In this thesis we introdue a model based on the Reissner-Mindlin plate model and apply it to the paper okling problem

60  Download (0)

Full text

(1)

Matematiikanlaitos

Juho Könnö

Komposiittilaminaattien analyysi

elementtimenetelmällä

Diplomi-insinöö rin tutkintoa vartentarkastettavaksijätettydiplomityö

Espoo,24.lokakuuta 2007

Työnvalvoja: professori RolfStenberg

(2)

Tekijä: Juho Könnö

Osasto: Teknillisen fysiikanja matematiikan osasto

Pääaine: Mekaniikka

Sivuaine: Lujuusoppi

Työn nimi: Komposiittilaminaattien analyysi elementtimenetelmällä

Title in English: FiniteElementAnalysis of Composite Laminates

Professuurin koodi ja nimi: Mat-5 Mekaniikka

Työn valvoja: Professori Rolf Stenberg

Työn ohjaaja: FT Antti Niemistö

Tiivistelmä: Komposiittirakenteet ovatnykyään käytännönteollisuussovelluksissayhä

yleisempiä,janiidentehokasmallintaminenasettaauusiahaasteitalaskennallisenmeka-

niikannäkökulmasta.Tässätyössä käsitelläänkomposiittilaminaattirakenteidenmallin-

tamistaReissner-Mindlinlaattateorianavulla,jateoriaasovelletaanpaperinkupruiluun.

Osana tätä työtä on NumerolaOy:n Numerrin-ohjelmistoonlisätty tarvittavatelemen-

titja luotu paperin mallintamiseen soveltuva malli.

Aluksi muotoillaan klassisen laminaatioteorian mukainen matemaattinen malli, jossa

laattatehtäväkytketään tasoelastisuustehtävään konstitutiivisenyhteyden avulla.Edel-

leen johdetaan tehtävän heikko muoto, sekä osoitetaan tehtävä hyvin määritellyksi ja

stabiiliksi. Tehtävä ratkaistaan elementtimenetelmällä käyttäen laattatehtävälleMITC-

elementtejä, joiden konstruktio esitellään yksityiskohtaisesti, ja johdetaan a priori vir-

hearviot koko tehtävälle.

Lopuksi esitellään paperin mallintamiseen soveltuva materiaalimalli, joka ratkaistaan

käyttäen Numerrin-ohjelmistoa, sekä lasketaan muutamia numeerisia esimerkkejä. Tu-

loksiinperustuen komposiittilaattamallinvoidaantodeta soveltuvanvarsin hyvin pape-

rin mallintamiseen, ongelmaksi havaitaan muodostuvan kuitenkin ennenkaikkea tehtä-

vän laskennallinen vaativuus.

Sivumäärä: 55 Avainsanat:laminaatioteoria,komposiittilaminaatti,

elementtimenetelmä, kupruilu,MITC

Täytetään osastolla

Hyväksytty: Kirjasto:

(3)

Author: Juho Könnö

Department: Department of EngineeringPhysis and Mathematis

Major subjet: Theoretialand AppliedMehanis

Minor subjet: Mehanis of Materials

Title: FiniteElementAnalysis of Composite Laminates

Title in Finnish: Komposiittilaminaattien analyysielementtimenetelmällä

Chair: Mat-5 Mehanis

Supervisor: Professor Rolf Stenberg

Instrutor: Antti Niemistö,Dr.S.

Abstrat: Compositestruturesare nowadays veryommoninindustrialappliations,

and present awhole new hallengefrom the mathematial pointof view. In this thesis

we introdue a model based on the Reissner-Mindlin plate model and apply it to the

paper okling problem. As a part of the work the orresponding plate elements and

the mehanialmodelwereimplemented toNumerrin,anite elementsolverdeveloped

by Numerola Oy.

Firstthemathematialmodelbasedonlassiallaminationtheory(CLT)isintrodued,

whihinteronnetsthe plateequationswithaplane elastiityproblem. Nextthe prob-

lemisshown tobewell-dened andstable. Finallythe problemissolved withthe nite

element method using the MITC element family. The element families used are intro-

dued and ana priori error analysis isperformedfor the omposite plate problem.

Finallyamaterialmodelsuitableformodellingpaperisintroduedandsomenumerial

experiments are onduted with the Numerrin software. From the results one an de-

due that the model onsideredis well-suitedtothe modellingof okling, even though

some problems are reognizedregarding the eetiveness of omputation.

Number of pages: 55 Keywords: laminated omposite, CLT, okling,

nite element method,MITC

Department lls

Approved: Library ode:

(4)

Alkusanat

Tämän diplomityöntekeminenon ollut varsin opettavainen prosessikäytän-

nön toteutuksen ja teorian yhteenliittämisestä todellisen fysikaalisen ongel-

man käsittelyssä. Olen tehnyt diplomityön Teknillisen korkeakoulun mate-

matiikanlaitoksellasekä Jyväskylässä Numerola Oy:n palkollisena.

Haluan kiittää sekä valvojaani Rolf Stenbergiä että ohjaajaani Antti Nie-

mistöä pitkäjänteisestä ohjauksesta ja neuvoista matkan varrella. Erityinen

kiitos kuuluu myös Janne Martikaiselle suuresta avusta ohjelmointityön to-

teutuksen kanssa. Lisäksihaluankiittäämukavantyöilmapiirinmahdollista-

neita työkavereita sekä matematiikan laitoksellaettä Numerola Oy:ssä.

Erityisesti haluan vielä kiittää vanhempiani kannustuksesta ja tuesta koko

opintojeniajalta.

Espoo,24. lokakuuta2007

Juho Könnö

(5)

Sisältö

1 Johdanto 1

2 Anisotrooppi set materiaalit 3

2.1 Anisotrooppinen elastisuus . . . 3

2.2 Ortotrooppiset materiaalit . . . 4

3 Matemaattinen malli 6 3.1 Reissnerin-Mindlininlaattamalli . . . 6

3.2 Komposiittilaatankonstitutiiviset yhteydet . . . 7

3.3 Reissnerin-Mindlininmalli komposiittilaatalle . . . 9

3.3.1 Variaatiomuoto . . . 10

3.3.2 Reunaehtojen määrittäminen . . . 11

3.4 Ratkaisun olemassaolo . . . 12

3.5 Ratkaisun säännöllisyys . . . 17

3.5.1 Helmholtzinhajotelma leikkausvoimalle. . . 17

3.5.2 Säännöllisyys reunallaja sisäalueessa . . . 19

3.5.3 Kytketyn tehtävänsäännöllisyys . . . 21

4 Elementtimenetelmä MITC-elementeille 23 4.1 Laattatehtävän analyysi . . . 23

4.1.1 MITC-elementtiperhe . . . 23

4.1.2 Virhearviot MITC-elementeille. . . 26

4.2 Yhdistetyn mallinanalyysi . . . 37

5 Mallin sovellus paperiarkin kupruiluun 39 5.1 Orientaatioja anisotropia . . . 39

5.2 Materiaaliparametrien määrittäminen . . . 40

5.2.1 Kimmomoduli . . . 40

5.2.2 Poissoninluvut . . . 41

5.2.3 Liukumodulit . . . 43

5.3 Kosteuden aiheuttama muodonmuutos . . . 44

5.4 Reunaehtojenvalinta . . . 45

6 Mallin toteutus Numerrin-ohjelmistoon 46 6.1 Tensoreiden vektorinotaatio . . . 46

6.2 Numerrin-kielinenmalli. . . 48

6.3 Reunaehtojenvaikutus . . . 49

6.4 Verkon tiheys ja elementtiapproksimaation aste . . . 50

(6)

1 Johdanto

Vastoin yleistä mielikuvaa, laminoidut komposiittirakenteet ovat olleet tun-

nettuja jo antiikin ajoista. Vuonna 1837 löydettiin Gizan pyramidista noin

vuodelta2750eKr.[23℄peräisinolevauseistakerroksistalaminoituteräslevy,

myöhemminhistorioitsijaHomeros kirjoitti muistiin kuvauksen kulta-, tina-

japronssikerroksistalaminoidustakilvestä.Lähihistoriassakomposiittiraken-

teet ovat avanneet uusia mahdollisuuksia erityisesti avaruus- ja ilmailuteol-

lisuudessa. Nykyisin komposiittirakenteet ovatvallanneet alaa myösarkipäi-

väisemmissä sovelluskohteissaniidenpainoonsanähden hyväntaivutuskestä-

vyydenansiosta.Komposiittimalliavoidaansoveltaamuillekinmateriaaleille,

kutenesimerkiksipaperille,jokaperinteisestionolluthaastavamallinnettava

monimutkaisen kuiturakenteensa vuoksi.

Tutuinesimerkki laminaatista lieneetavallinen vaneri,jostakäy hyvin il-

mi laminaatilletyypillinenrakenne,jossa laatta jakautuu paksuussuunnassa

erilaiset elastiset ominaisuudet omaaviin kerroksiin. Tyypillisesti materiaa-

lit koostuvat tietyllä tavalla orientoituneista vetolujuudeltaan voimakkaista

kuiduista,jotkaovatheikommastamateriaalistavalmistetunmatriisinsisällä.

Erityisestikuitujenorientaatiotaerikerroksissamuuttamallavoidaansuures-

ti vaikuttaamateriaalinlujuuteenjuurihalutussa suunnassa, jolloinkompo-

siittimateriaalivoidaanoptimoidatietyllejännitysjakaumalle.Muita materi-

aalienvahvojapuoliaovathyväkosteudenjalämpötilanvaihteluidenkestose-

käusein hyväteristysominaisuudet. Lisäksikomposiiteistavoidaanpiezosäh-

köisten elementtien avulla luoda älymateriaaleja, jotka pystyvät sähköises-

ti vaimentamaanesimerkiksi tiettyjä värähtelyn ominaistaajuuksia. Toisaal-

takomposiittejavaivaatyyppillisesti huonoleikkausjännityksenkestolaatan

suuntaisia voimia vastaan. Edellämainituista syistäkomposiittimateriaaleis-

ta onkin viimevuosina tullut eräs laskennallisen mekaniikantutkituimmista

osa-alueista.

Tässä työssä tarkastellaan ensin yleistä klassista laminaatioteoriaa, jo-

ka yhdistetään paksuille laatoille soveltuvaan ja nykyisin varsin suosittuun

Reissnerin-Mindlininlaattamalliin.Laattamallikytketään tasoelastisuusteh-

tävään ja tämä yhdistetty tehtävä ratkaistaan elementtimenetelmän avul-

la. Erityisesti painotetaanReissnerin-Mindlininmallillekehitettyjen MITC-

elementtienvirheanalyysiä,sekäverkkostabiloinnintaikiertymänkuplamuo-

tojenavullasaavutettavaalukkiutumattomuusominaisuutta.Kytketylleteh-

tävälle esitetään a priori virhearvio, sekä näytetään että kytketty systee mi

on hyvin käyttäytyvä.

Lopuksimalliasovelletaanpaperiarkin kupruilunsimuloimiseenelement-

timenetelmän avulla, mikä on paperiteollisuudessa varsin mielenkiintoinen

(7)

nostuksen kohteena ovat paperin pinnan pienet muodonmuutokset paperin

kuivamisvaiheen aikana. Tässä työssä käytetään Teemu Leppäsen tuoretta

vuonna 2007 julkaistua materiaalimallia paperin mallintamiseen laattayhtä-

löidenavulla.Osana tätädiplomityötäpaperin komposiittilaattamallitoteu-

tuttiin Numerola Oy:n [18℄ Numerrin-ohjelmistoon, osa alustavasta työstä

tehtiin jo syksyn 2006 aikana ohjelmoimalla MITC-elementit ohjelmistoon.

Lisäksi tässä työssä esitetään muutamia mallilla laskettuja simulaatiotulok-

sia, joistaainakin kvalitatiivisesti saadaanalustava kuva paperin käyttäyty-

misestä.

(8)

2 Anisotrooppiset materiaalit

2.1 Anisotrooppinen elastisuus

Komposiittirakenteidenominaisuudetovatluonteenomaisestierisuuntiinvar-

sin erilaisia, jotenon tarpeen siirtyä isotrooppisista materiaalimalleista ani-

sotrooppisiin. Komposiittilaminaattien rakenneominaisuudet ovat useimmi-

ten ortotrooppisia,jolloinriippumattomien materiaaliparametrien määrä on

huomattavastipienempi kuin yleisessä anisotrooppisessa materiaalissa.

Jännitystensori

σ

määritellään tarkastelemalla Kuvan 1 esittämää in- nitesimaalista materiaalikappaletta, jonka sivujen pituudet ovat

dx

,

dy

ja

dz

.

σ

on toisen kertaluvun tensori, jonka komponentit

σ ij

kuvaavat akselia

e i

vastaan kohtisuorassa olevaan tahkoon kohdistuvaa akselin

e j

suuntaista

jännitystä. Tahkoa vastaan kohtisuorassa olevia jännityskomponentteja

σ ii

kutsutaan normaalijännityksiksi ja muita komponentteja

σ ij

leikkausjänni- tyksiksi.

Kuva 1: Jännitysten määrittely kontrollitilavuudella

dxdydz

.

Venymätensori

ε

kuvaa kappaleen muodonmuutosta jännityksen alaise- na. Komponentit

ǫ ii

kuvaavat referenssitilavuuden

dxdydz

sivujen pituuk-

sien muutoksia vastaavien pääjännitysten suuntaan, komponentit

ǫ ij = γ 2 ij

,

joille

i 6 = j

kuvaavatreferenssitilavuuden kulmienmuutoksiasuorakulmiosta suunnikassärmiöksi, missä

γ ij

ontodellinenliukukulma.

Seuraavaluonnollinenaskelonjohtaayhteysvenymien ja jännitystenvä-

lille.Yksinkertaisintapausonlineaarinenmateriaalimallielikolmiulotteinen

Hooken laki. Koska sekä venymät että jännitykset ovat toisen kertaluvun

tensorisuureita, voidaanmateriaalimalliesittääneljännenkertaluvunkonsti-

tutiivisen tensorin

C ijkl

avulla1,

1

(9)

σ ij = C ijkl ǫ kl .

(2.1)

Yleisessäkolmiulotteisessatapauksess akonstitutiivisellatensorillaonsiis

3 4 = 81

komponenttia, mutta koska sekä jännitys- että venymätensori ovat symmetrisiä [9℄, pätee määritelmän (2.1) perusteella konstitutiiviselle ten-

sorille

C ijkl = C jikl = C ijlk

. Täten vapaita materiaaliparametreja on enää

6 × 6 = 36

kappaletta. Jos lisäksi oletetaan, että muodonmuutosenergia

W = 1 2 σ ij ǫ ij = 1 2 ε : C : ε

onhyvin määritelty2, täytyy päteä

∂W

∂ǫ ij

= C ijkl ǫ kl .

(2.2)

Tensorilaskennasta muistetaan, että (2.2) päteeainoastaan, mikälitensorille

C

pätee

C ijkl = C klij

.Tätenriippumattomienkomponenttienmääräyleiselle anisotrooppisllemateriaalilleputoaa lopulta21:een kappaleeseen.

2.2 Ortotrooppiset materiaalit

Useimmat käytännön komposiittimateriaalit eivät onneksi ole täysin aniso-

trooppisia,vaan niissäonvoimakkaitatiettyjenakselien suuntaisia symmet-

rioitaelastistenominaisuuksiensuhteen.Useimmitenmateriaaleillaonkolme

keskenäänkohtisuoraasymmetria-akselia,jolloinmateriaaliakutsutaanorto-

gonaalisestianisotrooppiseksi,tailyhyemminortotrooppiseksi.Tarkastellaan

ensin materiaalinyhtä symmetriatasoakarteesisissa koordinaateissa.

ϕ

x 1

x 2

x 1

x 2

Kuva 2:Yhden symmetriatason tapaus.

OlkoonKuvan2

(x 1 , x 2 )

-tasomateriaalinelastistenominaisuuksiensym- metriataso. Tällöin konstitutiivisen tensorin tulee pysyä invarianttina pei-

lauksessa

x 3 → − x 3

. Tämänkuvauks en Jaobinmatriisi

T

on

2

Merkitäänkahdenindeksinkontraktiota

a ij b ij = a : b

.

(10)

T =

 

1 0 0 0 1 0 0 0 − 1

 

 .

(2.3)

Sekä venymä- että jännitystensoreille pätee koordinaatistomuunnos

ǫ ij = T ik T jl ǫ kl , σ ij = T ik T jl σ kl .

(2.4)

Täten siis pätee

ǫ ij = ǫ ij

ja

σ ij = σ ij

kun

i, j = 1, 2

tai

i = j = 3

. Toisaalta

pätee

ǫ 13 = − ǫ 13

ja

σ 13 = − σ 13

sekä

ǫ 23 = − ǫ 23

ja

σ 23 = − σ 23

. Käyttämällä nyt konstitutiivista yhteyttä (2.1) esimerkiksi jännitykseen

σ 23

,saadaan

σ 23 = C 2311 ǫ 11 + 2C 2312 ǫ 12 + 2C 2313 ǫ 13 + C 2322 ǫ 22 + 2C 2323 ǫ 23 + C 2333 ǫ 33 σ 23 = C 2311 ǫ 11 + 2C 2312 ǫ 12 + 2C 2313 ǫ 13 + C 2322 ǫ 22 + 2C 2323 ǫ 23 + C 2333 ǫ 33

Vertaamallalausekkeita ja ottamallahuomioonkoordinaatistomuunnok-

sen merkinvaihdot, nähdään että pätee

C 2311 = C 2312 = C 2322 = C 2333 = 0

.

Vastaavastijännitystä

σ 13

vertaamallasaadaantulos

C 1311 = C 1312 = C 1322 = C 1333 = 0

. Anisotrooppisenmateriaalitensorin21riippumatontakomponent- tiavähenevätsiiskahdeksalla,jotenyhden symmetriatasontapauksessa riip-

pumattomiakomponenttejaon 13kappaletta.

Ortotrooppisellamateriaalillaonkolmetoisiaanvastenkohtisuorassa ole-

vaa symmetriatasoa, joten suorittamalla vastaava tarkastelu myös

x 1

ja

x 2

-suunnissa, päädytään tulokseen

C 1211 = C 1222 = C 1233 = C 2313 = 0

. Tä-

ten ortotrooppisellamateriaalillaonyhteensä yhdeksänriippumatontakons-

titutiivisen tensorinkomponenttia:

C 1111 , C 1122 , C 1133 , C 2222 , C 2233 , C 3333

sekä

C 1212 , C 1313

ja

C 2323

.

Ortotrooppisen laatan tapauksess a ei oletuksen mukaan tapahdu muo-

donmuutosta laatan paksuussuunnassa, joten

C 1133 = C 2233 = C 3333 = 0

ja

jäljellejäävät kuusi riippumatontakomponenttia voidaan kirjoittaa materi-

aalivakioiden

E 1 , E 2 , µ 12 , µ 21

sekä

G 12 , G 23

ja

G 31

avullamuotoon[10℄

C 1111 = E 1

1 − µ 12 µ 21

, C 1212 = G 12 , C 2222 = E 2

1 − µ 12 µ 21 , C 2323 = G 23 , C 1122 = µ 12 E 2

1 − µ 12 µ 21

, C 3131 = G 31 .

(11)

3 Matemaattinen malli

Komposiittilaattamalli eroaa jonkin verran normaalista laattamallista, sillä

siinä joudutaan lisäksi huomioimaan tason suuntaiset siirtymät, jolloin rat-

kaistava tehtävä itse asiassa koostuu kytkety istä laatta- ja levytehtävistä.

Tässä työssä käytetyssä mallissa laattatehtäväperustuu Reissnerin ja Mind-

lininkinemaattisiinoletuksiin. Lisäksi tullaanosoittamaan, että mikälisekä

laatta-että levytehtävällekäytetääntunnettuja hyvin käyttäytyviä menetel-

miä, onmyöskytketty tehtävä hyvinmääritelty.Lisäksilaatta-ja levytehtä-

vänsuppenemisominaisuudet periytyvätmyös kytketylle tehtävälle.

3.1 Reissnerin-Mindlinin laattamalli

Koska komposiittilaatoissa leikkausjännityksetvaikuttavatvarsin huomatta-

vastilaatan jäykkyyteen, on luonnollista käyttää leikkausjännitykset ensim-

mäisenasteenapproksimaationahuomioivaaReissnerin-Mindlininlaattamal-

lia. Laattamallinklassiset kinemaattiset oletukset ovat [21℄

(i) Laatankeskiviivaan nähdenkohtisuorassa olevatjanatpysyvätsuorina

(ii) Pystysuuntainen siirtymä eiriipu

x 3

-koordinaatista (iii) Keskiviivanpisteet liikkuvat vain

x 3

-suunnassa

(iv) Normaalijännitys

σ 33

häviää

β

∂w

∂x

Kuva3:TaipumanderivaatanjakiertymäneroavaisuusReissner-Mindlinlaa-

tan poikkileikkauksessa.

KiertymänmerkitystäonhavainnollistettuKuvassa3.Oletustenalaisuudessa

kokonaisvenymän jakiertymien

β

sekä pystysiirtymän

w

välilläpätevät seu-

raavatyhteydet,missä

ε

onlineaarinenjännitystensori

ε(u) = 1 2 ( ∇ u + ∇ u T )

ja merkitään lisäksi

z := x 3

,jolloin[19℄

(12)

ǫ αβ = zǫ αβ (β), ǫ 3α = ∂w

∂x α − β α , ǫ 33 = 0.

Kutenedellämainittiin,komposiittilaattojentapauksess a joudutaanluo-

pumaanoletuksesta(iii)jatasosiirtymätotetaanhuomioonkytkemällälaatta-

ja levytehtävät. Tällöin kinemaattiset olettamukset säilyvät muuten ennal-

laan,muttatasonsuuntaisissavenymissätäytyyhuomioidalevytilansiirtymä

u

,jolloinvenymillesaadaan lausekkeet [19℄

ǫ αβ = ǫ αβ (u) + zǫ αβ (β), ǫ 3α = γ (w, β) := ∂w

∂x α − β α , ǫ 33 = 0.

3.2 Komposiittilaatan konstitutiiviset yhteydet

Koska laatta on tasojännitystilassa, voidaan voidaan kalvotilan voimaresul-

tantit

N = N αβ

ja taivutusmomenttiresultantit

M = M αβ

määrittää in-

tegroimalla ensin kunkin laminaatin paksuuden yli ja sitten summaamalla

täten saadut

n

kerroskohtaista voima- ja momenttiresultanttia. Samalla ta- voin lasketaan myös leikkausvoiman resultantit

S = S α

, jolloin tulokseksi

saadaan

N αβ = Z t/2

− t/2

σ αβ dz = X n

k=1

Z z k

z k− 1

σ αβ dz,

(3.1)

M αβ = Z t/2

− t/2

σ αβ zdz = X n

k=1

Z z k

z k − 1

σ αβ zdz,

(3.2)

S α = Z t/2

− t/2

σ 3α dz = X n

k=1

Z z k

z k− 1

σ 3α dz.

(3.3)

Käyttämällä seuraavaksi konstitutiivista yhteyttä (2.1) sekä yllämainit-

tujakomposiittilaattamallinkinemaattisiaoletuksia,saadaanvoimaresultan-

tit (3.1) ja (3.2) muotoon

(13)

N αβ = X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδγδ (u) + zǫ γδ (β))dz

= X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ dz

!

ǫ γδ (u) + X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ zdz

! ǫ γδ (β)

M αβ = X n

k=1

Z z k

z k − 1

C αβγδ (ǫ γδ (u) + zǫ γδ (β))zdz

= X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ zdz

!

ǫ γδ (u) + X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ z 2 dz

! ǫ γδ (β)

Täten Reissner-Mindlin laattamalliin perustuvalle komposiittilaattamal-

lille saadaan seuraavat voimaresultantit, joissa siis

ε(u)

on kalvotilan line-

aarinen venymä,

ε(β)

keskipinnan kaarevuus ja

γ(w, β)

laatan normaalien

liukuma.

N = A : ε(u) + B : ε(β),

(3.4)

M = B : ε(u) + D : ε(β),

(3.5)

S = A · γ(w, β).

(3.6)

Yhtälöissäneljännenkertaluvuntensorit

A, B, D

sekätoisenkertaluvunten-

sori

A

on määritelty

A αβγδ =

X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ dz = X n

k=1

(z k − z k 1 )C αβγδ k ,

(3.7)

B αβγδ = X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ zdz = 1 2

X n

k=1

(z 2 k − z 2 k 1 )C αβγδ k ,

(3.8)

D αβγδ = X n

k=1

Z z k

z k− 1

C αβγδ z 2 dz = 1 3

X n

k=1

(z k 3 − z k 3 1 )C αβγδ k ,

(3.9)

A αβ = X n

k=1

Z z k

z k− 1

C 3α3β dz = X n

k=1

(z k − z k − 1 )C 3α3β k ,

(3.10)

missä

C k

on kunkin laminaatin konstitutiivinen tensori ilmaistuna laatan pääkoordinaateissaja

n

laminaattien lukumäärä.Lisäksi jokainen

C k

olete-

taan

z

-suunnassa vakioksi. Tyypillinen komposiittilaattaon esitetty Kuvas-

(14)

z z k+1

z k− 1

g f

z y x

z k

Kuva 4: Komposiittilaatankaavakuva ja laminaattirakenne.

3.3 Reissnerin-Mindlinin malli komposiittilaatall e

Kun resultanttivoimasuureet on nyt ilmaistu venymien avulla, saadaan laa-

tan kokonaisenergia kertomalla jokaista voimasuuretta vastaavalla venymä-

suureella ja integroimallakokolaatanalueen ylitse.Tätenkomposiittilaatan

fysikaaliseksi kokonaisenergiaksi

Π

tulee ylläolevilla merkinnöillä

Π(u, w, β) = 1 2

Z

N : ε(u)dΩ + 1 2

Z

M : ε(β)dΩ + 1

2 Z

S · γ(w, β)dΩ − Z

f · udΩ − Z

gwdΩ − Z

G · βdΩ,

(3.11)

missä

f

onkalvotilaan liittyvä kuormafunktiolaatan tasossa,

G

laatan mo-

menttikuormitusja

g

pystysuora laattatilaan liittyvä kuormitus.Kun tähän sijoitetaanresultantit(3.4)(3.6),päädytäänlopultaainoastaansiirtymäsuu-

reiden avulla ilmaistuun lineaarisen mallinenergiaan [10℄

Π(u, w, β) = 1 2

Z

ε(u) : A: ε(u)dΩ + Z

ε(u) : B : ε(β)dΩ

(3.12)

+ 1

2 Z

ε(β) : D : ε(β)dΩ + 1 2

Z

γ (w, β) · A · γ(w, β)dΩ

− Z

f · udΩ − Z

gwdΩ − Z

G · βdΩ,

josta pystytään tunnistamaan toiselta riviltä perinteisen Reissner-Mindlin

(15)

tehtävättoisiinsakytkevä termi. Energianlausekkees ta siis huomataan heti,

että komposiittilaatassa myös pelkkä pystysuuntainen kuormitus aiheuttaa

välittömästitasosiirtymiä,toisin kuinisotrooppisessa laatassa.

Virheanalyysiavarten määritelläänseuraava laatan paksuudella skaalat-

tuenergia,jollekomposiittilaatanvirheanalyysisaadaanyksinkertaisempaan

muotoon.

Määritelmä 3.1. Skaalataanmuttujat, konsitutiiviset tensorit sekäkuormi-

tukset siten, että

 

 

 

 

u → 1 t u, β → β, w → w

,

 

 

 

 

 

 

A → 1 t A, B → t 1 2 B, D → t 1 3 D, A 1 t A

,

 

 

 

 

f → t 1 2 f , g → t 1 3 g, G → t 1 3 G

.

(3.13)

Sijoittamallauudetmuuttujatfysikaalisenkokonaisenergianlausekkeeseen (3.12)

ja skaalaamalla energiaa termillä

t 3

saadaan skaalatulle energialle uusien

muuttujien ja skaalattujen tensoreiden avulla lauseke

Π(u, w, β) = 1 2

Z

ε(u) : A : ε(u)dΩ + Z

ε(u) : B : ε(β)dΩ

(3.14)

+ 1

2 Z

ε(β) : D : ε(β)dΩ + 1 2t 2

Z

γ(w, β) · A · γ(w, β)dΩ

− Z

f · udΩ − Z

gwdΩ − Z

G · βdΩ,

3.3.1 Variaatiomuoto

Kokonaisenergian minimointia vastaava variaatiomuotosaadaan varioimalla

lauseketta (3.14) sekä kalvotila- että laattamuuttujien suhteen, jolloin vari-

aatiotehtäväksisaadaan

Tehtävä 3.2. Etsi

(u, w, β) ∈ U × W × V

siten, että

∀ (v, ν, η) ∈ U × W × V

pätee

 

 

 

 

(A: ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β)) = (f , v), (B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η))

+t 2 (A · γ(w, β), γ(ν, η)) = (g, ν) + (G, η),

(16)

missä variaatioavaruudet ovat

U × W × V ⊂ [H 1 (Ω)] 2 × H 1 (Ω) × [H 1 (Ω)] 2

.

Virheanalyysiä varten voidaan laattatehtävä muotoilla myös sekaelementti-

formulaatiossa, kun käsitelläänleikkausvoimaa

q = t 2 A · γ(w, β)

(3.15)

riippumattomanamuuttujana. Tällöin tehtävä tulee muotoon

Tehtävä3.3. Etsi

(u, w, β, q) ∈ U × W × V × Γ

siten,ettäkaikilla

(v, ν, η, s) ∈ U × W × V × Γ

pätee

 

 

 

 

(A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β)) = (f, v),

(B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η)) + (q, γ(ν, η)) = (g, ν) + (G, η), t 2 (A ∗− 1 q, s) + (γ(w, β), s) = 0,

(3.16)

missä

U × W × V × Γ ⊂ [H 1 (Ω)] 2 × H 1 (Ω) × [H 1 (Ω)] 2 × [L 2 (Ω)] 2

.

3.3.2 Reunaehtojen määrittäminen

Olennainen osa tehtävää on reunaehtojen määrittäminen. Ensinnäkin laat-

tatehtävässä on jokaisella reunalla määrättävissä kiertymän

β

molempien

komponenttien sekätaipuman

w

arvo.Taipumavoidaanekvivalentistijakaa myös reunannormaalinja tangentin suuntaisiin komponentteihin

β n

ja

β τ

.

Tarkastellaan ensin laattatehtävälle asetettavia reunaehtoja. Kiertymien

ja taipumanarvoja yhdistelemälläsaadaanseuraavatviisifysikaalisestimer-

kityksellistäreunaehtoa.

(i) Jäykästi tuetussa ( engl. lamped) reunaehdossa kiinnitetään reunalla

sekä taipuman

w

että molempienkiertymäkomponenttien

β n

ja

β τ

ar-

vot.Tällöinlaatankaikki liike reunallaonestetty.

(ii) Pehmeässä jäykästi tuetussa ( engl. soft lamped) reunaehdossa kiin-

nitetään ainoastaan

w

ja kiertymäkomponentti

β n

. Tällöin laatta ei

pääse kiertymään tuenpäällä, muttatuen suuntaistaleikkausmuodon-

muutosta eiole rajoitettu.

(iii) Yksinkertaisesti tuetussa ( engl. simply supported) vain taipuman ar-

vo

w

kiinnitetään reunalla. Tämä vastaa fysikaalista tilannetta jossa laatta pääseevapaasti kiertymään tuenpäälläja tuensuuntainenleik-

(17)

(iv) Kovassa yksinkertaisesti tuetussa ( engl. hard simply supported) reu-

naehdossa kiinnitetään taipuman

w

lisäksi kiertymä

β τ

, jolloin laatta

pääsee edelleen vapaasti kiertymään tuen päällä, mutta tuen suuntai-

nen leikkausmuodonmuutoson estetty.

(v) Vapaassareunaehdossa siirtymiäei rajoiteta mitenkään.

Tasoelastisuustehtävän osalta voidaan kullakin reunan osalla kiinnittää

u

:n kumpikin komponentti erikseen, tai ekvivalentisti jakaa

u

tangentiaali- ja normaalikomponentteihin

u τ

ja

u n

. Molempienkomponenttien kiinnittä- minenvastaajäykkääkiinnitystä,jolloinmuodonmuutosonestetty reunalla.

Pelkännormaalikomponentinkiinnittäminenvastaafysikaalisestiliukutukea,

tangentiaalikomponentintaasen rullatuentaa.

3.4 Ratkaisun olemassaolo

Tässä kappaleessa näytetään, että yhdistetylle mallille löytyy ratkaisu joka

on yksikäsitteinen riippumatta laatan kokonaispaksuudesta

t

, mikäli laatta

on jäykästi tuettu ja tasosiirtymät estetty reunalla. Jatkossa oletetaan vir-

heanalyysissä aina nämä reunaehdot. Avuksi tarvitaan sekä Kornin epäyh-

tälöä että Lax-Milgramin lemmaa, jotka muotoillaan seuraavaksi lyhyesti.

Sobolev-avaruuden alkiolle

f ∈ H m (Ω)

käytetään Sobolev-normeja

k f k 2 m = X

| α |≤ m

k ∂ α f k 2 0 ,

missä

α

on multi-indeksi ja

k · k 0

normaali

L 2 (Ω)

-normi. Vastaavasti vekto- reilleja tensoreille käytetään ylläolevia normejakomponenteittain.

Lause 3.4 (Lax-Milgram lemma). Olkoon

V

Hilbertin avaruus,

a( · , · ) : V × V → R

jatkuva

V

-elliptinen bilineaarimuoto ja

L : V → R

rajoitettu

lineaarinen funktionaali.Tällöin löytyyyksikäsitteinen

u ∈ V

, joka ratkaisee

variaatiotehtävän

a(u, v) = L(v), ∀ v ∈ V.

(3.17)

Todistus. Lauseentodistus löytyy esimerkiksi viitteestä [6℄.

Toinenvälttämätönapuväline elastisuustehtäväntutkimisessa onKornin

epäyhtälö,jokakarkeasti sanottuna merkitsee,ettägradientinnormi riippuu

oleellisestivaingradientinsymmetrisestäosasta,mikälijäykänkappaleenliike

on estetty. Epäyhtälön todistus yleisessä tapauksessa on kuitenkin varsin

hankalaa,eikäsiihenpaneudutatässätyössä.Seuraavassamuotoiltuaversiota

(18)

Lause 3.5 (Kornin epäyhtälö). Olkoon

Ω ∈ R 3

avoin ja rajoitettu jouk-

ko, jonka reuna on paloittain sileä. Oletetaan lisäksi että

Γ 0 ⊂ ∂Ω

on ei-

nollamitallinenjoukko, jolla onmäärätty nollareunaehdot.Tällöinlöytyyva-

kio

C = C(Ω, Γ 0 )

siten, että pätee

Z

ε(v) : ε(v)dΩ ≥ C k v k 2 1 , ∀ v ∈ [H Γ 1 0 (Ω)] 3 .

(3.18)

Näytetään seuraavaksi, että Tehtävä 3.3 on elliptinen sekä kalvo- että

laattamuuttujien suhteen. Tätä varten tarvitaanseuraava tulos:

Lemma 3.6. On olemassa positiiviset vakiot

C 1 , C 2

siten, että jokaiselle

symmetriselle tensorille

τ , σ ∈ [L 2 (Ω)] 4

pätee

C 1 ( k τ k 2 0 + k σ k 2 0 ) ≤ (A: τ , τ ) + 2(B : τ , σ) + (D : σ, σ) ≤ C 2 ( k τ k 2 0 + k σ k 2 0 ),

(3.19)

missä

A, B, D

ovat edellä määritellyt skaalatut tensorit ja oletetaan, että konstitutiivinen tensori

C ∈ [L 2 (Ω)] 4 × 4

.

Todistus. Kirjoitetaanensinarvioitavalausekeformaalinamatriisitulonajol-

loinottaen huomioon

B

:n symmetrisyys päätee

(A : τ , τ ) + 2(B : τ , σ) + (D : σ, σ) = h τ σ

i "

A B B D

# "

τ σ

#

,

(3.20)

missä

"

A B B D

#

= X n

k=1

"

A k B k B k D k

# .

Tällöinsiislemmanväitepätee,mikälikerroinmatriisionrajoitettujapo-

sitiivideniitti.Tarkastellaanyhteenlaminaattikerrokseenliittyväämatriisia

ja kirjoitetaanse kahden matriisintulona määritelmien (3.7)(3.9) ja (3.13)

avullamuotoon

"

A k B k B k D k

#

=

"

1

t (z k − z k − 1 ) 2t 1 2 (z k 2 − z k 2 1 )

1

2t 2 (z k 2 − z k 2 1 ) 3t 1 3 (z k 3 − z k 3 1 )

# "

C k 0 0 C k

#

(3.21)

Näiden matriisien tulo selvästi kommutoi, sillä toinen on lohkodiagonaali-

matriisi, jotensymmetrisyys ja positiivideniittisyys pätee tulolle,mikälise

pätee kummallekin matriisille erikseen. Koska tensori

C k

on oletuksen mu-

kaansymmetrinenjapositiivideniitti,riittäätarkastellaominaisarvojasym-

metriselle

2 × 2

matriisille

(19)

R k :=

"

1

t (z k − z k − 1 ) 2t 1 2 (z k 2 − z k 2 1 )

1

2t 2 (z k 2 − z k 2 1 ) 3t 1 3 (z k 3 − z k 3 1 )

#

.

(3.22)

Ominaisarvot saadaan

2 × 2

matriisilleyhteyksistä[8℄

λ 1 (R k ) = tr(R k )

2 1 −

s

1 − 4 det(R k ) tr(R k ) 2

! ,

λ 2 (R k ) = tr(R k )

2 1 +

s

1 − 4 det(R k ) tr(R k ) 2

! ,

missä invariantit ovat matriisindeterminantti ja jälki

det(R k ) = 1

3t 4 (z k 3 − z k 3 1 )(z k − z k − 1 ) − 1

4t 4 (z k 2 − z k 2 1 ) 2 = 1

12t 4 (z k − z k − 1 ) 4 , tr(R k ) = 1

t (z k − z k − 1 ) + 1

3t 3 (z k 3 − z k 3 1 ).

Merkitään laminaatinpaksuutta

h k = z k − z k − 1

.Determinantillepätee

det(R k ) = h 4 k 12t 4 > 0

ja vastaavasti jäljelle

tr(R k ) ≥ 1

t (z k − z k − 1 ) = h k

t > 0,

mistä seuraa, että ominaisarvotovatreaaliset ja positiiviset, sillä

0 < 4 det(R k ) tr(R k ) 2 ≤ h 2 k

3t 2 < 1.

Lisäksi kaikilla

k

pätee

z k ∈ [t/2, − t/2]

, jotenjäljellepätee arvio

tr(R k ) ≤ h k

t + 1 3t 3 (( t

2 ) 3 − ( − t

2 ) 3 ) ≤ 13 12 .

Ominaisarvotovatmyösrajoitetuteivätkäne riipulaatanpaksuudesta.Kos-

kajokaista laminaattikerrostavastaavamatriisionsymmetrinenja positiivi-

deniitti,onmyösnämäsummaamallasaatukokokomposiittilaatanmatriisi

symmetrinen ja positiivideniitti, jotenväite pätee.

(20)

Sijoittamallatulokseenmuuttujia

u

ja

β

vastaavatvenymätensorit ja so- veltamalla Kornin epäyhtälöä (3.5) molemmille muuttujille saadaan tehtä-

välleelliptisyystulos

C( k u k 2 1 + k β k 2 1 ) ≤ (A : ε(u), ε(u)) + 2(B : ε(u), ε(β))

(3.23)

+ (D : ε(β), ε(β)),

missä vakio

C

eiriipulaatan paksuudesta

t

.Edellistenlauseiden avullanäy-

tetään nyt ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys hyödyntämällä satula-

pistetehtävillekehitettyä Brezzin ja Babuskan teoriaa[4℄.Määritelläänvielä

avaruus

H 1 (div, Ω)

seuraavasti

H 1 (div, Ω) = { q ∈ [H 1 (Ω)] 2 | div q ∈ H 1 (Ω) } .

Lause 3.7 (Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys) . Jokaisella kiinnite-

tyllälaatanpaksuudella

t

tehtävällä (3.3)onratkaisu

(u, w, β, q) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2 × [L 2 (Ω)] 2

Todistus. Määritellään bilineaarimuoto

Υ

ja lineaariset operaattorit

B

ja

L Υ(u, v; β, η) = (A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β))

+ (B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η)) L(v, ν, η) = (f , v) + (g, ν) + (G, η)

B (w, β; q) = (γ(w, β), q)

jakirjoitetaantehtävänsekaformulaatioseuraavaanmuotoon:etsi

(u, w, β, q) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2 × [L 2 (Ω)] 2

siten,että

∀ (v, ν, η, s) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2 × [L 2 (Ω)] 2

pätee

Υ(u, v; β, η) + B (ν, η; q) = L(v, ν, η), t 2 A ∗− 1 (q, s) + B (w, β; s) = 0.

(3.24)

Eliminoimallatästä leikkausvoimapäästään siirtymiensuhteen kirjoitettuun

tehtävään:etsi

(u, w, β) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2

siten,että

∀ (v, ν, η) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2

pätee

Υ(u, v; β, η) + 1

t 2 (A γ (w, β), γ(ν, η)) = L(v, ν, η).

Tensori

A

onsymmetrinenjapositiivideniitti,silläominaisuusseuraasuo- raankonstitutiivisentensorin

C

positiivideniittisyydestätestaamallatenso- rilla

τ

, jolle

τ 3α3β 6 = 0

ja muulloin

τ = 0

. Tensorin

A

positiivideniittisyy- den perusteella koko vasen puoli on siis koersiivinen jokaiselle

t > 0

, jolloin

(21)

Myös leikkausvoiman osalta ratkaisu onolemassa ja yksikäsitteinen. Tä-

mähavaitaantarkastelemallayhtälöryhmän(3.24)viimeistäriviä,jostanäh-

dään että kyseessä on elliptinen tehtävä avaruudessa

Γ

, sillä

A

:n symmet-

risyyden ja positiivideniittisyyden perusteella

∀ q ∈ Γ

on olemassa vakio

C > 0

siten, että

t 2 (A ∗− 1 q, q) ≥ Ct 2 k q k 2 0 .

Tapauksessa

t → 0

leikkausvoimansäännöllisyyttähäviää,jolloinrajata- pauksessa sekaformulaatiosta saadaanKirhhonlaattamalliavastaavateh-

tävä: etsi

(u, w, β, q) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2 × H 1 (div, Ω)

siten,

että

∀ (v, ν, η, s) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2 × H 1 (div, Ω)

pätee

Υ(u, v; β, η) + B (ν, η; q) = L(v, ν, η) B (w, β; s) = 0.

Välittömästinähdään,että kyseessäonsatulapistetehtäväsiirtymien jaleik-

kausvoimansuhteen.Ratkaisun olemassaoloonvaaditaantällöin[4℄bilineaa-

rimuodon

Υ

elliptisyys operaattorin

B

nolla-avaruudessa,

Ker B = { (ν, η) ∈ H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2 | ( ∇ ν − η, s) = 0, ∀ s ∈ H 1 (div, Ω) } .

Koska

∇ ν − η ∈ H 1 (div, Ω)

jalisäksiPoinarén epäyhtälöonvoimassakun

taipuma kiinnitetään jollakin reunan osalla

Γ 0

, on olemassa vakio

C

siten,

että kun

(ν, η) ∈ Ker B

pätee

k ν k 1 ≤ | ν | 1 = k∇ ν k 0

≤ k η − ∇ ν k 0 + k η k 0 = k η k 0

≤ C k η k 1 .

Ottamallalisäksihuomioonepäyhtälö(3.23),on

Υ

elliptinenkaikkiensiirty-

mämuuttujien suhteen

B

:nnolla-avaruudessa, elilöytyy vakio

C

siten, että

Υ(v, v; η, η) ≥ C( k v k 2 1 + k η k 2 1 + k ν k 2 1 ).

(3.25)

Toinen välttämätön ja riittävä ehto on niin kutsuttu Babuska-Brezzi -

stabiilisuusehto[4℄:

sup

(ν,η) ∈ H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2

( ∇ ν − η, s)

k ν k 1 + k η k 1 ≥ C k s k H 1 (div,Ω)

(22)

sup

(ν,η) ∈ H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2

( ∇ ν − η, s) k ν k 1 + k η k 1

≥ sup

(ν,η) ∈ H 0 1 (Ω) × [H 0 1 (Ω)] 2

(C 1

(ν, div s) k ν k 1 + C 2

(η, s) k η k 1 )

= C 1 k s k − 1 + C 2 k div s k − 1

≥ C k s k H 1 (div,Ω) .

Kun nämäehdotovatvoimassa,myösratkaisunyksikäsitteisyysrajatapauk-

sessa

t → 0

seuraa suoraan satulapisteteoriasta.

3.5 Ratkaisun säännöllisyys

Komposiittilaattatehtävänsäännöllisyysestimaattien haastavaosa onlaatta-

tehtävän säännöllisyyden määrittäminen, missä tarvitaan avuksi muutamia

matemaattisia apuvälineitä. Tasoelastisuustehtävän säännöllisyys onepätri-

viaali seuraus biharmonisen ja Stokesin tehtävän säännöllisyysominaisuuk-

sista.

3.5.1 Helmholtzin hajotelma leikkausvoimalle

Aluksi esitetään

L 2 (Ω)

ja

H 1 (div, Ω)

-funktioilleniinkutsuttuHelmholtzin hajotelma, jonka avulla ne voidaan kirjoittaa gradientin ja roottorin sum-

mana tietyistä funktioista [4℄. Roottori on nyt määritelty skalaariarvoiselle

suureelle

p

siten, että

rot p = (∂ 2 p, − ∂ 1 p).

Lause 3.8(Helmholtzinhajotelma).Olkoon

q ∈ H 1 (div, Ω)

. Tällöinlöytyy

yksikäsitteiset

ψ ∈ H 0 1 (Ω)

ja

p ∈ L 2 (Ω)/ R

siten, että pätee

q = ∇ ψ + rot p

k q k 2 H 1 (div,Ω) = k ψ k 2 1 + k p k 2 0 .

(3.26)

Todistus. Ottamalla (3.26):nensimmäisestä yhtälöstä divergenssi puolittain

ja huomioimalla,että

div q ∈ H 1 (Ω)

saadaan

div q = div ∇ ψ + div rot p = ∆ψ ⇔

( ∇ ψ, ∇ v) = (q, ∇ v ) ∀ v ∈ H 0 1 (Ω).

(23)

Koska

q ∈ H 1 (div, Ω)

, on

ψ

tämän Poissonin tehtävän yksikäsitteinen rat- kaisu. Lisäksi

div (q − ∇ ψ) = 0

. Koska divergenssitön funktio voidaan aina kirjoittaa roottorin avulla, pätee

q − ∇ ψ = rot p

, missä

p ∈ L 2 / R

. Kos-

ka

div rot p = 0

mielivaltaisella

p

, ovat hajotelman osat sisätulon suhteen

ortogonaaliset,jolloin normiestimaattipätee.

Vastaavasti viitteen [4℄ perusteella kun

q ∈ [L 2 (Ω)] 2

löytyy Helmholtzin hajotelmasiten,että

(ψ, p) ∈ H 1 (Ω) × [H 1 (Ω) ∩ L 2 0 (Ω)]

.Helmholtzinhajotel- manavullavoimmetodistaalopultakokotehtävälleseuraavansäännöllisyys-

estimaatin seuraten laattatehtävän osalta viitteen [15℄ esitystä. Sovelletaan

siis Helmholtzinhajotelmaa leikkausvoimalle

q = ∇ ψ + rot p,

(3.27)

ja vastaavalle testifuktiolle

s = ∇ ϕ + rot q.

(3.28)

Tällöinsijoittamalla lausekkeet tehtävään (3.24) ja huomioimallaedellämai-

nittu ortogonaalisuus

( ∇ ψ, rot p) = 0,

saadaanekvivalenttitehtävä,jokasisältääkolmekytkettyätehtävää. Ensim-

mäinenyhtälöontavallinenPoissonintehtävä,samoinkuinviimeinenkahden

keskimmäisen yhtälön muodostaessa Stokesin tehtävää muistuttavan tehtä-

vän. Merkitään

a(β, η) = (D : ε(β), ε(η))

, jolloin laattatehtävälle saadaan muoto

Tehtävä3.9. Etsi

(β, w, ψ, p) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × H 0 1 (Ω) × [H 1 (Ω) ∩ L 2 0 (Ω)]

siten, että pätee

 

 

 

 

 

 

( ∇ ψ, ∇ ν) = (g, ν) ∀ ν ∈ H 0 1 (Ω), a(β, η) − (rot p, η) = ( ∇ ψ, η) + (G, η) ∀ η ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 ,

t 2 A ∗− 1 (rot p, rot q) = (rot q, β) ∀ q ∈ [H 1 (Ω) ∩ L 2 0 (Ω)], ( ∇ ϕ, ∇ w) = ( ∇ ϕ, β) − t 2 A ∗− 1 ( ∇ ψ, ∇ ϕ) ∀ ϕ ∈ H 0 1 (Ω),

(3.29)

missä voima

g

on laatan poikittaissuuntaista kuormitusta vastaava voima ja

G

on laatan momenttikuormitus.

(24)

3.5.2 Säännöllisyys reunalla ja sisäalueessa

Rajalla

t → 0

pätee

B (w, β; s) = 0, ∀ s ∈ Γ

, jolloin rajatehtävän

t = 0

ratkaisu

(w 0 , β 0 )

toteuttaa Kirhon laattatehtävän, ja ratkaisulle pätee

β 0 = ∇ w 0 .

Tällöinkoko tehtävänratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon

w = w 0 + w r

ja

β = β 0 + β r .

Koska

w 0

onKirhonlaattatehtävänratkaisu,voidaansoveltaa tunnet- tuja estimaatteja [3℄,jolloinkonveksissaalueessa

pätee

k w 0 k 3 ≤ C k g k − 1 .

(3.30)

SamoinTehtävän3.9 ensimmäiselle osatehtävälle saadaanPoissonin teh-

tävän

H 2

-säännöllisyydestä konveksissa alueessaestimaatti

k ψ k s ≤ C k g k s − 2 , s = 1, 2.

(3.31)

Ottamalla huomioon, että kahdessa dimensiossa roottori ja gradientti ovat

π/2

-rotaatiotavaillesama operaattori, voidaanmäärittämällä

η ˜ = (η 2 , − η 1 )

tehtävän (3.9) kaksi keskimmäistä yhtälöä kirjoittaa rajatapauksessa

t = 0

uuden muuttujan

η ˜

avulla standardin Stokesin tehtävän muotoon [1℄: etsi

( ˜ β 0 , p 0 ) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × [H 1 (Ω) ∩ L 2 0 (Ω)]

siten,että

∀ ( ˜ η, q) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × [H 1 (Ω) ∩ L 2 0 (Ω)]

pätee

a( ˜ β 0 , η) ˜ − (p 0 , div ˜ η) = ( ∇ ψ, η) + (G, ˜ η) ˜ (q, div ˜ β 0 ) = 0.

(3.32)

Lisäksi selvästi pätee

k β ˜ k s = k β k s

. Soveltamalla standardiestimaatteja [1℄

tehtävälle (3.32) ja huomioimalla (3.31) saadaan rajatehtävälle

t = 0

sään-

nöllisyystulos

k β 0 k 2 + k p 0 k 1 ≤ C( k G k 0 + k ψ k 1 ) ≤ C( k G k 0 + k g k − 1 ).

(3.33)

Koska parit (

β 0 , p 0

) ja (

β, p

) toteuttavattehtävän(3.9) toisenja kolmannen rivin vastaavastitapauksissa

t = 0

ja

t 6 = 0

, saadaantulos

a(β 0 − β, η) − (rot (p − p 0 ), η) + (β − β 0 , rot q)

+ t 2 A ∗− 1 (rot (p − p 0 ), rot q) = (β, rot q) + t 2 A ∗− 1 (rot (p − p 0 ), rot q)

= t 2 A ∗− 1 (rot p 0 , rot q),

(25)

jostavalitsemallatestifunktioiksi

η = β − β 0

ja

q = p − p 0

seuraaestimaatti

k β − β 0 k 2 1 + t 2 k p − p 0 k 2 1 ≤ Ct 2 k p 0 k 1 k p − p 0 k 1 .

Huomioimallalisäksi

(rot p, rot q)

-termin

H 2

-säännöllisyys,saadaan tulos

k β − β 0 k 1 + t k p − p 0 k 1 ≤ Ct k p 0 k 1 ≤ Ct( k G k 0 + k g k − 1 ).

Tämän perustellasiis

k p k 1 ≤ C( k G k 0 + k g k − 1 ).

(3.34)

Koska Tehtävän 3.9 toinenyhtälöon

H 2

-säännöllinenelliptinentehtävä, pä- tee standardiestimaattien ja yhtälön (3.31) perusteella

k β k 2 ≤ C( k p 1 k + k ψ k 1 + k G k 0 ) ≤ C( k G k 0 + k g k − 1 ).

(3.35)

Lopuksi tarkastelemalla kolmatta riviä ja muistamalla, että

β 0

on tehtävän

t = 0

ratkaisu,saadaan

(rot p, rot q)

termin

H 2

-säännöllisyydennojallaarvio

k p k 2 ≤ Ct 2 k β − β 0 k 1 ≤ Ct 1 ( k G k 0 + k g k − 1 ).

(3.36)

Kokoamallayhteen yhtälöiden (3.31),(3.34),(3.35) ja (3.36)tulokset, päädy-

tään estimaattiin

k ψ k 1 + k β k 2 + k p k 1 + t k p k 2 ≤ C( k G k 0 + k g k − 1 ).

(3.37)

Tarvitaan vielä estimaatti poikittaissiirtymän osalle

w r = w − w 0

. Nyt

w r

toteuttaa Tehtävän 3.9 ensimmäisen rivin perusteella viimeisen yhtälön muodossa

( ∇ w r , ∇ ϕ) = (β − β 0 , ∇ ϕ) + t 2 A ∗− 1 (g, ϕ),

jollepätee standardi Poissonin tehtävänestimaatti

k w r k 2 ≤ C( k β − β 0 k 1 + t 2 k g k 0 ) ≤ C(t k G k 0 + t k g k − 1 + t 2 k g k 0 ).

(3.38)

Estimaatit (3.37) ja (3.38) yhdistämällä saadaan lopulta koko laattatehtä-

välleseuraava säännöllisyystulos

Lause 3.10. Konveksissa alueessa

riittävän sileällä kuormalla tehtävän

ratkaisulle pätee

k w 0 k 3 + t 1 k w r k 2 + k β k 2 + k ψ k 1 + k p k 1 + t k p k 2

(3.39)

≤ C( k g k − 1 + t k g k 0 + k G k 0 ).

(26)

Lisäksi sisäalueessa voidaan johtaa seuraava parempisäännöllisyysestimaat-

ti [15℄.

Lause 3.11. Edellämainittuunkonveksiin alueeseen

kompaktistiupotetus- sa alueessa

Ω i

pätee

k w 0 k s+2,Ω i + t 1 k w r k s+1,Ω i + k β k s+1,Ω i + k ψ k s,Ω i + k p k s,Ω i + t k p k s+1,Ω i

+t 2 k p k s+2,Ω i ≤ C( k g k s − 2 + t k g k s − 1 + k G k s − 1 ).

(3.40)

Lopuksi tarvitaan vielä säännöllisyysestimaatti kytkemättömälle tasoe-

lastisuustehtävälleDirihlet'nreunaehdoilla. Tehtävän heikko muoto on

Tehtävä 3.12. Etsi

u ∈ [H 0 1 (Ω)] 2

siten, että

∀ v ∈ [H 0 1 (Ω)] 2

pätee

(A : ε(u), ε(v)) = (f , v).

Tehtävä on elliptinen tensorin

A

symmetrisyyden ja positiivideniitti- syyden nojalla. Viitteessä [2℄ on näytetty nojautuen biharmonisen yhtälön

H 4

-säännöllisyysteen sekä standardin Stokesin tehtävän tunnettuihin esti- maatteihinisotrooppisessa tapauksess a tulos

k u k 2 ≤ C k f k 0 ,

(3.41)

missä kerroin

C

ei riipu Lamén vakiosta

λ

, kun toinen Lamén vakio

µ ∈ [µ 1 , µ 2 ]

. Mikäli konstitutiivinen tensori oletetaan riittävän säännölliseksi on syytäolettaa,ettämyösTehtävälle3.12päteekonveksissaalueessaarvio(3.41).

3.5.3 Kytketyn tehtävän säännöllisyys

Edellä näytettiin, että molemmatosatehtävätovaterikseen

H 2

-säännöllisiä.

Kytketyntehtävänsäännöllisyysonkuitenkinepätriviaaliominaisuusjapys-

tytään näyttämään toistaiseksi vaintietyillätehtävien säännöllisyysvakioita

koskevilla rajoituksilla.Kytketyssä mallissa Tehtävän 3.9 toinenrivisaa kir-

joittamalla termi

Υ( · , · ; · , · )

auki muodon

(A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(β), ε(v)) = (f , v),

(D : ε(β), ε(η)) + (B : ε(u), ε(η)) − (p, div η) = ( ∇ ψ, η) + (G, η).

Siirtämällä kytkentätermit vasemmalle puolelle ja osittaisintegroimalla saa-

daan yhtälöryhmämuotoon

(A : ε(u), ε(v)) = (f , v) + (div (B : ε(β)), v),

(D : ε(β), ε(η)) − (p, div η) = ( ∇ ψ, η) + (G, η) + (div (B : ε(u)), η).

(27)

Pitämälläensimmäisessäyhtälössä

β

vakiona,saadaanensimmäisenrivin säännöllisyyden nojallajoillakin vakioilla

C 1 , C 2 > 0

k u k 2 ≤ C 1 ( k f k 0 + k div (B : ε(β)) k 0 ) ≤ C 1 k f k 0 + C 2 k β k 2 .

(3.43)

Vastaavastipitämällätoisessayhtälössä

u

vakionapäteeedeltävienestimaat-

tien perusteella vakioilla

C 3 , C 4 > 0

k β k 2 + k p k 1 ≤ C 3 ( k G k 0 + k g k − 1 + k div (B : ε(u)) k 0 )

≤ C 3 ( k G k 0 + k g k − 1 ) + C 4 k u k 2 .

(3.44)

Sijoittamallanytestimaatti(3.43)epäyhtälöön(3.44)jalaskemallanäinsaa-

tu epäyhtälöyhteen epäyhtälöm (3.43) saadaanarvio

(1 − C 4 (1 + C 2 )) k β k 2 + k p k 1 + k u k 2 ≤ C( k G k 0 + k f k 0 + k g k − 1 ).

(3.45)

Haluttu säännöllisyystulos kytketylle tehtävälle siis saadaan ainoastaan

mikäli oleellisesti kytkentätermin tensorin

B

normistaja alueesta

riippu-

vallevakiolle

C 4

pätee

C 4 (1 + C 2 ) < 1 ⇔ C 4 < 1 1 + C 2

< 1.

(3.46)

(28)

4 Elementtimenetelmä MITC-elementeille

Tässäkappaleessajohdetaanvirhearviotkomposiittilaattatehtävälle.Virhear-

viot lasketaan tavallisen

H 1

-normin sijaan verkkoriippuvassa normissa, jo- kaottaahuomioonReissnerin-Mindlininmallinpuuttellisensäännöllisyyden,

kun

t → 0

.Käyttämällätätänormia,saadaantehtävänvirheenkäyttäytymi- sestä tarkempaatietoa kuin

H 1

-normissalaatan ollessaohut, mikäonvarsin

yleistä komposiittirakenteidentapauksessa.

Yhdistetynkomposiittilaattamallinanalyysisuoritetaankahdessa osassa.

Ensin määritetään virhearviot erikseen laatta- ja kalvotilalle, jonka jälkeen

näytetään, että mikäli käytettävissä on hyvin toimiva laattaelementti, joka

yhdistetään toimivaan tasoelementtiin, saadaan lopulta hyvin käyttäytyvä

menetelmä myös koko tehtävälle.

4.1 Laattatehtävän analyysi

VaikkatässätyössäkäytetäänainoastaanMITC-elementtejälaattatehtävälle,

pätee seuraava Reissnerin-Mindlin laattamallin virheanalyysitekniikka pie-

nin muutoksin yleisemmälle elementtiperheelle astetta

k

, olettaen että dis-

kretaatio täyttää tiettyjä perusvaatimuksia.Yleisyyden lisäksituloksista tu-

lee suoraviivaisempia eikäanalyysissä tarvita epätriviaalistivoimassa olevaa

diskreettiä Helmholtzin hajotelmaa. Jatkossa oletetaan verkko yksinkertai-

suuden vuoksi kvasisäännölliseksi, mutta tulos pätee myös epäsäännölliselle

verkolle [17℄.

4.1.1 MITC-elementtiperhe

Tarkastellaan siis normaalia Reissnerin-Mindlinin laattamallia viitteen [22℄

suuntaviivojanoudattaen.Kirjoitetaanensin satulapistetehtävä(3.16),jossa

siis nyt

A = B = 0

ja merkitään

a(β, η) = (D : ε(β), ε(η))

,muotoon

Tehtävä4.1. Etsi

(β, w, q) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × [L 2 (Ω)] 2

sitenettä

∀ (η, v, r) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × H 0 1 (Ω) × [L 2 (Ω)] 2

pätee

A (β, w, q; η, v, r) = (G, η) + (g, v),

(4.1)

missä bilineaarimuoto

A

onmääritelty

A (β, w, q; η, v, r) := a(β, η) + ( ∇ v − η, q) + ( ∇ w − β, r) − t 2 (A ∗− 1 q, r).

Olkoon

T h

alueen

kvasiuniformikolmiointija

h

verkontiheysparamet- ri. Kun

α

on vapaasti valittava stabilointiparametri,määritelläändiskreetti

(29)

bilineaarimuoto seuraavasti:

A h (β, w, q; η, v, r) :=a(β, η) + (R h ( ∇ v − η), q) + (R h ( ∇ w − β), r)

− (αh 2 + t 2 )(A ∗− 1 q, r).

Tällöin vastaava diskreetti tehtävä approksimaatioavaruudessa

V h × W h × Γ h ⊂ V × W × Γ

onmuotoa

Tehtävä 4.2. Etsi

(β h , w h , q h ) ∈ V h × W h × Γ h

siten, että

∀ (η, w, q) ∈ V h × W h × Γ h

pätee

A h (β h , w h , q h ; η, v, r) = (G, η) + (g, v ).

(4.2)

MITC-elementtienperusajatusonleikkausvoimanmodiointidiskreetissä

tehtävässä.Tätävartendiskreettibilineaarimuoto

A h

määritelläänreduktio- operaattorin

R h : V h → Γ h

avulla, joka otetaan käyttöön, jotta vältyttäi- siin lukittumiselta leikkausvoiman suhteen. MITC-elementtien tapauksess a

reduktio-operaattori

R h

onmääritelty siten, että pätee

R h ∇ w = ∇ w, ∀ w ∈ W h .

(4.3)

Sekä taipuma että kiertymät suppenevat optimaalisesti, jos löytyy ava-

ruus

Q h ∈ L 2 0

siten, että seuraavatominaisuudet pätevät [5℄:

P1.

∇ W h ⊂ Γ h

. P2.

rot Γ h ⊂ Q h

.

P3.

rot R h η = P h rot η

, missä

P h : L 2 → Q h

on

L 2

-projektio.

P4. Jos

s ∈ Γ h

:lle pätee

rot s = 0

,löytyy

v ∈ W h

siten, että

s = ∇ v

.

P5.

(V h , Q h )

onstabiiliratkaisuavaruusStokesin tehtävälle.

Roottorion edellämääritelty vektoriarvoiselle suureelle

q

siten, että

rot q = ∂ 1 q 2 − ∂ 2 q 1 = div q .

Täten voidaanmääritelläavaruus

H 0 (rot, Ω) = { q ∈ [L 2 (Ω)] 2 | rot q ∈ L 2 (Ω), q · τ | ∂Ω = 0 } .

Nyt voidaan seurataviitteessä [5℄ esitettyä konstruktiota sopivienvariaatio-

(30)

Valitaanpari

(V h , Q h ) ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 × L 2 0 (Ω)

stabiiliksiStokesintehtävälle

Koska

Q h

on kiinnitetty, etsitään avaruus

Γ h

ja operaattori

R h

siten

että seuraava kaavio kommutoi

[H 0 1 (Ω)] 2 rot - L 2 0 (Ω)

Γ h

R h

? rot

- Q h .

P h

?

Valitaanavaruus

W h

siten, että

∇ W h = { s ∈ Γ h | rot s = 0 } .

TässätyössäkäytettyynNumerrin-ohjelmistoonMITClaattaelementiton

rakennettu valitsemalla elementtiavaruudet siten, että ainoastaan lineaaris-

ten elementtien kanssa tarvitaanverkkostabilointia,korkeammanasteenele-

menteissäsuppeneminensaavutetaankäyttämälläkiertymällekuplamuotoja,

jolloinvoidaansiisvalita

α = 0

.Nämäominaisuudetsaavutetaanvalitsemal- la ensin

V h = { η ∈ [H 0 1 (Ω)] 2 | η | T ∈ V k (T ), ∀ T ∈ T h } .

Kolmioelementeille

V k

määritellään

V k (T ) =

[P k (T )] 2

kun

k = 1, [S k (T )] 2

kun

k = 2, 3,

missä avaruus

S k

onmääritelty

S k (T ) = { v ∈ P k+1 (T ) | v | E ∈ P k (E)

jokaisellereunalle

E ⊂ ∂T } .

Nelikulmiolle puolestaan valitaankaikilla

k

:n arvoilla

V k (T ) = [Q k (T )] 2 .

Stokesintehtävänapuavaruus

Q h

onkaikilla

k

:narvoillasekäkolmio-että

nelikulmioelementeillä

Q h = { p ∈ L 2 0 | p | T ∈ P k − 1 (T ), ∀ T ∈ T h } .

Figure

Updating...

References

Related subjects :