniinkutsuttuHelmholtzin hajotelma, jonka avulla ne voidaan kirjoittaa gradientin ja roottorin sum-

mana tietyistä funktioista [4℄. Roottori on nyt määritelty skalaariarvoiselle

suureelle

p

^{siten, että}

rot p = (∂ ₂ p, − ∂ ₁ p).

Lause 3.8(Helmholtzinhajotelma).Olkoon

q ∈ H ^{− 1} (div, Ω)

^{. Tällöinlöytyy}

yksikäsitteiset

ψ ∈ H ₀ ¹ (Ω)

^ja

p ∈ L ² (Ω)/ R

^{siten, että pätee}







q = ∇ ψ + rot p

k q k ² H ^{− 1} (div,Ω) = k ψ k ² 1 + k p k ² 0 .

(3.26)

Todistus. Ottamalla (3.26):nensimmäisestä yhtälöstä divergenssi puolittain

ja huomioimalla,että

div q ∈ H ^{− 1} (Ω)

^saadaan

div q = div ∇ ψ + div rot p = ∆ψ ⇔

( ∇ ψ, ∇ v) = (q, ∇ v ) ∀ v ∈ H ₀ ¹ (Ω).

Koska

q ∈ H ^{− 1} (div, Ω)

^{, on}

ψ

^{tämän Poissonin tehtävän} yksikäsitteinen rat- kaisu. Lisäksi

div (q − ∇ ψ) = 0

^{. Koska} divergenssitön funktio voidaan aina kirjoittaa roottorin avulla, pätee

q − ∇ ψ = rot p

^{, missä}

p ∈ L ² / R

^{. Kos-}

ka

div rot p = 0

mielivaltaisella

p

^{, ovat hajotelman osat sisätulon suhteen}

ortogonaaliset,jolloin normiestimaattipätee.

Vastaavasti viitteen [4℄ perusteella kun

q ∈ [L ² (Ω)] ²

^löytyy Helmholtzin hajotelmasiten,että

(ψ, p) ∈ H ¹ (Ω) × [H ¹ (Ω) ∩ L ² ₀ (Ω)]

^.Helmholtzinhajotel- manavullavoimmetodistaalopultakokotehtävälleseuraavansäännöllisyys-

estimaatin seuraten laattatehtävän osalta viitteen [15℄ esitystä. Sovelletaan

siis Helmholtzinhajotelmaa leikkausvoimalle

q = ∇ ψ + rot p,

^(3.27)

ja vastaavalle testifuktiolle

s = ∇ ϕ + rot q.

^(3.28)

Tällöinsijoittamalla lausekkeet tehtävään (3.24) ja huomioimallaedellämai-

nittu ortogonaalisuus

( ∇ ψ, rot p) = 0,

saadaanekvivalenttitehtävä,jokasisältääkolmekytkettyätehtävää. Ensim-

mäinenyhtälöontavallinenPoissonintehtävä,samoinkuinviimeinenkahden

keskimmäisen yhtälön muodostaessa Stokesin tehtävää muistuttavan tehtä-

vän. Merkitään

a(β, η) = (D : ε(β), ε(η))

^{, jolloin} laattatehtävälle saadaan muoto

Tehtävä3.9. Etsi

(β, w, ψ, p) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × H ₀ ¹ (Ω) × [H ¹ (Ω) ∩ L ² ₀ (Ω)]

siten, että pätee



 

 

 



 

 

 



( ∇ ψ, ∇ ν) = (g, ν) ∀ ν ∈ H ₀ ¹ (Ω), a(β, η) − (rot p, η) = ( ∇ ψ, η) + (G, η) ∀ η ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² ,

t ² A ^{∗− 1} (rot p, rot q) = (rot q, β) ∀ q ∈ [H ¹ (Ω) ∩ L ² ₀ (Ω)], ( ∇ ϕ, ∇ w) = ( ∇ ϕ, β) − t ² A ^{∗− 1} ( ∇ ψ, ∇ ϕ) ∀ ϕ ∈ H ₀ ¹ (Ω),

(3.29)

missä voima

g

^{on laatan} poikittaissuuntaista kuormitusta vastaava voima ja

G

^{on laatan} momenttikuormitus.

3.5.2 Säännöllisyys reunalla ja sisäalueessa

Rajalla

t → 0

^pätee

B (w, β; s) = 0, ∀ s ∈ Γ

, jolloin rajatehtävän

t = 0

ratkaisu

(w ⁰ , β ⁰ )

^{toteuttaa Kirhon} laattatehtävän, ja ratkaisulle pätee

β ⁰ = ∇ w ⁰ .

Tällöinkoko tehtävänratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon

w = w ⁰ + w ^r

^ja

β = β ⁰ + β ^r .

Koska

w ⁰

^onKirhonlaattatehtävänratkaisu,voidaansoveltaa tunnet- tuja estimaatteja [3℄,jolloinkonveksissaalueessa

Ω

^pätee

k w ⁰ k 3 ≤ C k g k − 1 .

^(3.30)

SamoinTehtävän3.9 ensimmäiselle osatehtävälle saadaanPoissonin teh-

tävän

H ²

-säännöllisyydestä konveksissa alueessaestimaatti

k ψ k ^s ≤ C k g k ^s − 2 , s = 1, 2.

^(3.31)

Ottamalla huomioon, että kahdessa dimensiossa roottori ja gradientti ovat

π/2

-rotaatiotavaillesama operaattori, voidaanmäärittämällä

η ˜ = (η ₂ , − η ₁ )

tehtävän (3.9) kaksi keskimmäistä yhtälöä kirjoittaa rajatapauksessa

t = 0

uuden muuttujan

η ˜

^{avulla standardin Stokesin tehtävän muotoon [1℄: etsi}

( ˜ β ₀ , p ₀ ) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × [H ¹ (Ω) ∩ L ² ₀ (Ω)]

^siten,että

∀ ( ˜ η, q) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × [H ¹ (Ω) ∩ L ² ₀ (Ω)]

^pätee







a( ˜ β ₀ , η) ˜ − (p ₀ , div ˜ η) = ( ∇ ψ, η) + (G, ˜ η) ˜ (q, div ˜ β ₀ ) = 0.

(3.32)

Lisäksi selvästi pätee

k β ˜ k ^s = k β k ^s

^. Soveltamalla standardiestimaatteja [1℄

tehtävälle (3.32) ja huomioimalla (3.31) saadaan rajatehtävälle

t = 0

^sään-

nöllisyystulos

k β 0 k ² + k p 0 k ¹ ≤ C( k G k ⁰ + k ψ k ¹ ) ≤ C( k G k ⁰ + k g k − 1 ).

^(3.33)

Koska parit (

β ₀ , p 0

^{) ja (}

β, p

⁾ toteuttavattehtävän(3.9) toisenja kolmannen rivin vastaavastitapauksissa

t = 0

^ja

t 6 = 0

^{, saadaantulos}

a(β 0 − β, η) − (rot (p − p 0 ), η) + (β − β 0 , rot q)

+ t ² A ^{∗− 1} (rot (p − p ₀ ), rot q) = (β, rot q) + t ² A ^{∗− 1} (rot (p − p ₀ ), rot q)

= t ² A ^{∗− 1} (rot p 0 , rot q),

jostavalitsemallatestifunktioiksi

η = β − β ₀

^ja

q = p − p 0

^{seuraaestimaatti}

k β − β 0 k ² 1 + t ² k p − p 0 k ² 1 ≤ Ct ² k p 0 k ¹ k p − p 0 k ¹ .

Huomioimallalisäksi

(rot p, rot q)

^-termin

H ²

-säännöllisyys,saadaan tulos

k β − β ₀ k ¹ + t k p − p 0 k ¹ ≤ Ct k p 0 k ¹ ≤ Ct( k G k ⁰ + k g k − 1 ).

Tämän perustellasiis

k p k ¹ ≤ C( k G k ⁰ + k g k − 1 ).

^(3.34)

Koska Tehtävän 3.9 toinenyhtälöon

H ²

-säännöllinenelliptinentehtävä, pä- tee standardiestimaattien ja yhtälön (3.31) perusteella

k β k ² ≤ C( k p 1 k + k ψ k ¹ + k G k ⁰ ) ≤ C( k G k ⁰ + k g k − 1 ).

^(3.35)

Lopuksi tarkastelemalla kolmatta riviä ja muistamalla, että

β ₀

^{on tehtävän}

t = 0

^{ratkaisu,saadaan}

(rot p, rot q)

^termin

H ²

-säännöllisyydennojallaarvio

k p k ² ≤ Ct ^{− 2} k β − β ₀ k ¹ ≤ Ct ^{− 1} ( k G k ⁰ + k g k − 1 ).

^(3.36)

Kokoamallayhteen yhtälöiden (3.31),(3.34),(3.35) ja (3.36)tulokset, päädy-

tään estimaattiin

k ψ k ¹ + k β k ² + k p k ¹ + t k p k ² ≤ C( k G k ⁰ + k g k − 1 ).

^(3.37)

Tarvitaan vielä estimaatti poikittaissiirtymän osalle

w ^r = w − w ⁰

^{. Nyt}

w r

^{toteuttaa Tehtävän 3.9} ensimmäisen rivin perusteella viimeisen yhtälön muodossa

( ∇ w ^r , ∇ ϕ) = (β − β 0 , ∇ ϕ) + t ² A ^{∗− 1} (g, ϕ),

jollepätee standardi Poissonin tehtävänestimaatti

k w ^r k ² ≤ C( k β − β 0 k ¹ + t ² k g k ⁰ ) ≤ C(t k G k ⁰ + t k g k − 1 + t ² k g k ⁰ ).

^(3.38)

Estimaatit (3.37) ja (3.38) yhdistämällä saadaan lopulta koko laattatehtä-

välleseuraava säännöllisyystulos

Lause 3.10. Konveksissa alueessa

Ω

^{riittävän sileällä kuormalla tehtävän}

ratkaisulle pätee

k w ⁰ k ³ + t ^{− 1} k w ^r k ² + k β k ² + k ψ k ¹ + k p k ¹ + t k p k ²

^(3.39)

≤ C( k g k − 1 + t k g k ⁰ + k G k ⁰ ).

Lisäksi sisäalueessa voidaan johtaa seuraava parempisäännöllisyysestimaat-

ti [15℄.

Lause 3.11. Edellämainittuunkonveksiin alueeseen

Ω

kompaktistiupotetus- sa alueessa

Ω i

^pätee

k w ⁰ k s+2,Ω i + t ^{− 1} k w ^r k s+1,Ω i + k β k s+1,Ω i + k ψ k s,Ω i + k p k s,Ω i + t k p k s+1,Ω i

+t ² k p k ^{s+2,Ω i} ≤ C( k g k ^s − 2 + t k g k ^s − 1 + k G k ^s − 1 ).

^(3.40)

Lopuksi tarvitaan vielä säännöllisyysestimaatti kytkemättömälle tasoe-

lastisuustehtävälleDirihlet'nreunaehdoilla. Tehtävän heikko muoto on

Tehtävä 3.12. Etsi

u ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ²

^{siten, että}

∀ v ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ²

^pätee

(A : ε(u), ε(v)) = (f , v).

Tehtävä on elliptinen tensorin

A

symmetrisyyden ja positiivideniitti- syyden nojalla. Viitteessä [2℄ on näytetty nojautuen biharmonisen yhtälön

H ⁴

-säännöllisyysteen sekä standardin Stokesin tehtävän tunnettuihin esti- maatteihinisotrooppisessa tapauksess a tulos

k u k ² ≤ C k f k ⁰ ,

^(3.41)

missä kerroin

C

^{ei riipu Lamén vakiosta}

λ

^{, kun toinen Lamén vakio}

µ ∈ [µ ₁ , µ ₂ ]

^{. Mikäli} konstitutiivinen tensori oletetaan riittävän säännölliseksi on syytäolettaa,ettämyösTehtävälle3.12päteekonveksissaalueessaarvio(3.41).

3.5.3 Kytketyn tehtävän säännöllisyys

Edellä näytettiin, että molemmatosatehtävätovaterikseen

H ²

-säännöllisiä.

Kytketyntehtävänsäännöllisyysonkuitenkinepätriviaaliominaisuusjapys-

tytään näyttämään toistaiseksi vaintietyillätehtävien säännöllisyysvakioita

koskevilla rajoituksilla.Kytketyssä mallissa Tehtävän 3.9 toinenrivisaa kir-

joittamalla termi

Υ( · , · ; · , · )

^{auki muodon}







(A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(β), ε(v)) = (f , v),

(D : ε(β), ε(η)) + (B : ε(u), ε(η)) − (p, div η) = ( ∇ ψ, η) + (G, η).

Siirtämällä kytkentätermit vasemmalle puolelle ja osittaisintegroimalla saa-

daan yhtälöryhmämuotoon







(A : ε(u), ε(v)) = (f , v) + (div (B : ε(β)), v),

(D : ε(β), ε(η)) − (p, div η) = ( ∇ ψ, η) + (G, η) + (div (B : ε(u)), η).

Pitämälläensimmäisessäyhtälössä

β

^{vakiona,saadaan}ensimmäisenrivin säännöllisyyden nojallajoillakin vakioilla

C ₁ , C ₂ > 0

k u k ² ≤ C 1 ( k f k ⁰ + k div (B : ε(β)) k ⁰ ) ≤ C 1 k f k ⁰ + C 2 k β k ² .

^(3.43)

Vastaavastipitämällätoisessayhtälössä

u

^{vakionapäteeedeltävienestimaat-}

tien perusteella vakioilla

C 3 , C 4 > 0

k β k ² + k p k ¹ ≤ C 3 ( k G k ⁰ + k g k − 1 + k div (B : ε(u)) k ⁰ )

≤ C 3 ( k G k ⁰ + k g k − 1 ) + C 4 k u k ² .

^(3.44)

Sijoittamallanytestimaatti(3.43)epäyhtälöön(3.44)jalaskemallanäinsaa-

tu epäyhtälöyhteen epäyhtälöm (3.43) saadaanarvio

(1 − C 4 (1 + C 2 )) k β k ² + k p k ¹ + k u k ² ≤ C( k G k ⁰ + k f k ⁰ + k g k − 1 ).

^(3.45)

Haluttu säännöllisyystulos kytketylle tehtävälle siis saadaan ainoastaan

mikäli oleellisesti kytkentätermin tensorin

B

^{normistaja alueesta}

Ω

^riippu-

vallevakiolle

C 4

^pätee

C 4 (1 + C 2 ) < 1 ⇔ C 4 < 1 1 + C 2

< 1.

^(3.46)

4 Elementtimenetelmä MITC-elementeille

Tässäkappaleessajohdetaanvirhearviotkomposiittilaattatehtävälle.Virhear-

viot lasketaan tavallisen

H ¹

^{-normin sijaan} verkkoriippuvassa normissa, jo- kaottaahuomioonReissnerin-Mindlininmallinpuuttellisensäännöllisyyden,

kun

t → 0

^.Käyttämällätätänormia,saadaantehtävänvirheenkäyttäytymi- sestä tarkempaatietoa kuin

H ¹

^{-normissalaatan ollessaohut, mikäonvarsin}

yleistä komposiittirakenteidentapauksessa.

Yhdistetynkomposiittilaattamallinanalyysisuoritetaankahdessa osassa.

Ensin määritetään virhearviot erikseen laatta- ja kalvotilalle, jonka jälkeen

näytetään, että mikäli käytettävissä on hyvin toimiva laattaelementti, joka

yhdistetään toimivaan tasoelementtiin, saadaan lopulta hyvin käyttäytyvä

menetelmä myös koko tehtävälle.

4.1 Laattatehtävän analyysi

VaikkatässätyössäkäytetäänainoastaanMITC-elementtejälaattatehtävälle,

pätee seuraava Reissnerin-Mindlin laattamallin virheanalyysitekniikka pie-

nin muutoksin yleisemmälle elementtiperheelle astetta

k

^{, olettaen että dis-}

kretaatio täyttää tiettyjä perusvaatimuksia.Yleisyyden lisäksituloksista tu-

lee suoraviivaisempia eikäanalyysissä tarvita epätriviaalistivoimassa olevaa

diskreettiä Helmholtzin hajotelmaa. Jatkossa oletetaan verkko yksinkertai-

suuden vuoksi kvasisäännölliseksi, mutta tulos pätee myös epäsäännölliselle

verkolle [17℄.

4.1.1 MITC-elementtiperhe

Tarkastellaan siis normaalia Reissnerin-Mindlinin laattamallia viitteen [22℄

suuntaviivojanoudattaen.Kirjoitetaanensin satulapistetehtävä(3.16),jossa

siis nyt

A = B = 0

ja merkitään

a(β, η) = (D : ε(β), ε(η))

^,muotoon

Tehtävä4.1. Etsi

(β, w, q) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × [L ² (Ω)] ²

^sitenettä

∀ (η, v, r) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × H ₀ ¹ (Ω) × [L ² (Ω)] ²

^pätee

A (β, w, q; η, v, r) = (G, η) + (g, v),

^(4.1)

missä bilineaarimuoto

A

^{onmääritelty}

A (β, w, q; η, v, r) := a(β, η) + ( ∇ v − η, q) + ( ∇ w − β, r) − t ² (A ^{∗− 1} q, r).

Olkoon

T ^h

^alueen

Ω

kvasiuniformikolmiointija

h

^verkontiheysparamet- ri. Kun

α

^{on vapaasti valittava} stabilointiparametri,määritelläändiskreetti

bilineaarimuoto seuraavasti:

A ^h (β, w, q; η, v, r) :=a(β, η) + (R h ( ∇ v − η), q) + (R h ( ∇ w − β), r)

− (αh ² + t ² )(A ^{∗− 1} q, r).

Tällöin vastaava diskreetti tehtävä approksimaatioavaruudessa

V h × W h × Γ _h ⊂ V × W × Γ

onmuotoa

Tehtävä 4.2. Etsi

(β h , w h , q _h ) ∈ V _h × W h × Γ _h

siten, että

∀ (η, w, q) ∈ V h × W h × Γ _h

pätee

A ^h (β h , w h , q h ; η, v, r) = (G, η) + (g, v ).

^(4.2)

MITC-elementtienperusajatusonleikkausvoimanmodiointidiskreetissä

tehtävässä.Tätävartendiskreettibilineaarimuoto

A ^h

määritelläänreduktio- operaattorin

R h : V _h → Γ _h

avulla, joka otetaan käyttöön, jotta vältyttäi- siin lukittumiselta leikkausvoiman suhteen. MITC-elementtien tapauksess a

reduktio-operaattori

R h

^{onmääritelty siten, että pätee}

R _h ∇ w = ∇ w, ∀ w ∈ W _h .

^(4.3)

Sekä taipuma että kiertymät suppenevat optimaalisesti, jos löytyy ava-

ruus

Q _h ∈ L ² ₀

^{siten, että seuraavat}ominaisuudet pätevät [5℄:

P1.

∇ W h ⊂ Γ _h

. P2.

rot Γ _h ⊂ Q h

^.

P3.

rot R h η = P h rot η

^{, missä}

P h : L ² → Q h

^on

L ²

^-projektio.

P4. Jos

s ∈ Γ _h

:lle pätee

rot s = 0

^,löytyy

v ∈ W _h

^{siten, että}

s = ∇ v

^.

P5.

(V _h ^⊥ , Q h )

^onstabiiliratkaisuavaruusStokesin tehtävälle.

Roottorion edellämääritelty vektoriarvoiselle suureelle

q

^{siten, että}

rot q = ∂ 1 q 2 − ∂ 2 q 1 = div q ^⊥ .

Täten voidaanmääritelläavaruus

H 0 (rot, Ω) = { q ∈ [L ² (Ω)] ² | rot q ∈ L ² (Ω), q · τ | ^∂Ω = 0 } .

Nyt voidaan seurataviitteessä [5℄ esitettyä konstruktiota sopivienvariaatio-

•

^Valitaanpari

(V h , Q h ) ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² × L ² ₀ (Ω)

stabiiliksiStokesintehtävälle

•

^Koska

Q h

^on kiinnitetty, etsitään avaruus

Γ _h

ja operaattori

R h

^siten

että seuraava kaavio kommutoi

[H ₀ ¹ (Ω)] ^{2 rot -} L ² ₀ (Ω)

Γ _h

R h

? rot

- Q h .

P h

?

•

^{Valitaanavaruus}

W h

^{siten, että}

∇ W h = { s ∈ Γ _h | rot s = 0 } .

TässätyössäkäytettyynNumerrin-ohjelmistoonMITClaattaelementiton

rakennettu valitsemalla elementtiavaruudet siten, että ainoastaan lineaaris-

ten elementtien kanssa tarvitaanverkkostabilointia,korkeammanasteenele-

menteissäsuppeneminensaavutetaankäyttämälläkiertymällekuplamuotoja,

jolloinvoidaansiisvalita

α = 0

^.Nämäominaisuudetsaavutetaanvalitsemal- la ensin

V h = { η ∈ [H ₀ ¹ (Ω)] ² | η | ^T ∈ V k (T ), ∀ T ∈ T ^h } .

Kolmioelementeille

V k

määritellään

V k (T ) =







[P k (T )] ²

^kun

k = 1, [S k (T )] ²

^kun

k = 2, 3,

missä avaruus

S k

^{onmääritelty}

S k (T ) = { v ∈ P k+1 (T ) | v | ^E ∈ P k (E)

^{jokaisellereunalle}

E ⊂ ∂T } .

Nelikulmiolle puolestaan valitaankaikilla

k

^{:n arvoilla}

V _k (T ) = [Q _k (T )] ² .

Stokesintehtävänapuavaruus

Q h

^onkaikilla

k

^{:narvoillasekäkolmio-että}

nelikulmioelementeillä

Q h = { p ∈ L ² ₀ | p | ^T ∈ P k − 1 (T ), ∀ T ∈ T ^h } .